Phương Trình Bậc Nhất Đối Với Một Hàm Số Lượng Giác, Phương Trình Bậc Nhất Đối Với Hàm Số Lượng Giác

PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC cơ bản và PHƯƠNG TRÌNH bậc NHẤT với một hàm số LƯỢNG GIÁC đặng việt đông file word

Đang xem: Phương trình bậc nhất đối với một hàm số lượng giác

PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC cơ bản và PHƯƠNG TRÌNH bậc NHẤT với một hàm số LƯỢNG GIÁC đặng việt đông file word 61 324 6
PHƯƠNG TRÌNH bậc HAI và QUY về bậc HAI với một hàm số LƯỢNG GIÁC – đặng việt đông file word 58 196 2
Vận dụng định lí vi ét giải một số dạng toán về so sánh nghiệm của phương trình bậc hai với một số thực
Vận dụng định lí vi ét giải một số dạng toán về so sánh nghiệm của phương trình bậc hai với một số thực 26 89 0

Xem thêm: Review Khóa Học Nghiệp Vụ Xuất Nhập Khẩu Đại Học Ngoại Thương Tphcm

Vận dụng định lí vi ét giải một số dạng toán về so sánh nghiệm của phương trình bậc hai với một số thực
Vận dụng định lí vi ét giải một số dạng toán về so sánh nghiệm của phương trình bậc hai với một số thực 26 111 0
SKKN vận dụng định lí vi ét giải một số dạng toán về so sánh nghiệm của phương trình bậc hai với một số thực
SKKN vận dụng định lí vi ét giải một số dạng toán về so sánh nghiệm của phương trình bậc hai với một số thực 26 74 0

Xem thêm: 10 Tỉnh, Thành Có Diện Tích Các Tỉnh Thành Việt Nam, Tỉnh Thành Việt Nam

PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI THEO MỘT HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC DẠNG: o asin2 u + bsinu + c = 0( a ≠ 0) Đặt t = sin u ,điều kiện −1 ≤ t ≤ o acos2 u + bcosu + c = 0( a ≠ 0) Đặt t = cosu ,điều kiện −1 ≤ t ≤ o atan2 u + btanu + c = 0( a = 0) Đặt t = tanu , điều kiện cosu ≠ o acot2 u + bcotu + c = 0( a ≠ 0) Đặt t = cotu ,điều kiện sinu ≠ Câu 1: Giải phương trình lượng giác sau: 1) 2cos2 x − 3cosx + = 2) 4sin2 x + 4sin x − = 4) tan x + 3) sin2 2x − 13sin2x + = ( ) 5) 4cos x − 1+ cosx + = ( ) − tanx − = 6) cot2 x + 4cotx + = 7) cos2x − 3sinx − = 8) sin2 x − cosx + = LỜI GIẢI 1) 2cos x − 3cosx + = (1) Đặt cosx = t,t ∈ <−1;1> Phương trình (1) trở thành: 2t2 − 3t + = ⇔ t = 1∨ t = So với điều kiện nhận hai nghiệm Với t = ⇔ cosx = ⇔ x = k2π,(k ∈ ¢ )  π  x = + k2π 1 π ,(k ∈ ¢ ) Với t = ⇔ cosx = ⇔ cosx = cos ⇔  2  x = − π + k2π  π π Kết luận nghiệm phương trình: x = k2π , x = + k2π , x = − + k2π 3 ,(k ∈ ¢ ) 2) 4sin2 x + 4sin x − = (1) Đặt sin x = t,t ∈ <−1;1> Phương trình (1) trở ∨ t = − So với điều kiện nhận t = ⇒ 2 π π 5π ⇔ sin x = sin ⇔ x = + k2π ∨ x = + k2π,( k ∈ ¢ ) sinx = 6 π 5π + k2π,( k ∈ ¢ ) Kết luận nghiệm phương trình: x = + k2π,x = 6 3) sin2 2x − 13sin2x + = (1) Đặt sin2x = t,t ∈ <−1;1> Phương trình (1) trở thành: 4t2 + 4t − = ⇔ t = 13+ 149 13 − 149 So với điều kiện nhận ∨t= 2 13 − 149 13 − 149 , suy : sin2x = t= 2 thành: t2 − 13t + = ⇔ t =  13− 149 arcsin   13− 149 x = + k2π + kπ  2x = arcsin 2  ⇔ ⇔   13− 149 13− 149  π − arcsin + k2π  2x = π − arcsin  x = + kπ  13− 149 = sin α , suy sin2x = sin α  α  x = + kπ  2x = α + k2π ⇔ ⇔ ,( k ∈ ¢ )  x = π − α + kπ  2x = π − α + k2π  2 Hoặc đặt Vậy nghiệm phương trình: 13− 149 13− 149 arcsin π − arcsin 2 x= + kπ ,x = + kπ ,( k ∈ ¢ ) 2  π  4) tan x + − tanx − = (1) Đặt tan x = t, x ≠ + kπ ÷   ( ) Phương trình (1) trở thành: t + ( ) − t − = ⇔ t = 1∨ t = − π π Với t = ⇔ tanx = ⇔ tanx = tan ⇔ x = + kπ,(k ∈ ¢ ) 4  π π Với t = − ⇔ tanx = tan  − ÷ ⇔ x = − + kπ ,(k ∈ ¢ )  3 So với điều kiện nhận hai nghiệm π π Vậy nghiệm phương trình: x = + kπ , x = − + kπ,(k ∈ ¢ ) ( ) 5) 4cos x − 1+ cosx + = (1) ( ) Đặt cosx = t,t ∈ <−1;1> Phương trình (1) trở thành: 4t − 1+ t + = So với điều kiện hai nghiệm đều nhận ∨t= 2  π  x = + k2π 1 π ,( k ∈ ¢ ) Với t = ⇔ cosx = ⇔ cosx = cos ⇔  2  x = − π + k2π   π  x = + k2π 3 π ⇔ cosx = ⇔ cosx = cos ⇔  ,( k ∈ ¢ ) Với t = 2  x = − π + k2π  ⇔ t= Vậy nghiệm phương trình: x= π π π π + k2π,x = − + k2π x = + k2π,x = − + k2π,( k ∈ ¢ ) 3 6 6) cot2 x + 4cotx + = Đặt cotx = t,( x ≠ kπ ) Phương trình (1) trở thành: t2 + 4t + = ⇔ t = −1∨ t = −3  π π Với t = −1 ⇔ cotx = −1 ⇔ cotx = cot  − ÷ ⇔ x = − + kπ ,( k ∈ ¢ )  4 Với t = −3 ⇔ cotx = −3 ⇔ cotx = arccot ( −3) ⇔ x = arccot ( −3) + kπ,( k ∈ ¢ ) π Vậy nghiệm phương trình: x = − + kπ , x = arccot ( −3) + kπ,( k ∈ ¢ ) 7) cos2x − 3sinx − = ⇔ 1− 2sin2 x − 3sin x − = ⇔ 2sin2 x + 3sinx + = (1) Đặt sinx = t,t ∈ <−1;1> Phương trình (1) trở thành: 2t2 + 3t + = ⇔ t = −1∨ t = − So với điều kiện hai nghiệm đều nhận π Với t = −1 ⇔ sinx = −1 ⇔ x = − + k2π,( k ∈ ¢ )  π  x = − + k2π ,( k ∈ ¢ ) 1  π Với t = − ⇔ sinx = − ⇔ sinx = sin  − ÷ ⇔  2  6  x = 7π + k2π, k ∈ ¢ ( )  π Vậy nghiệm phương trình: x = − + k2π , π 7π x = − + k2π,x = + k2π,( k ∈ ¢ ) 6 8) sin2 x − cosx + = (1) (1) ⇔ 1− cos2 x − cosx + = ⇔ cos2 x + cosx − = (1″) Đặt cosx = t,t ∈ <−1;1> Phương trình (1″) trở thành: t2 + t − = ⇔ t = 1∨ t = −2 So với điều kiện nhận t = Với t = ⇔ cosx = ⇔ x = k2π Vậy nghiệm phương trình: x = k2π , (k ∈ ¢ ) Câu 2: Giải phương trình lượng giác sau: = cotx + 1) tan x − cotx = 2) sin2 x  2π   π x 3) 5cosx − 2sin + = 4) cos 2x + ÷+ 3cos x + ÷+ = 3    5) 23sin x − sin3x = 24 6) sin x + 3sin x + 2sin x =  π  2 π 7) cos  + x ÷+ 4cos − x ÷ =     − 3cotx − = 9) sin2 x 4cos2 ( 6x − 2) + 16cos2 ( 1− 3x) = 13 11) cos2x − 3cosx = 4cos2 x 8) cos4x + 12sin xcosx − = 10) 12)  π  π  π 2sin2  2x + ÷− 6sin  x + ÷cos x + ÷+ = 6      13) cos5x.cosx = cos4x.cos2x + 3cos2 x + LỜI GIẢI  π cosx ≠ x ≠ + kπ ⇔ ,( k ∈ ¢ ) (1) Điều kiện  2 sinx ≠ x ≠ kπ  ( 1) ⇔ tan x − tan x = ⇔ 2tan2 x − 3tanx − = ( 1″) 1) tan x − cotx = Đặt tan x = t Phương trình (1″) trở thành: 2t2 − 3t − = ⇔ t = 2∨ t = − Với t = ⇔ tanx = ⇔ x = arctan2 + kπ,( k ∈ ¢ ) Với t = − 1  1 ⇔ tan x = − ⇔ x = arctan  − ÷+ kπ ,( k ∈ ¢ ) 2  2 Vậy nghiệm phương trình là: x = arctan + kπ,  1 x = arctan  − ÷+ kπ ,( k ∈ ¢ )  2 = cotx + (1) Điều kiện sinx ≠ ⇔ x ≠ kπ 2) sin2 x ( 1) ⇔ 1+ cot2 x = cotx + ⇔ cot2 x − cotx − = ( 1″) Đặt cotx = t Phương trình (1″) trở thành: t2 − t − = ⇔ t = −1∨ t = π Với t = −1 ⇔ cotx = −1 ⇔ x = − + kπ ,( k ∈ ¢ ) Với t = ⇔ cotx = ⇔ x = arccot2 + kπ,( k ∈ ¢ ) π Vậy nghiệm phương trình: x = − + kπ , x = arccot2 + kπ,( k ∈ ¢ ) x  x  x 3) 5cosx − 2sin + = ⇔ 5 1− 2sin ÷− 2sin + = 2  x x x + 2sin − 12 = ( 1) Đặt t = sin ,t ∈ <−1;1> Phương trình (1″) trở 2 thành: 5t2 + t − = ⇔ t = 1∨ t = − (loại) x x π Với t = ⇔ sin = ⇔ = + k2π ⇔ x = π + k4π ( k ∈ ¢ ) 2 Vậy nghiệm phương trình: x = π + k4π ( k ∈ ¢ ) ⇔ 10sin2  2π   π 4) cos 2x + ÷+ 3cos x + ÷+ = 3     2π   π Các bạn để ý:  2x + ÷ = 2 x + ÷ , nên ta nghĩ đến công thức 3 3   nhân đôi để đưa phương trình bậc theo cos, ta thực sau:  π  π  π  π ⇔ 2cos2  x + ÷− 1+ 3cos x + ÷+ = ⇔ 2cos2  x + ÷+ 3cos x + ÷+ = 3 3 3 3      π  π ⇔ cos x + ÷ = −1∨ cos x + ÷ = − , hai nghiệm đều nhận 3 3    π π 2π • cos x + ÷ = −1 ⇔ x + = π + k2π ⇔ x = + k2π ,( k ∈ ¢ ) 3    π 2π  π  x + = + k2π x = + k2π  π  cos x + ữ = cos x + ÷ = cos ⇔ ⇔  3 3    x + π = − 2π + k2π x = −π + k2π   3 2π π + k2π,x = + k2π,x = −π + k2π ,( k ∈ ¢ ) Vậy nghiệm phương trình: x = 3 ( ) 5) 23sin x − sin3x = 24 ⇔ 23sinx − 3sinx − 4sin x = 24 ⇔ 4sin x + 20sin x − 24 = (1) Đặt sin x = t,t ∈ <−1;1> Phương trình (1) trở π thành: 4t3 + 20t − 24 = ⇔ t = ⇔ sin x = ⇔ x = + k2π,( k ∈ ¢ ) π Vậy nghiệm phương trình: x = + k2π,( k ∈ ¢ ) 6) sin x + 3sin x + 2sin x = ( 1) Đặt sinx = t,t ∈ <−1;1> Phương trình (1) trở thành: t3 + 3t2 + 2t = ⇔ t = −1∨ t = −2 ∨ t = , so với điều kiện nhận t = −1∨ t = π Với t = −1 ⇔ sinx = −1 ⇔ x = − + k2π,( k ∈ ¢ ) Với t = ⇔ sinx = ⇔ x = kπ,( k ∈ ¢ ) π Vậy nghiệm phương trình: x = − + k2π, x = kπ,( k ∈ ¢ )  π  2 π 7) cos  + x ÷+ 4cos − x ÷ = ( 1) 3  6  π  π  π π  π  Ta có  + x ÷+  − x ÷ = ⇒ cos − x ÷ = sin  + x ÷ 3  6  6  3  π  π   + x ÷+ 4sin  + x ÷ = ( 1″) 3     π  Đặt sin  + x ÷ = t,t ∈ <−1;1> Phương trình (1″) trở thành: t2 − 4t + = 3  π  ⇔ t = 3∨ t = , so với điều kiện nhận t = , suy sin  + x ÷ = 3  ( 1) ⇔ 1− sin ⇔ π π π + x = + k2π ⇔ x = + k2π,( k ∈ ¢ ) Vậy nghiệm phương trình: x = π + k2π ,( k ∈ ¢ ) 8) cos4x + 12sin xcosx − = ⇔ 1− 2sin2 2x + 6sin2x − = ⇔ sin2 2x − 3sin2x + = ⇔ sin2x = 1∨ sin 2x = (loại) π π Với sin2x = ⇔ 2x = + k2π ⇔ x = + kπ,( k ∈ ¢ ) π Vậy nghiệm phương trình: x = + kπ,( k ∈ ¢ ) − 3cotx − = Điều kiện sinx ≠ ⇔ x ≠ kπ,k ∈ ¢ 9) sin2 x ⇔ 1+ cot2 x − 3cotx − = ⇔ 3cot2 x − 3cotx − = ( ) ⇔ cotx = − ∨ cotx = Với cotx = −  π π ⇔ cotx = cot  − ÷ ⇔ x = − + kπ ,( k ∈ ¢ ) 3   π π Với cotx = ⇔ cotx = cot ⇔ x = + kπ,( k ∈ ¢ ) 6 π π Vậy nghiệm phương trình: x = − + kπ , x = + kπ,( k ∈ ¢ ) 2 10) 4cos ( 6x − 2) + 16cos ( 1− 3x) = 13 ( 1) Đặt t = 3x − ( 1) ⇔ 4cos 2t + 16cos2 ( −t ) = 13 ⇔ 4cos2 2t + 16cos2 t = 13 1+ cos2t = 13 ⇔ 4cos2 2t + 8cos2t − = ⇔ cos2t = ∨ cos2t = − (loại) 2 ⇔ 4cos2 2t + 16   2t = π Với cos2t = ⇔ cos2t = cos ⇔   2t =  π  + k2π t = ⇔ π t = + k2π  π + kπ π + kπ  π   3x − = + kπ x = ⇔ ⇔  3x − = − π + kπ x =   π kπ + + 18 , k ∈ ¢ ( ) π kπ − + 18 π kπ π kπ ,x = − + ,( k ∈ ¢ ) Vậy nghiệm phương trình: x = + + 18 3 18 x 1+ cosx 11) cos2x − 3cosx = 4cos2 ⇔ 2cos2 x − − 3cosx = 2 ⇔ 2cos2 x − 5cosx − = ⇔ cosx = − ∨ cosx = (loại) 2π 2π cosx = − ⇔ cosx = cos ⇔ x= ± + k2π,( k ∈ ¢ ) 3 2π Vậy nghiệm phương trình: x = ± + k2π,( k ∈ ¢ )  π   π   π  12) 2sin  2x + ÷− 6sin  x + ÷cos x + ÷+ = ( 1) 3 6 6    ( ( 1) ⇔ sin )  π  π  π  π  2x + ÷− 3sin  2x + ÷+ = ⇔ sin  2x + ÷ = 0∨ sin  2x + ÷ = (loại) 3 3 3 3      π π π kπ ,( k  ) Vi sin 2x + ữ = ⇔ 2x + = kπ ⇔ x = − + 3   π kπ ,( k ∈ ¢ ) Vậy nghiệm phương trình: x = − + 2 13) cos5x.cosx = cos4x.cos2x + 3cos x + ( 1) Biến đổi tích về tổng được: 1 cos4x + cos6x) = ( cos2x + cos6x) + 3cos2 x + ⇔ cos4x = cos2x + 6cos2 x + ( 2 Sau sử dụng cơng thức nhân đơi hạ bậc: ⇔ 2cos2 2x − = cos2x + 3( 1+ cos2x) + ⇔ 2cos2 2x − 4cos2x − = ( 1″) Đặt cos2x = t,t ∈ <−1;1> Phương trình (1″) trở thành: 2t2 − 4t − = ⇔ t = −1∨ t = So với điều kiện nhận t = −1 , suy ra: π cos2x = −1 ⇔ 2x = π + k2π ⇔ x = + kπ ,( k ∈ ¢ ) π Vậy nghiệm phương trình: x = + kπ,( k ∈ ¢ ) Câu 3: Giải phương trình lượng giác sau:     1) 4 sin x + ÷+ 4 sinx + ÷− = sinx sin x         − cosx ÷− = 2) 2 cos x + ÷+ 9 cos x    cosx  ( ) 2 3) tan x + cot x + 4( tanx + cotx) + = 4) tan x + tan x + tan3 x + cotx + cot2 x + cot3 x = LỜI GIẢI     1) 4 sin x + ÷+ 4 sinx + ÷− = ( 1) sinx  sin2 x    2 Đặt t = sin x +   ⇔ t2 =  sinx + = t2 − ÷ ⇒ sin x + sin x sin x  sin x  − + 4t − = ⇔ 4t2 + 4t − 15 = ⇔ t = − ∨ t = 2 5 • Với t = − : sinx + = − ( 2) , đặt u = sinx,u ∈ <−1;1>/ {0} sinx 2 ( 2) ⇔ 2u2 + 5u + = ⇔ u = − ∨ u = −2 (loại)  π  x = − + k2π 1  π ∗ u = − ⇔ sin x = − ⇔ sin x = sin  − ÷ ⇔  ( k∈ ¢) 2  6  x = 7π + k2π  3 • Với t = ⇔ sin x + = ( 3) , đặt v = sinx,v ∈ <−1;1>/ {0} sin x 2 ( 1) ⇔ 4( t ) ( 3) ⇔ 2v − 3v + = (phương trình vơ nghiệm) π 7π + k2π ,( k ∈ ¢ ) Vậy nghiệm phương trình: x = − + k2π,x = 6     − cosx ÷− = ( 1) 2) 2 cos x + ÷+ 9 cosx cos x     Đặt t =   − cosx ⇒ t2 =  − cosx ÷ ⇒ cos2 x + = t2 + cosx cos2 x  cosx  ( 1) ⇔ 2( t ) + + 9t − = ⇔ 2t2 + 9t + = ⇔ t = −1∨ t = − Với t = −1 ⇔ 2 − cosx = −1 ⇔ cos2 x − cosx − = ⇔ cosx = −1∨ cosx = (loại) cosx • cosx = −1 ⇔ x = π + k2π ,( k ∈ ¢ ) Với t = − 7 ⇔ − cosx = − ⇔ 2cos2 x − 7cosx − = ⇔ cosx = − hoặc cosx 2 cosx = (loại) • cosx = − 2π ⇔ x= ± + k2π ,( k ∈ ¢ ) Vậy nghiệm phương trình: x = π + k2π, x = ± ( ) 2 3) tan x + cot x + 4( tanx + cotx) + = ( 1) 2π + k2π ,( k ∈ ¢ ) Đặt t = tanx + cotx ⇒ t2 = ( tan x + cotx) ⇒ tan2 x + cot2 x = t2 − 2 ( 1) ⇔ 3( t ) − + 4t + = ⇔ 3t2 + 4t − = ⇔ t = −2∨ t = • Với t = −2 ⇔ tanx + cotx = −2 ⇔ tanx + = −2 ⇔ tan2 x + 2tanx + = tanx  π π ⇔ tanx = −1 ⇔ tan x = tan  − ÷ ⇔ x = − + kπ ,( k ∈ ¢ ) 4   2 • Với t = ⇔ tan x + cotx = 3 ⇔ tanx + = ⇔ 3tan2 x + 2tan x + = (phương trình vô nghiệm) tan x π Vậy nghiệm phương trình: x = − + kπ ,( k ∈ ¢ ) 3 tan x + tan x + tan x + cotx + cot x + cot x = ( 1) 4) Đặt t = tanx + cotx Có: tan2 x + cot2 x = ( tan x + cotx) − 2tan xcotx = t2 − Có: tan3 x + cot3 x = ( tanx + cotx) − 3tanx.cotx ( tan x + cotx) = t3 − 3t ( 1) ⇔ ( tanx + cotx) + ( tan ) ( ) x + cot2 x + tan3 x + cot3 x = ⇔ t + t2 − + t3 − 3t = ⇔ t3 + t2 − 2t − = ⇔ t = = ⇔ tan2 x − 2tanx + = Với t = ⇔ tanx + cotx = ⇔ tan x + tanx π π ⇔ tanx = ⇔ tanx = tan ⇔ x = + kπ,( k ∈ ¢ ) 4 π Vậy nghiệm phương trình: x = + kπ,( k ∈ ¢ ) Câu 4: Giải phương trình lượng giác sau: 15 1) sin4 + cos4 x − 2sin2x + sin2 2x = 2) cos6 2x + sin6 2x = cos4x − 3) sin4 x + cos4 x = 4)  π  3π  sin4 x + cos4 x + cos x − ÷sin  x − ÷ = 5) sin4 x + cos2x + 4sin6 x = 4 4   6) cos8x + sin3 xcosx − cos3 xsin x − = LỜI GIẢI 1) sin + cos x − 2sin2x + sin2 2x = ( 1)   ⇔  1− sin 2x ÷− 2sin 2x + sin2 2x = ⇔ sin2 2x − 2sin2x + = ( 1″) 4   4 Đặt sin2x = t,t ∈ <−1;1> Phương trình (1″) trở thành: t2 − 2t + = So với điều kiện nhận ⇔ t = 4+ ∨ t = − t = 4− ⇒ sin2x = − ( )  arcsin − x =  2x = arcsin − + k2π + kπ ,( k ∈ ¢ )  ⇔ ⇔  π − arcsin −   2x = π − arcsin − + k2π + kπ ,( k ∈ ¢ ) x =  ( ( ) ) ( ) Vậy nghiệm phương trình: x= ( ) + kπ,x = π − arcsin ( 4− 3) + kπ,( k ∈ ¢ ) arcsin − 2 15 2) cos6 2x + sin6 2x = cos4x − ( 1) 15 1− cos4x 15 ( 1) ⇔ 1− sin2 2x = cos4x − ⇔ 1− × = cos4x − ⇔ − 3( 1− cos4x) = 15cos4x − ⇔ cos4x = 3 kπ ⇔ 4x = ± arccos + k2π ⇔ x = ± arccos + ( k∈ ¢) 4 kπ Vậy nghiệm phương trình: x = ± arccos + ( k ∈ ¢ ) 4 2 5 3) sin4 x + cos4 x = ⇔ sin2 x + cos2 x = 3 ( ) ( )  1− cos2x   1+ cos2x  ⇔ ÷ +  ÷ = ( 1) Đặt cos2x = t,t ∈ <−1;1> 2   3  2 1− 2t + t 1+ 2t + t ( 1) ⇔ + × = ⇔ 8t2 + 4t − = ⇔ t = −1∨ t = π Với t = −1 ⇔ cos2x = −1 ⇔ 2x = π + k2π ⇔ x = + kπ ,( k ∈ ¢ )  π  π  2x = + k2π  x = + kπ 1 ⇔ ,( k ∈ ¢ ) Với t = ⇔ cos2x = ⇔  2  2x = − π + k2π  x = − π + kπ   π π π + kπ , x = + kπ ,x = − + kπ ,( k ∈ ¢ ) 6  π   π  4 4) sin x + cos x + cos x − ÷sin  x − ÷ = 4 4   Vậy nghiệm phương trình: x =    1  π  1 ⇔  1− sin2 2x ÷+ sin  − ÷+ sin ( 2x − π )  = ⇔ 1− sin2 2x + ( −1− sin2x) = 2 2     2  ⇔ sin2 2x + sin2x = ⇔ sin2x = 0∨ sin2x = −1 kπ ,( k ∈ ¢ ) Với sin2x = ⇔ 2x = kπ ⇔ x = π π Với sin2x = −1 ⇔ 2x = − + k2π ⇔ x = − + kπ ,( k ∈ ¢ ) kπ π Vậy nghiệm phương trình: x = , x = − + kπ ,( k ∈ ¢ ) ( ) ( ) 5) sin4 x + cos2x + 4sin6 x = ⇔ sin2 x + cos2x + sin2 x =  1− cos2x   1− cos2x  ⇔ ÷ + cos2x + 4 ÷ = (1) Đặt cos2x = t,t ∈ <−1;1> 2      1− t   1− t  Phương trình (1) trở thành:  ÷ + t + 4 ÷ =0     ⇔ 2t3 − 7t2 + 4t − = ⇔ t = (loại) Kết luận phương trình vơ nghiệm 3 6) cos8x + sin xcosx − cos xsin x − = ( 1) x − cos2 x − = ⇔ cos8x − sin2xcos2x − = 1 2 ⇔ 1− 2sin 4x − sin4x − = ⇔ 2sin 4x + sin 4x = ⇔ sin 4x = ∨ sin 4x = − 4 kπ ,( k ∈ ¢ ) Với sin4x = ⇔ 4x = kπ ⇔ x = ( 1) ⇔ cos8x + sinxcosx ( sin ) Với    1  4x = arcsin  − ÷+ k2π x =  8  sin4x = − ⇔ ⇔    1  4x = π − arcsin  − ÷+ k2π x =  8   Vậy nghiệm phương trình: x = x=   kπ arcsin  − ÷+  8 π   kπ − arcsin  − ÷+ 4  8   kπ kπ , , x = arcsin  − ÷+ 4  8 π   kπ − arcsin  − ÷+ ,( k ∈ ¢ ) 4  8 Câu 5: Giải phương trình lượng giác sau: ,( k ∈ ¢ ) ( )  π 1) sin2x + 3cos2x = 2cos 2x − ÷ 6   x 2) cotx +  1+ tanxtan ÷sinx = 2  − 4sin2x 3) cotx − tanx = sin 2x  π  π 4) ( 2sinx − 1) = 4( sinx − 1) − cos 2x + ÷− sin  2x + ÷ 4 4   cos2x + sin2 x − sin2x ( ĐH khối A 2003) 5) cotx − = 1+ tanx 2 6) 5sin x − = 3( 1− sin x) tan x (ĐH khối B 2004) 7) cos2 3xcos2x − cos2 x = (ĐH khối A 2005)  π  π 4 8) sin x + cos x + cos x − ÷sin  3x − ÷− =0 (ĐH khối D 2005) 4 4   ( 1+ sinx + cos2x) sin  x + π4 ÷  = cosx (ĐH khối A 2010) sin4 x + cos4 x 1 = cot2x − 10) (1) 5sin2x 8sin2x 11) cotx − tanx + 4sin 2x = <ĐH B03> sin2x 9) 1+ tanx  12) 3cos4x − 8cos6 x + 2cos2 x + = (1) 2cos4x 13) cotx = tanx + sin 2x LỜI GIẢI  π 1) sin2x + 3cos2x = 2cos 2x − ÷ ( 1) 6  ( ) 1   π ( 1) ⇔ 4 sin2x + cos2x÷÷ = 2cos 2x − ÷      π π  π ⇔ 4 cos2xcos + sin 2xsin ÷ = 2cos 2x − ÷ 6 6     π  π  π  π ⇔ 2cos2  2x − ÷− cos 2x − ÷ = ⇔ cos 2x − ÷ = 0∨ cos 2x − ÷ = 6 6 6 6      π π π π kπ ,( k ∈ ¢ ) Với cos 2x − ÷ = ⇔ 2x − = + kπ ⇔ x = + 6   π π  π  2x − = + k2π  x = + kπ  π ⇔ ,( k ∈ ¢ ) Với cos 2x − ÷ = ⇔  6   2x − π = − π + k2π  x = − π + kπ  12  π kπ π π + , x = + kπ,x = − + kπ,( k ∈ ¢ ) 12  sinx ≠   x 2) cotx +  1+ tanxtan ÷sinx = ( 1) Điều kiện cosx ≠ 2   x cos ≠  Vậy nghiệm phương trình: x = x Ta có: 1+ tan xtan = 1+ cosx x x x cos x − x  cosxcos + sin xsin  2÷  = 2= 2= x x x cosx cosxcos cosxcos cosxcos 2 sinxsin sinx ( 1) ⇔ sinx + cosx = ⇔ cos   2x = ⇔ sin 2x = ⇔   2x =  x + sin2 x = 4sinxcosx ⇔ 2sin 2x = π + k2π ⇔ 5π + k2π  π  x = 12 + kπ ,( k ∈ ¢ )   x = 5π + kπ  12 π 5π + kπ ,( k ∈ ¢ ) Vậy nghiệm phương trình: x = + kπ,x = 12 12 kπ − 4sin 2x ( 1) Điều kiện sin2x ≠ ⇔ x ≠ 3) cotx − tanx = sin 2x cosx sin x cos2 x − sin2 x ( 1) ⇔ sinx − cosx = sin 2x − 4sin2x ⇔ sinxcosx = sin2x − 4sin 2x 2cos2x ⇔ = − 4sin 2x ⇔ 2cos2x = − 4sin2 2x sin2x sin 2x ( ⇔ cos2x = 1− 1− cos2 2x ) ⇔ 2cos2 2x − cos2x − = Với cos2x = ⇔ 2x = k2π ⇔ x = kπ,( k ∈ ¢ ) (loại) ⇔ cos2x = 1∨ cos2x = −  2π  π  2x = + k2π  x = + kπ 2π ⇔ ,( k ∈ ¢ ) Với cos2x = − ⇔ cos2x = cos ⇔   2x = − 2π + k2π  x = − π + kπ 3   Vậy nghiệm phương trình: x = π π + kπ ,x = − + kπ ,( k ∈ ¢ ) 3  π  π ( 2sinx − 1) = 4( sinx − 1) − cos 2x + ÷− sin  2x + ÷ ( 1) 4 4     π  π  ⇔ ( 2sin x − 1) = 4( sin x − 1) − cos 2x + ÷+ sin  2x + ÷ 4      π π ⇔ ( 2sin x − 1) = 4( sin x − 1) − 2cos  2x + − ÷ 4  4) ⇔ ( 2sin x − 1) = 4( sin x − 1) − 2cos2x ( ⇔ ( 2sin x − 1) = 4( sin x − 1) − 1− 2sin2 x ( ) ) ⇔ 2sin2 x + 2 − sinx − = ⇔ sin x = 1∨ sinx = − (loại) π Với sinx = ⇔ x = + k2π,( k ∈ ¢ ) π + k2π ,( k ∈ ¢ ) cosx ≠ cos2x cotx − = + sin x − sin2x 5) ( ) Điều kiện sinx ≠ 1+ tan x 1+ tan x ≠  Với Vậy nghiệm phương trình: x = cosx cos2 x − sin2 x − 1= + sin2 x − sinxcosx sin x sin x 1+ cosx cosx ( cosx − sinx) ( cosx + sinx) + sinx sin x − cosx cosx − sinx ⇔ = ( ) sin x cosx + sin x cosx − sinx ⇔ = cosx ( cosx − sin x) − sinx ( cosx − sinx) sin x   ⇔ ( cosx − sinx)  − cosx + sinx ÷ =  sin x  ⇔ − cosx + sinx = sin x  π π π π Với cosx − sin x = ⇔ 2cos x + ÷ = ⇔ x + = + kπ ⇔ x = + kπ ,( k ∈ ¢ ) 4   1 1− cos2x − cosx + sin x = ⇔ 1− sin xcosx + sin2 x = ⇔ 1− sin 2x + =0 Với sinx 2 ⇔ cosx − sinx = 0∨  π  π ⇔ sin 2x + cos2x = ⇔ 2sin  2x + ÷ = ⇔ sin  2x + ÷ = (vô nghiệm) 4    π Vậy nghiệm phương trình: x = + kπ,( k ∈ ¢ ) 5sin x − = − sin x tan x ( ) ( ) Điều kiện: cosx ≠ 6) sin2 x cos2 x sin2 x ⇔ 5sinx − = 3( 1− sinx) 1− sin2 x sin2 x ⇔ 5sinx − = 3( 1− sinx) ( 1− sinx) ( 1+ sin x) ⇔ 5sinx − = 3( 1− sinx) ⇔ 5sinx − = sin2 x 1+ sinx hoặc sinx = −2 ( vô nghiệm)  π  x = + k2π π ,( k ∈ ¢ ) , so với điều kiện thỏa Với sinx = ⇔ sinx = sin ⇔   x = 5π + k2π  π 5π + k2π,( k ∈ ¢ ) Vậy nghiệm phương trình: x = + k2π,x = 6 ⇔ 2sin2 x + 3sin x − = ⇔ sinx = 2 7) cos 3xcos2x − cos x = ( 1) (ĐH khối A 2005) 1+ cos6x 1+ cos2x cos2x − = ⇔ ( 1+ cos6x) cos2x − ( 1+ cos2x) = 2 cos6xcos2x − = ⇔ ( cos4x + cos8x) − = ⇔ cos4x + cos8x − = ⇔ 2cos 4x + cos4x − = ⇔ cos4x = 1∨ cos4x = − (loại) kπ ,( k ∈ ¢ ) Với cos4x = ⇔ 4x = k2π ⇔ x = kπ ,( k ∈ ¢ ) Vậy nghiệm phương trình: x =  π  π 4 8) sin x + cos x + cos x − ÷sin  3x − ÷− =0 ( 1) (ĐH khối D 2005) 4 4   ( 1) ⇔ 1  π  2x + sin 2x + sin  4x − ÷ − = 2   1 ⇔ 1− sin2 2x + ( sin2x − cos4x) − = 2 ( 1) ⇔ 1− sin ( ) 2 ⇔ − sin2 2x + sin 2x − cos4x − = ⇔ − sin 2x + sin2x − 1− 2sin 2x − = ⇔ sin 2x = hoặc sin2x = −2 (loại) ⇔ sin 2x + sin2x − = π π kπ ,( k ∈ ¢ ) Với sin2x = ⇔ 2x = + kπ ⇔ x = + π kπ ,( k ∈ ¢ ) Vậy nghiệm phương trình: x = + 2 ( 1+ sinx + cos2x) sin  x + π4 ÷  = cosx (ĐH khối A 2010)  π x ≠ + kπ cosx ≠ cosx ≠ ⇔ ⇔ ,( k ∈ ¢ ) Điều kiện  1+ tan x ≠ tanx ≠ −1 x ≠ − π + kπ   π ( 1+ sin x + cos2x) sin  x + ÷  = ⇔ cosx sinx 1+ cosx cosx ( 1+ sin x + cos2x) sinx + cosx ⇔ = cosx sin x + cosx 2 ⇔ 1+ sin x + cos2x = ⇔ −2sin2 x + sin x + = ⇔ sin x = − ∨ sinx = (loại)  π π 7π + k2π ,( k ∈ ¢ ) Với sinx = − ⇔ sinx = sin  − ÷ ⇔ x = − + k2π ∨ x = 6  6 9) 1+ tanx  So với điều kiện nghiệm phương trình π 7π x = − + k2π ∨ x = + k2π ,( k ∈ ¢ ) 6 10) sin4 x + cos4 x 1 = cot2x − (1) 5sin2x 8sin2x LỜI GIẢI Điều kiện : sin2x ≠ sin4 x + cos4 x cos2x ⇔ = − ⇔ sin4 x + cos4 x = 20cos2x − 5sin 2x sin2x 8sin 2x   ⇔ 8 1− sin2 2x ÷ = 20cos2x − ⇔ − 1− cos2 2x = 20cos2x −   ⇔ 4cos2 2x − 20cos2x + = ⇔ cos2x = (nhận) hoặc cos2x = (loại) 2  π  π  2x = + k2π  x = + kπ π ⇔ ,( k ∈ ¢ ) Với cos2x = ⇔ cos2x = cos ⇔   x = − π + k2π  x = − π + kπ   π π Vậy nghiệm phương trình: x = + kπ,x = − + kπ ,( k ∈ ¢ ) 6 11) cotx − tanx + 4sin 2x = <ĐH B03> sin2x LỜI GIẢI ( ( ) ) (1) sin2x Điều kiện : sin2x ≠ cosx sinx − + 4sin 2x = (1) ⇔ sin x cosx sin2x cotx − tanx + 4sin 2x = ⇔ cos2 x − sin2 x + 4sin 2x = sinxcosx sin2x ( ) ⇔ 2cos2x + 1− cos2 2x = ⇔ 2cos2x + 4sin2 2x =  x = kπ cos2x =  ⇔ 2cos2 x − cos2x − = ⇔  ⇔ ,( k ∈ ¢ )  x = ± π + kπ cos2x = −   π Vậy nghiệm phương trình: x = kπ,x = ± + kπ,( k ∈ ¢ ) 12) 3cos4x − 8cos x + 2cos x + = (1) LỜI GIẢI ( 1) ⇔ 3cos4x − 8( cos x) + 2cos2 x + =  1+ cos2x  ⇔ 2cos 2x − − 8 ÷ + ( 1+ cos2x) + =   t = cos2x,t ∈ < − 1;1> Đặt ( ( ) ) ⇔ 2t2 − − ( 1+ t ) + t + = ⇔ t3 − 3t2 + 2t = ⇔ t = ∨ t = 1∨ t = (loại) π π kπ + kπ ⇔ x = + ,( k ∈ ¢ ) Với t = ⇔ cos2x = ⇔ 2x = k2π ⇔ x = kπ,( k ∈ ¢ ) Với t = ⇔ cos2x = ⇔ 2x = Kết luận nghiệm phương trình x = 13) cotx = tanx + π kπ + , x = kπ,( k ∈ ¢ ) 2cos4x sin 2x LỜI GIẢI cotx = tanx + 2cos4x sin 2x (1) Điều kiện : sin2x ≠ ⇔ 2x ≠ kπ ⇔ x ≠ 2cos4x sin 2x cosx sinx cos4x ⇔ − = sin x cosx sinxcosx ⇔ cos2x = cos4x kπ ,( k ∈ ¢ ) (1) ⇔ cotx − tanx = ⇔ cos2x = − ∨ cos2x = ⇔ cos2 x − sin2 x = cos4x ⇔ 2cos2 2x − cos2x − = Với cos2x = − π ⇔ x = ± + kπ;( k ∈ ¢ ) Với cos2x = ⇔ 2x = k2π ⇔ x = kπ,( k ∈ ¢ ) π So với điều kiện nghiệm phương trình x = ± + kπ;( k ∈ ¢ ) … với điều kiện nhận t = Với t = ⇔ cosx = ⇔ x = k2π Vậy nghiệm phương trình: x = k2π , (k ∈ ¢ ) Câu 2: Giải phương trình lượng giác sau: = cotx + 1) tan x − cotx = 2) sin2 x  2π   π x 3)… π cos2x = −1 ⇔ 2x = π + k2π ⇔ x = + kπ ,( k ∈ ¢ ) π Vậy nghiệm phương trình: x = + kπ,( k ∈ ¢ ) Câu 3: Giải phương trình lượng giác sau:     1) 4 sin x + ÷+ 4 sinx + ÷− = sinx sin x  … π π ⇔ tanx = ⇔ tanx = tan ⇔ x = + kπ,( k ∈ ¢ ) 4 π Vậy nghiệm phương trình: x = + kπ,( k ∈ ¢ ) Câu 4: Giải phương trình lượng giác sau: 15 1) sin4 + cos4 x − 2sin2x + sin2 2x = 2) cos6 2x +