Giải Và Biện Luận Hệ Phương Trình Đối Xứng Loại 1, Toán Lớp 10 Nâng Cao

Đang xem: Giải và biện luận hệ phương trình đối xứng loại 1

7 trang

trường đạt

6288

6hướng dẫn

Xem thêm: Bài 3 : Phương Trình Elip Trong Tọa Độ Cực, Bài 3 : Phương Trình Đường Elip

Bạn đang xem tài liệu “Chuyên đề Hệ phương trình đối xứng loại (kiểu) I”, để tải tài liệu gốc về máy bạn click vào nút DOWNLOAD ở trên

Xem thêm: Luận Văn Thạc Sĩ Đại Học Mở Tp, Trang Chủ

ThS. ðoàn Vương Nguyên Trang 1 CHUYÊN ðỀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH ðỐI XỨNG LOẠI (KIỂU) I TÓM TẮT GIÁO KHOA VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN I. Hệ ñối xứng loại (kiểu) I có dạng tổng quát: f(x, y) = 0g(x, y) = 0, trong ñó f(x, y) = f(y, x)g(x, y) = g(y, x)Phương pháp giải chung: i) Bước 1: ðặt ñiều kiện (nếu có). ii) Bước 2: ðặt S = x + y, P = xy với ñiều kiện của S, P và 2S 4P≥ . iii) Bước 3: Thay x, y bởi S, P vào hệ phương trình. Giải hệ tìm S, P rồi dùng Vi–et ñảo tìm x, y. Chú ý: i) Cần nhớ: x2 + y2 = S2 – 2P, x3 + y3 = S3 – 3SP. ii) ðôi khi ta phải ñặt ẩn phụ u = u(x), v = v(x) và S = u + v, P = uv. iii) Có những hệ phương trình trở thành ñối xứng loại I sau khi ñặt ẩn phụ. Ví dụ 1. Giải hệ phương trình 2 23 3x y xy 30x y 35 + = + =. GIẢI ðặt S x y, P xy= + = , ñiều kiện 2S 4P≥ . Hệ phương trình trở thành: 2230PSP 30 S90S(S 3P) 35S S 35S = =  ⇔    − =   − =    S 5 x y 5 x 2 x 3P 6 xy 6 y 3 y 2   = + = = =      ⇔ ⇔ ⇔ ∨      = = = =      . Ví dụ 2. Giải hệ phương trình 3 3xy(x y) 2x y 2 − = − − =. GIẢI ðặt t y, S x t, P xt= − = + = , ñiều kiện 2S 4P.≥ Hệ phương trình trở thành: 3 3 3xt(x t) 2 SP 2x t 2 S 3SP 2 + = =  ⇔  + = − =  S 2 x 1 x 1P 1 t 1 y 1  = = =    ⇔ ⇔ ⇔    = = = −    . Ví dụ 3. Giải hệ phương trình 2 22 21 1x y 4x y1 1x y 4x y + + + = + + + =. GIẢI ThS. ðoàn Vương Nguyên Trang 2 ðiều kiện x 0, y 0≠ ≠ . Hệ phương trình tương ñương với: 2 21 1x y 4x y1 1x y 8x y       + + + =               + + + =         ðặt 21 1 1 1S x y ,P x y ,S 4Px y x y            = + + + = + + ≥                      ta có: 21 1x y 4S 4 S 4 x yP 4 1 1S 2P 8x y 4x y       + + + =     = =         ⇔ ⇔      =− =      + + =        1x 2 x 1×1 y 1y 2y + =  = ⇔ ⇔   = + =. Ví dụ 4. Giải hệ phương trình 2 2x y 2xy 8 2 (1)x y 4 (2) + + = + =. GIẢI ðiều kiện x, y 0≥ . ðặt t xy 0= ≥ , ta có: 2xy t= và (2) x y 16 2t⇒ + = − . Thế vào (1), ta ñược: 2t 32t 128 8 t t 4− + = − ⇔ = Suy ra: xy 16 x 4x y 8 y 4 = =  ⇔  + = =  . II. ðiều kiện tham số ñể hệ ñối xứng loại (kiểu) I có nghiệm Phương pháp giải chung: i) Bước 1: ðặt ñiều kiện (nếu có). ii) Bước 2: ðặt S = x + y, P = xy với ñiều kiện của S, P và 2S 4P≥ (*). iii) Bước 3: Thay x, y bởi S, P vào hệ phương trình. Giải hệ tìm S, P theo m rồi từ ñiều kiện (*) tìm m. Chú ý: Khi ta ñặt ẩn phụ u = u(x), v = v(x) và S = u + v, P = uv thì nhớ tìm chính xác ñiều kiện u, v. Ví dụ 1 (trích ñề thi ðH khối D – 2004). Tìm ñiều kiện m ñể hệ phương trình sau có nghiệm thực: x y 1x x y y 1 3m + = + = −. GIẢI ThS. ðoàn Vương Nguyên Trang 3 ðiều kiện x, y 0≥ ta có: 3 3x y 1 x y 1x x y y 1 3m ( x) ( y) 1 3m  + = + = ⇔  + = − + = −   ðặt S x y 0,P xy 0= + ≥ = ≥ , 2S 4P.≥ Hệ phương trình trở thành: 2S 1 S 1P mS 3SP 1 3m = =  ⇔   =− = − . Từ ñiều kiện 2S 0,P 0,S 4P≥ ≥ ≥ ta có 10 m4≤ ≤ . Ví dụ 2. Tìm ñiều kiện m ñể hệ phương trình 2 2x y xy mx y xy 3m 9 + + = + = − có nghiệm thực. GIẢI 2 2x y xy m (x y) xy mxy(x y) 3m 9x y xy 3m 9 + + = + + =  ⇔   + = −+ = − . ðặt S = x + y, P = xy, 2S 4P.≥ Hệ phương trình trở thành: S P mSP 3m 9 + = = −. Suy ra S và P là nghiệm của phương trình 2t mt 3m 9 0− + − = S 3 S m 3P m 3 P 3 = = −  ⇒ ∨  = − =  . Từ ñiều kiện ta suy ra hệ có nghiệm 223 4(m 3) 21m m 3 2 3(m 3) 12 4 ≥ −⇔ ⇔ ≤ ∨ ≥ + − ≥. Ví dụ 3. Tìm ñiều kiện m ñể hệ phương trình x 4 y 1 4x y 3m − + − = + = có nghiệm. GIẢI ðặt u x 4 0, v y 1 0= − ≥ = − ≥ hệ trở thành: 2 2u v 4u v 421 3mu v 3m 5 uv2 + = + =  ⇔  − + = − =  . Suy ra u, v là nghiệm (không âm) của 2 21 3mt 4t 02−− + = (*). Hệ có nghiệm ⇔ (*) có 2 nghiệm không âm / 3m 130 0 132S 0 m 721 3m 30P 02 −∆ ≥  ≥ ⇔ ≥ ⇔ ⇔ ≤ ≤   −  ≥≥   . ThS. ðoàn Vương Nguyên Trang 4 Ví dụ 4. Tìm ñiều kiện m ñể hệ phương trình 2 2x y 4x 4y 10xy(x 4)(y 4) m + + + = + + = có nghiệm thực. GIẢI 2 22 22 2(x 4x) (y 4y) 10x y 4x 4y 10xy(x 4)(y 4) m (x 4x)(y 4y) m  + + + = + + + = ⇔  + + = + + =  . ðặt 2 2u (x 2) 0, v (y 2) 0= + ≥ = + ≥ . Hệ phương trình trở thành: u v 10 S 10uv 4(u v) m 16 P m 24 + = =  ⇔  − + = − = +   (S = u + v, P = uv). ðiều kiện2S 4PS 0 24 m 1P 0 ≥ ≥ ⇔ − ≤ ≤ ≥. BÀI TẬP Giải các hệ phương trình sau 1. 2 2 x y xy 5x y xy 7 + + = + + =. ðáp số: x 1 x 2y 2 y 1 = =  ∨  = =  . 2. 2 2x xy y 32x xy 2y 3 + + = + + = −. ðáp số: x 1 x 3 x 3y 1 y 3 y 3   = − = = −   ∨ ∨    = − = − =     . 3. 3 3x y 2xy 2x y 8 + + = + =. ðáp số: x 2 x 0y 0 y 2 = =  ∨  = =  . 4. 3 3x y 7xy(x y) 2 − = − =. ðáp số: x 1 x 2y 2 y 1 = − =  ∨  = − =  . 5. 2 2 x y 2xy 5x y xy 7 − + = + + =. ðáp số: 1 37 1 37x xx 2 x 14 4y 1 y 2 1 37 1 37y y4 4  − + = =  = = −      ∨ ∨ ∨      = = − − − − +     = =    . 6. 2 22 21(x y)(1 ) 5xy1(x y )(1 ) 49x y + + = + + =. ðáp số: x 1 x 17 3 5 7 3 5x x2 2 7 3 5 7 3 5y yy 1 y 12 2   = − = −   − +   = =   ∨ ∨ ∨   − +   = =   = − = −         . ThS. ðoàn Vương Nguyên Trang 5 7. x y y x 30x x y y 35 + = + =. ðáp số: x 4 x 9y 9 y 4 = =  ∨  = =  . 8. x y 71y x xyx xy y xy 78 + = + + = (chú ý ñiều kiện x, y > 0). ðáp số: x 4 x 9y 9 y 4 = =  ∨  = =  . 9. ( )2 23 33 32(x y) 3 x y xyx y 6 + = + + =. ðáp số: x 8 x 64y 64 y 8 = =  ∨  = =  . 10. Cho x, y, z là nghiệm của hệ phương trình 2 2 2x y z 8xy yz zx 4 + + = + + =. Chứng minh 8 8x, y, z3 3− ≤ ≤ . HƯỚNG DẪN GIẢI Hệ phương trình 2 2 2 2 2x y 8 z (x y) 2xy 8 zxy z(x y) 4 xy z(x y) 4  + = −  + − = − ⇔ ⇔  + + = + + =  2 2(x y) 2<4 z(x y)> 8 zxy z(x y) 4 + − − + = −⇔  + + =2 2(x y) 2z(x y) (z 16) 0xy z(x y) 4 + + + + − =⇔  + + =2 2x y 4 z x y 4 zxy (z 2) xy (z 2) + = − + = − −  ⇔ ∨  = − = +  . Do x, y, z là nghiệm của hệ nên: 2 222 2(4 z) 4(z 2) 8 8(x y) 4xy z( 4 z) 4(z 2) 3 3 − ≥ −+ ≥ ⇔ ⇔ − ≤ ≤ − − ≥ +. ðổi vai trò x, y, z ta ñược 8 8x, y, z3 3− ≤ ≤ . 11. x y1 1 116 16 2x y 1       + =          + =. ðáp số: 1x21y2 = =. 12. sin (x y)2 22 12(x y ) 1π + = + =HƯỚNG DẪN GIẢI Cách 1: sin (x y)2 2 2 22 2sin (x y) 0 x y (1)2 12(x y ) 1 2(x y ) 1 (2)2(x y ) 1π +  π + = + ∈ =    ⇔ ⇔    + = + =+ =   Z22 221 2 2x x1 2 2 2(2) x y 2 x y 212 2 2y y2 2 2   ≤ − ≤ ≤  ⇔ + = ⇒ ⇒ ⇒ − ≤ + ≤   ≤ − ≤ ≤   . x y 0(1)x y 1 + =⇒  + = ± thế vào (2) ñể giải. ThS. ðoàn Vương Nguyên Trang 6 Cách 2: ðặt S = x + y, P = xy. Hệ trở thành: sinS22S2 14P 2S 12(S 2P) 1π  ∈ =  ⇔   = −− = Z. Từ ñiều kiện 2S 4P≥ ta suy ra kết quả tương tự. Hệ có 4 nghiệm phân biệt 1 1 1 1x x x x2 2 2 21 1 1 1y y y y2 2 2 2         = = − = = −      ∨ ∨ ∨         = = − = − =         . Tìm ñiều kiện của m ñể các hệ phương trình thỏa yêu cầu 1. Tìm m ñể hệ phương trình 2 2x xy y m 62x xy 2y m + + = + + + = có nghiệm thực duy nhất. HƯỚNG DẪN GIẢI Hệ có nghiệm duy nhất suy ra x = y, hệ trở thành: 2 22 2 23x m 6 3x 6 m m 3m 21x 4x m x 4x 3x 6   = +  − = = −  ⇔ ⇒    =+ = + = −    . + m = – 3: 2 2 2x xy y 3 (x y) xy 32(x y) xy 3 2(x y) xy 3  + + =  + − = ⇔  + + = − + + = −  x y 0 x y 2 x 3 x 3 x 1xy 3 xy 1 y 1y 3 y 3    + = + = − = = − = −     ⇔ ∨ ⇔ ∨ ∨        = − = = −= − =         (loại). + m = 21: 2 2 2x xy y 27 (x y) xy 272x xy 2y 21 2(x y) xy 21  + + =  + − = ⇔  + + = + + =  x y 8 x y 6 x 3xy 37 xy 9 y 3  + = − + = =    ⇔ ∨ ⇔    = = =     (nhận). Vậy m = 21. 2. Tìm m ñể hệ phương trình: 2 2x xy y m 1x y xy m + + = + + = có nghiệm thực x > 0, y > 0. HƯỚNG DẪN GIẢI 2 2x xy y m 1 (x y) xy m 1xy(x y) mx y xy m + + = + + + = +  ⇔   + =+ = x y 1 x y mxy m xy 1 + = + =  ⇔ ∨  = =  . Hệ có nghiệm thực dương 2m 0 10 m m 21 4m m 4 4 >⇔ ⇔