Phương Trình Bậc 2 Của Số Phức Và Phương Trình Bậc Hai, Căn Bậc Hai Số Phức Và Phương Trình Bậc Hai

Hướng dẫn học sinh tìm được căn bậc hai của số phức, giải được phương trình bậc hai trong trường số phức và các dạng bài tập hay gặp liên quan đến bài học.

Đang xem: Phương trình bậc 2 của số phức

ctvlingocard.vn105 2 năm trước 30621 lượt xem | Toán học 12

Hướng dẫn học sinh tìm được căn bậc hai của số phức, giải được phương trình bậc hai trong trường số phức và các dạng bài tập hay gặp liên quan đến bài học.

Căn bậc hai của số phức và phương trình bậc hai

A. Lý thuyết

I. Căn bậc hai của số phức

Định nghĩa: Cho số phức w. Mỗi số phức z thỏa mãn ${{z}^{2}}= ext{w}$ được gọi là căn bậc hai của w.Chú ý: Số 0 có đúng 1 căn bậc hai là 0.

Mỗi số phức khác 0 có hai căn bậc hai là hai số đối nhau (khác 0).

Đặc biệt, số thực a dương có hai căn bậc hai là $sqrt{a}$ và -$sqrt{a}$

Số thực a âm có hai căn bậc hai là $sqrt{-a}i$ và -$sqrt{-a}i$.

II. Phương trình bậc hai

Nhờ tính được căn bậc hai của số phức, phương trình $A{{z}^{2}}+Bz+C=0$ (1) đều có nghiệm phức.Xét biệt thức $Delta ={{B}^{2}}-4AC$.Nếu $Delta >0$ thì phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt: ${{z}_{1}}=frac{-B+delta }{2A};{{z}_{2}}=frac{-B-delta }{2A}$. Trong đó, $delta $ là một căn bậc hai của $Delta $.Nếu $Delta =0$ thì phương trình (1) có nghiệm kép: ${{z}_{1}}={{z}_{2}}=frac{-B}{2A}$.Chú ý: Định lý vi-et vẫn đúng đối với phương trình bậc hai trong tập số phức 

Người ta chứng minh được rằng mọi phương trình bậc n ${{A}_{0}}{{z}^{n}}+{{A}_{1}}{{z}^{n-1}}+…+{{A}_{n}}=0$ luôn có n nghiệm phức (không nhất thiết phân biệt).

III. Các phương pháp tính căn bậc hai của số phức

1. Tự luận

Cho số phức w=a+bi. Tìm căn bậc hai số phức w

z=x+yi là căn bậc hai của số phức w  

. 

Vậy để tìm căn bậc hai của w=a+bi ta cần giải hệ phương trình trên. Mỗi cặp nghiệm (x;y) tương ứng với một căn bậc hai của số phức w.

2. Sử dụng VINACAL (các loại máy khác bấm tương tự)

Lưu ý: Trước khi làm, các bạn hãy chuyển sang chế độ tính góc bằng Radian.

Cách 1: Ta sử dụng chức năng phím trong chế độ tính toán thường (MODE 1)

 : Chuyển từ dạng tọa độ cực sang dạng lượng giác.

: Chuyển từ dạng lượng giác sang tọa độ cực.Ví dụ: Muốn tìm căn bậc hai số phức z=8+6i. Ta nhập lần lượt vào máy như sau: 

Như các bạn thấy trong hai hình cuối chính là kết quả của căn bậc hai của số phức z=8+6i là w=3+i và w=-3-i.Chú ý: Cách trên cũng giúp ta tìm được căn bậc n của một số phức bất kì.

Cách 2: Ta chuyển sang chế độ số phức (CMPLEX)(MODE 2)

Các phím chức năng sử dụng trong chế độ số phức ở SHIFT 2 .Ví dụ như trên, các bạn nhập như sau:

Chú ý: Cách trên cũng giúp ta tìm được căn bậc n của một số phức bất kì.Như vậy: Qua 3 cách trên, ta thấy được sự giúp ích của máy tính. Tuy nhiên, để các bạn hiểu rõ hơn về cả ba cách, mỗi bài tập minh họa mình sẽ dùng 1 cách. Các bạn có thể làm theo 2 cách còn lại để rèn luyện.

B. Bài tập

I. Bài tập minh họa

Lời giải: Chọn C

Cách 1: Thử trực tiếp từng đáp án. Ta thấy ${{left( 1+2i
ight)}^{2}}={{left( -1-2i
ight)}^{2}}=-3+4i$.

Cách 2: Dùng tự luận: ${{left( x+yi
ight)}^{2}}=-3+4iLeftrightarrow {{x}^{2}}-{{y}^{2}}+2xyi=-3+4iLeftrightarrow $

$Leftrightarrow $

$Leftrightarrow $

.Nên C là đáp án đúng.

Lời giải: Chọn B.

Cách 1: Xét $Delta “=16{{left( 1-i
ight)}^{2}}-left( 63-16i
ight)=-63-16i$. Ta tính $sqrt{Delta “}$:

Vậy $sqrt{Delta “}=1-8i$. Áp dụng công thức nghiệm, ta được: ${{z}_{1}}=-3-4i;{{z}_{2}}=-5+12i$.

Nên $left| {{z}_{1}}-{{z}_{2}}
ight|=2sqrt{65}$.

Cách 2: Dùng vi-et: $$ .

Lời giải: Chọn C.

Cách 1: Vì z=1+i là nghiệm của phương trình nên ${{left( 1+i
ight)}^{2}}+bleft( 1+i
ight)+c=0Leftrightarrow b+c+left( 2+b
ight)i=0Leftrightarrow $

$Leftrightarrow $

.

Cách 2: Thử đáp án ta cũng chọn được đáp án C.

Lời giải: Chọn A.

Ta nhập vào máy như sau:

.

Nên z=3+i. Suy ra: x-y=2.

Lời giải: Chọn B.

Xem thêm: Đề Excel Cơ Bản Có Video Hướng Dẫn, Tổng Hợp Bài Tập Excel Có Lời Giải

${{left( frac{z-1}{2z-i}
ight)}^{4}}=1Leftrightarrow $

$Leftrightarrow $

.

Nhập P vào máy tính và sử dụng CALC ta được P=$frac{17}{9}$.

Lời giải: Chọn A.

Theo đề bài, ta có: $z_{1}^{2}+z_{2}^{2}=-10Leftrightarrow {{left( {{z}_{1}}+{{z}_{2}}
ight)}^{2}}-2{{z}_{1}}{{z}_{2}}=-10Leftrightarrow {{m}^{2}}-2left( 2m-1
ight)+10=0Leftrightarrow m=2pm 2sqrt{2}i$.

Lời giải: Chọn A.

$z+frac{1}{z}=1Leftrightarrow {{z}^{2}}-z+1=0Leftrightarrow $

.

Vì 2019 là số lẻ nên thay vì tính trực tiếp ${{z}^{2019}}+frac{1}{{{z}^{2019}}}$. Ta sẽ tính $z+frac{1}{z}$. CALC với 1 trong 2 nghiệm ta được P=1.

Lời giải: Chọn D.

Đặt . Phương trình tương đương (t-3)t=10

.

Vậy phương trình có 4 nghiệm.

Lời giải: Chọn C.

${{z}^{4}}+left( 4+m
ight){{z}^{2}}+4m=0Leftrightarrow left( {{z}^{2}}+m
ight)left( {{z}^{2}}+4
ight)=0Leftrightarrow $

.

Nếu $mge 0$ thì ${{z}_{3,4}}=pm isqrt{-m}$. Nên $left| {{z}_{1}}
ight|+left| {{z}_{2}}
ight|+left| {{z}_{3}}
ight|+left| {{z}_{4}}
ight|=6Leftrightarrow 4+2sqrt{m}=6Leftrightarrow m=1$.

Nếu m

Vậy có 2 giá trị m.

Lời giải: Chọn D.

Vì ${{z}_{1}}$ là nghiệm thuần ảo nên ${{z}_{1}}=bi$. Thay vào phương trình, ta có: ${{left( bi
ight)}^{3}}-left( 2-3i
ight){{left( bi
ight)}^{2}}+3left( 1-2i
ight)left( bi
ight)+9i=0$ $Leftrightarrow 2{{b}^{2}}+6b+left( -{{b}^{3}}-3{{b}^{2}}+3b+9
ight)i=0Leftrightarrow$

$Leftrightarrow $ b=-3. Vậy rút nghiệm ${{z}_{1}}=-3i$ còn lại phương trình bậc 2.

Nên ${{z}^{3}}-left( 2-3i
ight){{z}^{2}}+3left( 1-2i
ight)z+9i=0Leftrightarrow left( z+3i
ight)left( {{z}^{2}}-2z+3
ight)=0$ . Nên ${{z}_{2,3}}=1pm sqrt{2}i$.

Vậy $left| {{z}_{1}}
ight|+left| {{z}_{2}}+{{z}_{3}}
ight|$=5.

II. Bài tập tự luyện

Câu 1: Với mọi số thuần ảo z, số ${{z}^{2}}+{{left| z
ight|}^{2}}$ là:

A. Số thực âm B. Số 0

C. Số thực dương D. Số ảo khác 0

Câu 2: Trong trường số phức phương trình ${{z}^{3}}+1=0$ có mấy nghiệm

A. 0 B. 1 C. 2 D. 3

Câu 3: Số nghiệm của phương trình $4{{z}^{2}}+8{{left| z
ight|}^{2}}-3=0$.

A. 1 B. 2 C. 3 D. 4

Câu 4: Phương trình ${{z}^{6}}-9{{z}^{3}}+8=0$ có bao nhiêu nghiệm

A. 2 B. 5 C. 6 D. 8

Câu 5: Phương trình ${{z}^{4}}-{{z}^{3}}+frac{{{z}^{2}}}{2}+z+1=0$ có bao nhiêu nghiệm

A. 1 B. 2 C. 3 D. 4

Câu 6: Tìm số thực $m=a-bsqrt{20}$ (a, b là các số nguyên khác 0) để phương trình $2{{z}^{2}}+2left( m-1
ight)z+left( 2m+1
ight)=0$ có hai nghiệm thực phân biệt ${{z}_{1}};{{z}_{2}}$ thỏa mãn$left| {{z}_{1}}
ight|+left| {{z}_{2}}
ight|=sqrt{10}$. Tìm a.

A. 1 B. 2 C. 3 D. 4

Câu 7: Số nghiệm phức của phương trình $overline{z}+frac{25}{z}=8-6i$ là

A. 1 B. 2 C. 3 D. 4

Câu 8: Cho 2 phương trình $a{{z}^{2}}+bz+c=0$ và $c{{z}^{2}}+bz+a+16-16i=0$ có nghiệm chung là z=1+2i. Tính a-b+c.

Xem thêm: Cách Kết Xuất Từ Phần Mềm Misa Ra Excel Ko Nhỉ?? Cách Xuất Dữ Liệu Từ Misa Ra Excel

A. 6 B. 7 C. 8 D. 9

Câu 9: Gọi ${{z}_{1}},{{z}_{2}}$ là hai nghiệm phương trình ${{z}^{2}}-2z+2=0$. Tìm modun < ext{w}={{left( {{z}_{1}}-1 ight)}^{2015}}+{{left( {{z}_{2}}-1 ight)}^{2016}}>.

A. B. C. D.

Câu 10: Gọi M, N là điểm biểu diễn các nghiệm ${{z}_{1}},{{z}_{2}}$ của phương trình <{{z}^{2}}+left( 3-2i ight)z+2i-4=0>. Chu vi là