Hướng dẫn học sinh sử dụng công thức Vi – et để giải các bài toán chứa tham số trong phương trình bậc hai
ctvlingocard.vn105 2 năm trước 24645 lượt xem | Toán Học 9
Hướng dẫn học sinh sử dụng công thức Vi – et để giải các bài toán chứa tham số trong phương trình bậc hai
CHUYÊN ĐỀ: BÀI TOÁN CHỨA THAM SỐ
TRONG PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI
A. Lý thuyết
I. Ứng dụng hệ thức Vi-ét:
Xét phương trình bậc hai: .
Đang xem: Phương trình chứa tham số
Gọi ,
lần lượt là tổng và tích của hai nghiệm <{{x}_{1}}, ext{ }{{x}_{2}}>.
Hệ thức Viét:
.
Điều kiện
.Điều kiện
.Điều kiện
II. Các hệ thức thường gặp
<{{x}_{1}}^{2}+{{x}_{2}}^{2}=left( {{x}_{1}}^{2}+2{{x}_{1}}.{{x}_{2}}+{{x}_{2}}^{2}
ight)-2{{x}_{1}}.{{x}_{2}}={{left( {{x}_{1}}+{{x}_{2}}
ight)}^{2}}-2{{x}_{1}}.{{x}_{2}}={{S}^{2}}-2P>.<{{x}_{1}}-{{x}_{2}}=pm sqrt{{{left( {{x}_{1}}+{{x}_{2}}
ight)}^{2}}-4{{x}_{1}}{{x}_{2}}}=pm sqrt{{{S}^{2}}-4P}>.<{{x}_{2}}-{{x}_{1}}=pm sqrt{{{left( {{x}_{1}}+{{x}_{2}}
ight)}^{2}}-4{{x}_{1}}{{x}_{2}}}=pm sqrt{{{S}^{2}}-4P}>.<{{x}_{1}}^{2}-{{x}_{2}}^{2}=left( {{x}_{1}}+{{x}_{2}}
ight)left( {{x}_{1}}-{{x}_{2}}
ight)=pm left( {{x}_{1}}+{{x}_{2}}
ight)sqrt{{{left( {{x}_{1}}+{{x}_{2}}
ight)}^{2}}-4{{x}_{1}}{{x}_{2}}}=pm S.sqrt{{{S}^{2}}-4P}>.<{{x}_{1}}^{3}+{{x}_{2}}^{3}=left( {{x}_{1}}+{{x}_{2}}
ight)left( {{x}_{1}}^{2}-{{x}_{1}}.{{x}_{2}}+{{x}_{2}}^{2}
ight)=left( {{x}_{1}}+{{x}_{2}}
ight)left< {{left( {{x}_{1}}+{{x}_{2}}
ight)}^{2}}-3{{x}_{1}}.{{x}_{2}}
ight>=S.left( {{S}^{2}}-3P
ight)>.<{{x}_{1}}^{4}+{{x}_{2}}^{4}={{left( {{x}_{1}}^{2}
ight)}^{2}}+{{left( {{x}_{2}}^{2}
ight)}^{2}}={{left( {{x}_{1}}^{2}+{{x}_{2}}^{2}
ight)}^{2}}-2{{x}_{1}}^{2}.{{x}_{2}}^{2}={{left< {{left( {{x}_{1}}+{{x}_{2}}
ight)}^{2}}-2{{x}_{1}}{{x}_{2}}
ight>}^{2}}-2x_{1}^{2}x_{2}^{2}>.
<={{left( {{S}^{2}}-2P ight)}^{2}}-2{{P}^{2}}>.
ight)left< {{S}^{2}}-P
ight>>.<{{x}_{1}}^{4}-{{x}_{2}}^{4}={{left( {{x}_{1}}^{2}
ight)}^{2}}-{{left( {{x}_{2}}^{2}
ight)}^{2}}=left( {{x}_{1}}^{2}+{{x}_{2}}^{2}
ight)left( {{x}_{1}}^{2}-{{x}_{2}}^{2}
ight)=pm left( {{S}^{2}}-2P
ight)left( S.sqrt{{{S}^{2}}-4P}
ight)>.
B. Bài tập
I. Bài tập minh họa
Câu 1: Cho phương trình $left( 2m-1
ight){{x}^{2}}-2mx+1=0$. Xác định $m$ để phương trình trên có nghiệm thuộc khoảng $left( -1;0
ight)$.
Lời giải
Xét $2m-1=0Rightarrow m=frac{1}{2}$ phương trình trở thành $-x+1=0Rightarrow x=1
otin left( -1;0
ight)$Xét $2m-1
e 0Rightarrow m
e frac{1}{2}$ khi đó ta có:
$Delta “={{m}^{2}}-left( 2m-1
ight)={{m}^{2}}-2m+1={{left( m-1
ight)}^{2}}ge 0$ mọi $m$.
Suy ra phương trình có nghiệm với mọi $m$.
Ta thấy nghiệm $x=1$không thuộc khoảng $left( -1;0
ight)$
Với $m
e frac{1}{2}$phương trình còn có nghiệm là $x=frac{m-m+1}{2m-1}=frac{1}{2m-1}$
Phương trình có nghiệm trong khoảng $left( -1;0
ight)$ suy ra
Vậy phương trình đã cho có nghiệm trong khoảng $left( -1;0
ight)$ khi và chỉ khi $m
Câu 2: Cho phương trình <{{x}^{2}}-left( 2m-1
ight)x+{{m}^{2}}-1=0> (
Tìm điều kiện của
ight)}^{2}}={{x}_{1}}-3{{x}_{2}}$.
Lời giải
$Delta ={{left( 2m-1
ight)}^{2}}-4.left( {{m}^{2}}-1
ight)=5-4m$
Phương trình có hai nghiệm phân biệt $Leftrightarrow m
Phương trình hai nghiệm $Leftrightarrow m
Áp dụng hệ thức Vi-ét, ta có:
Theo đề bài:
<{{left( {{x}_{1}}-{{x}_{2}} ight)}^{2}}={{x}_{1}}-3{{x}_{2}}Leftrightarrow {{left( {{x}_{1}}+{{x}_{2}} ight)}^{2}}-4{{x}_{1}}{{x}_{2}}={{x}_{1}}-3{{x}_{2}}>
Ta có hệ phương trình:
$Rightarrow frac{m+1}{2}cdot frac{3(m-1)}{2}={{m}^{2}}-1Leftrightarrow 3left( {{m}^{2}}-1
ight)=4left( {{m}^{2}}-1
ight)$
$Leftrightarrow {{m}^{2}}-1=0Leftrightarrow m=pm 1$
Kết hợp với điều kiện $Rightarrow m=pm 1$ là các giá trị cần tìm
Câu 3: Tìm $m$ để phương trình ${{x}^{2}}+5x+3m-1=0$ (
Lời giải
Để phương trình có hai nghiệm phân biệt
Áp dụng hệ thức Vi-ét
Ta có: $x_{1}^{3}-x_{2}^{3}+3{{x}_{1}}{{x}_{2}}=75$
$Leftrightarrow left( {{x}_{1}}-{{x}_{2}}
ight)left( {{left( {{x}_{1}}+{{x}_{2}}
ight)}^{2}}-{{x}_{1}}{{x}_{2}}
ight)+3{{x}_{1}}{{x}_{2}}=75$
$Rightarrow left( {{x}_{1}}-{{x}_{2}}
ight)left( 25-{{x}_{1}}{{x}_{2}}
ight)+3{{x}_{1}}{{x}_{2}}=75$
$Leftrightarrow 25left( {{x}_{1}}-{{x}_{2}}
ight)-left( {{x}_{1}}-{{x}_{2}}
ight){{x}_{1}}{{x}_{2}}+3{{x}_{1}}{{x}_{2}}=75$
$Rightarrow {{x}_{1}}-{{x}_{2}}=3$
Kết hợp ${{x}_{1}}+{{x}_{2}}=-5$ suy ra ${{x}_{1}}=-1;{{x}_{2}}=-4$ Thay vào ${{x}_{1}}{{x}_{2}}=3m-1$ suy ra $m=frac{5}{3}$
Vậy $m=frac{5}{3}$ là giá trị cần tìm
Câu 4: Cho phương trình ${{x}^{2}}-10mx+9m=0$ ($m$ là tham số)
Giải phương trình đã cho với $m=1$.Tìm các giá trị của tham số $m$ để phương trình đã cho có hai nghiệm <{{x}_{1}}>, <{{x}_{2}}> thỏa điều kiện ${{x}_{1}}-9{{x}_{2}}=0$
Lời giải
Với $m=1$ phương trình đã cho trở thành ${{x}^{2}}-10x+9=0$
Ta có $a+b+c=0$ nên phương trình có hai nghiệm phân biệt là
$Delta “={{left( -5m
ight)}^{2}}-1.9m=25{{m}^{2}}-9m$
Điều kiện phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt là $Delta “>0Leftrightarrow 25{{m}^{2}}-9m>0$ (*)
Theo hệ thức Vi-ét, ta có:
Câu 5: Cho phương trình ${{x}^{2}}-2(m+1)x+{{m}^{2}}+m-1=0$ ($m$ là tham số)
Giải phương trình đã cho với $m=0$.Tìm $m$ để phương trình có hai nghiệm phân biệt <{{x}_{1}}>, <{{x}_{2}}> thỏa mãn điều kiện $frac{1}{{{x}_{1}}}+frac{1}{{{x}_{2}}}=4$
Lời giải
a) Với $m=0$, phương trình đã cho trở thành: ${{x}^{2}}-2x-1=0$
$Delta “=2 ext{ ; }{{ ext{x}}_{1,2}}=1pm sqrt{2}$
Vậy với $m=0$ thì nghiệm của phương trình đã cho là ${{x}_{1,2}}=1pm sqrt{2}$.
b) $Delta “=m+2$ Phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt $Leftrightarrow Delta >0Leftrightarrow m+2>0Leftrightarrow m>-2$
Áp dụng hệ thức Vi-ét, ta có:
Do đó:
$frac{1}{{{x}_{1}}}+frac{1}{{{x}_{2}}}=4Leftrightarrow frac{{{x}_{1}}+{{x}_{2}}}{{{x}_{1}}{{x}_{2}}}=4Leftrightarrow frac{2(m+1)}{{{m}^{2}}+m-1}=4$
Kết hợp với điều kiện $Rightarrow min left{ 1;-frac{3}{2}
ight}$ là các giá trị cần tìm.
II. Bài tập tự luyện
Câu 1: Cho phương trình $2{{x}^{2}}+(2m-1)x+m-1=0$ ($m$ là tham số). Không giải phương trình, tìm $m$ để phương trình có hai nghiệm phân biệt <{{x}_{1}}>, <{{x}_{2}}> thỏa mãn $3{{x}_{1}}-4{{x}_{2}}=11$
Câu 2: Cho phương trình ${{x}^{2}}-2(m-1)x+{{m}^{2}}-3=0$ ($m$ là tham số).
Tìm $m$ để phương trình đã cho có nghiệm.Tìm $m$ để phương trình đã cho có hai nghiệm sao cho nghiệm này bằng ba lần nghiệm kia.
Câu 3: Cho phương trình $frac{1}{2}{{x}^{2}}-mx+frac{1}{2}{{m}^{2}}+4m-1=0$ ($m$ là tham số).
Giải phương trình đã cho với $m=-1$ .Tìm $m$ để phương trình đã cho có hai nghiệm thỏa mãn
Câu 4: Tìm tất cả các số tự nhiên $m$ để phương trình ${{x}^{2}}-{{m}^{2}}x+m+1=0$ ($m$ là tham số) có nghiệm nguyên.
Câu 5: Cho phương trình ${{x}^{2}}-2(m-1)x+m-3=0$ ($m$ là tham số).
Chứng minh phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt.Tìm một hệ thức liên hệ giữa hai nghiệm của phương trình đã cho mà không phụ thuộc vào $m$.Tìm giá trị nhỏ nhất của $P=x_{1}^{2}+x_{2}^{2}$ (với <{{x}_{1}}>, <{{x}_{2}}> là nghiệm của phương trình đã cho)
Câu 6: Cho phương trình ${{x}^{2}}-mx+m-1=0$ ($m$ là tham số).
Gọi hai nghiệm của phương trình là <{{x}_{1}}>, <{{x}_{2}}>. Tính giá trị của biểu thức
Câu 7: Cho phương trình ${{x}^{2}}-left( 2m+2
ight)x+2m=0$ ($m$ là tham số). Tìm $m$ để phương trình có hai nghiệm <{{x}_{1}}>, <{{x}_{2}}> thỏa mãn $sqrt{{{x}_{1}}}+sqrt{{{x}_{2}}}le sqrt{2}$
Câu 8: Cho phương trình ${{x}^{2}}-left( m+1
ight)x+m=0$ ($m$ là tham số). Gọi <{{x}_{1}}>, <{{x}_{2}}> là hai nghiệm của phương trình đã cho. Tìm giá trị của $m$ để $A=x_{1}^{2}{{x}_{2}}+{{x}_{1}}x_{2}^{2}+2007$ đạt giá trị nhỏ nhất. Tìm giá trị nhỏ nhất đó.
Câu 9: Cho phương trình ${{x}^{2}}+2mx+2m-1=0$ ($m$ là tham số). Gọi <{{x}_{1}}>, <{{x}_{2}}> là hai nghiệm của phương trình đã cho. Tìm giá trị của $m$ để $A=x_{1}^{2}{{x}_{2}}+{{x}_{1}}x_{2}^{2}$ đạt giá trị lớn nhất.
Câu 10: Cho phương trình ${{x}^{2}}-2left( m-1
ight)x+2m-5=0$ ($m$ là tham số).
Chứng minh rằng phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi $m$.Tìm giá trị của $m$ để phương trình có hai nghiệm <{{x}_{1}}>, <{{x}_{2}}> thỏa mãn ${{x}_{1}}
Câu 11: Cho phương trình <{{x}^{2}}-mx+m-2=0> ($m$ là tham số).
Chứng minh phương trình đã cho luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi giá trị $m$.Định $m$ để hai nghiệm <{{x}_{1}}>, <{{x}_{2}}> của phương trình thỏa mãn
Câu 12: Cho phương trình <{{x}^{2}}-mx-1=0> (1) ($m$ là tham số).
Chứng minh phương trình luôn có hai nghiệm trái dấu.Gọi <{{x}_{1}}>, <{{x}_{2}}> là các nghiệm của phương trình (1):
Tính giá trị của biểu thức: $P=frac{x_{1}^{2}+{{x}_{1}}-1}{{{x}_{1}}}-frac{x_{2}^{2}+{{x}_{2}}-1}{{{x}_{2}}}$
Câu 13: Cho phương trình <{{x}^{2}}-left( 2m-1
ight)x+{{m}^{2}}-1=0> $left( 1
ight)$ ($m$ là tham số).
Tìm điều kiện của $m$ để phương trình $left( 1
ight)$ có 2 nghiệm phân biệt.Định $m$ để hai nghiệm <{{x}_{1}}>, <{{x}_{2}}> của phương trình $left( 1
ight)$ thỏa mãn: ${{left( {{x}_{1}}-{{x}_{2}}
ight)}^{2}}={{x}_{1}}-3{{x}_{2}}$.
Câu 14: Tìm $m$ để phương trình <{{x}^{2}}-2x-2m+1=0> ($m$ là tham số) có hai nghiệm phân biệt <{{x}_{1}}>, <{{x}_{2}}> thỏa mãn điều kiện
Câu 15: Xác định giá trị $m$ trong phương trình <{{x}^{2}}-8x+m=0> để <4+sqrt{3}> là nghiệm của phương trình. Với $m$ vừa tìm được, phương trình đã cho còn một nghiệm nữa. Tìm nghiệm còn lại.
Câu 16: Cho phương trình <{{x}^{2}}-left( 2m+1 ight)x+{{m}^{2}}+m-1=0> ($m$ là tham số).
Chứng minh rằng phương trình luôn có nghiệm với mọi $m$.Gọi <{{x}_{1}}>, <{{x}_{2}}> là hai nghiệm của phương trình. Tìm $m$ sao cho $A=left( 2{{x}_{1}}-{{x}_{2}}
ight)left( 2{{x}_{2}}-{{x}_{1}}
ight)$ đạt giá trị nhỏ nhất và tính giá trị nhỏ nhất đó.
Câu 17: Cho phương trình <{{x}^{2}}-2mx+{{m}^{2}}-frac{1}{2}=0> ($m$ là tham số).
Chứng minh rằng hhương trình luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi giá trị $m$.Tìm $m$ để hai nghiệm của phương trình có giá trị tuyệt đối bằng nhau.Tìm $m$ để hai nghiệm đó là số đo của 2 cạnh góc vuông của tam giác vuông có cạnh huyền bằng 3.
Câu 18: Cho phương trình <{{x}^{2}}-2x+m+3=0> ($m$ là tham số).
Tìm $m$ để phương trình có nghiệm $x=-1$. Tính nghiệm còn lại.Tìm $m$ để hai nghiệm phân biệt <{{x}_{1}}>, <{{x}_{2}}> thỏa mãn hệ thức $x_{1}^{3}+x_{2}^{3}=8$
Câu 19: Tìm các giá trị của tham số $m$ để phương trình <{{x}^{2}}+left( 2m-1 ight)x+{{m}^{2}}-1=0> có hai nghiệm phân biệt <{{x}_{1}}>, <{{x}_{2}}> sao cho biểu thức $P=x_{1}^{2}+x_{2}^{2}$ đạt giá trị nhỏ nhất.
Câu 20: Cho phương trình <{{x}^{2}}-left( m+5
ight)x+2m+6=0> (
Chứng minh rằng: phương trình đã cho luôn luôn có hai nghiệm với mọi giá trị của
Hướng dẫn giải
Câu 1:
Để phương trình có hai nghiệm phân biệt <{{x}_{1}}>, <{{x}_{2}}> thì $Delta >0$
$Leftrightarrow {{left( 2m-1
ight)}^{2}}-4.2.left( m-1
ight)>0$
$Leftrightarrow 4{{m}^{2}}-12m+9>0Leftrightarrow {{left( 2m-3
ight)}^{2}}>0Rightarrow m
e frac{3}{2}$
Mặt khác, theo hệ thức Vi-ét và giả thiết ta có:
Giải phương trình <3frac{13-4m}{7}-4frac{7m-7}{26-8m}=11>
Ta được
Câu 2:
Phương trình đã cho có nghiệm khi và chỉ khi ${{Delta }^{“}}ge 0$
$Leftrightarrow {{left< -left( m-1
ight)
ight>}^{2}}-1.left( {{m}^{2}}-3
ight)ge 0$
$Leftrightarrow -2m+4ge 0$
$Leftrightarrow mle 2$
Vậy $mle 2$ là các giá trị cần tìm
Với $m
Gọi một nghiệm của phương trình đã cho là $a$ thì nghiệm kia là $3a$. Theo hệ thức Vi-ét, ta có:
Vậy
Câu 3:
Với $m=-1$ phương trình trở thành
Để phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt thì
Để phương trình có nghiệm khác 0
Ta có
Kết hợp với điều kiện ta được
Câu 4:
$Delta ={{left( -{{m}^{2}}
ight)}^{2}}-4.1.left( m+1
ight)={{m}^{4}}-4m-4$
Phương trình có nghiệm nguyên khi $Delta ={{m}^{4}}-4m-4$ là số chính phương
Nếu
thì $Delta
Nếu $m=2$ thì $Delta =4={{2}^{2}}$ (nhận)
Nếu $mge 3$ thì $2mleft( m-2
ight)>5Leftrightarrow 2{{m}^{2}}-4m-5>0$
$Leftrightarrow Delta -left( 2{{m}^{2}}-4m-5
ight)
$Leftrightarrow {{m}^{4}}-2{{m}^{2}}+1
$Delta $ không là số chính phương.
Vậy $m=2$là giá trị cần tìm
Câu 5:
a) ${{Delta }^{“}}={{left< -left( m-1
ight)
ight>}^{2}}-1.left( m-3
ight)={{m}^{2}}-3m+4={{left( m-frac{3}{2}
ight)}^{2}}+frac{7}{4}>0$, $forall m$
Vậy phương trình đã cho luôn có hai nghiệm phân biệt.
Xem thêm: Văn Nghị Luận Bạo Lưc Học Đường Ở Học Sinh, Nghị Luận Xã Hội 200 Chữ Về Bạo Lực Học Đường
b) Theo hệ thức Vi-ét, ta có:
$Leftrightarrow {{x}_{1}}+{{x}_{2}}-2{{x}_{1}}{{x}_{2}}-4=0$ không phụ thuộc vào $m$.
c) $P=x_{1}^{2}+x_{2}^{2}={{left( {{x}_{1}}+{{x}_{2}}
ight)}^{2}}-2{{x}_{1}}{{x}_{2}}=4{{left( m-1
ight)}^{2}}-2left( m-3
ight)$
$={{left( 2m-frac{5}{2}
ight)}^{2}}+frac{15}{4}ge frac{15}{4}$, $forall m$
Do đó ${{P}_{min }}=frac{15}{4}$ và dấu $””=””$ xảy ra khi $2m-frac{5}{2}=0Leftrightarrow m=frac{5}{4}$
Vậy ${{P}_{min }}=frac{15}{4}$ với $m=frac{5}{4}$.
Câu 6:
Theo hệ thức Vi-ét, ta có:
Ta có
<=frac{{{m}^{2}}-2m+1}{mleft( m-1 ight)}=frac{{{left( m-1 ight)}^{2}}}{mleft( m-1 ight)}>
Để $M>0Rightarrow frac{{{left( m-1
ight)}^{2}}}{mleft( m-1
ight)}>0Rightarrow mleft( m-1
ight)>0$
Ta có $P=x_{1}^{2}+x_{2}^{2}-1={{left( {{x}_{1}}+{{x}_{2}}
ight)}^{2}}-2{{x}_{1}}{{x}_{2}}-1={{m}^{2}}-2left( m-1
ight)-1$
$={{m}^{2}}-2m+1={{left( m-1
ight)}^{2}}ge 0$, $forall m$
Do đó ${{P}_{min }}=0$ và dấu $””=””$ xảy ra khi $m-1=0Leftrightarrow m=1$
Vậy ${{P}_{min }}=0$ với $m=1$.
Câu 7:
Điều kiện PT có 2 nghiệm không âm <{{x}_{1}}>, <{{x}_{2}}> là
Theo hệ thức Vi-ét:
Ta có $sqrt{{{x}_{1}}}+sqrt{{{x}_{2}}}le sqrt{2}Leftrightarrow {{x}_{1}}+{{x}_{2}}+2sqrt{{{x}_{1}}{{x}_{2}}}le 2$
$Leftrightarrow 2m+2+2sqrt{2m}le 2Leftrightarrow m=0$ (thoả mãn)
Vậy $m=0$ là giá trị cần tìm.
Câu 8:
Ta có $Delta ={{ ext{ }!!!! ext{ }}^{ ext{2}}}-4m={{m}^{2}}-2m+1={{(m-1)}^{2}}$
Để phương trình có hai nghiệm phân biệt $Delta >0Rightarrow {{left( m-1
ight)}^{2}}>0Rightarrow m
e 1$
Theo hệ thức Vi-ét, ta có:
Ta có $A=x_{1}^{2}{{x}_{2}}+{{x}_{1}}x_{2}^{2}+2007={{x}_{1}}{{x}_{2}}left( {{x}_{1}}+{{x}_{2}}
ight)+2007$
$=mleft( m+1
ight)+2007={{m}^{2}}+m+2007={{m}^{2}}+2.m.frac{1}{2}+frac{1}{4}+2006+frac{3}{4}$
$={{left( m+frac{1}{2}
ight)}^{2}}+frac{8027}{4}ge frac{8027}{4}$, $forall m$
Dấu $””=””$ xảy ra $m+frac{1}{2}=0Leftrightarrow m=frac{-1}{2}$
Vậy ${{A}_{min }}=frac{8027}{4}$ với $m=-frac{1}{2}$.
Câu 9:
Ta có $Delta ={{left( 2m
ight)}^{2}}-4.1.left( 2m-1
ight)=4{{m}^{2}}-8m+4=4{{left( m-1
ight)}^{2}}$
Để phương trình có hai nghiệm phân biệt $Delta >0Rightarrow {{left( m-1
ight)}^{2}}>0Rightarrow m
e 1$
Theo hệ thức Vi-ét, ta có:
Ta có $A=x_{1}^{2}{{x}_{2}}+{{x}_{1}}x_{2}^{2}={{x}_{1}}{{x}_{2}}left( {{x}_{1}}+{{x}_{2}}
ight)$
$=mleft( m+1
ight)+2007=left( 2m-1
ight)left( -2m
ight)=-4{{m}^{2}}+2m=-4left( {{m}^{2}}-frac{1}{2}m
ight)$
$=-4left( {{m}^{2}}-2.m.frac{1}{4}+frac{1}{16}-frac{1}{16}
ight)=-4{{left( m-frac{1}{4}
ight)}^{2}}+frac{1}{4}le frac{1}{4}$, $forall m$
Dấu $””=””$ xảy ra $m-frac{1}{4}=0Leftrightarrow m=frac{1}{4}$
Vậy ${{A}_{operatorname{m} ext{ax}}}=frac{1}{4}$ với $m=frac{1}{4}$.
Câu 10:
Ta có $Delta ={{left< -2left( m-1
ight)
ight>}^{2}}-4.1.left( 2m-5
ight)=4{{m}^{2}}-12m+22$
$={{left( 2m
ight)}^{2}}-2.2m.3+9+13={{left( 2m+3
ight)}^{2}}+13>0$, $forall m$
Phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi $m$.
Theo hệ thức Vi-ét, ta có
(I)
Theo giả thiết
(II)
Thay (I) vào (II) ta có:
$left( 2m-5
ight)-left( 2m-2
ight)+1
Vậy với mọi $m$ thì phương trình trên có hai nghiệm <{{x}_{1}}>, <{{x}_{2}}> thỏa mãn ${{x}_{1}}
Câu 11:
Chứng minh phương trình luôn có 2 nghiệm phân biệt với mọi giá trị $m$.
Vậy phương trình có 2 nghiệm phân biệt với mọi $m$.
Vì $a+b+c=1-m+m-2=-1
e 0$,
Phương trình <{{x}^{2}}-mx+m-2=0Rightarrow {{x}^{2}}-2=mx-m>
Ta có
Vậy $m=pm 2$ là các giá trị cần tìm.
Câu 12:
Ta có $a.c=1.left( -1
ight)=-1
b. Ta có
do <{{x}_{1}}>, <{{x}_{2}}> là nghiệm của phương trình (1).
Do đó $P=frac{x_{1}^{2}+{{x}_{1}}-1}{{{x}_{1}}}-frac{x_{2}^{2}+{{x}_{2}}-1}{{{x}_{2}}}=frac{m{{x}_{1}}+1+{{x}_{1}}-1}{{{x}_{1}}}-frac{m{{x}_{2}}+1+{{x}_{2}}-1}{{{x}_{2}}}$
$=frac{{{x}_{1}}left( m+1
ight)}{{{x}_{1}}}-frac{{{x}_{2}}left( m+1
ight)}{{{x}_{2}}}=left( m+1
ight)-left( m+1
ight)=0$ vì <{{x}_{1}}>, <{{x}_{2}}>$
e 0$.
Vậy $P=0$.
Câu 13:
$Delta ={{left< -left( 2m-1
ight)
ight>}^{2}}-4.1.left( {{m}^{2}}-1
ight)=-4m+5$
Phương trình có hai nghiệm phân biệt khi $Delta >0Leftrightarrow -4m+5>0Leftrightarrow m
Theo hệ thức Vi-ét, ta có
Ta có ${{left( {{x}_{1}}-{{x}_{2}}
ight)}^{2}}={{x}_{1}}-3{{x}_{2}}Leftrightarrow {{left( {{x}_{1}}+{{x}_{2}}
ight)}^{2}}-4{{x}_{1}}{{x}_{2}}={{x}_{1}}+{{x}_{2}}-4{{x}_{2}}$
$Leftrightarrow {{left( 2m-1
ight)}^{2}}-4left( {{m}^{2}}-1
ight)=2m-1-4{{x}_{2}}Leftrightarrow 6m-6-4{{x}_{2}}=0Leftrightarrow {{x}_{2}}=frac{3m-3}{2}$
Suy ra ${{x}_{1}}=frac{m+1}{2}$
Do đó $frac{m+1}{2}.frac{3m-3}{2}={{m}^{2}}-1Leftrightarrow {{m}^{2}}-1=0Leftrightarrow m=pm 1$ (thỏa mãn điều kiện có nghiệm)
Vậy $m=pm 1$ là các giá trị cần tìm.
Câu 14:
$Delta ={{left( -2
ight)}^{2}}-4.1.left( -2m+1
ight)=8m$
Phương trình có hai nghiệm phân biệt khi $Delta >0Leftrightarrow 8m>0Leftrightarrow m>0$
Theo hệ thức Vi-ét, ta có
(I)
Ta có
Thay (I) vào (II) ta có:
<2{{(-2m+1)}^{2}}-left< 4-2left( -2m+1 ight) ight>=8Leftrightarrow 2{{m}^{2}}-3m-2=0>
So với điều kiện có nghiệm $m>0$.
Vậy $m=2$ là giá trị cần tìm.
Câu 15:
Do <4+sqrt{3}> là nghiệm của phương trình nên thỏa:
${{left( 4+sqrt{3}
ight)}^{2}}-8left( 4+sqrt{3}
ight)+m=0$
$Leftrightarrow m-13=0Leftrightarrow m=13$
Thay
ight)$
${{Delta }^{“}}={{left( -4
ight)}^{2}}-1.13=3$
Phương trình $left( *
ight)$ có hai nghiệm phân biệt là:
Vậy $x=4-sqrt{3}$ là giá trị cần tìm.
Câu 16:
Ta có $Delta ={{left< -left( 2m+1
ight)
ight>}^{2}}-4.1.left( {{m}^{2}}+m-1
ight)=5>0$, $forall m$.
Nên phương trình luôn có nghiệm với mọi $m$.
Theo hệ thức Vi-ét, ta có:
Ta có $A=left( 2{{x}_{1}}-{{x}_{2}}
ight)left( 2{{x}_{2}}-{{x}_{1}}
ight)=5{{x}_{1}}{{x}_{2}}-2left( x_{1}^{2}+x_{2}^{2}
ight)=9{{x}_{1}}{{x}_{2}}-2{{left( {{x}_{1}}+{{x}_{2}}
ight)}^{2}}$
$=9left( {{m}^{2}}+m-1
ight)-2{{left( 2m+1
ight)}^{2}}={{m}^{2}}+m-11$
$={{m}^{2}}+2.m.frac{1}{2}+frac{1}{4}-frac{1}{4}-11={{left( m+frac{1}{2}
ight)}^{2}}-frac{45}{4}ge -frac{45}{4}$, $forall m$
Dấu $””=””$ xảy ra $m+frac{1}{2}=0Leftrightarrow m=-frac{1}{2}$
Vậy ${{A}_{min }}=-frac{45}{4}$ với $m=-frac{1}{2}$.
Câu 17:
${{Delta }^{“}}={{left( -m
ight)}^{2}}-1.left( {{m}^{2}}-frac{1}{2}
ight)=frac{1}{2}>0$, $forall m$.
Nên phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi giá trị $m$.
b. Hai nghiệm của phương trình là
Theo đề bài ta có $left| m-frac{sqrt{2}}{2}
ight|=left| m+frac{sqrt{2}}{2}
ight|Leftrightarrow {{m}^{2}}-sqrt{2}m+frac{1}{2}={{m}^{2}}+sqrt{2}m+frac{1}{2}$
$Leftrightarrow 2sqrt{2}m=0Leftrightarrow m=0$
c. Theo định lý Pitago ta có: ${{left( m-frac{sqrt{2}}{2}
ight)}^{2}}+{{left( m+frac{sqrt{2}}{2}
ight)}^{2}}=9Leftrightarrow 2{{m}^{2}}-8=0Leftrightarrow {{m}^{2}}-4=0$
Câu 18:
Vì phương trình ${{x}^{2}}-2x+m+3=0$ có nghiệm $x=-1$ nên ta có:
${{(-1)}^{2}}-2.(-1)+m+3=0Leftrightarrow m+6=0Leftrightarrow m=-6$
Áp dụng hệ thức Vi-ét, ta có:
${{x}_{1}}+{{x}_{2}}=2Leftrightarrow -1+{{x}_{2}}=2Leftrightarrow {{x}_{2}}=3$
Vậy $m=6$ và nghiệm còn lại là $x=3$.
Xem thêm: Khóa Học Aptech Bao Nhiêu Tiền, Học Phí Tại Aptech Là Bao Nhiêu
$Delta “={{1}^{2}}-1.left( m+3
ight)=-m-2$
Phương trình có hai nghiệm phân biệt $Leftrightarrow {{Delta }^{“}}>0Leftrightarrow m
Theo hệ thức Vi-ét, ta có:
Ta có
$x_{1}^{3}+x_{2}^{3}=8Leftrightarrow {{({{x}_{1}}+{{x}_{2}})}^{3}}-3{{x}_{1}}{{x}_{2}}({{x}_{1}}+{{x}_{2}})=8$
$Leftrightarrow {{2}^{3}}-3.(m+3).2=8Leftrightarrow 6(m+3)=0Leftrightarrow m+3=0$
$Leftrightarrow m=-3$ (thỏa mãn điều kiện)
Vậy $m=-3$ là giá trị cần tìm.
Câu 19:
$Delta ={{left( 2m-1
ight)}^{2}}-4.1.left( {{m}^{2}}-1
ight)=-4m+5$
Để phương trình có hai nghiệm phân biệt $Leftrightarrow Delta >0Leftrightarrow m
Theo hệ thức Vi-ét, ta có:
Ta có $P=x_{1}^{2}+x_{2}^{2}={{left( {{x}_{1}}+{{x}_{2}}
ight)}^{2}}-2{{x}_{1}}{{x}_{2}}$
$={{left< -left( 2m+1
ight)
ight>}^{2}}-2left( {{m}^{2}}-1
ight)=2{{m}^{2}}-4m+3$
$=2left( {{m}^{2}}-2.m.1+1-1
ight)+3=2{{left( m-1
ight)}^{2}}+1ge 1$, $forall m$