Phương Trình Langland – Hiểu Nôm Na “Bổ Đề Cơ Bản” Ngô Bảo Châu

(The fundamental Lemma and Langlands program) Tạp chí Time vừa bình chọn 10 khám phá khoa học nổi bật nhất trong năm 2009 , trong đó có chứn…

Đang xem: Phương trình langland

(The fundamental Lemma and Langlands program) Tạp chí Time vừa bình chọn 10 khám phá khoa học nổi bật nhất trong năm 2009, trong đó có chứng minh Bổ đề cơ bản của Ngô Bảo Châu, một nhà toán học người Việt đang làm việc ở Pháp và Mỹ. Đây là thành tích nổi bật nhất về khoa học của người Việt Nam từ trước đến nay. Đọc thông tin về Bổ đề này tôi thấy rất khó hiểu, khó hiểu hơn rất nhiều lần khi tôi đọc về Định đề Poincare và huy chương Fields cho nhà toán học Nga Perelman. Có thể về Định đề Poincare và câu chuyện của Perelman có bài viết rất xuất sắc của Nasar và Grube trên tạp chí The New Yorker nên tôi có thể nắm bắt được vấn đề. Tôi cũng muốn đọc một bài viết tương tự như thế về Bổ đề cơ bản này, nhưng hiện nay tôi không tìm thấy một bài viết nào như vậy. Nếu không có bài viết nào thì tại sao tôi không thử viết về chính nó như một cách tôi hiểu nó như thế nào? Câu chuyện có lẽ phải quay về Galois, nhà toán học người Pháp, người đặt nền móng cho toán học hiện đại. Cuộc đời của Galois là câu chuyện về một thiên tài đoản mệnh mang âm hưởng như một sáng tác văn chương. Trong đêm cuối cùng của cuộc đời mình, Galois để lại bức thư tuyệt mệnh trong đó có nêu phát hiện mối liên hệ giữa lý thuyết nhóm và lời giải phương trình đa thức. Trước Galois, người ta đã biết phương trình đa thức từ bậc 5 trở lên không có công thức nghiệm tổng quát. Đó là nội dung của định lý Abel. Chẳng hạn như phương trình bậc nhất a x + b = 0 có công thức nghiệm tổng quát x=-b/a. Nhưng định lý Abel không cho biết khi nào phương trình đa thức có nghiệm và có thể giải được. Lý thuyết của Galois trả lời được vấn đề này. Kết quả là một phương trình đa thức có thể giải được hay không phụ thuộc vào các nghiệm số của nó có tạo thành một nhóm hoán vị hay không. Nhóm hoán vị này gọi là nhóm Galois. Chẳng hạn đối với phương trình bậc 2: a x^2 + b x + c = 0 có nghiệm số x1, x2 thỏa mãn công thức Viete: x1+x2=-b/a và x1*x2=c/a. Nếu đổi chỗ hai nghiệm này cho nhau trong công thức Viete thì ta vẫn thu được đẳng thức đúng: x2+x1=-b/a và x2*x1=c/a. Như vậy nghiệm số của phương trình bậc 2 có hai phép đối xứng: một là đồng nhất và hai là hoán vị. Chúng tạo thành nhóm Galois. Từ khái niệm nhóm Galois người ta phát triển tới khái niệm biểu diễn Galois. Biểu diễn Galois có thể xem là diễn tả mối quan hệ phức tạp giữa các nghiệm số của các phương trình nghiên cứu trong lý thuyết số.Từ thế kỷ 17 Fermat, một nhà toán học Pháp, từng đặt câu hỏi một số nguyên tố lẻ như thế nào có thể viết thành tổng của hai số chính phương? Ví dụ như 13=3^2 + 2^2. Fermat tìm ra số nguyên tố lẻ là đồng dư 1 của 4 (có nghĩa là chia cho 4 dư 1) có tính chất như vậy. Ví dụ như các số 5, 13, 17… Như vậy mẫu hình cho số nguyên tố lẻ là đồng dư 1 của 4 có tính chất chu kỳ, hay nói cách khác là có tính chất đối xứng. Định lý Fermat này là ví dụ đơn giản cho bài toán tổng quát hơn có tên gọi là luật nghịch đảo. Luật nghịch đảo tìm điều kiện để một phương trình bình phương đồng dư một số nguyên tố có nghiệm.