Tùy từng bài tập mà các em áp dụng một hay nhiều phương pháp để giải bài toán phương trình nghiệm nguyên.
Đang xem: Phương trình nghiệm nguyên dạng mũ
y2 – 2×2 = 1
Hướng dẫn:
Ta có y2 – 2×2 = 1 ⇒ y2 = 2×2 +1 ⇒ y là số lẻ
Đặt y = 2k + 1 (với k nguyên).Ta có (2k + 1)2 = 2×2 + 1
⇔ x2 = 2 k2 + 2k ⇒ x chẵn , mà x nguyên tố ⇒ x = 2, y = 3
Ví dụ 2: Tìm nghiệm nguyên dương của phương trình
(2x + 5y + 1)(2|x| + y + x2 + x) = 105
Hướng dẫn:
Ta có: (2x + 5y + 1)(2|x| + y + x2 + x) = 105
Ta thấy 105 lẻ ⇒ 2x + 5y + 1 lẻ ⇒ 5y chẵn ⇒ y chẵn
2|x| + y + x2 + x = 2|x| + y + x(x+ 1) lẻ
có x(x+ 1) chẵn, y chẵn ⇒ 2|x| lẻ ⇒ 2|x| = 1 ⇒ x = 0
Thay x = 0 vào phương trình ta được
(5y + 1) ( y + 1) = 105 ⇔ 5y2 + 6y – 104 = 0
⇒ y = 4 hoặc y = $ displaystyle -frac{26}{5}$ ( loại)
Thử lại ta có x = 0; y = 4 là nghiệm của phương trình
Xem thêm: Khai Giảng Khóa Học Đấu Thầu Cơ Bản, Lịch Khai Giảng Các Khóa Đào Tạo Đấu Thầu
Xem thêm: khóa học revit mep nâng cao
Phương pháp 2 : Phương pháp phân tích
Thực chất là biến đổi phương trình về dạng:
g1 (x1, x2,…., xn) h (x1, x2,…., xn) = a
Ví dụ 3: Tìm nghiệm nguyên của phương trình
x4 + 4×3+ 6×2+ 4x = y2
Hướng dẫn: Ta có: x4 + 4×3+ 6×2+ 4x = y2 ⇔ x4 +4×3+6×2+4x +1- y2=1
⇔ (x+1)4 – y2 = 1 ⇔ <(x+1)2 –y> <(x+1)2+y>= 1
⇔ $ displaystyle left{ egin{array}{l}(x+1)_{{}}^{2}-y=1\(x+1)_{{}}^{2}+y=1end{array}
ight.$ hoặc $ displaystyle left{ egin{array}{l}(x+1)_{{}}^{2}-y=-1\(x+1)_{{}}^{2}+y=-1end{array}
ight.$
$ displaystyle left< egin{array}{l}1+y=1-y\-1+y=-1-yend{array} ight.$
⇒ y = 0 ⇒ (x+1)2 = 1 ⇔ x+1 = ±1 ⇒ x = 0 hoặc x = -2
Vậy ( x, y ) = ( 0, 0 ); ( – 2, 0 )
Sử dụng đối với 1 số bài toán vai trò của các ẩn bình đẳng như nhau:
Ví dụ 4: Tìm nghiệm nguyên dương của phương trình:
5 ( x + y + z + t ) + 10 = 2 xyzt
Hướng dẫn:
Ta giả sử x ≥ y ≥ z ≥ t ≥ 1
Ta có: 5 ( x + y + z + t ) + 10 = 2 xyzt
⇒ (x- n) (x+ n) = 4 ⇒ x – n = x + n = ± 2 ⇒ x = ± 2
Vậy phương trình có nghiệm nguyên
(x, y) = (2; -5); (-2, 3)
Ví dụ 15: Tìm nghiệm nguyên của phương trình
x2 – (y+5)x + 5y + 2 = 0
Hướng dẫn:
Ta có x2 – (y+5)x + 5y + 2 = 0 coi y là tham số ta có phương trình bậc 2 ẩn x. Giả sử phương trình bậc 2 có 2 nghiệm x1, x2
Ta có: $ displaystyle left{ egin{array}{l}{{x}_{1}}+{{x}_{2}}=y+5\{{x}_{1}}{{x}_{2}}=5y+2end{array}
ight.$
⇒ $ displaystyle left{ egin{array}{l}5{{x}_{1}}+5{{x}_{2}}=5y+25\{{x}_{1}}{{x}_{2}}=5y+2end{array}
ight.$
⇒ 5 x1 + 5×2 – x1x2 = 23
⇔ (x1 -5) (x2 -5) = 2 Mà 2 = 1.2 = (-1)(-2)
⇒ x1 + x2 = 13 hoặc x1 + x2 = 7 ⇒ y = 8 hoặc y = 2
thay vào phương trình ta tìm được các cặp số
(x,y ) = (7, 8); (6, 8); (4, 2); (3, 2); là nghiệm của phương trình
Ví dụ 16: Tìm nghiệm nguyên của phương trình
x2 –xy + y2 = 3
Hướng dẫn:
Ta có x2 –xy + y2 = 3 ⇔ (x- $ displaystyle frac{y}{2}$)2 = 3 – $ displaystyle frac{3y_{{}}^{2}}{4}$
Ta thấy (x- $ displaystyle frac{y}{2}$)2 = 3 – $ displaystyle frac{3y_{{}}^{2}}{4}$ ≥ 0