Bảng Công Thức Phương Trình Lượng Giác Thường Gặp, Phương Trình Lượng Giác Thường Gặp

MỘT SỐ PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC THƯỜNG GẶP

I. Phương trình bậc nhất đối với một hàm số lượng giác

A. Phương pháp

trong đó

là các hằng số

và

là một hàm số lượng giác.

Đang xem: Công thức phương trình lượng giác thường gặp

Cách giải:Chuyển vế rồi chia hai vế của phương trình cho

, đưa về phương trình lượng giác cơ bản.

B. Bài tập ví dụ

Ví dụ 1:Gọi

là tập nghiệm của phương trình

. Khẳng định nào sau đây là đúng?

A.

. B.

. C.

. D.

.

Lời giải:

Ta có

.

Ta thấy với họ nghiệm

, thay

ta được

.

Chọn B.

Ví dụ 2:Số vị trí điểm biểu diễn các nghiệm của phương trình

trên đường tròn lượng giác là?

A. 4. B. 3. C. 2. D. 1.

Lời giải:

Ta có

.

Do đó có 4 điểm biểu diễn nghiệm của phương trình đã cho trên đường tròn lượng giác là

.

Chọn A.

Ví dụ 3:Phương trình

có nghiệm là

A.

. B.

.

C.

. D.

.

Lời giải:

.

Chọn A.

Ví dụ 4:Nghiệm của phương trình

là

A.

.B.

.C.

.D.

.

Lời giải:

Chọn B.

Ví dụ 5:Giải phương trình

.

A.

. B.

.

C.

. D.

.

Lời giải:

Ta có:

\+2left< {{({{sin }^{2}}x+{{cos }^{2}}x)}^{2}}-2{{sin }^{2}}x{{cos }^{2}}x ight>end{array}” />

Chọn C.

Ví dụ 6:Phương trình

có nghiệm là

A.

. B.

. C.

. D.

.

Lời giải:

Điều kiện:

Phương trình tương đương:

.

Kết hợp với điều kiện ta được nghiệm

.

Chọn B.

II. Phương trình bậc nhất đối với

và

A. Phương pháp

Định nghĩa:Phương trình bậc nhất đối với

và

là phương trình có dạng:

Cách giải:Điều kiện để phương trình có nghiệm:

.

Chia hai vế của phương trình cho

ta được:

Do

nên đặt

.

Khi đó phương trình trở thành:

.

B. Bài tập ví dụ

Ví dụ 1:Cho phương trình

. Tìm tất cả các giá trị thực của

để phương trình có nghiệm.

A.

. B.

. C.

. D.

.

Lời giải:

có nghĩa

(1)

Phương trình có nghiệm

(2)

Từ (1), (2) suy ra không có giá trị nào của

để phương trình có nghiệm.

Ví dụ 2:Nghiệm của phương trình

là

A.

. B.

.

C.

. D.

.

Lời giải:

Chọn D.

Ví dụ 3:Phương trình nào sau đây vô nghiệm:

A.

. B.

.

C.

. D.

.

Lời giải:

Dựa vào điều kiện có nghiệm của phương trình

là

.

Chọn A.

Ví dụ 4:Số nghiệm của phương trình

trên khoảng

là

A. 0. B. 1. C. 2. D. 3.

Lời giải:

Trên khoảng

phương trình có một nghiệm là

.

Chọn B.

Ví dụ 5:Giải phương trình

.

A.

. B.

.

C.

. D.

.

Lời giải:

Điều kiện:

.

Phương trình

” />

Kết hợp với điều kiện ta được nghiệm

.

Chọn B.

Ví dụ 6:Giải phương trình

.

A.

Xem thêm: Giáo Trình Văn Học Phương Tây 2, Giáo Trình Văn Học Phương Tây I

.B.

.

C.

.D.

.

Lời giải:

Phương trình

+sqrt{3}sin 4x=2″ />

Chọn D.

III. Phương trình bậc hai đối với một hàm số lượng giác

A. Phương pháp

Định nghĩa:Phương trình bậc hai đối với một hàm số lượng giác là phương trình có dạng:

trong đó

là các hằng số

và

là một hàm số lượng giác.

Cách giải:Đặt biểu thức lượng giác làm ẩn phụ và đặt điều kiện cho ẩn phụ (nếu có) rồi giải phương trình bậc hai theo ẩn phụ này. Cuối cùng đưa về giải các phương trình lượng giác cơ bản.

B. Bài tập ví dụ

Ví dụ 1:Nghiệm của phương trình

thuộc khoảng

là?

A.

. B.

. C.

. D.

.

Lời giải:

Đặt

, phương trình trở thành:

.

Với

ta có:

.

Do

ta có:

.

Do

có nghiệm là

A.

. B.

.

C.

. D.

.

Lời giải:

Điều kiện:

(*)

Phương trình

(thỏa mãn điều kiện (*))

Chọn D.

Ví dụ 3:Phương trình

có nghiệm là

A.

. B.

. C.

. D.

.

Lời giải:

Phương trình

.

Chọn C.

Ví dụ 4:Tìm tất cả các giá trị thực của tham số

để phương trình

có nghiệm trên khoảng

?

A.

.B.

Phương trình

.

Nhận thấy phương trình

không có nghiệm trên khoảng

. Do đó phương trình đã cho có nghiệm thuộc khoảng

khi và chỉ khi phương trình

có nghiệm thuộc

và

A. Phương pháp

Định nghĩa:Phương trình bậc hai đối với

và

là phương trình có dạng:

Cách giải:
+ Kiểm tra xem

có là nghiệm của phương trình không.
+ Khi

, chia hai vế của phương trình cho

ta thu được phương trình:

Đây là phương trình bậc hai đối với

mà ta đã biết cách giải.

Chú ý:
+ Phương trình dạng

ta làm như sau:
+ Đối với phương trình đẳng cấp bậc ba:

thì cách giải cũng hoàn toàn tương tự như trên.

B. Bài tập ví dụ

Ví dụ 1:Cho phương trình

. Mệnh đề nào sau đây là sai?

A.

không là nghiệm của phương trình.

B. Nếu chia hai vế của phương trình cho

thì ta được phương trình

.

C. Nếu chia 2 vế của phương trình cho

thì ta được phương trình

.

D. Phương trình đã cho tương đương với

.

Lời giải:

Với

.Thay vào phương trình ta thấy thỏa mãn. Vậy A đúng.
Chia cả hai vế của phương trình cho

ta được:

Vậy B đúng.

Chia cả hai vế của phương trình cho

ta được:

Vậy C sai.

Phương trình

.

Vậy D đúng.

Chọn C.

Ví dụ 2:Phương trình

tương đương với phương trình nào sau đây?

A.

. B.

. C.

. D.

.

Lời giải:

Xét

, thay vào phương trình ta được:

(vô lí).

Do đó

không là nghiệm của phương trình.

Với

, chia cả hai vế của phương trình cho

ta được:

Chọn D.

Ví dụ 3:Số nghiệm của phương trình

trên khoảng

là

A. 2. B. 4. C. 6. D. 8.

Lời giải:

Xét

, thay vào phương trình ta được:

(vô lí). Do đó

không là nghiệm của phương trình.Xét

, chia cả hai vế của phương trình cho

ta được:

+ Với

:

Vì

:

Vì

để phương trình sau có nghiệm:

A. 2. B. 1. C. 0. D. Vô số.

Lời giải:

Xét

, thay vào phương trình ta được:

. Phương trình có nghiệm khi và chỉ khi

.Xét

, chia cả hai vế của phương trình cho

ta được:

Nếu

ta có:

(vô lí).Nếu

, phương trình (*) có nghiệm

thì phương trình đã cho có nghiệm. Do đó có 2 giá trị nguyên của

thỏa mãn yêu cầu bài.

Cách 2:

Phương trình

Phương trình có nghiệm

Chọn A.

V. Phương trình chứa

và

A. Phương pháp

Định nghĩa:Là phương trình có dạng:

Cách giải:Đặt

(điều kiện

). Biểu diễn

theo

ta được phương trình cơ bản.

B. Bài tập ví dụ

Ví dụ 1:Cho

thỏa mãn phương trình

. Tính

.

A.

hoặc

.

B.

hoặc

.

C.

hoặc

.

D.

.

Lời giải:

Đặt

.

Ta có

Phương trình trở thành:

.

Với

, ta được

.

Với

, ta được

.

Chọn B.

Ví dụ 2:Phương trình

có nghiệm là

A.

. B.

.

C.

. D.

.

Lời giải:

Phương trình

.

Đặt

” />.

Xem thêm: Các Mẫu Nhà 2 Tầng Diện Tích 6X13M Kinh Phí 600 Triệu, Mẫu Biệt Thự 2 Tầng Đẹp Hiện Đại

.

Phương trình trở thành:

Với

ta có: