Giáo Trình Đồ Họa Máy Tính Phạm Anh Phương, Giáo Trình Kỹ Thuật Đồ Họa Máy Tính

Đồ họa máy tính được ra đời bởi sự kết hợp của 2 lĩnh vực thông tin và truyền hình. Đầu tiên kỹ thuật đồ họa được phát triển bởi các nhóm kỹ sư sử dụng máy tính lớn. Trong giai đoạn đầu của sự phát triển người ta phải tốn nhiều tiền cho việc trang bị các thiết bị phần cứng. Ngày nay, nhờ vào sự tiến bộ của vi xử lý, giá thành của máy tính càng lúc càng phù hợp với túi tiền của người sử dụng trong khi các kỹ thuật ứng dụng đồ họa của……

Đang xem: Giáo trình đồ họa máy tính phạm anh phương

Chương 1: Giới thiệu thuật toán vẽ và tô các đường cơ bảnLời nói đầu Đồ họa máy tính được ra đời bởi sự kết hợp của 2 lĩnh vực thông tin và truyềnhình. Đầu tiên kỹ thuật đồ họa được phát triển bởi các nhóm kỹ sư sử dụng máy tính lớn.Trong giai đoạn đầu của sự phát triển người ta phải tốn nhiều tiền cho việc trang bị cácthiết bị phần cứng. Ngày nay, nhờ vào sự tiến bộ của vi xử lý, giá thành của máy tínhcàng lúc càng phù hợp với túi tiền của người sử dụng trong khi các kỹ thuật ứng dụng đồhọa của nó ngày càng cao hơn nên có nhiều người quan tâm nghiên cứu đến lĩnh vực này.Chúng ta có thể vẽ ra những hình ảnh không chỉ là ảnh tĩnh mà còn có thể biến đổi thànhnhững hình ảnh sinh động qua các phép quay, tịnh tiến… Do vậy, đồ họa máy tính trởthành một lĩnh vực lý thú và có nhiều ứng dụng trong thực tế. Tuy nhiên, việc dạy và học kỹ thuật đồ họa thì không là đơn giản do chủ đề này cónhiều phức tạp. Kỹ thuật đồ họa liên quan đến tin học và toán học bởi vì hầu hết các giảithuật vẽ, tô cùng các phép biến hình đều được xây dựng dựa trên nền tảng của hình họckhông gian hai chiều và ba chiều. Hiện nay, Kỹ thuật đồ họa là một môn học được giảng dạy cho sinh viên chuyênngành Tin học với 45 tiết lý thuyết và 15 tiết thực tập. Nội dung của giáo trình kỹ thuậtđồ họa này tập trung vào 2 vấn đề chính như sau : – Trình bày các thuật toán vẽ và tô các đường cơ bản như đường thẳng, đa giác,đường tròn, ellipse và các đường conic. Các thuật toán này giúp cho sinh viên có thể tựmình thiết kế để vẽ và tô một hình nào đó ( chương 1 và 2). – Nội dung thứ hai đề cập đến đồ họa hai chiều và đồ họa ba chiều bao gồm cácphép biến đổi Affine, windowing và clipping, quan sát ảnh ba chiều qua các phép chiếu,khử các mặt khuất và đường khuất, thiết kế đường cong và mặt cong (từ chương 3 đếnchương 7). Giáo trình kỹ thuật đồ họa này được sửa đổi và cập nhật dựa trên kinh nghiệmgiảng dạy đã qua và được xây dựng dựa trên tài liệu tham khảo chính là : Donald Hearn, M. Pauline Baker; Computer Graphics; Prentice-Hall, Inc., Englewood Cliffs, New Jersey , 1986. Sau cùng, chúng tôi hy vọng rằng giáo trình này sẽ đóng góp tích cực trong việccải tiến sự hiểu biết của sinh viên về lĩnh vực đồ họa và mong nhận được sự góp ý củacác đồng nghiệp và sinh viên để công việc biên soạn ngày càng được tốt hơn. Trang 1 Chương 1: Giới thiệu thuật toán vẽ và tô các đường cơ bảnMục lụcChương 1: GIỚI THIỆU THUẬT TOÁN VẼ VÀ TÔ ……………………………..6CÁC ĐƯỜNG CƠ BẢN………………………………………………………………………….6 1.1 Tổng quan ……………………………………………………………………………………………6 1.2. Hệ tọa độ thế giới thực, hệ tọa độ thiết bị và hệ tọa độ chuẩn …………………….7 1.3. Thuật toán vẽ đoạn thẳng……………………………………………………………………….9 1.3.1. Thuật toán DDA (Digital DifferentialAnalyzer)……………………………….10 1.3.2. Thuật toán Bresenham…………………………………………………………………..13 1.4. Thuật toán vẽ đường tròn……………………………………………………………………..17 1.4.1. Thuật toán đơn giản………………………………………………………………………17 1.4.2. Thuật toán MidPoint……………………………………………………………………..18 1.4.3. Vẽ đường tròn bằng thuật toán Bresenham………………………………………21 1.4.4. Thuật toán vẽ Ellipse…………………………………………………………………….22 1.4.5. Vẽ đường conics và một số đường cong khác ………………………………….24 1.4.6. Vẽ đa giác……………………………………………………………………………………25 1.4.7. Tổng kết chương 1………………………………………………………………………..28 1.4.8. Bài tập chương 1 ………………………………………………………………………….28Chương 2 : CÁC THUẬT TOÁN TÔ MÀU…………………………………………..31 2.1. Tổng quan ………………………………………………………………………………………….31 2.2. Các không gian màu ……………………………………………………………………………31 2.2.1. Không gian màu RGB (Red – Green – Blue)…………………………………….31 2.2.2. Không gian màu CMY (Cyan – Magenta – Yellow) ………………………….32 2.2.3. Không gian màu HSV ( Hue – Saturation – Value ) …………………………..32 2.3. Các thuật toán tô màu ………………………………………………………………………….33 2.3.1. Tô đơn giản………………………………………………………………………………….33 2.3.2. Tô màu theo dòng quét (scan – line)………………………………………………..38 2.3.3. Phương pháp tô màu dựa theo đường biên……………………………………….42 2.4. Tổng kết chương 2 ………………………………………………………………………………45 2.5. Bài tập chương 2…………………………………………………………………………………46Chương 3 : PHÉP BIẾN ĐỔI TRONG ĐỒ HỌA HAI CHIỀU………………47 U 3.1. Tổng quan ………………………………………………………………………………………….47 3.2. Phép tịnh tiến (translation)……………………………………………………………………47 3.3. Phép biến đổi tỷ lệ ………………………………………………………………………………48 3.4. Phép quay…………………………………………………………………………………………..49 3.5. Phép đối xứng …………………………………………………………………………………….51 3.6. Phép biến dạng……………………………………………………………………………………51 3.7. Phép biến đổi Affine ngược ( The inverse of an Affine transformation) …….52 3.8. Một số tính chất của phép biến đổi affine ………………………………………………53 3.9. Hệ tọa độ thuần nhất ……………………………………………………………………………53 3.10. Kết hợp các phép biến đổi (composing transformation)………………………..54 3.11. Tổng kết chương 3 …………………………………………………………………………..55 3.12. Bài tập chương 3 ……………………………………………………………………………..55Chương 4 ……………………………………………………………………………………………..58WINDOWING và CLIPPING ………………………………………………………………58 4.1. Tổng quan ………………………………………………………………………………………….58 4.2. Các khái niệm về Windowing……………………………………………………………….58 Trang 2 Chương 1: Giới thiệu thuật toán vẽ và tô các đường cơ bản 4.3. Các thuật toán Clipping ……………………………………………………………………….63 4.4. Phép biến đổi từ cửa sổ – đến – vùng quan sát ………………………………………..84 4.5. Tổng kết chương 4 ………………………………………………………………………………86 4.6. Bài tập chương 4…………………………………………………………………………………86Chương 5 : ĐỒ HỌA BA CHIỀU………………………………………………………….88 U 5.1. Tổng quan ………………………………………………………………………………………….88 5.2. Giới thiệu đồ họa 3 chiều……………………………………………………………………..88 5.3. Biểu diễn đối tượng 3 chiều………………………………………………………………….90 5.4. Các phép biến đổi 3 chiều…………………………………………………………………….95 5.4.1. Hệ tọa độ bàn tay phải – bàn tay trái ……………………………………………….95 5.4.2. Các phép biến đổi Affine cơ sở………………………………………………………95 5.5. Tổng kết chương 5 ………………………………………………………………………………97Chương 6 : QUAN SÁT ẢNH BA CHIỀU ……………………………………………98 U 6.1. Tổng quan ………………………………………………………………………………………….98 6.2. Các phép chiếu……………………………………………………………………………………98 6.2.1. Các phép chiếu song song ……………………………………………………………100 6.2.2. Các phép chiếu phối cảnh…………………………………………………………….105 6.3. Biến đổi hệ tọa độ quan sát (hệ quan sát) ……………………………………………..107 6.3.1. Xác định mặt phẳng quan sát ………………………………………………………108 6.3.2. Không gian quan sát ……………………………………………………………………112 6.3.3. Clipping …………………………………………………………………………………….115 6.4. Cài đặt các thao tác quan sát (Implementation of Viewing Operations)……116 6.5. Cài đặt phần cứng ……………………………………………………………………………..125 6.6. Lập trình xem ảnh ba chiều ………………………………………………………………..126 6.7. Các mở rộng đến Đường ống quan sát (Viewing Pipeline)……………………..130 6.8. Tổng kết chương 6 …………………………………………………………………………….130 6.9. Bài tập chương 6………………………………………………………………………………131Chương 7 ……………………………………………………………………………………………134KHỬ CÁC MẶT KHUẤT VÀ ĐƯỜNG KHUẤT………………………………..134 7.1. Tổng quan ………………………………………………………………………………………..134 7.2. Khử các mặt nằm sau (Back-Face Removal) ………………………………………..135 7.3. Phương pháp dùng vùng đệm độ sâu (Depth-Buffer Method) …………………138 7.4. Phương pháp đường quét (Scan-Line Method) ……………………………………..140 7.5. Phương pháp sắp xếp theo độ sâu (Depth- Sorting Method)……………………143 7.6. Phương pháp phân chia vùng (Area- Subdivision Method) …………………….147 7.7. Các phương pháp Octree (Octree Methods) ………………………………………….150 7.8. Loại bỏ các đường bị che khuất…………………………………………………………..154 7.9. Tổng kết chương 7 …………………………………………………………………………….156 7.10. Bài tập chương 7 ……………………………………………………………………………157 Trang 3 Chương 1: Giới thiệu thuật toán vẽ và tô các đường cơ bản PHẦN TỔNG QUAN1. Mục đích yêu cầu Sau khi học xong môn này, sinh viên cần đạt được các yêu cầu sau: – Hiểu thế nào là đồ họa trên máy tính. – Thiết kế và cài đặt được các thuật toán vẽ các đường cơ bản như đường thẳng,đường tròn,… – Thiết kế và cài đặt được các thuật toán tô một hình. – Sử dụng được các phép biến hình trong không gian 2 chiều, 3 chiều để làm thayđổi một hình ảnh đã có sẳn. – Có thể tạo một cửa sổ để cắt – dán một hình. – Hiểu khái niệm về các tiếp cận để mô phỏng được một hình ảnh trong khônggian 3 chiều trên máy tính.2. Đối tượng sử dụng Môn kỹ thuật đồ họa được giảng dạy cho sinh viên năm thứ tư của các khoa sau: – Chuyên ngành công nghệ thông tin.

Xem thêm: Khóa Học Khởi Nghiệp Thành Công, Khã³A HọC KhởI NghiệP Kinh Doanh

Xem thêm: Tài Liệu 250 Bài Tập Kỹ Thuật Điện Tử Có Lời Giải, 250 Bài Tập Kỹ Thuật Điện Có Lời Giải

– Chuyên ngành điện tử (viễn thông, tự động hóa,…) – Chuyên ngành sư phạm (Toán tin, Lý tin )3. Nội dung cốt lõi Giáo trình Kỹ thuật đồ họa bao gồm 7 chương. – Chương 1: Giới thiệu thuật toán vẽ và tô các đường cơ bản – Chương 2: Các thuật toán tô màu – Chương 3: Phép biến đổi trong đồ họa 2 chiều – Chương 4: Tạo cửa sổ và cắt hình – Chương 5: Đồ họa 3 chiều – Chương 6: Quan sát ảnh 3 chiều – Chương 7: Khử các mặt khuất và đường khuất4. Kiến thức tiên quyết – Kiến thức về hình học không gian và hình giải tích – Kiến thức lập trình căn bản, lập trình đồ họa – Kiến thức về cấu trúc dữ liệu, lập trình đệ qui Trang 4 Chương 1: Giới thiệu thuật toán vẽ và tô các đường cơ bản5. Danh mục tài liệu tham khảo- Donald Hearn, M. Pauline Baker; Computer Graphics; Prentice-Hall, Inc., Englewood Cliffs, New Jersey , 1986.- F.S.Hill; Computer graphics ; 1990- Vũ Mạnh Tường, Dương Anh Đức, Trần Đan Thư, Lý Quốc Ngọc. Giáo trình Nhậpmôn đồ họa & xử lý ảnh.1995.- VERA B.ANAND, người dịch TS Nguyễn Hữu Lộc. Đồ họa máy tính và Mô hình hóahình học. Nhà xuất bản Thành Phố Hồ Chí Minh – 2000.- Foley, Van Darn, Feiner, Hughes, Phillips. Introduction à L”Infographie. 1995.- Lê Tấn Hùng, Huỳnh Quyết Thắng. Kỹ thuật đồ họa. Nhà xuất bản khoa học và kỹthuật, Hà nội – 2000. Trang 5 Chương 1: Giới thiệu thuật toán vẽ và tô các đường cơ bản Chương 1: GIỚI THIỆU THUẬT TOÁN VẼ VÀ TÔ CÁC ĐƯỜNG CƠ BẢN 1.1 Tổng quan • Mục tiêu của chương 1 Học xong chương này, sinh viên phải nắm bắt được các vấn đề sau: – Thế nào là hệ đồ họa – Thiết kế và cài đặt được các thủ tục vẽ và tô các đường cơ bản như đường thẳng,đường tròn, elip, và các đường cong khác. • Kiến thức cơ bản cần thiết Các kiến thức cơ bản cần thiết để học chương này bao gồm : – Các khái niệm toán học về đường thẳng như : đường thẳng là gì : dạng tổng quátphương trình đường thẳng, hệ số góc, tung độ dốc. – Hiểu rõ hình dáng của đường thẳng phụ thuộc vào hệ số góc như thế nào. – Phương trình tổng quát của đường tròn, ellippse ( không có tham số và có thamsố). – Kĩ thuật lập trình: thiết lập thủ tục, hàm (lưu ý truyền qui chiếu và truyền giátrị). • Tài liệu tham khảo Donald Hearn, M. Pauline Baker. Computer Graphics . Prentice-Hall, Inc., Englewood Cliffs, New Jersey , 1986 (chapters 3, 55-76). • Nội dung cốt lõi Thiết lập thủ tục vẽ : – Đường thẳng bằng giải thuật DDA – Đường thẳng bằng giải thuật Bresenham – Đường tròn bằng giải thuật đối xứng – Đường tròn bằng giải thuật Bresenham – Đường tròn bằng giải thuật MidPoint – Ellippse – Đa giác Trang 6 Chương 1: Giới thiệu thuật toán vẽ và tô các đường cơ bản1.2. Hệ tọa độ thế giới thực, hệ tọa độ thiết bị và hệ tọa độ chuẩn Một hệ mềm đồ họa được mô tả bao gồm 3 miền như sau : – Miền điều khiển : bao bọc toàn bộ hệ thống. – Miền thực : nằm trong miền điều khiển. Khi một số nào đó thâm nhập vào miềnthực, nó sẽ được chuyển thành số thực dấu phẩy động, và khi có một số rời khỏi miền nàythì nó sẽ được chuyển thành số nguyên có dấu 16 bits. – Miền hiển thị : nằm trong miền điều khiển nhưng phân biệt với miền thực. Chỉ cósố nguyên 16 bits mới nằm trong miền hiển thị. Trong lĩnh vực kỹ thuật đồ họa, chúng ta phải hiểu được rằng thực chất của đồ họalà làm thế nào để có thể mô tả và biến đổi được các đối tượng trong thế giới thực trênmáy tính. Bởi vì, các đối tượng trong thế giới thực được mô tả bằng tọa độ thực. Trongkhi đó, hệ tọa độ thiết bị lại sử dụng hệ tọa độ nguyên để hiển thị các hình ảnh. Đâychính là vấn đề cơ bản cần giải quyết. Ngoài ra, còn có một khó khăn khác nữa là với cácthiết bị khác nhau thì có các định nghĩa khác nhau. Do đó, cần có một phương phápchuyển đổi tương ứng giữa các hệ tọa độ và đối tượng phải được định nghĩa bởi các thànhphần đơn giản như thế nào để có thể mô tả gần đúng với hình ảnh thực bên ngoài. Hai mô hình cơ bản của ứng dụng đồ họa là dựa trên mẫu số hóa và dựa trên đặctrưng hình học. Trong ứng dụng đồ họa dựa trên mẫu số hóa thì các đối tượng đồ họađược tạo ra bởi lưới các pixel rời rạc. Các pixel này có thể đuợc tạo ra bằng các chươngtrình vẽ, máy quét, … Các pixel này mô tả tọa độ xác định vị trí và giá trị mẫu. Thuận lợicủa ứng dụng này là dể dàng thay đổi ảnh bằng cách thay đổi màu sắc hay vị trí của cácpixel, hoặc di chuyển vùng ảnh từ nơi này sang nơi khác. Tuy nhiên, điều bất lợi là khôngthể xem xét đối tượng từ các góc nhìn khác nhau. Ứng dụng đồ họa dựa trên đặc trưnghình học bao gồm các đối tượng đồ họa cơ sở như đoạn thẳng, đa giác,…. Chúng đượclưu trữ bằng các mô hình và các thuộc tính. Ví dụ : đoạn thẳng được mô hình bằng haiđiểm đầu và cuối, có thuộc tính như màu sắc, độ dày. Người sử dụng không thao tác trựctiếp trên các pixel mà thao tác trên các thành phần hình học của đối tượng. a. Hệ tọa độ thế giới thực: Một trong những hệ tọa độ thực thường được dùng để mô tả các đối tượng trongthế giới thực là hệ tọa độ Descartes. Với hệ tọa độ này, mỗi điểm P được biểu diễn bằngmột cặp tọa độ (xp,yp) với xp, yp ∈R (xem hình 1.1). Trang 7 Chương 1: Giới thiệu thuật toán vẽ và tô các đường cơ bản Y P(xp,yp) yp O xp X Hình 1.1 : Hệ tọa độ thực. . Ox : gọi là trục hoành. . Oy : gọi là trục tung. . xp : hoành độ điểm P. . yp : tung độ điểm P. b. Hệ tọa độ thiết bị Hệ tọa độ thiết bị (device coordinates) được dùng cho một thiết bị xuất cụ thể nàođó, ví dụ như máy in, màn hình,.. Trong hệ tọa độ thiết bị thì các điểm cũng được mô tả bởi cặp tọa độ (x,y). Tuynhiên, khác với hệ tọa độ thực là x, y ∈ N. Điều này có nghĩa là các điểm trong hệ tọa độthực được định nghĩa liên tục, còn các điểm trong hệ tọa độ thiết bị là rời rạc. Ngoài ra,các tọa độ x, y của hệ tọa độ thiết bị chỉ biểu diễn được trong một giới hạn nào đó của N.Ví dụ : Độ phân giải của màn hình trong chế độ đồ họa là 640×480. Khi đó, x∈(0,640)và y∈(0,480) (xem hình 1.2). (0,0) (640,0) (0, 480) (640,480) Hình 1.2 : Hệ tọa độ trên màn hình. Trang 8 Chương 1: Giới thiệu thuật toán vẽ và tô các đường cơ bản c. Hệ tọa độ thiết bị chuẩn (Normalized device coordinates) Do cách định nghĩa các hệ tọa độ thiết bị khác nhau nên một hình ảnh hiển thịđược trên thiết bị này là chính xác thì chưa chắc hiển thị chính xác trên thíết bị khác.Người ta xây dựng một hệ tọa độ thiết bị chuẩn đại diện chung cho tất cả các thiết bị đểcó thể mô tả các hình ảnh mà không phụ thuộc vào bất kỳ thiết bị nào. Trong hệ tọa độ chuẩn, các tọa độ x, y sẽ được gán các giá trị trong đoạn từ <0,1>.Như vậy, vùng không gian của hệ tọa độ chuẩn chính là hình vuông đơn vị có góc tráidưới (0, 0) và góc phải trên là (1, 1). Quá trình mô tả các đối tượng thực như sau (xem hình 1.3): màn hình Ảnh định nghĩa trên tọa độ thế Tọa độ chuẩn hóa Tọa độ thiết bị máy in giới thực. thiết bị khác Hình 1.3 : Hệ tọa độ trên màn hình.1.3. Thuật toán vẽ đoạn thẳng Xét đoạn thẳng có hệ số góc 0 Chương 1: Giới thiệu thuật toán vẽ và tô các đường cơ bản (xi+4,yi+3) (xi+2,yi+2) (xi+3,yi+2) (xi+1,yi+1) (xi,yi) Hình 1.4 : Các điểm vẽ gần với điểm muốn vẽ. Vấn đề đặt ra là chọn điểm vẽ như thế nào để đường thẳng được vẽ gần với đườngthẳng muốn vẽ nhất và đạt được tối ưu hóa về mặt tốc độ ? 1.3.1. Thuật toán DDA (Digital DifferentialAnalyzer) Là thuật toán tính toán các điểm vẽ dọc theo đường thẳng dựa vào hệ số góc củaphương trình đường thẳng y=mx+b. Δy Trong đó, m= , Δy = yi+1 – yi , Δx = xi+1 – xi Δx Nhận thấy trong hình vẽ 1.4 thì tọa độ của điểm x sẽ tăng 1 đơn vị trên mỗi điểmvẽ, còn việc quyết định chọn yi +1 là yi +1 hay yi sẽ phụ thuộc vào giá trị sau khi làm tròncủa tung độ y. Tuy nhiên, nếu tính trực tiếp giá trị thực của y ở mỗi bước từ phương trìnhy=mx+b thì cần một phép toán nhân và một phép toán cộng số thực. yi +1 = mxi +1 + b = m(xi + 1) + b = mxi + b + m Để cải thiện tốc độ, người ta khử phép nhân trên số thực.Ta có : yi = mxi + b ⇒ yi +1 = yi + m → int(yi +1) • Tóm lại khi 0 Chương 1: Giới thiệu thuật toán vẽ và tô các đường cơ bảnHai trường hợp này dùng để vẽ một điểm bắt đầu từ bên trái đến điểm cuối cùng bên phảicủa đường thẳng (xem hình 1.5). Nếu điểm bắt đầu từ bên phải đến điểm cuối cùng bêntrái thì xét ngược lại : • 0 Chương 1: Giới thiệu thuật toán vẽ và tô các đường cơ bảnLưu đồ thuật toán DDA Begin dx=x2-x1 dy=y2-y1 Yes No abs(dx)>abs(dy) step=abs(dx) step=abs(dy) x_inc=dx/step y_inc=dy/step x=x1;y= y1 putpixel(x1,y1,c) No k Chương 1: Giới thiệu thuật toán vẽ và tô các đường cơ bảnCài đặt minh họa thuật toán DDAProcedure DDA ( x1, y1, x2, y2, color : integer );Var dx, dy, step : integer; X_inc, y_inc , x, y : real ;Begin dx:=x2-x1; dy:=y2-y1; if abs(dx)>abs(dy) then steps:=abs(dx) else steps:=abs(dy); x_inc:=dx/steps; y_inc:=dy/steps; x:=x1; y:=y1; putpixel(round(x),round(y), color); for k:=1 to steps do begin x:=x+x_inc; y:=y+y_inc; putpixel(round(x),round(y), color); end;end; 1.3.2. Thuật toán Bresenham P2 yi+1 d2 yi+1 d1 yi P1 xi xi+1 = xi+1 Hình 1.6 : Dạng đường thẳng có 0 Chương 1: Giới thiệu thuật toán vẽ và tô các đường cơ bản Gọi (xi +1,yi +1) là điểm thuộc đoạn thẳng (xem hình 1.6). Ta có y:= m(xi +1)+b. Đặt d1 = yi +1 – yi d2 = (yi +1) – yi +1Việc chọn điểm (xi +1, yi +1) là P1 hay P2 phụ thuộc vào việc so sánh d1 và d2 hay dấu củad1-d2.- Nếu d1-d2 Chương 1: Giới thiệu thuật toán vẽ và tô các đường cơ bảnLưu đồ thuật toán Bresenham Begin dx = x2-x1; dy = y2 – y1; P = 2dy-dx; c1 = 2dy; c2 = 2(dy-dx); x = x1; y = y1; putpixel (x,y,color); No x Chương 1: Giới thiệu thuật toán vẽ và tô các đường cơ bảnCài đặt minh họa thuật toán Bresenham Procedure Bres_Line (x1,y1,x2,y2 : integer); Var dx, dy, x, y, P, const1, const2 : integer; Begin dx : = x2 – x1; dy : = y2 – y1; P : = 2*dy – dx; Const1 : = 2*dy ; const2 : = 2*(dy – dx) ; x:= x1; y:=y1; Putpixel ( x, y, Color); while (x Chương 1: Giới thiệu thuật toán vẽ và tô các đường cơ bản 1.4. Thuật toán vẽ đường tròn Trong hệ tọa độ Descartes, phương trình đường tròn bán kính R có dạng: Với tâm O(0,0) : x 2 + y 2 = R2 Với tâm C(xc,yc): (x – xc )2 + (y – yc )2 = R2 Trong hệ tọa độ cực : x = xc + R.cosθ y = yc + Y.sinθ với θ ∈ <0, 2π>. Do tính đối xứng của đường tròn C (xem hình 1.7) nên ta chỉ cần vẽ 1/8 cung tròn, sau đó lấy đối xứng qua 2 trục tọa độ và 2 đường phân giác thì ta vẽ được cả đường tròn. y (-x,y) (x,y) (-y,x) (y,x) R 2 x 2 (-y,-x) (y,-x) (-x,-y) (x,-y) Hình 1.7 : Đường tròn với các điểm đối xứng.1.4.1. Thuật toán đơn giản Cho x = 0, 1, 2, …, int( R 2 ) với R>1. 2 – Tại mỗi giá trị x, tính int(y = R 2 − x 2 ). – Vẽ điểm (x,y) cùng 7 điểm đối xứng của nó. Cài đặt minh họa thuật toán đơn giản. Trang 17 Chương 1: Giới thiệu thuật toán vẽ và tô các đường cơ bản Procedure Circle (xc, yc, R : integer) ; Var x, y : integer ; Procedure DOIXUNG ; Begin putpixel (xc + x , yc +y, color) ; putpixel (xc – x , yc + y, color) ; putpixel (xc + x , yc – y, color) ; putpixel (xc – x , yc- y, color) ; putpixel (xc + y , yc + x, color) ; putpixel (xc – y , yc + x, color) ; putpixel (xc + y , yc – x, color) ; putpixel (xc – y , yc – x, color) ; End ; Begin For x : = 0 to round(R*Sqrt(2)/2) do Begin y : = round(Sqrt(R*R – x*x)) ; DOIXUNG; End ; End ;1.4.2. Thuật toán xét điểm giữa (MidPoint) Do tính đối xứng của đường tròn nên ta chỉ cần vẽ 1/8 cung tròn, sau đó lấy đối xứng là vẽ được cả đường tròn. Thuật toán MidPoint đưa ra cách chọn yi+1 là yi hay yi-1 bằng cách so sánh điểm thực Q(xi+1,y) với điểm giữa MidPoind là trung điểm của S1 và S2. Chọn điểm bắt đầu để vẽ là (0,R). Giả sử (xi, yi) là điểm nguyên đã tìm được ở bước thứ i (xem hình 1.8), thì điểm (xi+1, yi+1) ở bước i+1 là sự lựa chọn giữa S1 và S2. xi+1= xi + 1 yi+1= yi – 1 yi Trang 18 Chương 1: Giới thiệu thuật toán vẽ và tô các đường cơ bản (xi,yi) S1 Q(xi+1,y) yi yi+1 MidPoint yi – 1 S2 Hình 1.8 : Đường tròn với điểm Q(xi+1, y) và điểm MidPoint.Đặt F(x,y) = x2 + y2 – R2 , ta có :. F(x,y) 0 , nếu điểm (x,y) nằm ngoài đường tròn.Xét Pi = F(MidPoint) = F(xi +1, yi – 1/2). Ta có :- Nếu Pi = 0 : điểm MidPoint nằm ngòai đường tròn. Khi đó, điểm thực Q gần với điểmS2 hơn nên ta chọn yi+1 = yi – 1.Mặt khác : Pi+1 – Pi = F(xi+1 +1, yi+1 – 1/2) – F(xi + 1, yi – 1/2) = <(xi+1 +1)2 + (yi+1 - 1/2)2 - R2 > – <(xi +1)2 + (yi - 1/2)2 - R2 > = 2xi + 3 + ((yi+1)2 + (yi)2 ) – (yi+1 – yi)Vậy : – Nếu Pi = 0 : chọn yi+1 = yi – 1. Khi đó Pi+1 = Pi + 2xi – 2yi +5. – Pi ứng với điểm ban đầu ( x0 , y0 ) = (0,R) là: 5 P0 = F(x0 + 1, y0 – 1/2) = F(1, R – 1/2) = -R 4 Trang 19 Chương 1: Giới thiệu thuật toán vẽ và tô các đường cơ bảnLưu đồ thuật toán MidPoint vẽ đường tròn Begin P = 5/4 – R; x=0 ; y= R; Putpixel(x,y,c); No x