Chủ Đề 11 Phương Trình Đối Xứng Lớp 11, Bài Giảng Toán 11

Bài viết hướng dẫn phương pháp giải và biện luận phương trình đối xứng đối với sinx và cosx.

Đang xem: Phương trình đối xứng lớp 11

I. PHƯƠNG PHÁPBài toán 1: Giải phương trình: $a(sin x + cos x) + bsin xcos x + c = 0$ $(1).$PHƯƠNG PHÁP CHUNG:Ta biện luận theo các bước sau:+ Bước 1: Đặt $sin x + cos x = t$, điều kiện $left| t
ight| le sqrt 2 $ $ Rightarrow sin xcos x = frac{{{t^2} – 1}}{2}.$Khi đó phương trình có dạng:$at + bfrac{{{t^2} – 1}}{2} + c = 0$ $ Leftrightarrow b{t^2} + 2at + 2c – b = 0$ $(2).$+ Bước 2: Giải $(2)$ theo $t$ và chọn nghiệm ${t_0}$ thoả mãn điều kiện $|t| le sqrt 2 .$Với $t = {t_0}$, ta được:$sin x + cos x = {t_0}$ $ Leftrightarrow sqrt 2 sin left( {x + frac{pi }{4}}
ight) = {t_0}$ $ Leftrightarrow sin left( {x + frac{pi }{4}}
ight) = frac{{{t_0}}}{{sqrt 2 }}.$Đây là phương trình cơ bản của sin.

Chú ý: Ta có thể giải $(1)$ bằng cách đặt ẩn phụ $z = frac{pi }{4} – x$, khi đó ta có:$sin x + cos x$ $ = sqrt 2 cos left( {frac{pi }{4} – x}
ight)$ $ = sqrt 2 cos z.$$sin xcos x$ $ = frac{1}{2}sin 2x$ $ = frac{1}{2}sin 2left( {frac{pi }{4} – z}
ight)$ $ = frac{1}{2}sin left( {frac{pi }{2} – 2z}
ight)$ $ = frac{1}{2}cos 2z$ $ = frac{1}{2}left( {2{{cos }^2}z – 1}
ight).$Vậy ta chuyển phương trình ban đầu về dạng phương trình bậc $2$ đối với $cos z.$

Ví dụ 1: Giải phương trình:$sin x + cos x$ $ – 2sin xcos x + 1 = 0.$

Ta có thể lựa chọn một trong hai cách sau:Cách 1: Đặt $sin x + cos x = t$, điều kiện $|t| le sqrt 2 $, suy ra $sin xcos x = frac{{{t^2} – 1}}{2}.$Khi đó phương trình có dạng:$t – left( {{t^2} – 1}
ight) + 1 = 0$ $ Leftrightarrow {t^2} – t – 2 = 0$ $ Leftrightarrow left< {egin{array}{*{20}{l}}{t = – 1}\{t = 2:{ m{(loại)}}}end{array}} ight.$ $ Leftrightarrow sin x + cos x = – 1$ $ Leftrightarrow sqrt 2 sin left( {x + frac{pi }{4}} ight) = – 1$ $ Leftrightarrow sin left( {x + frac{pi }{4}} ight) = – frac{1}{{sqrt 2 }}$ $ Leftrightarrow left< {egin{array}{*{20}{l}}{x = – frac{pi }{2} + 2kpi }\{x = pi + 2kpi }end{array}} ight.$, $k in Z.$Vậy phương trình có hai họ nghiệm.Cách 2: Đặt $z = frac{pi }{4} – x$. Khi đó phương trình có dạng:$sqrt 2 cos left( {frac{pi }{4} – x}
ight) – sin 2x + 1 = 0$ $ Leftrightarrow sqrt 2 cos z – sin 2left( {frac{pi }{4} – z}
ight) + 1 = 0.$$ Leftrightarrow sqrt 2 cos z – sin left( {frac{pi }{2} – 2z}
ight) + 1 = 0$ $ Leftrightarrow sqrt 2 cos z – cos 2z + 1 = 0.$$ Leftrightarrow sqrt 2 cos z – left( {2{{cos }^2}z – 1}
ight) + 1 = 0$ $ Leftrightarrow – 2{cos ^2}z + sqrt 2 cos z + 2 = 0.$$ Leftrightarrow left< {egin{array}{*{20}{l}}{cos z = sqrt 2 :{ m{(loại)}}}\{cos z = – frac{{sqrt 2 }}{2}}end{array}} ight.$ $ Leftrightarrow left< {egin{array}{*{20}{l}}{z = – frac{{3pi }}{4} + 2kpi }\{z = frac{{3pi }}{4} + 2kpi }end{array}} ight.$ $ Leftrightarrow left< {egin{array}{*{20}{l}}{frac{pi }{4} – x = – frac{{3pi }}{4} + 2kpi }\{frac{pi }{4} – x = frac{{3pi }}{4} + 2kpi }end{array}} ight..$$ Leftrightarrow left< {egin{array}{*{20}{l}}{x = – frac{pi }{2} – 2kpi }\{x = pi – 2kpi }end{array}} ight.$, $k in Z.$Vậy phương trình có hai họ nghiệm.

Chú ý: Tồn tại những phương trình ở dạng ban đầu chưa phải là phương trình đối xứng, khi đó cần thực hiện một vài phép biến đổi lượng giác thích hợp.

Ví dụ 2: (ĐHMĐC – 1999): Giải phương trình: $1 + an x = 2sqrt 2 sin x.$

Điều kiện: $cos x
e 0$ $ Leftrightarrow x
e frac{pi }{2} + kpi $, $k in Z.$Biến đổi phương trình về dạng:$1 + frac{{sin x}}{{cos x}} = 2sqrt 2 sin x$ $ Leftrightarrow sin x + cos x = 2sqrt 2 sin xcos x.$Đặt $sin x + cos x = t$, điều kiện $left| t
ight| le sqrt 2 $, suy ra $sin xcos x = frac{{{t^2} – 1}}{2}.$Khi đó phương trình có dạng:$t = sqrt 2 left( {{t^2} – 1}
ight)$ $ Leftrightarrow sqrt 2 {t^2} – t – sqrt 2 = 0.$$ Leftrightarrow left< {egin{array}{*{20}{l}}{t = – frac{{sqrt 2 }}{2}}\{t = sqrt 2 }end{array}} ight.$ $ Leftrightarrow left< {egin{array}{*{20}{l}}{sin x + cos x = – frac{{sqrt 2 }}{2}}\{sin x + cos x = sqrt 2 }end{array}} ight..$$ Leftrightarrow left< {egin{array}{*{20}{l}}{sin left( {x + frac{pi }{4}} ight) = – frac{1}{2}}\{sin left( {x + frac{pi }{4}} ight) = 1}end{array}} ight.$ $ Leftrightarrow left< {egin{array}{*{20}{l}}{x + frac{pi }{4} = – frac{pi }{6} + 2kpi }\{x + frac{pi }{4} = frac{{7pi }}{6} + 2kpi }\{x + frac{pi }{4} = frac{pi }{2} + 2kpi }end{array}} ight.$ $ Leftrightarrow left< {egin{array}{*{20}{l}}{x = – frac{{5pi }}{{12}} + 2kpi }\{x = frac{{11pi }}{{12}} + 2kpi }\{x = frac{pi }{4} + 2kpi }end{array}} ight.$ $(k in Z).$Vậy phương trình có ba họ nghiệm.

Ví dụ 3: Cho phương trình:$m(sin x + cos x)$ $ + sin 2x + m – 1 = 0$ $(1).$a. Giải phương trình với $m = 2.$b. Tìm $m$ để phương trình có nghiệm.

Đặt $sin x + cos x = t$, điều kiện $|t| le sqrt 2 $, suy ra $sin xcos x = frac{{{t^2} – 1}}{2}.$Khi đó phương trình có dạng:$mt + left( {{t^2} – 1}
ight) + m – 1 = 0$ $ Leftrightarrow f(t) = {t^2} + mt + m – 2 = 0$ $(2).$a. Với $m = 2$ phương trình $(2)$ có dạng:${t^2} + 2t = 0$ $ Leftrightarrow left< {egin{array}{*{20}{l}}{t = 0}\{t = – 2:{ m{(loại)}}}end{array}} ight.$ $ Leftrightarrow sin x + cos x = 0$ $ Leftrightarrow x = – frac{pi }{4} + kpi $ $(k in Z).$Vậy với $m = 2$ phương trình có một họ nghiệm.b. Ta có thể lựa chọn một trong hai cách:Cách 1: Phương trình $(1)$ có nghiệm $ Leftrightarrow (2)$ có nghiệm thoả mãn $left| t
ight| le sqrt 2 .$$ Leftrightarrow left< egin{array}{l}(2){ m{:có:1:nghiệm:thuộc:}}left< { – sqrt 2 ;sqrt 2 } ight>\(2){
m{:có:2:nghiệm:thuộc:}}left< { – sqrt 2 ;sqrt 2 } ight>end{array}
ight..$$ Leftrightarrow left< {egin{array}{*{20}{l}}{f( – sqrt 2 )f(sqrt 2 ) le 0}\{left{ {egin{array}{*{20}{l}}{Delta ge 0}\{af(sqrt 2 ) ge 0}\{af( – sqrt 2 ) ge 0}\{ – sqrt 2 le frac{S}{2} le sqrt 2 }end{array}} ight.}end{array}} ight.$ $ Leftrightarrow left< egin{array}{l}( – msqrt 2 + m)(msqrt 2 + m) le 0\left{ {egin{array}{*{20}{l}}{{m^2} – 4m + 8 ge 0}\{msqrt 2 + m ge 0}\{ – msqrt 2 + m ge 0}\{ – sqrt 2 le – frac{m}{2} le sqrt 2 }end{array}} ight.end{array} ight.$ $ Leftrightarrow forall m.$Vậy với mọi $m$ phương trình luôn có nghiệm. Xem thêm: Đồ Án: Thuyết Minh Đồ Án Nền Móng Của Thầy Tiến Đhxd, Đồ Án: Thuyết Minh Nền Móng

Cách 2: Viết lại $(2)$ dưới dạng:$2 – {t^2} = m(t + 1)$ $ Leftrightarrow frac{{2 – {t^2}}}{{t + 1}} = m$ (vì $t = – 1$ không là nghiệm).Phương trình $(1)$ có nghiệm $ Leftrightarrow $ đường thẳng $y = m$ cắt đồ thị hàm số $y = frac{{2 – {t^2}}}{{t + 1}}$ trên $D = ( – 1,1>.$Xét hàm số $y = frac{{2 – {t^2}}}{{t + 1}}$ trên $D = ( – 1,1>.$Đạo hàm: $y’ = frac{{ – {t^2} – 2t – 2}}{{t + 1}} Do đó đường thẳng $y = m$ luôn cắt đồ thị hàm số trên $D$ $ Leftrightarrow $ với mọi $m$ phương trình luôn có nghiệm.

Bài toán 2: Giải phương trình: $a(sin x – cos x) + bsin xcos x + c = 0$ $(1).$PHƯƠNG PHÁP CHUNG:Ta biện luận theo các bước sau:+ Bước 1: Đặt $sin x – cos x = t$, điều kiện $left| t
ight| le sqrt 2 $ $ Rightarrow sin xcos x = frac{{1 – {t^2}}}{2}.$Khi đó phương trình có dạng:$at + bfrac{{1 – {t^2}}}{2} + c = 0$ $ Leftrightarrow b{t^2} – 2at – 2c – b = 0$ $(2).$+ Bước 2: Giải phương trình $(2)$ theo $t$ và chọn nghiệm ${t_0}$ thoả mãn điều kiện: $|t| le sqrt 2 .$Với $t = {t_0}$, ta được:$sin x + cos x = {t_0}$ $ Leftrightarrow sqrt 2 sin left( {x + frac{pi }{4}}
ight) = {t_0}$ $ Leftrightarrow sin left( {x + frac{pi }{4}}
ight) = frac{{{t_0}}}{{sqrt 2 }}.$Đây là phương trình cơ bản của sin.

Chú ý: Cũng như trong bài toán 1, ta có thể giải phương trình nửa đối xứng đối với $sin x$ và $cos x$ bằng cách đặt ẩn phụ $z = frac{pi }{4} – x.$

Ví dụ 4: Giải phương trình:$6(sin x – cos x) + sin xcos x + 6 = 0.$Ta có thể lựa chọn một trong hai cách sau:+ Cách 1: Đặt $sin x – cos x = t$, điều kiện $left| t
ight| le sqrt 2 $, suy ra $sin xcos x = frac{{1 – {t^2}}}{2}.$Khi đó phương trình có dạng:$6t – frac{{1 – {t^2}}}{2} + 6 = 0$ $ Leftrightarrow {t^2} – 12t – 13 = 0$ $ Leftrightarrow left< {egin{array}{*{20}{l}}{t = – 1}\{t = 13:{ m{(loại)}}}end{array}} ight.$ $ Leftrightarrow sin x – cos x = – 1.$$ Leftrightarrow sqrt 2 sin left( {x – frac{pi }{4}} ight) = – 1$ $ Leftrightarrow sin left( {x – frac{pi }{4}} ight) = – frac{1}{{sqrt 2 }}$ $ Leftrightarrow left< {egin{array}{*{20}{l}}{x = – frac{pi }{2} + 2kpi }\{x = pi + 2kpi }end{array}} ight.$, $k in Z.$Vậy phương trình có hai họ nghiệm.+ Cách 2: Đặt $z = frac{pi }{4} – x.$Khi đó phương trình có dạng:$6sqrt 2 sin left( {x – frac{pi }{4}}
ight) + frac{1}{2}sin 2x + 6 = 0$ $ Leftrightarrow 12sqrt 2 sin ( – z)$ $ + sin 2left( {frac{pi }{4} – z}
ight) + 12 = 0.$$ Leftrightarrow – 12sqrt 2 sin z$ $ + sin left( {frac{pi }{2} – 2z}
ight) + 12 = 0$ $ Leftrightarrow – 12sqrt 2 sin z + cos 2z + 12 = 0.$$ Leftrightarrow – 12sqrt 2 sin z$ $ + left( {1 – 2{{sin }^2}z}
ight) + 12 = 0$ $ Leftrightarrow – 2{sin ^2}z – 12sqrt 2 sin z + 13 = 0.$$ Leftrightarrow left< {egin{array}{*{20}{l}}{sin z = – frac{{13sqrt 2 }}{2}:{ m{(loại)}}}\{sin z = frac{{sqrt 2 }}{2}}end{array}} ight.$ $ Leftrightarrow left< {egin{array}{*{20}{l}}{z = frac{pi }{4} + 2kpi }\{z = frac{{3pi }}{4} + 2kpi }end{array}} ight.$ $ Leftrightarrow left< {egin{array}{*{20}{l}}{frac{pi }{4} – x = frac{pi }{4} + 2kpi }\{frac{pi }{4} – x = frac{{3pi }}{4} + 2kpi }end{array}} ight..$$ Leftrightarrow left< {egin{array}{*{20}{l}}{x = – 2kpi }\{x = – frac{pi }{2} – 2kpi }end{array}} ight.$, $k in Z.$Vậy phương trình có hai họ nghiệm.

Ví dụ 5: Cho phương trình sau:$4(cos x – sin x) + sin 2x = m$ $(1).$a. Giải phương trình với $m = 1.$b. Tìm $m$ để phương trình vô nghiệm.

Biến đổi phương trình về dạng:$4(cos x – sin x) + 2sin xcos x = m.$Đặt $cos x – sin x = t$, điều kiện $|t| le sqrt 2 $, suy ra $sin xcos x = frac{{1 – {t^2}}}{2}.$Khi đó phương trình có dạng:$4t + 1 – {t^2} = m$ $ Leftrightarrow – {t^2} + 4t + 1 – m = 0$ $(2).$a. Với $m = 1$, ta được:$ – {t^2} + 4t = 0$ $ Leftrightarrow left< {egin{array}{*{20}{l}}{t = 0}\{t = 4:{ m{(loại)}}}end{array}} ight.$ $ Leftrightarrow cos x – sin x = 0$ $ Leftrightarrow x = frac{pi }{4} + kpi $, $k in Z.$Vậy phương trình có một họ nghiệm.b. Ta có thể lựa chọn một trong hai cách sau:+ Cách 1: Ta đi xét bài toán ngược “Tìm $m$ để phương trình có nghiệm”.Phương trình $(1)$ có nghiệm $ Leftrightarrow (2)$ có nghiệm thoả mãn $left| t
ight| le sqrt 2 .$$ Leftrightarrow left< egin{array}{l}(2){ m{:có:1:nghiệm:thuộc:}}left< { – sqrt 2 ;sqrt 2 } ight>\(2){
m{:có:2:nghiệm:thuộc:}}left< { – sqrt 2 ;sqrt 2 } ight>end{array}
ight..$$ Leftrightarrow left< egin{array}{l}fleft( { – sqrt 2 } ight)fleft( {sqrt 2 } ight) le 0\left{ {egin{array}{*{20}{l}}{Delta ‘ ge 0}\{afleft( {sqrt 2 } ight) ge 0}\{afleft( { – sqrt 2 } ight) ge 0}\{ – sqrt 2 le frac{S}{2} le sqrt 2 }end{array}} ight.end{array} ight.$ $ Leftrightarrow left< egin{array}{l}( – 1 – 4sqrt 2 – m)(1 + 4sqrt 2 – m) le 0\left{ {egin{array}{*{20}{l}}{5 – m ge 0}\{1 + 4sqrt 2 – m ge 0}\{ – 1 – 4sqrt 2 – m ge 0}\{ – sqrt 2 le 2 le sqrt 2 }end{array}} ight.end{array} ight.$ $ Leftrightarrow |m| le 4sqrt 2 + 1.$Vậy phương trình vô nghiệm khi $|m| > 4sqrt 2 + 1.$+ Cách 2: Viết lại $(2)$ dưới dạng:$ – {t^2} + 4t + 1 = m.$Vậy phương trình vô nghiệm $ Leftrightarrow $ đường thẳng $y = m$ không cắt phần đồ thị hàm số $y = – {t^2} + 4t + 1$ trên $left< { – sqrt 2 ,sqrt 2 } ight>.$Xét hàm số $y = – {t^2} + 4t + 1$ trên $left< { – sqrt 2 ,sqrt 2 } ight>.$Đạo hàm:$y’ = – 2t + 4 > 0$, $forall t in left< { – sqrt 2 ,sqrt 2 } ight>$, do đó hàm số đồng biến trên $left< { – sqrt 2 ,sqrt 2 } ight>.$Từ đó ta được điều kiện là:$left< {egin{array}{*{20}{l}}{m {m > y(sqrt 2 )}end{array}}
ight.$ $ Leftrightarrow left< {egin{array}{*{20}{l}}{m {m > 4sqrt 2 + 1}end{array}}
ight.$ $ Leftrightarrow |m| > 4sqrt 2 + 1.$Vậy phương trình vô nghiệm khi $|m| > 4sqrt 2 + 1.$

Ví dụ 6: Cho phương trình sau:${sin ^3}x – {cos ^3}x = m$ $(1).$a. Giải phương trình với $m =1.$b. Tìm $m$ để phương trình có đúng ba nghiệm thuộc $<0,pi >.$

Biến đổi phương trình về dạng:$(sin x – cos x)$ $ + 3sin xcos x(sin x – cos x) = m.$Đặt $sin x – cos x = t$, điều kiện $|t| le sqrt 2 $, suy ra $sin xcos x = frac{{1 – {t^2}}}{2}.$Khi đó phương trình có dạng:${t^3} + 3t.frac{{1 – {t^2}}}{2} = m$ $ Leftrightarrow – {t^3} + 3t = 2m$ $(2).$a. Với $m = 1$ ta được:${t^3} – 3t + 2 = 0$ $ Leftrightarrow (t – 1)left( {{t^2} + t + 2}
ight) = 0$ $ Leftrightarrow t = 1$ $ Leftrightarrow sin x – cos x = 1.$$ Leftrightarrow sqrt 2 sin left( {x – frac{pi }{4}}
ight) = 1$ $ Leftrightarrow sin left( {x – frac{pi }{4}}
ight) = frac{1}{{sqrt 2 }}$ $ Leftrightarrow left< {egin{array}{*{20}{l}}{x = frac{pi }{2} + 2kpi }\{x = pi + 2kpi }end{array}} ight.$, $k in Z.$Vậy phương trình có hai họ nghiệm.b. Ta có thể lựa chọn một trong hai cách sau:+ Cách 1: Với $x in <0,pi >$ $ Rightarrow t in < – 1,sqrt 2 >.$Ta có nhận xét sau:+ Với mỗi ${t_0} in ( – 1,1)$ hoặc ${t_0} = sqrt 2 $ thì phương trình: $sin x – cos x = {t_0}$ $ Leftrightarrow sqrt 2 sin left( {x – frac{pi }{4}}
ight) = {t_0}$ $ Leftrightarrow sin left( {x – frac{pi }{4}}
ight) = frac{{{t_0}}}{{sqrt 2 }}$ sẽ có đúng $1$ nghiệm $x in <0,pi >.$+ Với mỗi ${t_0} in <1,sqrt 2 )$ thì phương trình: $sin x – cos x = {t_0}$ $ Leftrightarrow sqrt 2 sin left( {x – frac{pi }{4}} ight) = {t_0}$ $ Leftrightarrow sin left( {x – frac{pi }{4}} ight) = frac{{{t_0}}}{{sqrt 2 }}$ sẽ có đúng $2$ nghiệm $x in <0,pi >.$Vậy để phương trình $(1)$ có đúng ba nghiệm thuộc $<0,pi >$ $ Leftrightarrow (2)$ có $2$ nghiệm ${t_1}$, ${t_2}$ thoả mãn $ – 1 Xét hàm số $y = – {t^3} + 3t$ trên $< – 1,sqrt 2 >.$Đạo hàm:$y’ = – 3{t^2} + 3.$$y’ = 0$ $ Leftrightarrow – 3{t^2} + 3 = 0$ $ Leftrightarrow t = pm 1.$Bảng biến thiên:

Dựa vào bảng biến thiên, ta được điều kiện là:$sqrt 2 + Cách 2: Số nghiệm thuộc $<0,pi >$ của phương trình $(1)$ bằng số giao điểm của đồ thị hàm số $y = {sin ^3}x – {cos ^3}x$ trên $<0,pi >$ với đường thẳng $y = m.$Xét hàm số $y = {sin ^3}x – {cos ^3}x$ trên $<0,pi >.$Đạo hàm:$y’ = – 3cos x{sin ^2}x + 3sin x{cos ^2}x.$$y’ = 0$ $ Leftrightarrow 3cos x{sin ^2}x + 3sin x{cos ^2}x = 0$ $ Leftrightarrow frac{3}{2}(sin x + cos x)sin 2x = 0.$$ Leftrightarrow left< {egin{array}{*{20}{l}}{sin 2x = 0}\{sin x + cos x = 0}end{array}} ight.$ $ Leftrightarrow left< {egin{array}{*{20}{l}}{sin 2x = 0}\{sqrt 2 sin left( {x + frac{pi }{4}} ight) = 0}end{array}} ight.$ $ Leftrightarrow left< {egin{array}{*{20}{l}}{2x = kpi }\{x + frac{pi }{4} = kpi }end{array}} ight.$ $mathop Leftrightarrow limits^{x in left< {0;pi } ight>} left< {egin{array}{*{20}{l}}{x = 0}\{x = frac{pi }{2}}\{x = pi }\{x = frac{{3pi }}{4}}end{array}} ight..$Bảng biến thiên:

Dựa vào bảng biến thiên, ta được điều kiện là: $frac{{sqrt 2 }}{2} II. CÁC BÀI TOÁN THIBài 1: Giải phương trình:$cos x + frac{1}{{cos x}}$ $ + sin x + frac{1}{{sin x}} = frac{{10}}{3}.$

Điều kiện:$left{ {egin{array}{*{20}{l}}{sin x
e 0}\{cos x
e 0}end{array}}
ight.$ $ Leftrightarrow x
e frac{{kpi }}{2}$, $k in Z.$Biến đổi phương trình về dạng:$sin x + cos x$ $ + frac{{sin x + cos x}}{{sin xcos x}} – frac{{10}}{3} = 0.$Đặt $sin x + cos x = t$, điều kiện $left| t
ight| le sqrt 2 $, suy ra $sin xcos x = frac{{{t^2} – 1}}{2}.$Khi đó phương trình có dạng:$t + frac{{2t}}{{{t^2} – 1}} – frac{{10}}{3} = 0$ $ Leftrightarrow 3{t^3} – 10{t^2} + 3t + 10 = 0.$$ Leftrightarrow (t – 2)left( {3{t^2} – 4t – 5}
ight) = 0$ $mathop Leftrightarrow limits^{left| t
ight| le sqrt 2 } t = frac{{2 – sqrt {19} }}{3}$ $ Leftrightarrow sin x + cos x = frac{{2 – sqrt {19} }}{3}.$$ Leftrightarrow sqrt 2 sin left( {x + frac{pi }{4}}
ight) = frac{{2 – sqrt {19} }}{3}$ $ Leftrightarrow sin left( {x + frac{pi }{4}}
ight) = frac{{2 – sqrt {19} }}{{3sqrt 2 }} = sin alpha .$$ Leftrightarrow left< {egin{array}{*{20}{l}}{x = – frac{pi }{4} + alpha + 2kpi }\{x = frac{{5pi }}{4} – alpha + 2kpi }end{array}} ight.$, $k in Z.$Vậy phương trình có hai họ nghiệm.

Bài 2: (ĐHNT – 1998): Giải phương trình:$sin x + {sin ^2}x + {sin ^3}x + {sin ^4}x$ $ = cos x + {cos ^2}x + {cos ^3}x + {cos ^4}x.$

Ta có:${sin ^3}x – {cos ^3}x$ $ = (sin x – cos x)left( {{{sin }^2}x + {{cos }^2}x + sin xcos x}
ight).$${sin ^4}x – {cos ^4}x$ $ = left( {{{sin }^2}x – {{cos }^2}x}
ight)left( {{{sin }^2}x + {{cos }^2}x}
ight)$ $ = – cos 2x.$Phương trình được viết lại dưới dạng:$sin x – cos x$ $ + {sin ^2}x – {cos ^2}x$ $ + {sin ^3}x – {cos ^3}x$ $ + {sin ^4}x – {cos ^4}x = 0.$$ Leftrightarrow sin x – cos x – cos 2x$ $ + (sin x – cos x)(1 + sin xcos x)$ $ – cos 2x = 0.$$ Leftrightarrow sin x – cos x – 2cos 2x$ $ + (sin x – cos x)(1 + sin xcos x) = 0.$$ Leftrightarrow (sin x – cos x)$$left< {1 + 2(sin x + cos x) + 1 + sin xcos x} ight> = 0.$$ Leftrightarrow left< {egin{array}{*{20}{l}}{sin x – cos x = 0:left( 1 ight)}\{2(sin x + cos x) + sin xcos x + 2 = 0:left( 2 ight)}end{array}} ight..$+ Giải $(1)$: Ta được $ an x = 1$ $ Leftrightarrow x = frac{pi }{4} + kpi $, $k in Z.$+ Giải $(2)$: Đặt $sin x + cos x = t$ điều kiện $left| t ight| le sqrt 2 $, suy ra $sin xcos x = frac{{{t^2} – 1}}{2}.$Khi đó $(2)$ có dạng:$2t + frac{{{t^2} – 1}}{2} + 2 = 0$ $ Leftrightarrow {t^2} + 4t + 3 = 0$ $ Leftrightarrow left< {egin{array}{*{20}{l}}{t = – 1}\{t = – 3:{ m{(loại)}}}end{array}} ight..$$ Leftrightarrow sin x + cos x = – 1$ $ Leftrightarrow left< {egin{array}{*{20}{l}}{x = – frac{pi }{2} + 2kpi }\{x = pi + 2kpi }end{array}} ight.$, $k in Z.$Vậy phương trình có ba họ nghiệm.

Bài 3: (ĐHSP TP HCM – ĐHL TP HCM): Tìm $m$ để phương trình: $2cos 2x$ $ + (sin xcos x – m)(sin x + cos x) = 0$ $(1)$ có nghiệm trong khoảng $left< {0,frac{pi }{2}} ight>.$

Biến đổi phương trình về dạng:$(sin x + cos x)left< {2(cos x – sin x) + sin xcos x – m} ight> = 0.$$ Leftrightarrow left< {egin{array}{*{20}{l}}{sin x + cos x = 0}\{2(cos x – sin x) + sin xcos x = m}end{array}} ight.$ $ Leftrightarrow left< {egin{array}{*{20}{l}}{x = – frac{pi }{4} + kpi }\{2(cos x – sin x) + sin xcos x = m}end{array}} ight..$$ Leftrightarrow 2(cos x – sin x) + sin xcos x – m = 0$ $(2).$Đặt $t = cos x – sin x$, vì $x in left< {0,frac{pi }{2}} ight>$ $ Leftrightarrow t in < – 1,1>.$Khi đó $sin xcos x = frac{{1 – {t^2}}}{2}$, phương trình $(2)$ có dạng:$ – frac{1}{2}{t^2} + 2t + frac{1}{2} = m$ $(3).$Vậy $(1)$ có nghiệm trong khoảng $left< {0,frac{pi }{2}} ight>$ $ Leftrightarrow (3)$ có nghiệm thuộc $< – 1,1>.$Xét hàm số $f(t) = – frac{1}{2}{t^2} + 2t + frac{1}{2}.$Miền xác định: $D = < – 1,1>.$Đạo hàm:$f”(t) = – t + 2.$$f(t) = 0$ $ Leftrightarrow t = 2.$Bảng biến thiên:

Vậy phương trình có nghiệm thuộc $< – 1,1>$ khi:$f( – 1) le m le f(1)$ $ Leftrightarrow – 2 le m le 2.$

Bài 4: Giải và biện luận phương trình:$frac{1}{{cos x}} – frac{1}{{sin x}} = k.$

Điều kiện: $left{ {egin{array}{*{20}{l}}{sin x
e 0}\{cos x
e 0}end{array}}
ight.$ $ Leftrightarrow x
e frac{{kpi }}{2}$, $k in Z.$Biến đổi phương trình về dạng:$frac{{sin x – cos x}}{{sin xcos x}} – k = 0$ $ Leftrightarrow sin x – cos x – ksin xcos x = 0$ $(1).$Đặt $sin x – cos x = t$, điều kiện $left| t
ight| le sqrt 2 $, suy ra $sin xcos x = frac{{1 – {t^2}}}{2}.$Khi đó phương trình có dạng:$t – k.frac{{1 – {t^2}}}{2} = 0$ $ Leftrightarrow f(t) = k{t^2} + 2t – k = 0$ $(2).$1. Với $k = 0$ ta được:$t = 0$ $ Leftrightarrow sin x + cos x = 0$ $ Leftrightarrow x = – frac{pi }{4} + kpi $, $k in Z.$Vậy với $k = 0$ phương trình có một họ nghiệm.2. Với $k
e 0$ ta có:$Delta = 1 + {k^2} > 0$, $forall k$ suy ra phương trình $(2)$ có hai nghiệm là:${t_1} = frac{{ – 1 – sqrt {1 + {k^2}} }}{k}.$${t_2} = frac{{ – 1 + sqrt {1 + {k^2}} }}{k}.$Phương trình $(1)$ có nghiệm $ Rightarrow (2)$ có nghiệm thoả mãn $ – sqrt 2 le t le sqrt 2 .$Xét hai trường hợp:+ Trường hợp 1: Phương trình $(2)$ có $1$ nghiệm thuộc $< – sqrt 2 ,sqrt 2 >.$$ Leftrightarrow f( – sqrt 2 )f(sqrt 2 ) le 0$ $ Leftrightarrow (k – 2sqrt 2 )(k + 2sqrt 2 ) le 0$ $ Leftrightarrow – 2sqrt 2 le k le 2sqrt 2 .$Khi đó nghiệm thuộc $< – sqrt 2 ,sqrt 2 >$ là ${t_2} = frac{{ – 1 + sqrt {1 + {k^2}} }}{k}.$$ Leftrightarrow sin x – cos x = frac{{ – 1 + sqrt {1 + {k^2}} }}{k}$ $ Leftrightarrow sin left( {x – frac{pi }{4}}
ight) = frac{{ – 1 + sqrt {1 + {k^2}} }}{{ksqrt 2 }} = sin alpha .$$ Leftrightarrow left< {egin{array}{*{20}{l}}{x – frac{pi }{4} = alpha + 2kpi }\{x – frac{pi }{4} = pi – alpha + 2kpi }end{array}} ight.$ $ Leftrightarrow left< {egin{array}{*{20}{l}}{x = alpha + frac{pi }{4} + 2kpi }\{x = frac{{5pi }}{4} – alpha + 2kpi }end{array}} ight.$, $k in Z.$Vậy phương trình có hai họ nghiệm.+ Trường hợp 2: Phương trình $(2)$ có $2$ nghiệm thuộc $< – sqrt 2 ,sqrt 2 >.$$ Leftrightarrow left{ {egin{array}{*{20}{l}}{Delta ge 0}\{af(sqrt 2 ) ge 0}\{af( – sqrt 2 ) ge 0}\{ – sqrt 2 le frac{S}{2} le sqrt 2 }end{array}}
ight.$ $ Leftrightarrow left{ {egin{array}{*{20}{l}}{1 + {k^2} ge 0}\{k(k + 2sqrt 2 ) ge 0}\{k(k – 2sqrt 2 ) ge 0}\{ – sqrt 2 le – frac{1}{k} le sqrt 2 }end{array}}
ight.$ $ Leftrightarrow left< {egin{array}{*{20}{l}}{k ge 2sqrt 2 }\{k le – 2sqrt 2 }end{array}} ight..$Khi đó:+ Với ${t_1} = frac{{ – 1 – sqrt {1 + {k^2}} }}{k}.$$ Leftrightarrow sin x – cos x = frac{{ – 1 – sqrt {1 + {k^2}} }}{k}$ $ Leftrightarrow sin left( {x – frac{pi }{4}} ight) = frac{{ – 1 – sqrt {1 + {k^2}} }}{{ksqrt 2 }} = sin alpha .$$ Leftrightarrow left< {egin{array}{*{20}{l}}{x – frac{pi }{4} = alpha + 2kpi }\{x – frac{pi }{4} = pi – alpha + 2kpi }end{array}} ight.$ $ Leftrightarrow left< {egin{array}{*{20}{l}}{x = alpha + frac{pi }{4} + 2kpi }\{x = frac{{5pi }}{4} – alpha + 2kpi }end{array}} ight.$, $k in Z.$+ Với ${t_2} = frac{{ – 1 + sqrt {1 + {k^2}} }}{k}.$$ Leftrightarrow sin x – cos x = frac{{ – 1 + sqrt {1 + {k^2}} }}{k}$ $ Leftrightarrow sin left( {x – frac{pi }{4}} ight) = frac{{ – 1 + sqrt {1 + {k^2}} }}{{ksqrt 2 }} = sin eta .$$ Leftrightarrow left< {egin{array}{*{20}{l}}{x – frac{pi }{4} = eta + 2kpi }\{x – frac{pi }{4} = pi – eta + 2kpi }end{array}} ight.$ $ Leftrightarrow left< {egin{array}{*{20}{l}}{x = eta + frac{pi }{4} + 2kpi }\{x = frac{{5pi }}{4} – eta + 2kpi }end{array}} ight.$, $k in Z.$Vậy phương trình có bốn họ nghiệm. Xem thêm: Trọn Bộ Công Thức Tính Diện Tích Tam Giác Nâng Cao Có Đáp Án

III. BÀI TẬP ĐỀ NGHỊBài tập 1. Giải các phương trình sau:a. $3(sin x + cos x) – 4sin xcos x = 0.$b. $12(sin x – cos x) – 2sin xcos x – 12 = 0.$c. $(1 + cos x)(1 + sin x) = 2.$

Bài tập 2. Giải các phương trình sau:a. $|sin x – cos x| + 4sin 2x = 1.$b. $|sin x + cos x| – sin 2x = 0.$

Bài tập 3. (ĐHQG Hà Nội Khối B – 1997): Giải phương trình:$2sqrt 2 sin left( {x + frac{pi }{4}}
ight) = frac{1}{{sin x}} + frac{1}{{cos x}}.$

Bài tập 4. Tìm $m$ để phương trình: $3(sin x + cos x) = 4msin xcos x$ có nghiệm thuộc $left( {0,frac{{3pi }}{4}}
ight).$

Bài tập 5. Cho phương trình: $(1 – cos x)(1 – sin x) = m.$a. Giải phương trình với $m = 2.$b. Tìm $m$ để phương trình có đúng $1$ nghiệm thuộc $left< {0,frac{pi }{2}} ight>.$

Bài tập 6. Cho phương trình: $2{sin ^3}x + cos 2x + cos x = m.$a. Giải phương trình với $m = 0.$b. Tìm $m$ để phương trình có nghiệm.

Bài tập 7. Cho phương trình: $m(sin x + cos x) + sin xcos x + 1 = 0.$a. Giải phương trình với $m = – sqrt 2 .$b. Tìm $m$ để phương trình có nghiệm.c. Tìm $m$ để phương trình có đúng $1$ nghiệm thuộc $left< { – frac{pi }{2},0} ight>.$

Bài tập 8. Cho phương trình:$m(sin x + cos x) + sin 2x = 0.$a. Giải phương trình với $m = 1.$b. Tìm $m$ để phương trình vô nghiệm.c. Tìm $m$ để phương trình có đúng $2$ nghiệm thuộc $<0,pi >.$

Bài tập 9. Giải và biện luận theo $k$ phương trình:$frac{1}{{cos x}} + frac{1}{{sin x}} = k.$

Bài tập 10. Cho phương trình:$m(sin x – cos x) + 2sin xcos x = m.$a. Giải phương trình với $m = 1 + sqrt 2 .$b. Tìm $m$ để phương trình có đúng $2$ nghiệm thuộc $<0,pi >.$

Bài tập 11. Cho phương trình:$m + {sin ^3}x + {cos ^3}x – 3sin xcos x = 0.$a. Giải phương trình với $m = 1.$b. Tìm $m$ để phương trình có đúng $3$ nghiệm thuộc $<0,pi >.$c. Tìm $m$ để phương trình có đúng $4$ nghiệm thuộc $<0,pi >.$

Bài tập 12. Xác định $m$ để phương trình: $sin x + cos x + 1$ $ + frac{1}{2}left( { an x + cot x + frac{1}{{sin x}} + frac{1}{{cos x}}}
ight) = m$ có nghiệm $x in left( {0,frac{pi }{2}}
ight).$

Bài tập 13. Tìm $m$ để phương trình sau có nghiệm:$sin 2x + 4(cos x – sin x) = m.$