Viết Phương Trình Mặt Phẳng Đi Qua 2 Điểm Và Tạo Với Mặt Phẳng (P Một Góc 60)

A. Lý thuyết cơ bản

1. Vecto pháp tuyến – Cặp vecto chỉ phương của mặt phẳng

– Vecto

là một vecto pháp tuyến (

) của mặt phẳng

nếu giá của

vuông góc với

.

Đang xem: Viết phương trình mặt phẳng đi qua 2 điểm và tạo với mặt phẳng (p một góc 60)

– Hai vecto

không cùng phương là cặp vecto chỉ phương của mặt phẳng

nếu giá của chúng song song hoặc nằm trên mặt phẳng

.

– Nếu

là một cặp vecto chỉ phương của mặt phẳng

thì

” />là một

của

.

Chú ý:Nếu

là một

của

thì

cũng là

của

.

2. Phương trình tổng quát của mặt phẳng

Mặt phẳng

đi qua điểm

và có

có phương trình tổng quát:

.

Nếu mặt phẳng

có phương trình

thì

là một

của

.

3. Một số mặt phẳng thường gặp

Phương trình mặt phẳng đoạn chắn qua 3 điểm

với

là

.

4. Khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng

Mặt phẳng

được xác định bởi phương trình tổng quát

. Khoảng cách từ điểm

đến mặt phẳng

được xác định bởi công thức:

.

Chú ý:Khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song chính bằng khoảng cách từ một điểm bất kì thuộc mặt phẳng này đến mặt phẳng kia.

5. Góc giữa hai mặt phẳng

Góc giữa hai mặt phẳng

và

được xác định bởi công thức

trong đó

.

Chú ý:

.

6. Vị trí tương đối của hai mặt phẳng

Cho hai mặt phẳng

và

. Khi đó, vị trí tương đối của hai mặt phẳng

xảy ra các trường hợp sau:

– Trường hợp 1:

.

– Trường hợp 2:

.

– Trường hợp 3:

.

Đặc biệt

.

B. Bài tập

Dạng 1. Phương trình mặt phẳng đi qua điểm

và có

A. Phương pháp

Mặt phẳng

đi qua điểm

và có

có phương trình tổng quát:

.

Chú ý:

//

(

và

có cùng

).

(

của

là một

của

).

là mặt phẳng trung trực của đoạn

và

đi qua trung điểm của

.

B. Bài tập ví dụ

Ví dụ 1.1:Mặt phẳng

qua

và song song với mặt phẳng

là

A.

. B.

.

C.

. D.

.

Lời giải:

Cách 1:

.

Phương trình mặt phẳng

qua

và có

là:

.

Chọn đáp án A.

Cách 2:

song song với mặt phẳng

nên

có dạng:

Vì

qua

nên

.

Vậy

có phương trình là

.

Chọn đáp án A.

Ví dụ 1.2:Phương trình mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng

với

là

A.

. B.

.

C.

. D.

.

Lời giải:

Giả sử

là mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng

.

của

là

.

Mặt phẳng

đi qua trung điểm

của

và có

nên có phương trình là

.

Chọn đáp án C.

Ví dụ 1.3 (Đề minh họa 2017 Lần 1)Trong không gian với hệ tọa độ

, cho hai điểm

và

. Viết phương trình mặt phẳng

đi qua

và vuông góc với đường thẳng

.

A.

. B.

.

C.

. D.

.

Lời giải:

của

là

.

Phương trình mặt phẳng

đi qua

và vuông góc với đường thẳng

là

.

Chọn đáp án A.

Dạng 2. Phương trình mặt phẳng đi qua điểm

và có cặp

A. Phương pháp

Tìm 2 vecto

có giá song song hoặc nằm trong mặt phẳng

. Khi đó

của

là

” />.

Chú ý:

+

đi qua 3 điểm

không thẳng hàng

” />.

+

vuông góc hai mặt phẳng

” />.

+

” />.

+

đi qua 2 điểm

và vuông góc với mặt phẳng

” />.

B. Bài tập ví dụ

Ví dụ 2.1:Phương trình mặt phẳng

đi qua 3 điểm

là

A.

. B.

.

C.

. D.

.

Lời giải:

Cách 1:

Vecto pháp tuyến của mặt phẳng

là

=(1;2;2)” />.

Mặt phẳng

đi qua điểm

và có

có phương trình là

.

Chọn đáp án B.

Cách 2:

Giả sử mặt phẳng

có

, khi đó

có dạng

.

Vì

đi qua 3 điểm

nên ta có hệ phương trình

.

Chọn

.

Khi đó

có dạng

.

Mà

nên

.

Vậy phương trình mặt phẳng

là

.

Cách 3 (Trắc nghiệm):

Thay tọa độ

vào các đáp án, thấy đáp án B thỏa mãn.

Vậy chọn B.

Ví dụ 2.2:Viết phương trình mặt phẳng

đi qua điểm

và vuông góc với hai mặt phẳng

có phương trình lần lượt là

.

A.

. B.

.

C.

. D.

.

Xem thêm: Vở Bài Tập Tiếng Anh Lớp 6 Tập 2 Có Đáp Án ), Bài Tập Tiếng Anh Lớp 6 Có Đáp Án

Lời giải:

Vecto pháp tuyến của

là

=(2;1;-2)” />.

Mặt phẳng

đi qua điểm

và có

có phương trình là:

.

Chọn đáp án A.

Ví dụ 2.3:Trong không gian với hệ tọa độ

, cho hai điểm

và mặt phẳng

. Phương trình mặt phẳng

đi qua hai điểm

và vuông góc với mặt phẳng

là

A.

. B.

.

C.

. D.

.

Lời giải:

đi qua

và vuông góc với

có

=(0;-8;-12)” />.

Phương trình mặt phẳng

là

.

Chọn đáp án B.

Ví dụ 2.4:Trong không gian với hệ tọa độ

, cho mặt phẳng

đi qua hai điểm

và chứa trục

. Phương trình nào là phương trình tổng quát của

?

A.

. B.

. C.

. D.

.

Lời giải:

Cách 1:

Ta có

.

Trục

có vecto chỉ phương là

.

=(0;-2;-2)” />.

Mặt phẳng

đi qua điểm

và có

=(0;-2;-2)” />nên có phương trình là:

.

Cách 2:

Mặt phẳng

đi qua điểm

nên có dạng

(Đến đây có thể chọn luôn được đáp án C).

Vì

thuộc

nên

.

Chọn

.

Chọn đáp án C.

Dạng 3. Viết phương trình mặt phẳng theo đoạn chắn

A. Phương pháp

Phương trình mặt phẳng

đi qua 3 điểm

với

là

.

Để viết phương trình mặt phẳng

thông thường giả thiết cho các điều kiện (thường là 3 điều kiện). Từ đó thiết lập được hệ 3 phương trình 3 ẩn

.

B. Bài tập ví dụ

Ví dụ 3.1 (Đề minh họa 2017 Lần 2)Trong không gian với hệ tọa độ

, cho ba điểm

. Phương trình nào dưới đây là phương trình của mặt phẳng

?

A.

. B.

.

C.

. D.

.

Lời giải:

Mặt phẳng đi qua 3 điểm

có phương trình đoạn chắn là

.

Chọn đáp án C.

Ví dụ 3.2:Cho điểm

. Lập phương trình mặt phẳng

, biết rằng

cắt ba trục

lần lượt tại

sao cho

là trọng tâm của tam giác

.

A.

. B.

.

C.

. D.

.

Lời giải:

Do

lần lượt thuộc

nên giả sử

.

Vì

là trọng tâm của tam giác

nên ta có

.

Mặt phẳng

đi qua

có phương trình là:

.

Ví dụ 3.3:Trong không gian với hệ tọa độ

, cho điểm

. Viết phương trình mặt phẳng

qua

, cắt các trục tọa độ lần lượt tại

mà

là trực tâm của

.

A.

. B.

.

C.

. D.

.

Lời giải:

Cách 1:

Giả sử

.

.

Ta có

.

.

Cách 2:

Ta chứng minh được

, suy ra vecto pháp tuyến của

là

.

Mặt phẳng

qua

và có

có phương trình là

.

Chọn đáp án A.

Ví dụ 3.4:Trong không gian với hệ tọa độ

, cho điểm

. Viết phương trình mặt phẳng

qua

và cắt các trục

tại

tương ứng với hoành độ, tung độ và cao độ dương sao cho

.

A.

. B.

.

C.

. D.

.

Lời giải:

Ba điểm

nằm trên các trục

tương ứng với hoành độ, tung độ và cao độ dương sao cho

, suy ra

với

0″ />.

Phương trình

.

Mặt phẳng

qua

nên

.

Vậy phương trình mặt phẳng

là

.

Chọn đáp án B.

Ví dụ 3.5:Trong không gian với hệ tọa độ

, cho các điểm

. Viết phương trình mặt phẳng

chứa

và cắt các trục

lần lượt tại các điểm

và

sao cho thể tích khối tứ diện

bằng 3 (

là gốc tọa độ).

A.

. B.

.

C.

. D.

.

Xem thêm: Cách Tính Chu Vi Hình Vuông Khi Biết Diện Tích Hình Vuông Đầy Đủ Nhất

Lời giải:

Giả sử

. Do

là hình tứ diện nên

.

Vì