phương trình bất phương trình chứa căn 12

Phương trình chứa căn – Bất phương trình chứa căn

Các dạng phương trình chứa căn bậc hai, bất phương trình chứa căn thức bậc hai luôn là một dạng toán xuất hiện nhiều trong các kì thi học kì, thi tuyển sinh vào lớp 10, thi THPTQG.

Đang xem: Phương trình bất phương trình chứa căn 12

Để giải được phương trình, bất phương trình chứa căn, các em học sinh cần nắm vững kiến thức sau:

Lý thuyết và bài tập dấu tam thức bậc hai Lý thuyết và bài tập dấu nhị thức bậc nhất

1. Nguyên tắc chung để giải phương trình, bất phương trình chứa căn bậc 2

Nguyên tắc chung để khử dấu căn thức là bình phương 2 vế của một phương trình, bất phương trình. Tuy nhiên, để đảm bảo việc bình phương này cho chúng ta một phương trình, bất phương trình mới tương đương thì cần phải có điều kiện cả 2 vế pt, bpt đều không âm.

Do đó, về bản chất, chúng ta lần lượt kiểm tra 2 trường hợp âm, và không âm của các biểu thức (thường là 1 vế của phương trình, bất phương trình đã cho).

2. Các dạng phương trình chứa căn, bất phương trình chứa căn cơ bản

Có khoảng 4 dạng phương trình chứa căn, bất phương trình chứa căn cơ bản đó là

3. Cách giải phương trình chứa căn, cách giải bất phương trình chứa căn

Chi tiết về phương pháp giải các dạng phương trình, bất phương trình chứa căn, xin mời thầy cô và các em học sinh theo dõi trong video sau đây.

4. Một số ví dụ về phương trình và bất phương trình chứa căn thức

Ví dụ 1. Giải phương trình

$$sqrt } = x – 2$$

Hướng dẫn. Phương trình đã cho tương đương với

<egin ,,,,,,,left x – 2 ge 0\ 4 + 2x – = end ight.\ Leftrightarrow left x ge 2\ – 3x = 0 end ight.\ Leftrightarrow left x ge 2\ x = 0, vee ,x = 3 end ight. \ Leftrightarrow x = 3 end> Vậy phương trình đã cho có nghiệm duy nhất $x = 3$.

Ví dụ 2.  Giải phương trình

Hướng dẫn. Phương trình đã cho tương đương với

<egin ,,,,,,,left x – 1 ge 0\ 25 – = end ight.\ Leftrightarrow left x ge 1\ 2 – 2x – 24 = 0 end ight.\ Leftrightarrow left x ge 1\ x = 4, vee ,x = – 3 end ight. \ Leftrightarrow x = 4 end> Vậy phương trình có nghiệm duy nhất $x=4$.

Ví dụ 3.  Giải phương trình

Hướng dẫn. Phương trình đã cho tương đương với

<egin ,,,,,,,,sqrt – 9x + 1} = x – 2\ , Leftrightarrow left x – 2 ge 0\ 3 – 9x + 1 = end ight.\ Leftrightarrow left x ge 2\ 2 – 5x – 3 = 0 end ight.\ Leftrightarrow left x ge 2\ x = 3 vee ,x = – frac end ight. \ Leftrightarrow x = 3 end> Vậy phương trình đã cho có nghiệm duy nhất $x = 3$.

Ví dụ 4. Giải phương trình $$sqrt – 3x + 2} = x – 1$$

Hướng dẫn. Phương trình đã cho tương đương với $$egin
,,,,,,,left
x – 1 ge 0\
– 3x + 2 =
ight)^2}
end
ight.\
Leftrightarrow left
x ge 1\
x = 1
end
ight. \ Leftrightarrow x = 1
end$$ Vậy phương trình đã cho có nghiệm duy nhất $x = 1$.

Ví dụ 5.

Giải phương trình $$sqrt – 5x + 4} = sqrt – 3x + 12} $$

Hướng dẫn. Phương trình đã cho tương đương với $$egin
,,,,,,,left
– 5x + 4 ge 0\
– 5x + 4 = – 2 – 3x + 12
end
ight.\
Leftrightarrow left
left(
ight)left(
ight) ge 0\
3 – 2x – 8 = 0
end
ight. & \
Leftrightarrow left
left< egin x le 1\ x ge 4 end ight.\ left< egin x = 2\ x = frac} end ight. end ight. Leftrightarrow x = frac} end$$ Vậy phương trình đã cho có nghiệm duy nhất $x = frac$.

Ví dụ 6. Giải bất phương trình $$x + 1 ge sqrt – 1}
ight)} $$

Hướng dẫn. Bất phương trình đã cho tương đương với $$egin
,,,,,,,left
x + 1 ge 0\

ight)^2} ge 2left( – 1}
ight) ge 0
end
ight.\
Leftrightarrow left
x ge – 1\
– 2x – 3 le 0\
– 1 ge 0
end
ight.\
Leftrightarrow left
x ge – 1\
– 1 le x le 3\
left< egin x le – 1\ x ge 1 end ight. end ight. Leftrightarrow left< egin x = – 1\ 1 le x le 3 end ight. end$$

Vậy tập nghiệm của bất phương trình là $S = left< ight> cup left
ight}$.

Ví dụ 7. Giải bất phương trình $$2x – 5 < sqrt + 4x – 3} $$

Hướng dẫn. Phương trình đã cho tương đương với $$left< egin left 2x – 5 < 0\ – + 4x – 3 ge 0 end ight. &  left( 1 ight)\ left 2x – 5 ge 0\ ight)^2} < – + 4x – 3 end ight. & left( 2 ight) end ight.$$

Hệ bất phương trình (1) tương đương với $$left
x < frac\
1 le x le 3
end
ight. Leftrightarrow 1 le x < frac$$ Hệ bất phương trình (2) tương đương với $$egin
,,,,,,,left
x ge frac\
5 – 24x + 28 < 0
end
ight.\
Leftrightarrow left
x ge frac\
2 < x < frac}
end
ight. Leftrightarrow frac le x < frac}
end$$

Lấy hợp tập nghiệm của 2 trường hợp trên, được đáp số cuối cùng là $S = left< }} ight)$.

Ví dụ 8.  Giải phương trình $$sqrt – sqrt = sqrt $$

Hướng dẫn. Phương trình đã cho tương đương với

$$egin
,,,,,,,sqrt = sqrt + sqrt \
Leftrightarrow left
– 4 le x le frac\
x + 4 = 1 – x + 2sqrt + 1 – 2x
end
ight.\
Leftrightarrow left
– 4 le x le frac\
sqrt = 2x + 1
end
ight.\
Leftrightarrow left
– 4 le x le frac\
x ge – frac\
(1 – x)(1 – 2x) = 4 + 4x + 1
end
ight.\
Leftrightarrow left
– frac le x le frac\
x = 0 vee x = – frac
end
ight. Leftrightarrow x = 0
end$$ Vậy phương trình đã cho có nghiệm duy nhất $x = 0$.

Ví dụ 9. Giải phương trình $$sqrt – sqrt = sqrt $$

Hướng dẫn. Điều kiện $left  & 3x+1ge 0 \ & 2x-1ge 0 \ & 6-xge 0 \ end
ight.Leftrightarrow left\le xle 6
ight.$

Với điều kiện đó, phương trình đã cho tương đương với $$egin
,,,,,,,sqrt – sqrt = sqrt \
Leftrightarrow ,,,sqrt = sqrt + sqrt \
Leftrightarrow ,,,3x + 1 = 6 – x + 2x – 1 + 2sqrt sqrt \
Leftrightarrow ,,,2x – 4 = 2sqrt sqrt \
Leftrightarrow ,,x – 2 = sqrt sqrt \
Leftrightarrow ,, – 4x + 4 = – 2 + 13x – 6,,,(x ge 2)\
Leftrightarrow ,,3 – 17x + 10 = 0\
Leftrightarrow left< egin x = 5\ x = fracleft( l ight) end ight. end.$$ Vậy phương trình đã cho có nghiệm $x=5$.

Ví dụ 10.

Giải bất phương trình $$2sqrt-fracsqrtge frac$$

Hướng dẫn. Điều kiện $left  & x-3ge 0 \ & 9-2xle 0 \ end
ight.Leftrightarrow 3le xle frac$

Với điều kiện trên, bất phương trình đã cho tương đương với <egin ,,,,,,,2sqrt ge fracsqrt + frac\ Leftrightarrow 4left( ight) ge fracleft( ight) + frac + fracsqrt \ Leftrightarrow 16x – 48 ge 18 – 2x + 6sqrt \ Leftrightarrow 9x – 33 ge 3sqrt \ Leftrightarrow left 18x – 64 ge 0\ ight)^2} ge 9left( ight) end ight.\ Leftrightarrow left x ge frac}\ 81 – 576x + 1008 ge 0 end ight.\ Leftrightarrow left x ge frac}\ left< egin x le frac}\ x ge 4 end ight. end ight. Leftrightarrow x ge 4 end>

Kết hợp với điều kiện ta có tập nghiệm của bất phương trình là $S=left< 4;,frac ight>$.

Xem các ví dụ khác nữa tại dây: Phương pháp biến đổi tương đương giải phương trình chứa căn