MỘT SỐ PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC THƯỜNG GẶP
trong đó
là các hằng số
và
là một hàm số lượng giác.
Đang xem: Công thức phương trình lượng giác thường gặp
Cách giải:Chuyển vế rồi chia hai vế của phương trình cho
, đưa về phương trình lượng giác cơ bản.
Ví dụ 1:Gọi
là tập nghiệm của phương trình
. Khẳng định nào sau đây là đúng?
A.
. B.
. C.
. D.
.
Lời giải:
Ta có
.
Ta thấy với họ nghiệm
, thay
ta được
.
Chọn B.
Ví dụ 2:Số vị trí điểm biểu diễn các nghiệm của phương trình
trên đường tròn lượng giác là?
A. 4. B. 3. C. 2. D. 1.
Lời giải:
Ta có
.
Do đó có 4 điểm biểu diễn nghiệm của phương trình đã cho trên đường tròn lượng giác là
.
Chọn A.
Ví dụ 3:Phương trình
có nghiệm là
A.
. B.
.
C.
. D.
.
Lời giải:
.
Chọn A.
Ví dụ 4:Nghiệm của phương trình
là
A.
.B.
.C.
.D.
.
Lời giải:
Chọn B.
Ví dụ 5:Giải phương trình
.
A.
. B.
.
C.
. D.
.
Lời giải:
Ta có:
\+2left< {{({{sin }^{2}}x+{{cos }^{2}}x)}^{2}}-2{{sin }^{2}}x{{cos }^{2}}x ight>end{array}” />
Chọn C.
Ví dụ 6:Phương trình
có nghiệm là
A.
. B.
. C.
. D.
.
Lời giải:
Điều kiện:
Phương trình tương đương:
.
Kết hợp với điều kiện ta được nghiệm
.
Chọn B.
và
Định nghĩa:Phương trình bậc nhất đối với
và
là phương trình có dạng:
Cách giải:Điều kiện để phương trình có nghiệm:
.
Chia hai vế của phương trình cho
ta được:
Do
nên đặt
.
Khi đó phương trình trở thành:
.
Ví dụ 1:Cho phương trình
. Tìm tất cả các giá trị thực của
để phương trình có nghiệm.
A.
. B.
. C.
. D.
.
Lời giải:
có nghĩa
(1)
Phương trình có nghiệm
(2)
Từ (1), (2) suy ra không có giá trị nào của
để phương trình có nghiệm.
Ví dụ 2:Nghiệm của phương trình
là
A.
. B.
.
C.
. D.
.
Lời giải:
Chọn D.
Ví dụ 3:Phương trình nào sau đây vô nghiệm:
A.
. B.
.
C.
. D.
.
Lời giải:
Dựa vào điều kiện có nghiệm của phương trình
là
.
Chọn A.
Ví dụ 4:Số nghiệm của phương trình
trên khoảng
là
A. 0. B. 1. C. 2. D. 3.
Lời giải:
Trên khoảng
phương trình có một nghiệm là
.
Chọn B.
Ví dụ 5:Giải phương trình
.
A.
. B.
.
C.
. D.
.
Lời giải:
Điều kiện:
.
Phương trình
” />
Kết hợp với điều kiện ta được nghiệm
.
Chọn B.
Ví dụ 6:Giải phương trình
.
A.
Xem thêm: Giáo Trình Văn Học Phương Tây 2, Giáo Trình Văn Học Phương Tây I
.B.
.
C.
.D.
.
Lời giải:
Phương trình
+sqrt{3}sin 4x=2″ />
Chọn D.
Định nghĩa:Phương trình bậc hai đối với một hàm số lượng giác là phương trình có dạng:
trong đó
là các hằng số
và
là một hàm số lượng giác.
Cách giải:Đặt biểu thức lượng giác làm ẩn phụ và đặt điều kiện cho ẩn phụ (nếu có) rồi giải phương trình bậc hai theo ẩn phụ này. Cuối cùng đưa về giải các phương trình lượng giác cơ bản.
Ví dụ 1:Nghiệm của phương trình
thuộc khoảng
là?
A.
. B.
. C.
. D.
.
Lời giải:
Đặt
, phương trình trở thành:
.
Với
ta có:
.
Do
ta có:
.
Do
có nghiệm là
A.
. B.
.
C.
. D.
.
Lời giải:
Điều kiện:
(*)
Phương trình
(thỏa mãn điều kiện (*))
Chọn D.
Ví dụ 3:Phương trình
có nghiệm là
A.
. B.
. C.
. D.
.
Lời giải:
Phương trình
.
Chọn C.
Ví dụ 4:Tìm tất cả các giá trị thực của tham số
để phương trình
có nghiệm trên khoảng
?
A.
.B.
Phương trình
.
Nhận thấy phương trình
không có nghiệm trên khoảng
. Do đó phương trình đã cho có nghiệm thuộc khoảng
khi và chỉ khi phương trình
có nghiệm thuộc
và
Định nghĩa:Phương trình bậc hai đối với
và
là phương trình có dạng:
Cách giải:
+ Kiểm tra xem
có là nghiệm của phương trình không.
+ Khi
, chia hai vế của phương trình cho
ta thu được phương trình:
Đây là phương trình bậc hai đối với
mà ta đã biết cách giải.
Chú ý:
+ Phương trình dạng
ta làm như sau:
+ Đối với phương trình đẳng cấp bậc ba:
thì cách giải cũng hoàn toàn tương tự như trên.
Ví dụ 1:Cho phương trình
. Mệnh đề nào sau đây là sai?
A.
không là nghiệm của phương trình.
B. Nếu chia hai vế của phương trình cho
thì ta được phương trình
.
C. Nếu chia 2 vế của phương trình cho
thì ta được phương trình
.
D. Phương trình đã cho tương đương với
.
Lời giải:
Với
.Thay vào phương trình ta thấy thỏa mãn. Vậy A đúng.
Chia cả hai vế của phương trình cho
ta được:
Vậy B đúng.
Chia cả hai vế của phương trình cho
ta được:
Vậy C sai.
Phương trình
.
Vậy D đúng.
Chọn C.
Ví dụ 2:Phương trình
tương đương với phương trình nào sau đây?
A.
. B.
. C.
. D.
.
Lời giải:
Xét
, thay vào phương trình ta được:
(vô lí).
Do đó
không là nghiệm của phương trình.
Với
, chia cả hai vế của phương trình cho
ta được:
Chọn D.
Ví dụ 3:Số nghiệm của phương trình
trên khoảng
là
A. 2. B. 4. C. 6. D. 8.
Lời giải:
Xét
, thay vào phương trình ta được:
(vô lí). Do đó
không là nghiệm của phương trình.Xét
, chia cả hai vế của phương trình cho
ta được:
+ Với
:
Vì
:
Vì
để phương trình sau có nghiệm:
A. 2. B. 1. C. 0. D. Vô số.
Lời giải:
Xét
, thay vào phương trình ta được:
. Phương trình có nghiệm khi và chỉ khi
.Xét
, chia cả hai vế của phương trình cho
ta được:
Nếu
ta có:
(vô lí).Nếu
, phương trình (*) có nghiệm
thì phương trình đã cho có nghiệm. Do đó có 2 giá trị nguyên của
thỏa mãn yêu cầu bài.
Cách 2:
Phương trình
Phương trình có nghiệm
Chọn A.
và
Định nghĩa:Là phương trình có dạng:
Cách giải:Đặt
(điều kiện
). Biểu diễn
theo
ta được phương trình cơ bản.
Ví dụ 1:Cho
thỏa mãn phương trình
. Tính
.
A.
hoặc
.
B.
hoặc
.
C.
hoặc
.
D.
.
Lời giải:
Đặt
.
Ta có
Phương trình trở thành:
.
Với
, ta được
.
Với
, ta được
.
Chọn B.
Ví dụ 2:Phương trình
có nghiệm là
A.
. B.
.
C.
. D.
.
Lời giải:
Phương trình
.
Đặt
” />.
Xem thêm: Các Mẫu Nhà 2 Tầng Diện Tích 6X13M Kinh Phí 600 Triệu, Mẫu Biệt Thự 2 Tầng Đẹp Hiện Đại
.
Phương trình trở thành:
Với
ta có: