Tìm M Để Phương Trình Có Nghiệm : (M, Bài Giảng Toán 11

Dạng toán tìm điều kiện của tham số để phương trình, hệ phương trình có nghiệm thường xuất hiện trong đề thi TSĐH dưới dạng áp dụng phương pháp xét tính đơn điệu của hàm số để tìm miền giá trị của hàm số, từ đó suy ra giá trị cần tìm của tham số m. Đây là loại bài toán không khó và chiếm một điểm trong đề thi, nên nhớ áp xét tính đơn điệu của hàm số.

Đang xem: Tìm m để phương trình có nghiệm

+ Điều kiện cho trước ở đây được rút ra từ tập xác định của hàm số hoặc được xác định từ điều kiện nghiệm của phương trình mà đề bài yêu cầu. Ta quy ước điều kiện cho trước này là miền $D$.

+ Để giải quyết dạng bài toán này ta dùng phương pháp hàm số, mục đích là biểu diễn tham số theo hàm của một ẩn trên miền $D$, sau đó tìm GTLN,GTNN của hàm số đó trên $D$.

+ Phương trình, bất phương trình dưới dạng sau thì điều kiện của tham số là:

(i). $gleft( m
ight) = fleft( t
ight),t in D Rightarrow mathop {min }limits_{t in D} fleft( t
ight) le gleft( m
ight) le mathop {{
m{max}}}limits_{t in D} fleft( t
ight)$.

(ii). $gleft( m
ight) ge fleft( t
ight),t in D$ có nghiệm $t in D Rightarrow gleft( m
ight) ge mathop {min }limits_{t in D} fleft( t
ight)$.

(iii). $gleft( m
ight) le fleft( t
ight),t in D$ có nghiệm $t in D Rightarrow gleft( m
ight) le mathop {{
m{max}}}limits_{t in D} fleft( t
ight)$.

(iv). $gleft( m
ight) ge fleft( t
ight),t in D$ có nghiệm với mọi $t$ thuộc $D$ khi và chỉ khi $gleft( m
ight) ge mathop {{
m{max}}}limits_{t in D} fleft( t
ight)$.

(v). $gleft( m
ight) le fleft( t
ight),t in D$ có nghiệm với mọi $t$ thuộc $D$ khi và chỉ khi $gleft( m
ight) le mathop {{
m{min}}}limits_{t in D} fleft( t
ight)$.

Các hướng giải quyết bài toán loại này:

(i). Xét tính đơn điệu của hàm trực tiếp theo ẩn $x$.

(ii). Nếu xuất hiện biểu thức đối xứng $left{ egin{array}{l}sqrt {ax + b} pm sqrt {cx + d} \sqrt {left( {ax + b}
ight)left( {cx + d}
ight)}end{array}
ight.$, thì đặt $t = sqrt {ax + b} pm sqrt {cx + d} $.

(iii). Nếu xuất hiện $sqrt {a + bx} ;sqrt {x – bx} Rightarrow {left( {sqrt {a + bx} }
ight)^2} + {left( {sqrt {c – bx} }
ight)^2} = a + c$, thì đặt s $left{ egin{array}{l}sqrt {a + bx} = sqrt {a + c} sin alpha \sqrt {c – bx} = sqrt {a + c} c{
m{os}}alphaend{array}
ight.$ Và sử dụng hệ thức $left{ egin{array}{l}sin alpha = frac{{2 an frac{alpha }{2}}}{{1 + {{ an }^2}frac{alpha }{2}}}\c{
m{os}}alpha = frac{{1 – {{ an }^2}frac{alpha }{2}}}{{1 + {{ an }^2}frac{alpha }{2}}}end{array}
ight.$, tiếp tục đặt $t = an frac{alpha }{2}$.

(iv). Nhân hai vế với hệ thức liên hợp nếu có.

BÀI TẬP MẪU

Bài 1. Tìm các giá trị thực của tham số $m$ để phương trình sau có nghiệm

$6 + x + 2sqrt {left( {4 – x}
ight)left( {2x – 2}
ight)} = m + 4left( {sqrt {4 – x} + sqrt {2x – 2} }
ight)left( {x in R}
ight)$

Lời giải:

+Điều kiện: $1 le 4 le x$.

Đặt $t = sqrt {4 – x} + sqrt {2x – 2} $

Xét hàm số $tleft( x
ight) = sqrt {4 – x} + sqrt {2x – 2} $ liên tục trên đoạn $left< {1;4} ight>$.

Ta có $t’left( x
ight) = frac{{ – 1}}{{2sqrt {4 – x} }} + frac{2}{{2sqrt {2x – 2} }} Rightarrow t’left( x
ight) = 0 Leftrightarrow 2sqrt {4 – x} = 2sqrt {2x – 2} Leftrightarrow x = 3$.

Ta có: ${t_{left( 1
ight)}} = sqrt 3 ;{t_{left( 3
ight)}} = 3;{t_{left( 4
ight)}} = sqrt 6 Rightarrow left{ egin{array}{l}mathop {min }limits_{x in left< {1;4} ight>} tleft( x
ight) = tleft( 1
ight) = sqrt 3 \mathop {max }limits_{x in left< {1;4} ight>} tleft( x
ight) = tleft( 3
ight) = 3end{array}
ight.$

Phương trình đã cho trở thành:

${t^2} + 4 = m + 4t Leftrightarrow m = {t^2} – 4t + 4$.

Xét hàm số $fleft( t
ight) = {t^2} – 4t + 4$

Ta có $f’left( t
ight) = 2t – 4$

$f’left( t
ight) = 0 Leftrightarrow t = 2 Rightarrow fleft( {sqrt 3 }
ight) = 7 – 4sqrt 3 ;fleft( 2
ight) = 0;fleft( 3
ight) = 1$

$ Rightarrow 0 le fleft( t
ight) le 1 Rightarrow {min _{fleft( t
ight)}} le m le {max _{fleft( t
ight)}} Rightarrow 0 le m le 1$

Vậy giá trị cần tìm của m là $0 le m le 1$.

Bài 2. Tìm các giá trị thực của tham số $m$ để phương trình sau có nghiệm thực

$sqrt {1 – x} + sqrt {4 + x} + sqrt {{x^2} + 3x + frac{9}{4}} = m$

Lời giải:

+Điều kiện: $ – 4 le x le 1$.

Khi đó phương trình tương đương với: $m = sqrt {1 – x} + sqrt {4 + x} + left| {x + frac{3}{2}}
ight|$.

Đặt $t = x + frac{3}{2} Rightarrow m = fleft( t
ight) = sqrt {frac{5}{2} – t} + sqrt {frac{5}{2} + t} + left| t
ight|,left( { – frac{5}{2} le t le frac{5}{2}}
ight)$.

Xét hàm số $fleft( t
ight) = sqrt {frac{5}{2} – t} + sqrt {frac{5}{2} + t} + left| t
ight|,left( { – frac{5}{2} le t le frac{5}{2}}
ight)$, ta có $fleft( { – t}
ight) = fleft( t
ight)$ nên hàm số $fleft( t
ight)$ chẵn, nên ta chỉ cần chỉ cần xét $fleft( t
ight)$ trên $left< {0;frac{5}{2}} ight>$. Khi đó $fleft( t
ight) = sqrt {frac{5}{2} – t} + sqrt {frac{5}{2} + t} + t$.

+Ta có

$f’left( t
ight) = frac{{ – 1}}{{2sqrt {frac{5}{2} – t} }} + frac{1}{{2sqrt {frac{5}{2} + t} }} + 1 Rightarrow f’left( t
ight) = 0 Leftrightarrow sqrt {frac{5}{2} – t} = sqrt {frac{5}{2} + t} Leftrightarrow = 0left( *
ight)$

Giải phương trình (*):

+Đặt $u = sqrt {frac{5}{2} – t} = sqrt {frac{5}{2} + t} left( {u 0}},forall x ge 1$

Mặt khác ta có: $left{ egin{array}{l}mathop {lim }limits_{x o infty } t = mathop {lim }limits_{x o infty } sqrt<4>{{frac{{x – 1}}{{x + 1}}}} = 1\tleft( 1
ight) = 0end{array}
ight. Rightarrow 0 le t 0,forall x in R$. Vậy $fleft( x
ight)$ đồng biến trên $R$.

Ta có $mathop {lim }limits_{x o – infty } fleft( x
ight) = mathop {lim }limits_{x o – infty } left( {sqrt {{x^2} + x + 1} – sqrt {{x^2} – x + 1} }
ight) = mathop {lim }limits_{x o – infty } frac{{2x}}{{sqrt {{x^2} + x + 1} + sqrt {{x^2} – x + 1} }} = mathop {lim }limits_{x o – infty } frac{2}{{ – sqrt {1 + frac{1}{x} + frac{1}{{{x^2}}}} – sqrt {1 – frac{1}{x} + frac{1}{{{x^2}}}} }} = – 1$

Và tương tự ta có, $mathop {lim }limits_{x o + infty } fleft( x
ight) = 1$.

Từ đó suy ra : $ – 1 0,forall t in left< {0;1} ight>$. Suy ra hàm số $fleft( t
ight)$ đồng biến trên $left< {0;1} ight>$.

Suy ra $left{ egin{array}{l}mathop {min }limits_{t in left< {0;1} ight>} fleft( x
ight) = fleft( 0
ight) = frac{7}{9}\mathop {max }limits_{t in left< {0;1} ight>} fleft( x
ight) = fleft( 1
ight) = frac{9}{7}end{array}
ight.$

Vậy để phương trình có nghiệm thì $frac{7}{9} le m le frac{9}{7}$.

Xem thêm: Hướng Dẫn Cách Sử Dụng Edit Link Trong Excel Của Bạn, Hướng Dẫn Xóa External Links Trong Excel

Bài 9. Tìm những giá trị thực dương của tham số $m$ để phương trình sau đây có nghiệm thực không vượt quá 6 .

$sqrt {left( {x + 2}
ight)left( {2x – 1}
ight)} – 3sqrt {x + 6} = m – sqrt {left( {x + 6}
ight)left( {2x – 1}
ight)} + 3sqrt {x + 2} $.

Lời giải: Điều kiện $x ge frac{1}{2}$.

Khi đó phương trình tương đương với $left( {sqrt {x + 2} + sqrt {x + 6} }
ight)left( {sqrt {2x – 1} – 3}
ight) = mleft( *
ight)$

Với những giá trị thực dương của tham số $m$ nên để phương trình (*) có nghiệm thì $sqrt {2x – 1} – 3 > 0 Leftrightarrow x > 5$

Vậy ta xét hàm số $fleft( x
ight) = left( {sqrt {x + 2} + sqrt {x + 6} }
ight)left( {sqrt {2x – 1} – 3}
ight)$ trên khoảng $left( {5;6}
ight>$

Ta có $f’left( x
ight) > 0,forall x in left( {5;6}
ight)$. Và $fleft( 5
ight) = 0;fleft( 6
ight) = 6sqrt 2 left( {sqrt {11} – 3}
ight)$

Vậy $0 0,forall r ge 0 Rightarrow $ hàm số $fleft( t
ight)$ đồng biến trên $left< {0; + infty } ight)$

$ Rightarrow fleft( {sqrt {2 – x} }
ight) = fleft( {sqrt {2y – 1} }
ight) Leftrightarrow sqrt {2 – x} = sqrt {2y – 1} Rightarrow x = 3 – 2y le 1 2)$

Lập bảng biến thiên của $fleft( u
ight)$ ta suy ra (3) có nghiệm thỏa mãn ($left| u
ight| ge 2$) khi và chỉ khi:

$frac{1}{m} ge – 3 Leftrightarrow left< egin{array}{l}m > 0\m le frac{{ – 1}}{3}end{array}
ight.$

Vậy giá trị cần tìm của $m$ là: $left< egin{array}{l}m > 0\m le frac{{ – 1}}{3}end{array}
ight.$

Bài 14. Tìm $m$ để phương trình sau có nghiệm thực:

$mleft( {sqrt {4 – x} + sqrt {5 – x} + frac{1}{2}x}
ight) – 2sqrt x + sqrt {x – 1} + 3left( *
ight)$

Lời giải

Điều kiện: $1 le x le 4$.

Khi đó phương trình tương đương với: $m = frac{{2sqrt x + sqrt {x – 1} + 3}}{{sqrt {4 – x} + sqrt {5 – x} + frac{1}{2}x}}$

Ta có $fleft( x
ight) = frac{{2sqrt x + sqrt {x – 1} + 3}}{{sqrt {4 – x} + sqrt {5 – x} + frac{1}{2}x}} = frac{{uleft( x
ight)}}{{vleft( x
ight)}}$ liên tục trên đoạn $left< {1;4} ight>$

Trong đó $left{ egin{array}{l}uleft( x
ight) = 2sqrt x + sqrt {x – 1} + 3 > 0\vleft( x
ight) = sqrt {4 – x} + sqrt {5 – x} + frac{1}{2}x > 0end{array}
ight.,left( {1 le x le 4}
ight)$

Ta có $f’left( x
ight) = frac{{u’left( x
ight)vleft( x
ight) – vleft( x
ight)uleft( x
ight)}}{{{v^2}left( x
ight)}}$

Mặt khác, ta có: $u’left( x
ight) = frac{1}{{sqrt x }} + frac{1}{{2sqrt {x – 1} }} > 0$

$v’left( x
ight) = frac{{ – 1}}{{2sqrt {4 – x} }} – frac{1}{{2sqrt {5 – x} }} + frac{1}{2} f’left( x
ight) > 0$. Hàm số $fleft( x
ight)$ đồng biến trên đoạn $left< {1;{ m{ }}4} ight>$.

$ Rightarrow mathop {min}limits_{x in left< { – 1;4} ight>} fleft( x
ight) = fleft( 1
ight) = frac{{10}}{{5 + 2sqrt 3 }};mathop {max }limits_{x in left< { – 1;4} ight>} fleft( x
ight) = fleft( 4
ight) = frac{{7 + sqrt 3 }}{3},x in left< {1;4} ight>$

Vậy để phương trình có nghiệm thì $frac{{10}}{{5 + 2sqrt 3 }} le m le frac{{7 + sqrt 3 }}{3}$

Bài 15. Xác định $m$ để phương trình sau có nghiệm

$xsqrt x + sqrt {x + 12} = mleft( {sqrt {5 – x} + sqrt {4 – x} }
ight)$

Lời giải

+Điều kiện $0 le x le 4$.

Nhân cả 2 vế của phương trình với${sqrt {5 – x} + sqrt {4 – x} }$, phương trình trở thành $m = left( {xsqrt x + sqrt {x + 12} }
ight)left( {sqrt {5 – x} + sqrt {4 – x} }
ight)$.

Xét hàm số $egin{array}{l}fleft( x
ight) = left( {xsqrt x + sqrt {x + 12} }
ight)left( {sqrt {5 – x} + sqrt {4 – x} }
ight) = uleft( x
ight).vleft( x
ight)\left< {1;4} ight>end{array}$.

Trong đó:

$left{ egin{array}{l}uleft( x
ight) = xsqrt x + sqrt {x + 12} > 0\vleft( x
ight) = sqrt {5 – x} + sqrt {4 – x} > 0end{array}
ight. Rightarrow left{ egin{array}{l}u’left( x
ight) = frac{3}{2}sqrt x + frac{1}{{2sqrt {x + 12} }} > 0\v’left( x
ight) = frac{{sqrt {5 – x} – sqrt {4 – x} }}{{2sqrt {5 – x} sqrt {4 – x} }} > 0end{array}
ight.$

Từ đó suy ra:

$f’left( x
ight) = u’left( x
ight)vleft( x
ight) + v’left( x
ight)uleft( x
ight) > 0$. Hàm số $fleft( x
ight)$ đồng biên trên đoạn $left< {0;4} ight>$.

Suy ra $mathop {min}limits_{x in left< {0;4} ight>} fleft( x
ight) = fleft( 0
ight) = 2sqrt {15} – 4sqrt 3 ;mathop {max }limits_{x in left< {0;4} ight>} fleft( x
ight) = fleft( 4
ight) = 12,x in left< {0;4} ight>$

Vậy phương trình có nghiệm khi và chỉ khi $2sqrt {15} – 4sqrt 3 le m le 12$.

Bài 16. Xác định $m$ để bất phương trình sau có nghiệm:

${x^3} – 3x + 1 le m{(sqrt x – sqrt {x + 1} )^3}$

Lời giải:

Điều kiện: $x ge 1$.

Khi đó nhân cả 2 vế của bất phương trình với ${left( {sqrt x – sqrt {x + 1} }
ight)^3} > 0$, bất phương trình trở thành: $left( {{x^3} – 3x + 1}
ight){left( {sqrt x – sqrt {x + 1} }
ight)^3} le m{left( {sqrt x – sqrt {x + 1} }
ight)^3}{left( {sqrt x – sqrt {x + 1} }
ight)^3} = m$

$fleft( x
ight) = left( {{x^3} – 3x + 1}
ight){left( {sqrt x – sqrt {x + 1} }
ight)^3} le m$

Suy ra để bất phương trình có nghiệm là $m ge mathop {min }limits_{x o left< {1; + infty } ight)} fleft( x ight)$.

Xét hàm số $fleft( x
ight) = left( {{x^3} – 3x + 1}
ight){left( {sqrt x – sqrt {x + 1} }
ight)^3} = uleft( x
ight).vleft( x
ight)$

trong đó:

$left{ egin{array}{l}uleft( x
ight) = {x^3} – 3x + 1 > 0\vleft( x
ight) = {left( {sqrt x – sqrt {x + 1} }
ight)^3} > 0end{array}
ight.,forall x ge 1$

Ta có $u’left( x
ight) = 3{x^2} – 3 > 0$; $v’left( x
ight) = frac{3}{2}left( {frac{1}{{sqrt x }} – frac{1}{{sqrt {x + 1} }}}
ight){left( {sqrt x + sqrt {x + 1} }
ight)^2} > 0$

$ Rightarrow f’left( x
ight) = u’left( x
ight)vleft( x
ight) + v’left( x
ight)mleft( x
ight) > 0$. Hàm số $fleft( x
ight)$ đồng biến trên khoảng ${left< {1; + infty } ight)}$.

$mathop {min }limits_{x o left< {1; + infty } ight)} fleft( x ight) = fleft( 1 ight) = – 1,forall x ge 1$

+) Để bpt có nghiệm khi và chỉ khi $m ge mathop {min }limits_{x o left< {1; + infty } ight)} fleft( x ight) = – 1$.

Vậy giá trị cần tìm của $m$ là: ${left< {1; + infty } ight)}$.

Bài 17. Tìm $m$ để hệ phương trình sau

$left{ egin{array}{l}{7^{2x + sqrt {x + 1} }} – {7^{2 + sqrt {x + 1} }} + 2012x le 2012left( 1
ight)\{x^2} – left( {m + 2}
ight)x + 2m + 3 ge 0left( 2
ight)end{array}
ight.$ có nghiệm

Lời giải:

+ Điều kiện: $m ge – 1$, Khi đó ta có:

$egin{array}{l}left( 1
ight) Leftrightarrow {7^{2x + sqrt {x + 1} }} – {7^{2 + sqrt {x + 1} }} + 2012x le 2012\Leftrightarrow {7^{2x + sqrt {x + 1} }} + 1006left( {2x + sqrt {x + 1} }
ight) = {7^{2 + sqrt {x + 1} }} + 1006left( {2 + sqrt {x + 1} }
ight)\Leftrightarrow fleft( {2x + sqrt {x + 1} }
ight) le fleft( {2 + sqrt {x + 1} }
ight)left( *
ight)end{array}$

Với $fleft( t
ight) = {7^t} + 10061$, ta có

$fleft( t
ight) = {7^t}ln7 + 1006 > 0$, suy ra $fleft( t
ight)$ đồng biến trên $R$, và từ $left( *
ight) Rightarrow 2x + sqrt {x + 1} le 2 + sqrt {x + 1} Leftrightarrow – 1 le x le 1$.

Vậy hệ phương trình có nghiệm khi và chỉ khi (2) có nghiệm $x in left< { – 1;1} ight>$

$ Leftrightarrow {x^2} – left( {m + 2}
ight)x + 2m + 3 ge 0$ có nghiệm $x in left< { – 1;1} ight>$

$ Leftrightarrow m ge gleft( x
ight) = frac{{{x^2} – 2x + 3}}{{x – 2}};x in left< { – 1;1} ight>$

$ Leftrightarrow m ge mathop {min }limits_{m in left< { – 1;1} ight>} gleft( x
ight)$

Ta có: $g’left( x
ight) = frac{{{x^2} – 4x + 1}}{{{{left( {x – 2}
ight)}^2}}} Rightarrow g’left( x
ight) = 0 Leftrightarrow x = 2 – sqrt 3 in left< { – 1;1} ight>$

+ $gleft( { – 1}
ight) = – 2;gleft( {2 – sqrt 3 }
ight) = 2 – 2sqrt 3 ;gleft( 1
ight) = – 2 Rightarrow mathop {min }limits_{x in left< { – 1;1} ight>} gleft( x
ight) = gleft( { pm 1}
ight) = – 2$.

Vậy $m ge – 2$ là giá trị cần tìm.

Bài 18. Biết rằng $fleft( t
ight) = 3sqrt {2 + t} – 6sqrt {2 – t} + 4sqrt {4 – {t^2}} – 10 + 3t, – 2 le t le 2$, xác định giá trị của $m$ để phương trình sau có nghiệm:

$m = int_0^x {fleft( t
ight)dt} ;x in left< { – 2;2} ight>$

Lời giải:

Ta có: $m = Fleft( x
ight) = int_0^x {fleft( t
ight)dt} ;x in left< { – 2;2} ight>$$egin{array}{l}F’left( x
ight) = fleft( x
ight) Rightarrow F’left( x
ight) = 0 Leftrightarrow 3sqrt {2 + t} – 6sqrt {2 – t} + 4sqrt {4 – {t^2}} = 10 + 3t\Leftrightarrow 3left( {sqrt {2 + t} – 2sqrt {2 – t} }
ight) + 4sqrt {4 – {t^2}} = 10 + 3tleft( *
ight)end{array}$

Đặt $u = sqrt {2 + x} – 2sqrt {2 – x} Rightarrow {u^2} = 2 + x – 4sqrt {4 – {x^2}} + 4left( {2 – x}
ight) = 10 + 3x – 4sqrt {4 – {x^2}} $

Khi đó phương trình (*) trở thành: $3u = {u^2} Leftrightarrow left< egin{array}{l}u = 0\u = 3end{array} ight. Leftrightarrow left< egin{array}{l}2 + x = 2sqrt {2 – x} \2 + x = 2sqrt {2 – x} + 3end{array} ight. Leftrightarrow x = frac{6}{5}$

Ta tìm GTLN và GTNN của $Fleft( x
ight),x in left< { – 2;2} ight>$, ta có:

+ $Fleft( { – 2}
ight) = int_0^{ – 2} {fleft( x
ight)dt} = int_0^{ – 2} {left( {3sqrt {2 + x} – 6sqrt {2 – x} + 4sqrt {4 – {x^2}} – 10 + 3x}
ight)} dx = 58 – 12sqrt 2 – 4pi $

+ $Fleft( {frac{6}{5}}
ight) = int_0^{frac{6}{5}} {left( {3sqrt {2 + x} – 6sqrt {2 – x} + 4sqrt {4 – {x^2}} – 10 + 3x}
ight)} dx = 32frac{{sqrt 5 }}{5} – frac{{246}}{{25}} + 8arcsin frac{3}{5} – 4sin left( {2arcsin frac{3}{5}}
ight)$

+ $Fleft( 2
ight) = int_0^2 {left( {3sqrt {2 + x} – 6sqrt {2 – x} + 4sqrt {4 – {x^2}} – 10 + 3x}
ight)} dx = 2 – 12sqrt 2 + 4pi $

$ Rightarrow mathop {min }limits_{x in left< { – 2;2} ight>} Fleft( x
ight) = Fleft( 2
ight) = 2 – 12sqrt 2 + 4pi ;mathop {min }limits_{x in left< { – 2;2} ight>} Fleft( x
ight) = Fleft( { – 2}
ight) = 58 – 12sqrt 2 – 4pi $

$ Rightarrow 2 – 12sqrt 2 + 4pi le m le 58 – 12sqrt 2 – 4pi $.

Bài 19. Xác định giá trị của tham số $m$ để bất phương trình sau có nghiệm thuộc đoạn $left< { – sqrt 3 ;sqrt 3 } ight>$

$2sqrt {frac{{{x^2} + x + 1}}{{x + 4}}} + {x^2} – 4 – frac{2}{{sqrt {{x^2} + 1} }} ge mleft( *
ight)$

Lời giải:

$BPTleft( *
ight) Leftrightarrow m le fleft( x
ight) = 2sqrt {frac{{{x^2} + x + 1}}{{x + 4}}} + {x^2} – 4 – frac{2}{{sqrt {{x^2} + 1} }}$

Vậy (*) có nghiệm thuộc đoạn $left< { – sqrt 3 ;sqrt 3 } ight>$ khi và chỉ khi $m le mathop {min }limits_{x in left< { – sqrt 3 ;sqrt 3 } ight>} fleft( x
ight)$

Ta chứng minh: $fleft( x
ight) le – forall x in left< { – sqrt 3 ;sqrt 3 } ight>$, thật vật với $forall x in left< { – sqrt 3 ;sqrt 3 } ight>$ thì ta có $fleft( x
ight) = 2sqrt {frac{{{x^2} + x + 1}}{{x + 4}}} + {x^2} – 4 – frac{2}{{sqrt {{x^2} + 1} }}$

$ = 2left( {sqrt {frac{{{x^2} + x + 1}}{{x + 4}}} – 1}
ight) + left( {{x^2} – 3}
ight) + left( {1 – frac{2}{{sqrt {{x^2} + 1} }}}
ight)$

$ = 2left( {frac{{frac{{{x^2} + x + 1}}{{x + 4}} – 1}}{{sqrt {frac{{{x^2} + x + 1}}{{x + 4}}} + 1}}}
ight) + left( {{x^2} – 3}
ight) + frac{{left( {{x^2} – 3}
ight)}}{{sqrt {{x^2} + 1} left( {2 + sqrt {{x^2} + 1} }
ight)}}$

$ = frac{{2left( {{x^2} – 3}
ight)}}{{sqrt {left( {{x^2} + x + 1}
ight)left( {x + 4}
ight)} + x + 4}} + left( {{x^2} – 3}
ight) + frac{{left( {{x^2} – 3}
ight)}}{{sqrt {{x^2} + 1} left( {2 + sqrt {{x^2} + 1} }
ight)}}$

$ = left( {{x^2} – 3}
ight)left( {frac{2}{{sqrt {left( {{x^2} + x + 1}
ight)left( {x + 4}
ight)} + x + 4}} + 1 + frac{1}{{sqrt {{x^2} + 1} left( {2 + sqrt {{x^2} + 1} }
ight)}}}
ight) le 0,forall x in left< { – sqrt 3 ;sqrt 3 } ight>$ vậy giá trị cần tìm của $m$ là: $left( { – infty ;0}
ight)$

Bài 20. Tìm giá trị nhỏ nhất của tham số m để bất phương trình sau luôn đúng $mleft( {left| x
ight| + sqrt {1 – {x^2}} + 1}
ight) ge 2sqrt {{x^2} – {x^4}} + sqrt {{x^2}} + sqrt {1 – {x^2}} + 2left( *
ight)$

Lời giải:

+ Điều kiện : $ – 1 le x le 1$

+ Đặt $t = left| x
ight| + sqrt {1 – {x^2}} > 0 Rightarrow {t^2} = 1 + 2sqrt {{x^2} – {x^4}} ge 1 Rightarrow t ge 1$;

+ $t = left| x
ight| + sqrt {1 – {x^2}} le sqrt {2left( {{x^2} + 1 – {x^2}}
ight)} = sqrt 2 Rightarrow 1 le t le sqrt 2 $

BPT (*) $ Leftrightarrow mleft( {t + 1}
ight) ge {t^2} + t + 1 Leftrightarrow m ge fleft( t
ight) = frac{{{t^2} + t + 1}}{{t + 1}}$

BPT(*) có luôn có nghiệm khi và chỉ khi $m ge mathop {max }limits_{t in left< {1;sqrt 2 } ight>} fleft( t
ight)$.

Ta có $f’left( t
ight) = frac{{{t^2} + 2t}}{{{{left( {t + 1}
ight)}^2}}} > 0,forall t in left< {1;sqrt 2 } ight> Rightarrow mathop {max }limits_{t in left< {1;sqrt 2 } ight>} fleft( t
ight) = fleft( {sqrt 2 }
ight) = 2sqrt 2 – 1$

Vậy giá trị cần tìm của $m$ là: $m ge 2sqrt 2 – 1$.

Vậy giá trị nhỏ nhất của tham số $m$ cần tìm là: $m = 2sqrt 2 – 1$.

Bài 21. Xác định giá trị tham số $m$ để hệ phương trình sau có nghiệm thực $left{ egin{array}{l}left( {x + frac{3}{2}}
ight)sqrt {{x^2} + 2x + 3} + left( {x + frac{1}{2}}
ight)sqrt {{x^2} + 1} + 2x + 2 ge 0left( 1
ight)\{log _{{m^2} + 1}}left( {3sqrt<3>{{{x^2}}} + 1}
ight) le {log _{{m^2} + 1}}left( {m – 2x}
ight)left( 2
ight)end{array}
ight.$

Lời giải:

Thay vào (1), ta được:

$left{ egin{array}{l}u = sqrt {{x^2} + 1} > 0\v = sqrt {{x^2} + 2x + 3} > 0end{array}
ight. Rightarrow left{ egin{array}{l}{u^2} = {x^2} + 1\{v^2} = {x^2} + 2x + 3end{array}
ight. Rightarrow x = frac{{{v^2} – {u^2} – 2}}{2}$

Thay vào (1), ta được:

$left( {{v^2} – {u^2} – 1}
ight)frac{v}{2} + left( {{v^2} – {u^2} – 1}
ight)frac{u}{2} + {v^2} – {u^2} ge 0$

$ Leftrightarrow left( {v – u}
ight){left( {u + v + 1}
ight)^2} ge 0 Leftrightarrow v – u Leftrightarrow x ge – 1$

Điều kiện: ${m^2} + 1 > 1 Leftrightarrow m
e 0$. Khi đó phương trình (2) tương đương với

$left< egin{array}{l}m e 0\0 0$, vì với $t in left( {0;frac{pi }{4}} ight)$ thì $sin tcos t > 0, an t 0 Rightarrow left( {t > frac{1}{2}}
ight) vee left( {t 0,forall v in left< {0;1} ight>$

Suy ra min $mathop {min }limits_{v in left< {0;1} ight>} gleft( v
ight) = gleft( 0
ight) = – 1;mathop {max}limits_{v in left< {0;1} ight>} gleft( v
ight) = gleft( 1
ight) = 2$

Vậy hệ phương trình có nghiệm khi và chỉ khi $ – 1 frac{{25}}{4}\m = 0end{array}
ight.end{array}
ight.$

(ii). Điều kiện đủ: Với $m > frac{{25}}{4}$, khi đó hệ phương trình tương đương với $left{ egin{array}{l}3{x^3} = yleft( {{y^2} – 2y + m}
ight) = yleft( {{{left( {y – 1}
ight)}^2} + m – 1}
ight) ge 0\3{y^2} = xleft( {{x^2} – 2x + m}
ight) = xleft( {{{left( {x – 1}
ight)}^2} + m – 1}
ight) ge 0end{array}
ight. Rightarrow x,y ge 0$.

Cộng theo vế hai phương trình của hệ ta được: $egin{array}{l}xleft( {{x^2} – 2x + m}
ight) + yleft( {{y^2} – 2y + m}
ight) = 0\Leftrightarrow xleft( {{{left( {x – frac{5}{2}}
ight)}^2} + m – frac{{25}}{4}}
ight) + yleft( {{{left( {y – frac{5}{2}}
ight)}^2} + m – frac{{25}}{4}}
ight) = 0 Leftrightarrow x = y = 0end{array}$

Kết luận vậy $m > frac{{25}}{4}$ là những giá trị cần tìm.

Xem thêm: bài tập phương trình mũ và logarit có đáp án

Bài 28. Tìm $m$ để phương trình sau có nghiệm $left| {x + 1}
ight| + left( {4 – m}
ight)left| {x – 1}
ight| = left( {m – 1}
ight)sqrt {{x^2} – 1} $

Lời giải: Điều kiện: $left( {x – 1}
ight)left( {x + 1}
ight) ge 0$

Nhận thấy $x = 1$ không là nghiệm của phương trình, khi đó chia hai vế của phương trình cho $left| {x – 1}
ight|$ và có $frac{{left| {x + 1}
ight|}}{{left| {x – 1}
ight|}} = frac{{x + 1}}{{x – 1}}$, ta được $frac{{x + 1}}{{x – 1}} + 4 – m = left( {m – 1}
ight)sqrt {frac{{x + 1}}{{x – 1}}} Leftrightarrow m = frac{{{t^2} + t + 4}}{{1 + t}}$, với $t = sqrt {frac{{x + 1}}{{x – 1}}} $

Ta có $t ge 0$. Xét hàm số $fleft( t
ight) = frac{{{t^2} + t + 4}}{{1 + t}}$ có $f’left( t
ight) = frac{{{t^2} + 2t – 3}}{{{{left( {t + 1}
ight)}^2}}}
e 0,t in left< {0; + infty } ight);t e 1$

Từ đó suy ra $fleft( t
ight) > fleft( 1
ight) = 3;mathop {lim }limits_{x o + infty } fleft( t
ight) = + infty $

Vậy phương trình có nghiệm khi và chỉ khi $m > 3$

Bài 29. Tìm $m$ để phương trình sau có nghiệm $sqrt {{x^4} + 8x} = left( {m – 2}
ight){x^2} – 2left( {m + 2}
ight)x + 4m$

Lời giải: Phương trình tương đương với $sqrt {{x^5} + 8x} + 2{x^2} + 4x = mleft( {{x^2} – 2x + 4}
ight) Leftrightarrow m = frac{{sqrt {{x^5} + 8x} + 2{x^2} + 4x}}{{{x^2} – 2x + 4}} = sqrt {frac{{{x^2} + 2x}}{{{x^2} – 2x + 4}}} + 2frac{{{x^2} + 2x}}{{{x^2} – 2x + 4}}$

Do đó ta đặt

$t = frac{{{x^2} + 2x}}{{{x^2} – 2x + 4}}$; khi đó $m = sqrt t + 2t$

Trước hết ta tìm tập giá trị của $t$, ta có$t’left( x
ight) = frac{{ – 4left( {{x^2} – 2x – 2}
ight)}}{{{{left( {{x^2} – 2x + 4}
ight)}^2}}} = 0 Leftrightarrow left< egin{array}{l}x = 1 + sqrt 3 \x = 1 – sqrt 3end{array} ight.$

Từ đó suy ra $t in left< {1 – frac{{2sqrt 3 }}{3},1 + frac{{2sqrt 3 }}{3}} ight>$

Vậy ta xét hàm số $fleft( t
ight) = 2t + sqrt t $ đồng biến trên $left< {1 – frac{{2sqrt 3 }}{3},1 + frac{{2sqrt 3 }}{3}} ight>$

Giá trị cần tìm của tham số $m$ thỏa mãn $m in left< {2left( {1 – frac{{2sqrt 3 }}{3}} ight) + sqrt {1 – frac{{2sqrt 3 }}{3}} ;2left( {1 – frac{{2sqrt 3 }}{3}} ight) + sqrt {1 – frac{{2sqrt 3 }}{3}} } ight>$

Bài 30. Tìm $m$ để phương trình sau có nghiệm duy nhất trong đoạn $left< { – frac{1}{2};1} ight>$

$3sqrt {1 – {x^2}} = 2sqrt {{x^3} + 2{x^2} + 1} = m$

Lời giải: Xét hàm số $fleft( x
ight) = 3sqrt {1 – {x^2}} = 2sqrt {{x^3} + 2{x^2} + 1} $ trên đoạn $left< { – frac{1}{2};1} ight>$

Ta có $f’left( x
ight) = frac{{ – 3x}}{{sqrt {1 – {x^2}} }} – frac{{3{x^2} + 4x}}{{sqrt {{x^3} + 2{x^2} + 1} }} = – xleft< {frac{{ 3}}{{sqrt {1 – {x^2}} }} – frac{{3x + 4}}{{sqrt {{x^3} + 2{x^2} + 1} }}} ight>$

Do $x in left< { – frac{1}{2};1} ight> Rightarrow 3x + 4 > 0 Leftrightarrow frac{3}{{sqrt {1 – {x^2}} }} – frac{{3x + 4}}{{sqrt {{x^3} + 2{x^2} + 1} }} > 0$

Vậy $f’left( x
ight) = 0 Leftrightarrow x = 0$

Ta có bảng biến thiên của hàm số $fleft( x
ight)$ trên đoạn $left< { – frac{1}{2};1} ight>$

Dựa vào bảng biến thiên suy ra để phương trình có nghiệm duy nhất khi và chỉ khi $left< egin{array}{l}m = 1\- 3 le m 0$ với mọi $a$

Suy ra $fleft( a
ight) ge fleft( 1
ight) = 1$

Vậy giá trị cần tìm của $m$ là $m ge 1$

Bài 32. Tìm $m$ để hệ sau có nghiệm $left{ egin{array}{l}{x^2} – xy + 2{y^2} – x le m\{x^2} – 2xy + 2{x^2} le m – 2end{array}
ight.$

Lời giải: Hệ bất phương trình tương đương với $left{ egin{array}{l}{x^2} – xy + 2{y^2} – x le m\{x^2} – 2xy + 2{x^2} le m – 2\2left( {{x^2} – xy + 2{y^2} – x}
ight) + left( {{x^2} – 2xy + 2{x^2}}
ight) le 3mend{array}
ight. Leftrightarrow left{ egin{array}{l}{x^2} – xy + 2{y^2} – x le m\{x^2} – 2xy + 2{x^2} + 2 le m\2{left( {x – 2y}
ight)^2} + {left( {x – 1}
ight)^2} le 3mend{array}
ight.$

Suy ra để hệ có nghiệm thì trước tiên $3m ge 0 Rightarrow m ge 0$

Ngược lại với $m ge 0$; thì hệ luôn có nghiệm 1$left( {1;frac{1}{2}}
ight)$. Vậy $m ge 0$ là giá trị cần tìm.

Bài 33. Tìm $m$ để hệ phương trình $left{ egin{array}{l}2sqrt {xy – y} + x + y = 5\sqrt {5 – x} + sqrt {2 – y} = mend{array}
ight.$ có nghiệm

Lời giải:

Điều kiện: $left{ egin{array}{l}yleft( {x – 1}
ight) ge 0\x le 5\y le 1end{array}
ight.$

Khi đó phương trình thứ nhất của hệ biến đổi thành: $y + 2sqrt {yleft( {x – 1}
ight)} + left( {x – 1}
ight) = 4left( 1
ight)$