Tìm M Để Bất Phương Trình Mũ Có Nghiệm Thực, Tìm M Để Bất Phương Trình Có Nghiệm Thực

Phương trình, bất phương trình mũ logarit chứa tham số m – bài tập có đáp án.

Đang xem: Tìm m để bất phương trình mũ có nghiệm

1. Bài toán 1. Tìm tham số m để $fleft( x;m
ight)=0$ có nghiệm (hoặc có k nghiệm) trên miền D.

– Bước 1. Tách m ra khỏi biến số x và đưa về dạng $fleft( x ight)=Pleft( m ight)$. – Bước 2. Khảo sát sự biến thiên của hàm số $fleft( x ight)$ trên D. – Bước 3. Dựa vào bảng biến thiên để xác định giá trị tham số $Pleft( m ight)$ để đường thẳng $y=Pleft( m ight)$ nằm ngang cắt đồ thị hàm số $y=fleft( x ight)$.

Một số kiến thức quan trọng để giải quyết bài toán 1

Hàm số $y=fleft( x
ight)$ có giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất trên D thì giá trị $Pleft( m
ight)$ cần tìm để phương trình có nghiệm thỏa mãn $underset{xin D}{mathop{min }},fleft( x
ight)le Pleft( m
ight)le underset{xin D}{mathop{max }},fleft( x
ight)$

Nếu bài toán yêu cầu tìm tham số để phương trình có k nghiệm phân biệt, ta chỉ cần dựa vào bảng biến thiên để xác định sao cho đường thẳng $y=Pleft( m
ight)$ nằm ngang cắt đồ thị hàm số $y=fleft( x
ight)$ tại k điểm phân biệt.

Nếu đổi biến, nói cách khác là đặt ẩn phụ thì ta cần tìm điều kiện cho biến mới và biện luận mối tương quan số nghiệm giữa biến cũ và biến mới.

Nếu đề bài yêu cầu tìm tham số m để phương trình bậc hai theo mũ hoặc lôgarit có hai nghiệm phân biệt ${{x}_{1}},{{x}_{2}}$ thỏa mãn ${{ ext{x}}_{1}}+{{x}_{2}}=a$ hoặc ${{x}_{1}}{{x}_{2}}=b$, ta có thể sử dụng định lý Vi-ét sau khi lấy mũ hoặc lôgarit hai vế hợp lí.

2. Bài toán 2. Tìm tham số m để $fleft( x;m
ight)ge 0$ hoặc $fleft( x;m
ight)le 0$ có nghiệm trên D.

– Bước 1. Tách m ra khỏi biến số x và đưa về dạng $fleft( x ight)ge Pleft( m ight)$ hoặc $fleft( x ight)le Pleft( m ight)$ – Bước 2. Khảo sát sự biến thiên của hàm số $fleft( x ight)$ trên D. – Bước 3. Dựa vào bảng biến thiên để xác định giá trị của tham số $Pleft( m ight)$ để bất phương trình có nghiệm: * $Pleft( m ight)le fleft( x ight)$ có nghiệm trên D $Leftrightarrow Pleft( m ight)le underset{xin D}{mathop{max }},fleft( x ight)$. * $Pleft( m ight)ge fleft( x ight)$ có nghiệm trên D $Leftrightarrow Pleft( m ight)ge underset{xin D}{mathop{min }},fleft( x ight)$.

Một số kiến thức quan trọng để giải quyết bài toán 2

– Bất phương trình $Pleft( m
ight)le fleft( x
ight)$ nghiệm đúng $forall xin DLeftrightarrow Pleft( m
ight)le underset{xin D}{mathop{min }},fleft( x
ight)$.

– Bất phương trình $Pleft( m
ight)ge fleft( x
ight)$ nghiệm đúng $forall xin DLeftrightarrow Pleft( m
ight)ge underset{xin D}{mathop{max }},fleft( x
ight)$.

– Nếu $fleft( x;m
ight)ge 0;forall xin mathbb{R}$ hoặc $fleft( x;m
ight)le 0;forall xin mathbb{R}$ với $fleft( x;m
ight)$ là tam thức bậc hai, ta sẽ sử dụng dấu của tam thức bậc hai.

3. Một số phương pháp áp dụng trong bài toán

a) Phương pháp đặt ẩn phụ: Đặt $t={{a}^{uleft( x ight)}}$ hoặc $t={{log }_{a}}uleft( x ight)$, tùy theo điều kiện của x ta sẽ tìm được miền xác định của biến t. b) Phương pháp hàm số: Đưa phương trình (bất phương trình) về dạng $fleft( u ight)=fleft( v ight)$ với $fleft( t ight)$là hàm số đơn điệu và đại diện cho hai vế của phương trình. Khi đó $fleft( u ight)=fleft( v ight)Leftrightarrow u=v$. c) Dấu của tam thức bậc hai: Xét hàm số $fleft( x ight)=a{{x}^{2}}+bx+c$ có hai nghiệm phân biệt ${{x}_{1}},{{x}_{2}}$ – Ta có $Delta ={{b}^{2}}-4 ext{a}c$ và định lý Vi-ét: $left{ egin{array} {} {{x}_{1}}+{{x}_{2}}=-frac{b}{a} \ {} {{x}_{1}}{{x}_{2}}=frac{c}{a} \ end{array} ight.$. – Phương trình $fleft( x ight)=0$ có hai nghiệm dương phân biệt $Leftrightarrow left{ egin{array} {} Delta >0 \ {} {{x}_{1}}+{{x}_{2}}>0 \ {} {{x}_{1}}{{x}_{2}}>0 \ end{array} ight.$. – Phương trình $fleft( x ight)=0$ có hai nghiệm trái dấu $Leftrightarrow ac0;forall xin mathbb{R}Leftrightarrow left{ egin{array} {} a>0 \ {} Delta

Bài tập trắc nghiệm tìm m để phương trình, bất phương trình mũ logarit có đáp án

Ví dụ 1: Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để phương trình ${{2}^{{{x}^{2}}-2 ext{x}}}={{m}^{2}}-m+1$ có nghiệm thuộc đoạn $left< 0;2 ight>$? A. 2 B. 3 C. 0 D. 1

Lời giải

Xét $uleft( x
ight)={{x}^{2}}-2 ext{x}$ trên $left< 0;2 ight>$, có ${u}”left( x
ight)=2 ext{x}-2;{u}”left( x
ight)=0Leftrightarrow x=1$.

Tính $uleft( 0
ight)=0;uleft( 1
ight)=-1;uleft( 2
ight)=0xrightarrow{{}}-1le uleft( x
ight)le 0Leftrightarrow frac{1}{2}le {{2}^{{{x}^{2}}-2 ext{x}}}le 1$.

Do đó, phương trình đã cho có nghiệm $Leftrightarrow frac{1}{2}le {{m}^{2}}-m+1le 1Leftrightarrow 0le mle 1$.

Kết hợp với $min mathbb{Z}xrightarrow{{}}$ có 2 giá trị nguyên m cần tìm. Chọn A.

Ví dụ 2: Có bao nhiêu giá trị nguyên của m thuộc $left< -10;10 ight>$ để phương trình ${{4}^{x+1}}-{{2}^{x+2}}+m=0$ có nghiệm? A. 3 B. 12 C. 7 D. 15

Lời giải

Ta có ${{4}^{x+1}}-{{2}^{x+2}}+m=0Leftrightarrow {{left( {{2}^{x+1}}
ight)}^{2}}-{{2.2}^{x+1}}+m=0$ (1)

Đặt $t={{2}^{x+1}}>0$. Phương trình (1) trở thành ${{t}^{2}}-2t+m=0Leftrightarrow {{t}^{2}}-2t=-m$ (2)

Để phương trình (1) có nghiệm $Leftrightarrow $ phương trình (2) có nghiệm $t>0$.

Cách 1. Xét hàm $fleft( t
ight)={{t}^{2}}-2t$ với $t>0$.

Đạo hàm và lập bảng biến thiên, ta kết luận được $-mge -1Leftrightarrow mle 1$. Chọn C.

Cách 2. Yêu cầu bài toán $Leftrightarrow $ phương trình (2) có hai nghiệm ${{t}_{1}},{{t}_{2}}$ thỏa mãn $left< egin{array} {} 00 \ {} S>0 \ end{array}
ight. \ {} Ple 0 \ end{array}
ight.Leftrightarrow left< egin{array} {} 0 Ví dụ 3: Tìm tất cả các giá trị của tham số m để phương trình ${{4}^{x}}+{{2}^{x}}+4={{3}^{m}}left( {{2}^{x}}+1
ight)$ có hai nghiệm phân biệt.

A. ${{log }_{4}}3le m

Lời giải

Đặt $t={{2}^{x}}>0Leftrightarrow {{4}^{x}}={{left( {{2}^{x}}
ight)}^{2}}={{t}^{2}}$ và $a={{3}^{m}}$ nên phương trình đã cho trở thành:

${{t}^{2}}+t+4=aleft( t+1
ight)Leftrightarrow {{t}^{2}}-left( a-1
ight)t+4-a=0$ (*).

Yêu cầu bài toán $Leftrightarrow $ (*) có hai nghiệm dương phân biệt ${{t}_{1}},{{t}_{2}}Leftrightarrow left{ egin{array} {} Delta >0 \ {} S={{t}_{1}}+{{t}_{2}}>0 \ {} P={{t}_{1}}{{t}_{2}}>0 \ end{array}
ight.$

$Leftrightarrow left{ egin{array} {} {{left( a-1
ight)}^{2}}-4left( 4-a
ight)>0 \ {} a-1>0;4-a>0 \ end{array}
ight.Leftrightarrow left{ egin{array} {} {{a}^{2}}+2 ext{a}-15>0 \ {} 1

Ví dụ 4: Gọi S là tập hợp tất cả các giá trị nguyên của tham số m sao cho phương trình

${{25}^{x}}-m{{.5}^{x+1}}+7{{m}^{2}}-7=0$ có hai nghiệm phân biệt. Hỏi S có bao nhiêu phần tử?

A. 7 B. 1 C. 2 D. 3

Lời giải

Ta có ${{25}^{x}}-m{{.5}^{x+1}}+7{{m}^{2}}-7=0Leftrightarrow {{left( {{5}^{x}}
ight)}^{2}}-5m{{.5}^{x}}+7{{m}^{2}}-7=0$

Đặt $t={{5}^{x}}>0$ nên phương trình trở thành: ${{t}^{2}}-5mt+7{{m}^{2}}-7=0$ (*).

Với mỗi nghiệm $t>0$ của phương trình (*) sẽ tương ứng với một nghiệm x của phương trình ban đầu. Do đó, yêu cầu bài toán tương đương phương trình (*) có hai nghiệm dương phân biệt.

Khi đó $left{ egin{array} {} Delta >0 \ {} S>0 \ {} P>0 \ end{array}
ight.Leftrightarrow left{ egin{array} {} 25{{m}^{2}}-4left( 7{{m}^{2}}-7
ight)>0 \ {} 5m>0;7{{m}^{2}}-7>0 \ end{array}
ight.Leftrightarrow left{ egin{array} {} 28-3{{m}^{2}}>0 \ {} m>0 \ end{array}
ight.Leftrightarrow 1

Ví dụ 5: Có bao nhiêu giá trị thực của tham số m để phương trình ${{4}^{x}}-2m{{.2}^{x}}+2m=0$ có hai nghiệm phân biệt ${{x}_{1}},{{x}_{2}}$ thỏa mãn ${{x}_{1}}+{{x}_{2}}=3$.

A. 2 B. 3 C. 0 D. 1

Lời giải

Đặt $t={{2}^{x}}>0$ nên phương trình đã cho trở thành: ${{t}^{2}}-2mt+2m=0$ (*).

Phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt $Leftrightarrow $ (*) có hai nghiệm dương phân biệt ${{t}_{1}},{{t}_{2}}$.

$Leftrightarrow left{ egin{array} {} Delta >0 \ {} S={{t}_{1}}+{{t}_{2}}>0 \ {} P={{t}_{1}}{{t}_{2}}>0 \ end{array}
ight.Leftrightarrow left{ egin{array} {} 4{{m}^{2}}-8m>0 \ {} 2m>0 \ {} 2m>0 \ end{array}
ight. {} Leftrightarrow left{ egin{array} {} left< egin{array} {} m>2 \ {} m2 \ end{array}
ight. \ {} m>0 \ end{array}
ight.$.

Ta có ${{t}_{1}}{{t}_{2}}={{2}^{{{x}_{1}}}}{{.2}^{{{x}_{2}}}}={{2}^{{{x}_{1}}+{{x}_{2}}}}={{2}^{3}}=8=2m$ suy ra $m=4$ (thỏa mãn điều kiện).

Vậy $m=4$ là giá trị duy nhất cần tìm. Chọn D.

Ví dụ 6: Tìm tập hợp tất cả các giá trị của tham số thực m để phương trình ${{6}^{x}}+left( 3-m ight){{2}^{x}}-m=0$ có nghiệm thuộc khoảng $left( 0;1 ight)$. A. $left< 3;4 ight>$ B. $left< 2;4 ight>$ C. $left( 2;4 ight)$ D. $left( 3;4 ight)$

Lời giải

Ta có ${{6}^{x}}+left( 3-m
ight){{2}^{x}}-m=0Leftrightarrow {{6}^{x}}+{{3.2}^{x}}=left( {{2}^{x}}+1
ight).mLeftrightarrow m=frac{{{6}^{x}}+{{3.2}^{x}}}{{{2}^{x}}+1}=frac{{{3}^{x}}+3}{{{2}^{-x}}+1}$

Xét hàm số $fleft( x
ight)=frac{{{3}^{x}}+3}{{{2}^{-x}}+1}$ trên $left( 0;1
ight)$, có ${f}”left( x
ight)=frac{{{3}^{x}}.ln 3left( {{2}^{-x}}+1
ight)+left( {{3}^{x}}+3
ight){{.2}^{-x}}ln 2}{{{left( {{2}^{-x}}+1
ight)}^{2}}}>0$

Suy ra hàm số $fleft( x
ight)$ đồng biến trên ℝ, do đó $fleft( 0
ight)

Ví dụ 7: Cho phương trình ${{3}^{2{{ ext{x}}^{2}}-3 ext{x}+m}}+9={{3}^{{{x}^{2}}-x+2}}+{{3}^{{{x}^{2}}-2 ext{x}+m}}$. Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m thuộc $left< -10;10 ight>$ để phương trình đã cho có 4 nghiệm phân biệt?

A. 12 B. 8 C. 3 D. 17

Lời giải

Ta có ${{3}^{2{{ ext{x}}^{2}}-3 ext{x}+m}}+9={{3}^{{{x}^{2}}-x+2}}+{{3}^{{{x}^{2}}-2 ext{x}+m}}Leftrightarrow left( {{3}^{2{{ ext{x}}^{2}}-3 ext{x}+m}}-{{3}^{{{x}^{2}}-2 ext{x}+m}}
ight)+left( 9-{{3}^{{{x}^{2}}-2 ext{x}+m}}
ight)=0$

$Leftrightarrow {{3}^{{{x}^{2}}-x}}.left( {{3}^{{{x}^{2}}-2 ext{x}+m}}-9
ight)-left( {{3}^{{{x}^{2}}-2 ext{x}+m}}-9
ight)=0Leftrightarrow left( {{3}^{{{x}^{2}}-x}}-1
ight)left( {{3}^{{{x}^{2}}-2 ext{x}+m}}-9
ight)=0Leftrightarrow left< egin{array} {} {{3}^{{{x}^{2}}-x}}=1 \ {} {{3}^{{{x}^{2}}-2 ext{x}+m}}=9 \ end{array} ight.$

$Leftrightarrow left< egin{array} {} {{x}^{2}}-x=0 \ {} {{x}^{2}}-2 ext{x}+m=2 \ end{array} ight.Leftrightarrow left< egin{array} {} x=0;x=1 \ {} gleft( x ight)={{x}^{2}}-2 ext{x}+m-2=0 \ end{array} ight.$

Để phương trình đã cho có 4 nghiệm phân biệt $Leftrightarrow gleft( x
ight)=0$ có 2 nghiệm phân biệt khác 0, 1.

$Leftrightarrow left{ egin{array} {} {Delta }”>0 \ {} gleft( 0
ight)
e 0 \ {} gleft( 1
ight)
e 0 \ end{array}
ight.Leftrightarrow left{ egin{array} {} {{left( -1
ight)}^{2}}-left( m-2
ight)>0 \ {} m-2
e 0 \ {} m-3
e 0 \ end{array}
ight.Leftrightarrow left{ egin{array} {} m

Ví dụ 8: Có bao nhiêu giá của tham số thực m để phương trình ${{9}^{{{x}^{2}}}}-{{2.3}^{{{x}^{2}}+1}}+3m-1=0$ có đúng 3 nghiệm phân biệt?

A. 3 B.

Xem thêm: Đề Thi Đáp Án Đề Thi Đh Khối D 2009 Của Bộ Giáo Dục, Đáp Án Đề Thi Đại Học Môn Toán

1 C. 0 D. 2

Lời giải

Ta có ${{9}^{{{x}^{2}}}}-{{2.3}^{{{x}^{2}}+1}}+3m-1=0Leftrightarrow {{left( {{3}^{{{x}^{2}}}}
ight)}^{2}}-{{6.3}^{{{x}^{2}}}}+3m-1=0$ (*)

Vì ${{x}^{2}}ge 0Leftrightarrow {{3}^{{{x}^{2}}}}ge {{3}^{0}}=1$. Đặt $t={{3}^{{{x}^{2}}}}ge 1$ nên phương trình (*) $Leftrightarrow fleft( t
ight)={{t}^{2}}-6t+3m-1=0$

Yêu cầu bài toán $Leftrightarrow fleft( t
ight)=0$ có nghiệm bằng 1; nghiệm còn lại khác 1.

$Leftrightarrow fleft( 1
ight)=0Leftrightarrow {{1}^{2}}-6.1+3m-1=0Leftrightarrow 3m-6=0Leftrightarrow m=2$. Chọn B.

Ví dụ 9: Cho phương trình ${{25}^{1+sqrt{1-{{x}^{2}}}}}-left( m+2 ight){{5}^{1+sqrt{1-{{x}^{2}}}}}+2m+1=0$ với m là tham số thực. Số nguyên dương m bé nhất để phương trình có nghiệm là A. $m=2$ B. $m=8$ C. $m=4$ D. $m=6$

Lời giải

Điều kiện: $-1le xle 1$.

Xét $uleft( x
ight)=1+sqrt{1-{{x}^{2}}}$, có ${u}”left( x
ight)=-frac{x}{sqrt{1-{{x}^{2}}}};{u}”left( x
ight)=0Leftrightarrow x=0xrightarrow{{}}left{ egin{array} {} underset{left< -1;1 ight>}{mathop{max }},uleft( x
ight)=2 \ {} underset{left< -1;1 ight>}{mathop{min }},uleft( x
ight)=1 \ end{array}
ight.$.

Đặt $t={{5}^{1+sqrt{1-{{x}^{2}}}}}Rightarrow tin left< 5;25 ight>$ nên phương trình $Leftrightarrow {{t}^{2}}-left( m+2
ight)t+2m+1=0Leftrightarrow m=frac{{{t}^{2}}-2t+1}{t-2}$.

Do đó phương trình đã có nghiệm $Leftrightarrow underset{left< 5;25 ight>}{mathop{min fleft( t
ight)}},le mle underset{left< 5;25 ight>}{mathop{max fleft( t
ight)}},overset{{}}{longleftrightarrow}frac{16}{3}le mle frac{576}{23}$.

Suy ra số nguyên dương m lớn nhất là $m=6$. Chọn D.

Cách CASIO. Cô lập m ta được $m=frac{{{25}^{1+sqrt{1-{{x}^{2}}}}}-{{2.5}^{1+sqrt{1-{{x}^{2}}}}}+1}{{{5}^{1+sqrt{1-{{x}^{2}}}}}-2}$.

Đặt $fleft( x
ight)=frac{{{25}^{1+sqrt{1-{{x}^{2}}}}}-{{2.5}^{1+sqrt{1-{{x}^{2}}}}}+1}{{{5}^{1+sqrt{1-{{x}^{2}}}}}-2}$. Khi đó phương trình $Leftrightarrow fleft( x
ight)=m$.

Sử dụng MODE7 khảo sát hàm $fleft( x
ight)$ với thiết lập Start $-1$, End 1, Step 0, 2.

Quan sát bảng giá trị ta thấy $fleft( x
ight)ge fleft( 5
ight)=frac{16}{3}$ hay $mge fleft( 5
ight)=frac{16}{3}$.

Vậy m nguyên dương bé nhất là 6.

Ví dụ 10: Cho phương trình $left( m+1 ight){{16}^{x}}-2left( 2m-3 ight){{4}^{x}}+6m+5=0$ với m là tham số thực. Tập tất cả các giá trị của m để phương trình có hai nghiệm trái dấu có dạng $left( a;b ight)$. Tính $P=ab$. A. $P=4$ B. $P=-4$ C. $P=-frac{3}{2}$ D. $P=frac{5}{6}$

Lời giải

Đặt $t={{4}^{x}}>0$. Phương trình trở thành $underbrace{left( m+1
ight){{t}^{2}}-2left( 2m-3
ight)t+6m+5}_{fleft( t
ight)}=0$ (*).

Phương trình đã cho có hai nghiệm ${{x}_{1}},{{x}_{2}}$ thỏa mãn ${{x}_{1}}0 \ end{array}
ight.$

$Leftrightarrow left{ egin{array} {} m+1
e 0 \ {} left( m+1
ight)left( 3m+12
ight)0 \ end{array}
ight.Leftrightarrow -4

Ví dụ 11: Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số $min left< -10;10 ight>$ để phương trình

${{2}^{{{x}^{2}}+m ext{x}}}-{{2}^{2{{ ext{x}}^{2}}+2m ext{x}+m}}={{x}^{2}}+m ext{x}+m$ có hai nghiệm thực phân biệt?

A. 9 B. 6 C. 16 D. 13

Lời giải

Ta có ${{2}^{{{x}^{2}}+m ext{x}}}-{{2}^{2{{ ext{x}}^{2}}+2m ext{x}+m}}={{x}^{2}}+m ext{x}+mLeftrightarrow {{2}^{{{x}^{2}}+m ext{x}}}-{{2}^{2{{ ext{x}}^{2}}+2m ext{x}+m}}=2{{ ext{x}}^{2}}+2m ext{x}+m-left( {{x}^{2}}+m ext{x}
ight)$

$Leftrightarrow {{2}^{{{x}^{2}}+m ext{x}}}+{{x}^{2}}+m ext{x}={{2}^{2{{ ext{x}}^{2}}+2m ext{x}+m}}+2{{ ext{x}}^{2}}+2m ext{x}+mLeftrightarrow fleft( {{x}^{2}}+m ext{x}
ight)=fleft( 2{{ ext{x}}^{2}}+2m ext{x}+m
ight)$ (*).

Xét hàm số $fleft( t
ight)={{2}^{t}}+t$ trên $left( -infty ;+infty
ight)$, có ${f}”left( t
ight)={{2}^{t}}.ln 2+1>0;forall xin mathbb{R}$.

Suy ra $fleft( t
ight)$ là hàm số đồng biến trên $left( -infty ;+infty
ight)$ nên (*) $Leftrightarrow {{x}^{2}}+m ext{x}=2{{ ext{x}}^{2}}+2m ext{x}+m$

$Leftrightarrow {{x}^{2}}+m ext{x}+m=0$ có hai nghiệm phân biệt $Leftrightarrow Delta ={{m}^{2}}-4m>0Leftrightarrow left< egin{array} {} m>4 \ {} m

Ví dụ 12: Cho phương trình ${{e}^{m.sin x-cos x}}-{{e}^{2left( 1-cos x
ight)}}=2-cos x-m.sin x$với m là tham số thực. Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số $min left< -10;10 ight>$ để phương trình đã cho có nghiệm?

A. 9 B. 18 C. 11 D. 15

Lời giải

PT $Leftrightarrow {{e}^{m.sin x-cos x}}+m.sin x-cos x={{e}^{2-2cos x}}+2-2cos xLeftrightarrow fleft( m.sin x-cos x
ight)=fleft( 2-2cos x
ight)$

Với $fleft( t
ight)={{e}^{t}}+t$ là hàm số đồng biến trên $left( -infty ;+infty
ight)$ nên ta được $m.sin x-cos x=2-2cos x$

$Leftrightarrow m.sin x+cos x=2$ có nghiệm khi ${{m}^{2}}+{{1}^{2}}ge {{2}^{2}}Leftrightarrow {{m}^{2}}ge 3Leftrightarrow left< egin{array} {} mge sqrt{3} \ {} mle -sqrt{3} \ end{array} ight.$.

Kết hợp với $min mathbb{Z}$ và $min left< -10;10 ight>xrightarrow{{}}$ có 9 + 9 = 18 giá trị nguyên cần tìm. Chọn B.

Ví dụ 13: Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số thực m nhỏ hơn 10 sao cho phương trình $sqrt{m+sqrt{m+{{e}^{x}}}}={{e}^{x}}$ có nghiệm thực? A. 4 B. 6 C. 8 D. 10

Lời giải

Ta có $sqrt{m+sqrt{m+{{e}^{x}}}}={{e}^{x}}Leftrightarrow m+sqrt{m+{{e}^{x}}}={{left( {{e}^{x}}
ight)}^{2}}Leftrightarrow {{left( sqrt{m+{{e}^{x}}}
ight)}^{2}}+sqrt{m+{{e}^{x}}}={{left( {{e}^{x}}
ight)}^{2}}+{{e}^{x}}$ (*).

Xét hàm số $fleft( t
ight)={{t}^{2}}+t$ trên $left( 0;+infty
ight)$, có ${f}”left( t
ight)=2t+1>0;forall t>0$

Suy ra $fleft( t
ight)$ là hàm số đồng biến trên $left( 0;+infty
ight)$ nên (*) $Leftrightarrow fleft( sqrt{m+{{e}^{x}}}
ight)=fleft( {{e}^{x}}
ight)$

$Leftrightarrow sqrt{m+{{e}^{x}}}={{e}^{x}}Leftrightarrow m+{{e}^{x}}={{left( {{e}^{x}}
ight)}^{2}}Leftrightarrow m={{left( {{e}^{x}}
ight)}^{2}}-{{e}^{x}}xrightarrow{a={{e}^{x}}>0}m=gleft( a
ight)={{a}^{2}}-a$.

Xét hàm số $gleft( a
ight)={{a}^{2}}-a$ trên $left( 0;+infty
ight)$, có ${g}”left( a
ight)=2 ext{a}-1;{g}”left( a
ight)=0Leftrightarrow a=frac{1}{2}$.

Dựa vào BBT, ta thấy $m=gleft( a
ight)$ có nghiệm thực dương $Leftrightarrow mge gleft( frac{1}{2}
ight)=-frac{1}{4}$.

Kết hợp với $min mathbb{Z}$ và $m

Ví dụ 14: Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để phương trình $m+{{e}^{frac{x}{2}}}=sqrt<4>{{{e}^{2 ext{x}}}+1}$ có nghiệm?

A. $0

Lời giải

Đặt $t=sqrt<4>{{{e}^{2 ext{x}}}+1}$, vì ${{e}^{2 ext{x}}}>0xrightarrow{{}}t>1$. Suy ra ${{t}^{4}}={{e}^{2 ext{x}}}+1Leftrightarrow {{left( {{e}^{frac{x}{2}}}
ight)}^{4}}={{t}^{4}}-1Leftrightarrow {{e}^{frac{x}{2}}}=sqrt<4>{{{t}^{4}}-1}$.

Khi đó phương trình đã cho trở thành $m+sqrt<4>{{{t}^{4}}-1}=tLeftrightarrow m=t-sqrt<4>{{{t}^{4}}-1}$ (*)

Xét hàm số $fleft( t
ight)=t-sqrt<4>{{{t}^{4}}-1}$ trên $left( 1;+infty
ight)$, có ${f}”left( t
ight)=1-frac{{{t}^{3}}}{sqrt<4>{{{left( {{t}^{4}}-1
ight)}^{3}}}}1$

Suy ra hàm số $fleft( t
ight)$ nghịch biến trên khoảng $left( 1;+infty
ight)$.

Dựa vào bảng biến thiên, ta thấy phương trình có nghiệm $0

Ví dụ 15: Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để bất phương trình ${{left( frac{2}{e}
ight)}^{{{x}^{2}}+2m ext{x}+1}}le {{left( frac{e}{2}
ight)}^{2 ext{x}-3m}}$ nghiệm đúng với mọi $xin mathbb{R}$?

A. 8 B. 5 C. 6 D. 7

Lời giải

Ta có ${{left( frac{2}{e}
ight)}^{{{x}^{2}}+2m ext{x}+1}}le {{left( frac{e}{2}
ight)}^{2 ext{x}-3m}}Leftrightarrow {{left( frac{2}{e}
ight)}^{{{x}^{2}}+2m ext{x}+1}}le {{left( frac{2}{e}
ight)}^{3m-2 ext{x}}}Leftrightarrow {{x}^{2}}+2m ext{x}+1ge 3m-2 ext{x}$

$Leftrightarrow {{x}^{2}}+2left( m+1
ight)x-3m+1ge 0;forall xin mathbb{R}Leftrightarrow left{ egin{array} {} a=1>0 \ {} {Delta }”={{left( m+1
ight)}^{2}}-left( 1-3m
ight)le 0 \ end{array}
ight.Leftrightarrow -5le mle 0$.

Kết hợp với $min mathbb{Z}xrightarrow{{}}$ có 6 giá trị nguyên m cần tìm. Chọn C.

Ví dụ 16: Có bao nhiêu giá trị nguyên của $min left< -10;10 ight>$ để bất phương trình ${{9}^{x}}-m{{.3}^{x}}-m+3>0$ nghiệm đúng với mọi $xin mathbb{R}$? A. 12 B. 20 C. 8 D. 4

Lời giải

Đặt $t={{3}^{x}}>0$ thì bất phương trình trở thành: ${{t}^{2}}-mt-m+3>0,forall t>0$

$Leftrightarrow mleft( t+1
ight)0 \ {} {{t}^{2}}+2t-3=0 \ end{array}
ight.Leftrightarrow t=1$.

Từ BBT, suy ra $m

Ví dụ 17: Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số $min left< -10;10 ight>$ để bất phương trình

${{3}^{2 ext{x}+1}}-left( m+3
ight){{.3}^{x}}-2left( m+3
ight)>0$ có nghiệm?

A. 10 B. 5 C. 19 D. 13

Lời giải

Đặt $t={{3}^{x}}>0$ thì bất phương trình trở thành: $3{{t}^{2}}-left( m+3
ight)t-2m-6frac{3{{t}^{2}}-3t-6}{t+2}=fleft( t
ight)$.

Xét hàm số $fleft( t
ight)=frac{3{{t}^{2}}-3t-6}{t+2}$ trên $left( 0;+infty
ight)$, có ${f}”left( t
ight)=frac{3{{t}^{2}}+12t}{{{left( t+2
ight)}^{2}}}>0;forall t>0$.

Suy ra $fleft( t
ight)$ là hàm số đồng biến trên $left( 0;+infty
ight)Leftrightarrow min fleft( t
ight)=-3$.

Yêu cầu bài toán $Leftrightarrow m>underset{left( 0;+infty
ight)}{mathop{min }},fleft( t
ight)=-3$.

Kết hợp với $min mathbb{Z}$ và $min left< -10;10 ight>xrightarrow{{}}$ có 13 giá trị nguyên cần tìm. Chọn D.

Ví dụ 18: Cho bất phương trình $m{{.3}^{x+1}}+left( 3m+2 ight){{left( 4-sqrt{7} ight)}^{x}}+{{left( 4+sqrt{7} ight)}^{x}}>0$, với m là tham số. Tìm tất cả các giá trị của tham số m để bất phương trình đã cho nghiệm đúng với mọi $x A. $m>frac{2+2sqrt{3}}{3}$ B. $m>frac{2-2sqrt{3}}{3}$ C. Xem thêm: Cách Tính Diện Tích Xây Dựng Và Diện Tích Sàn, Diện Tích Sàn Là Gì $mge frac{2-2sqrt{3}}{3}$ D. $m>-frac{2-2sqrt{3}}{3}$

Lời giải