Phương Pháp Giải Phương Trình Cấp Số Nhân, Bài Tập Cấp Số Cộng

Bài tập cấp số cộng – cấp số nhân

1. Tóm tắt lý thuyết cấp số cộng và cấp số nhân

1.1. Cấp số cộng

Định nghĩa.

Dãy số $ (u_n) $ được xác định bởi $egin{cases} u_1=u\u_{n}=u_{n-1}+d end{cases}$ được gọi là cấp số cộng với số hạng đầu bằng $ u $ và công sai $ d. $Tính chất 3 số hạng liên tiếp của cấp số cộng $$ u_k=frac{u_{k-1}+u_{k+1}}{2} $$Công thức số hạng tổng quát của cấp số cộng$$ u_n=u_1+(n-1)d $$Tổng $ n $ số hạng đầu tiên của cấp số cộng $$ S_n=u_1+u_2+…+u_n=frac{n(u_1+u_n)}{2} $$

1.2. Cấp số nhân

Định nghĩa. Dãy số $ (u_n) $ được xác định bởi $egin{cases} u_1=u\u_{n}=u_{n-1}cdot q end{cases}$ được gọi là cấp số nhân với số hạng đầu bằng $ u$ và công bội $ q. $Công thức số hạng tổng quát của cấp số nhân $$ u_n=u_1cdot q^{n-1} $$Tính chất 3 số hạng liên tiếp của cấp số nhân $$ u_k^2=u_{k-1}.u_{k+1} $$Tổng $ n $ số hạng đầu tiên của cấp số nhân $$ S_n=u_1+u_2+…+u_n=u_1frac{1-q^n}{1-q} ,,, (q
e 1)$$

2. Bài tập cấp số cộng

Ví dụ 1. Cho cấp số cộng có $ u_1=10,d=-4. $ Tìm $ u_{10} $ và $ S_{10} $.

Hướng dẫn. Sử dụng công thức số hạng tổng quát, ta có số hạng thứ $10$ của cấp số cộng là $$ u_{10}=u_1 + (10-1)d = 10+9(-4)=-26 $$ Tổng ( 10 ) số hạng đầu tiên của cấp số cộng đã cho là $$ S_{10} = frac{10left(u_1+u_{10}
ight)}{2}=-80 $$

Ví dụ 2. Cho ba số dương $ a, b, c $ lập thành cấp số cộng. Chứng minh rằng:

${{a}^{2}}+2bc={{c}^{2}}+2ab$${{a}^{2}}+8bc={{(2b+c)}^{2}}$$({{a}^{2}}+ab+{{b}^{2}}),({{a}^{2}}+ac+{{c}^{2}}),({{b}^{2}}+bc+{{c}^{2}})$ lập thành cấp số cộng

Hướng dẫn. Ta có ba số dương $ a, b, c $ lập thành cấp số cộng khi và chỉ khi $ 2b=a+c $.

${{a}^{2}}+2bc={{c}^{2}}+2ab$ tương đương với $$ a^2+(a+c)c=c^2+(a+c)a $$ Khai triển hai vế đẳng thức này được điều hiển nhiên đúng.${{a}^{2}}+8bc={{(2b+c)}^{2}}$ tương đương với $$ a^2+4c(a+c)=(a+c+c)^2 $$ Khai triển hai vế đẳng thức này được điều hiển nhiên đúng.$({{a}^{2}}+ab+{{b}^{2}}),({{a}^{2}}+ac+{{c}^{2}}),({{b}^{2}}+bc+{{c}^{2}})$ lập thành cấp số cộng khi và chỉ khi$$ ({{a}^{2}}+ab+{{b}^{2}}) + ({{b}^{2}}+bc+{{c}^{2}}) = 2 ({{a}^{2}}+ac+{{c}^{2}})$$ Khai triển và rút gọn ta được egin{align*}&ab+bc+2b^2=a^2+2ac+c^2\Leftrightarrow & (a+c)b+2b^2=(a+c)^2end{align*} Thay ( a+c=2b ) vào hai vế đẳng thức trên ta được ( 4b^2=4b^2 ), đây là điều hiển nhiên đúng.

Ví dụ 3. Tìm số hạng đầu và công sai của cấp số cộng $ (u_n) $ biết

$ egin{cases} u_1-u_3+u_5=10\ u_1+u_6=17 end{cases} $$ egin{cases} u_7-u_3=8\u_2.u_{15}=75 end{cases} $$ egin{cases} u_1+u_4+u_5=25\u2-u_8=-24 end{cases} $

Ví dụ 4. Xác định $ x $ để ba số $ 10 – 3x, 2x^2 + 3, 7 – 4x $ lập thành một cấp số cộng.

Hướng dẫn. Ba số $ 10 – 3x, 2x^2 + 3, 7 – 4x $ lập thành một cấp số cộng khi và chỉ khi $$ 10-3x+7-4x=2(2x^2+3) $$ Giải phương trình này, tìm được ( x=1, x=-frac{11}{4} ).

Ví dụ 5. Xác định một cấp số cộng có 3 số hạng, biết tổng của chúng bằng 9 và tổng bình phương là 125.

Giải: Gọi $d$ là công sai của cấp số cộng và ba số phải tìm là $(x – d),x, (x + d)$ thì ta có hệ phương trình:

$$ egin{cases}x-d+x+x+d=9\ (x-d)^2+x^2+(x+d)^2=125end{cases} $$

Giải hệ trên, ta tìm được với $d = 7$ cấp số cộng đó là $-4, 3, 10$ và với $d = -7$ cấp số là $10;,3,-4$.

Ví dụ 6. Xác định 4 góc của một tứ giác lồi, biết rằng số đo 4 góc lập thành một cấp số cộng và góc lớn nhất bằng 5 lần góc nhỏ nhất.

Hướng dẫn.Gọi $d=2a$ là công sai thì bốn số phải tìm là $$x – 3a,x – a,x + a,x + 3a$$ Ta có hệ phương trình: $$ egin{cases}left( x-3 ext{a}
ight)+left( x-a
ight)+left( x+a
ight)+left( x+3a
ight)=360^circ\left( x+3a
ight)=5left( x-3a
ight)end{cases} $$ Giải hệ này, tìm được ( x=90^circ ) và ( a=20^circ ). Suy ra, bốn góc phải tìm là:A = 300; B = 700 ; C = 1100 ; D = 1500.

Ví dụ 7. Tìm tổng các số hạng liên tiếp từ thứ 6 đến thứ 14 của cấp số cộng có số hạng thứ ba là 16 và công sai bằng 4.

Ví dụ 8. Cho hàm số $ y=x^3-3x^2-9x+m $ có đồ thị là $ (C). $ Tìm $m$ để đồ thị $(C)$ cắt trục hoành tại ba điểm phân biệt có hoành độ lập thành một cấp số cộng?

Hướng dẫn. Giả sử ba hoành độ là $ x_1,x_2,x_3 $. Từ $ x_1+x_3=2x_2 $ và Viét suy ra $ x_2=1. $ Từ đó tìm được $ m $ và thử lại. Đáp số $ m=11. $

Ví dụ 9. Tìm $m$ để đồ thị hàm số $ y=x^4-2(m-1)x^2+2m+1 $ cắt trục hoành tại bốn điểm phân biệt lập thành một cấp số cộng.Đáp số.

$ m=4 $ và $ m=-frac{4}{9}. $

Ví dụ 10. Cho phương trình : ${{x}^{4}}+3{{x}^{2}}-left( 24+m
ight)x-26-n=0$.Tìm hệ thức liên hệ giữa $m$ và $n$ để phương trình có 3 nghiệm phân biệt ${{x}_{1}},{{x}_{2}},{{x}_{3}}$ lập thành một cấp số cộng?

Hướng dẫn. Vì 3 nghiệm phân biệt : ${{x}_{1}},{{x}_{2}},{{x}_{3}}$ lập thành cấp số cộng , nên ta có thể đặt: $${{x}_{1}}={{x}_{0}}-d,{{x}_{2}}={{x}_{0}},{{x}_{3}}={{x}_{0}}+dleft( d
e 0
ight)$$ Theo giả thiết ta có: $${x^3} + 3{x^2} – left( {24 + m}
ight)x – 26 – n = left( {x – {x_1}}
ight)left( {x – {x_2}}
ight)left( {x – {x_3}}
ight)$$

Nhân ra và đồng nhất hệ số ở hai vế của phương trình ta có hệ: $$egin{array}{l},,,,,,,left{ egin{array}{l}– 3{x_0} = 3\3x_0^2 – {d^2} = – left( {24 + m}
ight)\– x_0^3 + {x_0}{d^2} = – 26 – nend{array}
ight.\Leftrightarrow left{ egin{array}{l}{x_0} = – 1\3 – {d^2} = – 24 – m\1 – {d^2} = – 26 – nend{array}
ight.\Leftrightarrow left{ egin{array}{l}{x_0} = – 1\m = nend{array}
ight.end{array}$$ Vậy với $m=n$ thì ba nghiệm phân biệt của phương trình lập thành cấp số cộng.

Ví dụ 11. Tính tổng tất cả các nghiệm của phương trình $ sin^23x-5sin3x+4=0 $ trên khoảng $ (0;50pi) $.

Đáp số. $ frac{3725pi}{2} $.

3. Bài tập cấp số nhân

Ví dụ 1. Cho dãy số $({u_n})$ xác định bởi ${u_n} = frac{5}{2}$ và ${u_{n + 1}} = 3{u_n} – 1$ với mọi $n geqslant 1$. Chứng minh rằng dãy số $({v_n})$ xác định bởi ${v_n} = {u_n} = frac{{ – 1}}{2}$ với mọi $n geqslant 1$ là một cấp số nhân. Hãy cho biết số hạng đầu và công bội của cấp số nhân đó.

Hướng dẫn. Từ công thức xác định dãy số $ (u_n) $ và $ (v_n) $ ta có$${v_{n + 1}} = {u_{n + 1}} – frac{1}{2} = 3{u_n} – 1 – frac{1}{2} = 3left( {{u_n} – frac{1}{2}}
ight) = 3{v_n} ext{ với mọi }ngeqslant 1. $$ Ta thấy ngay, $ (v_n) $ là một cấp số nhân với số hạng đầu $ v_1=2 $ và công bội $ q=3. $

Ví dụ 2. Một cấp số nhân có 5 số hạng , công bội bằng một phần bốn số hạng thứ nhất , tổng của hai số hạng đầu bằng 24. Tìm cấp số nhân đó.

Hướng dẫn. Theo giả thiết ta có $$egin{array}{l},,,,,,{u_1} + {u_2} = {u_1} + frac{1}{4}left( {{u_1}}
ight) = 24\Rightarrow {u_1} + frac{1}{4}u_1^2 – 24 = 0\Leftrightarrow {u_1} = – 12 vee {u_1} = 8end{array}$$ Vậy có hai cấp số nhân tương ứng là $8,16,32,128$ hoặc $-12,36,-108,-972$.

Ví dụ 3. Tìm số hạng đầu và công bội của cấp số nhân $ (u_n) $ biết

$ egin{cases} u_4-u_2=72\u_5-u_3=144 end{cases} $$ egin{cases} u_1-u_3+u_5=65\u_1+u_7=325 end{cases} $

Ví dụ 4. Tìm bốn góc của một tứ giác, biết rằng các góc đó lập thành cấp số nhân và góc cuối gấp 9 lần góc thứ hai.

Ví dụ 5. Tìm các số dương $ a,b $ sao cho $ a,a+2b,2a+b $ lập thành một cấp số cộng còn $ (b+1)^2,ab+5,(a+1)^2 $ lập thành một cấp số nhân.

Ví dụ 6. Tìm $m$ để phương trình $ x^3+2x^2+(m+1)x+2(m+1)=0 $ có ba nghiệm lập thành một cấp số nhân.

Hướng dẫn. Phương trình đã cho tương đương với $$ (x+2)(x^{2}+m+1)=0 Leftrightarrow left<egin{array}{l}x=-2 \ x^{2}=-m-1end{array} ight.$$Phương trình đã cho có ba nghiệm khi và chỉ khi $$ egin{cases}mTH1. ( -5TH2. ( m

Tóm lại, không có giá trị nào của ( m ) thỏa mãn yêu cầu.

Ví dụ 7. Tính tổng $$ S=1+frac{1}{3}+frac{1}{3^2}+cdots+frac{1}{3^{2015}} $$

Ví dụ 8.

Tìm các số hạng đầu của cấp số nhân $(u_n)$ biết rằng $$ egin{cases}u_1+u_2+u_3+u_4=15\u_1^2+u_2^2+u_3^2+u_4^2=85end{cases} $$Hướng dẫn. Giả sử cấp số nhân cần tìm có số hạng đầu bằng ( x ) và công bội ( q
e 1). Sử dụng công thức tổng $n$ số hạng đầu của một cấp số nhân, chúng ta có$$ u_1+u_2+u_3+u_4=frac{xleft(q^4-1
ight)}{q-1}=15 $$ Bình phương hai vế ta được $$ x^2(q^4-1)^2/(q-1)^2 = 225 $$ Đối với tổng $ u_1^2+u_2^2+u_3^2+u_4^2$ ta có thể coi đây chính là tổng bốn số hạng đầu của một cấp số nhân với số hạng đầu là ( x^2 ) và công bội ( q^2 ) nên tổng của chúng là $$u_1^2+u_2^2+u_3^2+u_4^2=frac{x^2left(q^8-1
ight)}{q^2-1}=85 $$

Chia từng vế hai phương trình trên ta được $$ frac{left(q^4-1
ight)left(q^2-1
ight)}{left(q-1
ight)^2left(q^8-1
ight)} =frac{225}{85}$$Rút gọn rồi nhân chéo ta được phương trình $$ 14q^4 – 17q^3 – 17q^2 – 17q + 14 = 0 $$ Đến đây có thể sử dụng máy tính để giải, tìm được nghiệm ( q=2,q=frac{1}{2} ). Hoặc đặt ( t=q+frac{1}{q} ) và đưa về phương trình bậc hai ẩn ( t ).

Lời giải chi tiết cho ví dụ này, mời thầy cô và các em học sinh xem trong video sau: