Cách Giải Hệ Phương Trình Đối Xứng Loại 2 Nâng Cao, Cách Giải Hệ Phương Trình Đối Xứng Loại 2

Cách nhận biết, phương pháp giải hệ phương trình đối xứng loại 1, loại 2 có hai ẩn x, y qua các ví dụ và bài tập có lời giải.

Đang xem: Hệ phương trình đối xứng loại 2 nâng cao

Dựa vào lý thuyết đa thức đối xứng ta định nghĩa về PT đối xứng như sau:

Phương trình ẩn

gọi là đối xứng với ẩn nếu thay bởi

bởi thì phương trình không thay đổi.

– Khi đó phương trình luôn được biểu diễn dưới dạng:

………………………….

I. Hệ phương trình đối xứng loại 1

– Hệ phương trình đối xứng loại một là hệ mà trong đó gồm các phương trình đối xứng.

– Để giải được hệ phương trình đối xứng loại 1 ta phải dùng định lý Viét.

* Nếu đa thức

 có nghiệm trên  là

 thì:

(Định lý Viét tổng quát)

1. Định lý Viét cho phương trình bậc 2

Nếu phương trình bậc hai ax2 + bx + c = 0 có hai nghiệm x1, x2 thì:

Ngược lại, nếu 2 số x1, x2  có

 thì

 là nghiệm của phương trình

2. Định nghĩa

Hệ phương trình đối xứng loại 1 hai ẩn có dạng:

, trong đó

.

3. Cách giải hệ phương trình đối xứng loại 1 có 2 ẩn

Bước 1: Đặt điều kiện (nếu có).

Bước 2: Đặt S = x + y, P = xy với điều kiện của S, P và .

Bước 3: Thay  bởi  vào hệ phương trình. Giải hệ tìm  rồi dùng Viét đảo tìm .

Chú ý:

+ Cần nhớ:

+ Đôi khi ta phải đặt ẩn phụ  và 

+ Có những hệ phương trình trở thành đối xứng loại 1 sau khi đặt ẩn phụ.

4. Bài tập giải hệ PT đối xứng loại 1

– Loại 1: Giải hệ phương trình

Ví dụ 1. Giải hệ phương trình

.

GIẢI

Đặt

, điều kiện . Hệ phương trình trở thành:

Ví dụ 2. Giải hệ phương trình

.

GIẢI

Đặt

, điều kiện . Hệ phương trình trở thành:

Ví dụ 3. Giải hệ phương trình

.

GIẢI

Điều kiện

.

Hệ phương trình tương đương với: 

Đặt

 ta có:

Ví dụ 4. Giải hệ phương trình

.

GIẢI

Điều kiện . Đặt

, ta có:

 và

.

Thế vào (1), ta được: 

Suy ra: 

– Loại 2: Điều kiện tham số để hệ đối xứng loại (kiểu) 1 có nghiệm

Phương pháp giải chung:

+ Bước 1: Đặt điều kiện (nếu có).

+ Bước 2: Đặt

 với điều kiện của và (*)

+ Bước 3: Thay  bởi  vào hệ phương trình.

Xem thêm: Các Mẫu Văn Bản Hành Chính Trong Doanh Nghiệp Tại Việt Nam, Các Loại Văn Bản Hành Chính Trong Doanh Nghiệp

Giải hệ tìm  theo  rồi từ điều kiện (*) tìm .

Chú ý:

Khi ta đặt ẩn phụ  và

 thì nhớ tìm chính xác điều kiện của

.

Ví dụ 1 (trích đề thi ĐH khối D – 2004). Tìm điều kiện m để hệ phương trình sau có nghiệm thực:

GIẢI

Điều kiện  ta có:

Đặt

,

 Hệ phương trình trở thành:

.

Từ điều kiện

 ta có

.

Ví dụ 2. Tìm điều kiện  để hệ phương trình

 có nghiệm thực.

Giải

.

Đặt

 Hệ phương trình trở thành:

.

Suy ra

 và  là nghiệm của phương trình

.

Từ điều kiện ta suy ra hệ có nghiệm

.

Loại 3: Một số bài toán giải bằng cách đưa về hệ phương trình.

Ví dụ. Giải phương trình:

{x}+\sqrt<3>{1-x}\text{ }=\frac{3}{2}” title=”Rendered by QuickLaTeX.com” height=”36″ width=”143″ style=”vertical-align: -12px;”/>.

Giải

Đặt: 

{x}=u\\\sqrt<3>{1-x}=v\end{array} \right.” title=”Rendered by QuickLaTeX.com” height=”43″ width=”108″ style=”vertical-align: -17px;”/> . Vậy ta có hệ:

⇔ 

=1\end{array} \right.” title=”Rendered by QuickLaTeX.com” height=”55″ width=”239″ style=”vertical-align: -23px;”/>

⇔

u, v là hai nghiệm của phương trình: 

⇒ 

 ⇒ 

Vậy phương trình có hai nghiệm:

 =

.

II. Hệ phương trình đối xứng loại 2 có 2 ẩn

A. Định nghĩa

Hệ phương trình đối xứng loại 2 hai ẩn có dạng:

B. Cách giải hệ PT đối xứng loại 2 có 2 ẩn

Lấy (1) – (2) hoặc (2) – (1) ta được:

.

Khi đó  hoặc

+ Trường hợp 1:  kết hợp với phương trình hoặc suy ra được nghiệm.

+ Trường hợp 2:

 kết hợp với phương trình suy ra nghiệm (trong trường hợp này hệ phương trình mới trở về hệ đối xứng loại 1) và thông thường vô nghiệm.

Xem thêm: Giải Toán Bằng Cách Lập Hệ Phương Trình 9, Giải Bài Toán Bằng Cách Lập Hệ Phương Trình

C. Ví dụ giải hệ PT đối xứng loại 2 có lời giải

Ví dụ 1: Giải hệ phương trình

 (I)

GIẢI

Lấy (1) – (2) ta được: 

Trường hợp 1: (I)

⇔

.

Trường hợp 2: (I)

 (hệ này vô nghiệm)

Vậy hệ phương trình đã cho có tập nghiệm:

Ví dụ 2: Giải hệ phương trình 

{y-1}=1\\y+\sqrt<4>{x-1}=1\end{array} \right.” title=”Rendered by QuickLaTeX.com” height=”43″ width=”138″ style=”vertical-align: -17px;”/>

Giải

Đặt: 

{\text{x – 1}}\text{ = u }\ge \text{0; }\sqrt<\text{4}>{\text{y – 1}}\text{ = v}\ge \text{0}” title=”Rendered by QuickLaTeX.com” height=”22″ width=”257″ style=”vertical-align: -5px;”/>