Giải Và Biện Luận Bất Phương Trình Chứa Ẩn Ở Mẫu, Bất Phương Trình Chứa Ẩn Ở Mẫu

Phương pháp thực hiệnTa thực hiện theo các bước:Bước 1: Đặt điều kiện có nghĩa cho phương trình, khi đó ta có ĐKXĐ là tập D.Bước 2: Biến đổi phương trình về dạng bậc nhất hoặc bậc hai, rồi thực hiện giải nó.Bước 3: Kết luận.

Thí dụ 1. Tìm m để phương trình sau vô nghiệm: $frac{{x – m}}{{x – 1}}$ + $frac{{x – 2}}{{x + 1}}$ = 2. (1)
Điều kiện x ≠ ±1.Viết lại phương trình dưới dạng: (m + 2)x = 4 – m. (2)Ta xét hai trường hợp:Trường hợp 1: Nếu m + 2 = 0 m = -2 thì: (2) 0.x = 6, mâu thuẫn => phương trình vô nghiệm.Trường hợp 2: Nếu m – 2 ≠ 0 m ≠ 2 thì: (2) x = $frac{{4 – m}}{{m + 2}}$.Do đó (1) vô nghiệm $frac{{4 – m}}{{m + 2}} = 1,,ho{
m{{AE}c}},,frac{{4 – m}}{{m + 2}} = – 1$ m = 1.Vậy, với m = -2 hoặc m = 1 phương trình ban đầu vô nghiệm.* Chú ý: Trong lời giải trên chúng ta trình bày theo các bước của bài toán giải biện luận, tuy nhiên cũng có thể trình bày dưới dạng:Điều kiện x ≠ ±1.Viết lại phương trình dưới dạng: (m + 2)x = 4 – m. (2)Phương trình (1) vô nghiệm $left< egin{array}{l}left{ egin{array}{l}m + 2 = 0\4 - m e 0end{array} ight.\left{ egin{array}{l}m + 2 e 0\frac{{4 - m}}{{m + 2}} = 1,,, vee ,,,frac{{4 - m}}{{m + 2}} = - 1end{array} ight.end{array} ight.$ $left< egin{array}{l}m = - 2\m = 1end{array} ight.$.Tuy nhiên, cách trình bày kiểu này có thể khiến một vài em học sinh thấy phức tạp. Do vậy, nếu bài toán yêu cầu " Tìm điều kiện của tham số để phương trình có nghiệm ( hoặc vô nghiệm ) " tốt nhất các em hãy trình bày theo các bước của bài toán giải biện luận.Thí dụ 2. Tìm m để phương trình sau có nghiệm duy nhất: $frac{{x + 1}}{{x – 1}}$ = $frac{{x + 2}}{{x – m}}$. (1)
Tập xác định D = $mathbb{R}${1, m}.Viết lại phương trình dưới dạng: mx = 2 – m. (2)Do đó (1) có nghiệm duy nhất: $left{ egin{array}{l}m
e 0\x
e 1\x
e mend{array}
ight.$ $left{ egin{array}{l}m
e 0\frac{{2 – m}}{m}
e 1\frac{{2 – m}}{m}
e mend{array}
ight.$ $left{ egin{array}{l}m
e 0\m
e 1\{m^2} + m – 2
e 0end{array}
ight.$ m{-2, 0, 1}.Vậy, với m = $mathbb{R}${-2, 0, 1} phương trình (1) có nghiệm duy nhất.Thí dụ 3. Cho phương trình:$frac{a}{{x – b}}$ + $frac{b}{{x – a}}$ = 2. (1)a. Tìm a, b để phương trình có hai nghiệm phân biệt.b. Tìm a, b để phương trình có nghiệm.

Điều kiện: $left{ egin{array}{l}x – a
e 0\x – b
e 0end{array}
ight.$ $left{ egin{array}{l}x
e a\x
e bend{array}
ight.$. (*)Biến đổi phương trình về dạng:a(x – a) + b(x – b) = 2(x – a)(x – b) f(x) = 2x$^2$ – 3(a + b)x + a$^2$ + 2ab + b$^2$ = 0 (2)Ta có Δ = 9(a + b)$^2$ – 8(a$^2$ + 2ab + b$^2$) = (a + b)$^2$ ≥ 0, ∀a, b.a. Để phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt điều kiện là:$left{ egin{array}{l}Delta > 0\f(a)
e 0\f(b)
e 0end{array}
ight.$ $left{ egin{array}{l}{(a + b)^2} > 0\{b^2} – ab
e 0\{a^2} – ab
e 0end{array}
ight.$ a ≠ 0, b ≠ 0 và a ≠ ±b.Vậy, với a ≠ 0, b ≠ 0 và a ≠ ±b. phương trình có hai nghiệm phân biệt.b. Đáp số: Với mọi a, b không đồng thời bằng không.Thí dụ 4. Giải và biện luận các phương trình: x + $frac{1}{x}$ = $frac{{a – b}}{{a + b}}$ + $frac{{a + b}}{{a – b}}$.
Điều kiện: $left{ egin{array}{l}x
e 0\a + b
e 0\a – b
e 0end{array}
ight.$ $left{ egin{array}{l}x
e 0\a
e pm bend{array}
ight.$.Viết lại phương trình dưới dạng: (a$^2$-b$^2$)x$^2$-2(a$^2$ + b$^2$)x + a$^2$-b$^2$ = 0.(1)Vì a ≠ ±b a$^2$-b$^2$ ≠ 0, ta đi tính biệt thức Δ” = 4a$^2$b$^2$ ≥ 0.Trường hợp 1: Nếu Δ” = 0 4a$^2$b$^2$ = 0 $left< egin{array}{l}a = 0,,& ,,b e 0\a e 0,,& ,,b = 0end{array} ight.$.• Với a = 0 và b ≠ 0, phương trình (1) có nghiệm kép x$_0$ = -1.• Với a ≠ 0 và b = 0, phương trình (1) có nghiệm kép x$_0$ = 1.Trường hợp 2: Nếu Δ” > 0 4a$^2$b$^2$ > 0 a ≠ 0 và b ≠ 0.

Xem thêm: Mẫu Hoa Văn Cắt Cnc, Vách Ngăn Cnc Miễn Phí Đẹp Nhất &Ndash; Cnc3Ds

Phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt x1 = $frac{{a – b}}{{a + b}}$ và x2 = $frac{{a + b}}{{a – b}}$.Kết luận: Với a = ±b, phương trình vô nghiệm. Với a = 0 và b ≠ 0, phương trình có nghiệm kép x$_0$ = -1. Với a ≠ 0 và b = 0, phương trình có nghiệm kép x$_0$ = 1. Với a ≠ 0 và b ≠ 0 và a ≠ ±b, phương trình có 2 nghiệm phân biệt: x1 = $frac{{a – b}}{{a + b}}$ và x2 = $frac{{a + b}}{{a – b}}$.