Giải Phương Trình Bậc 4 Bằng Cách Đặt T, Giải Phương Trình Bậc 4

Để giải phương trình bậc 4 trùng phương chúng ta có 2 phương pháp để giải, cách thứ nhất là đặt ẩn phụ để đưa về phương trình bậc 2, cách thứ hai là đưa về phương trình tích.

Đang xem: Giải phương trình bậc 4 bằng cách đặt t

Vậy cách giải phương trình bậc 4 trùng phương (ax4 + bx2 + c = 0) và phương trình tích cụ thể như thế nào? chúng ta cùng tìm hiểu qua bài viết dưới dây, qua đó vận dụng giải các bài tập để rèn kỹ năng giải toán dạng này.

° Cách giải phương trình đưa về phương trình tích.

* Phương pháp giải:

– Biến đổi phương trình ban đầu (bằng cách đặt nhân tử chung, vận dụng hằng đẳng thức,…) đưa về dạng phương trình tích, sau đó giải các phương trình.

– Tổng quát: A.B = 0 ⇔ A = 0 hoặc B = 0.

* Ví dụ 1: Giải phương trình

a) (x – 3)(x2 – 3x + 2) = 0

b) x3 + 3×2 – 2x – 6 = 0

° Lời giải:

a) (x – 3)(x2 – 3x + 2) = 0

⇔ x – 3 = 0 hoặc x2 – 3x + 2 = 0

+) x – 3 = 0 ⇔ x1 = 3

+) x2 – 3x + 2 = 0 ta thấy: a = 1; b = -3; c = 2 và a + b + c = 0 nên theo Vi-et ta có nghiệm x2 = 1; x3 = c/a = 2.

• Kết luận: Vậy phương trình đã cho có 3 nghiệm là: x1 = 3; x2 = 1; x3 = 2.

b) x3 + 3×2 – 2x – 6 = 0

⇔ x2(x + 3) – 2(x + 3) = 0

⇔ (x + 3)(x2 – 2) = 0

⇔ x + 3 = 0 hoặc x2 – 2 = 0

+) x + 3 = 0 ⇔ x1 = -3

+) x2 – 2 = 0 ⇔ 

 ; 

• Kết luận: Vậy phương trình đã cho có 3 nghiệm là:

* Ví dụ 2 (Bài 36 trang 56 SGK Toán 9 Tập 2): Giải các phương trình

a) (3×2 – 5x + 1)(x2 – 4) = 0;

b) (2×2 + x – 4)2 – (2x – 1)2 = 0.

° Lời giải:

a) (3×2 – 5x + 1)(x2 – 4) = 0;

⇔ 3×2 – 5x + 1 = 0 hoặc x2 – 4 = 0

+)Giải: 3×2 – 5x + 1 = 0

– Có a = 3; b = -5; c = 1 ⇒ Δ = (-5)2 – 4.3 = 13 > 0

⇒ Phương trình có hai nghiệm: 

+)Giải: x2 – 4 = 0

⇔ (x – 2)(x + 2) = 0

⇔ x = 2 hoặc x = -2.

• Kết luận: Vậy phương trình đã cho có 4 nghiệm là:

 ; x3 = 2; x4 = -2

– Hay tập nghiệm của phương trình là: 

b) (2×2 + x – 4)2 – (2x – 1)2 = 0

⇔ (2×2 + x – 4 – 2x + 1)(2×2 + x – 4 + 2x – 1) = 0

⇔ (2×2 – x – 3)(2×2 + 3x – 5) = 0

⇔ 2×2 – x – 3 = 0 hoặc 2×2 + 3x – 5 = 0

+) Giải: 2×2 – x – 3 = 0

– Có a = 2; b = -1; c = -3 và thấy a – b + c = 0

⇒ Phương trình có hai nghiệm x = -1 và x = -c/a = 3/2.

+) Giải: 2×2 + 3x – 5 = 0

– Có a = 2; b = 3; c = -5 và thấy a + b + c = 0

⇒ Phương trình có hai nghiệm x = 1 và x = c/a = -5/2.

• Kết luận: Vậy phương trình đã cho có 4 nghiệm là: x1 = -1; x2 = 3/2; x3 = 1; x4 = -5/2.

– Hay tập nghiệm của phương trình là: 

° Cách giải phương trình trùng phương ax4 +bx2 + c = 0 (a≠0).

* Phương pháp giải 1: Đặt ẩn phụ cho pt: ax4 + bx2 + c = 0 (a≠0) (1)

• Đặt t = x2 (t≥0), khi đó ta được phương trình at2 + bt + c = 0 (2)

– Nếu phương trình (2) có 2 nghiệm dương thì phương trình trùng phương có 4 nghiệm.

– Nếu phương trình (2) có một nghiệm dương, một nghiệm âm hoặc có nghiệm kép dương thì phương trình trùng phương có 2 nghiệm.

– Nếu phương trình (2) có 2 nghiệm âm hoặc vô nghiệm thì phương trình trùng phương vô nghiệm.

• Cụ thể như sau:

– Phương trình (1) có 4 nghiệm phân biệt ⇔ Phương trình (2) có hai nghiệm dương phân biệt

– Phương trình (1) có 3 nghiệm phân biệt ⇔ Phương trình (2) có một nghiệm dương và một nghiệm bằng 0

– Phương trình (1) có 2 nghiệm phân biệt ⇔ phương trình (2) có một một nghiệm kép dương hoặc 2 nghiệm trái dấu ⇔ hoặc 

– Đối chiếu điều kiện t≥0 ta thấy chỉ có giá trị t1 = 2 thỏa mãn điều kiện.

Xem thêm: hướng dẫn Tải Word Excel 2010 Miễn Phí, hướng dẫn Office 2010 Full 32/64 Bit

+ Với t = 2 ⇒ x2 = 2 ⇒ x = √2 hoặc x = -√2;

– Vậy phương trình (1) có tập nghiệm S = {-√2 ; √2}.

c) 3×4 + 10×2 + 3 = 0 (1)

– Đặt t = x2 , điều kiện t ≥ 0.

– Khi đó (1) trở thành : 3t2 + 10t + 3 = 0 (2)

– Giải (2): Có a = 3; b” = 5; c = 3 ⇒ Δ’ = 52 – 3.3 = 16 > 0

⇒ Phương trình có hai nghiệm phân biệt:

– Đối chiếu điều kiện t≥0 ta thấy cả 2 giá trị t1 = -1/3 2 = -3* Ví dụ 2(Bài 37 trang 56 SGK Toán 9 Tập 2): Giải các phương trình trùng phương

a) 9×4 – 10×2 + 1 = 0 

b) 5×4 + 2×2 – 16 = 10 – x2

c) 0,3×4 + 1,8×2 + 1,5 = 0

d) 

° Lời giải:

a) 9×4 – 10×2 + 1 = 0 (1)

– Đặt t = x2, điều kiện t ≥ 0.

– Khi đó (1) trở thành : 9t2 – 10t + 1 = 0 (2)

+) Giải (2): Có a = 9 ; b = -10 ; c = 1; ta thấy a + b + c = 0

⇒ Phương trình (2) có nghiệm t1 = 1; t2 = c/a = 1/9.

– Cả hai nghiệm đều thỏa mãn điều kiện t≥0.

+ Với t = 1 ⇒ x2 = 1 ⇒ x = 1 hoặc x = -1.

+ Với t = 1/9 ⇒ x2 = 1/9 ⇒ x = 1/3 hoặc x = -1/3. 

• Kết luận: Vậy phương trình (1) có tập nghiệm 

b) 5×4 + 2×2 – 16 = 10 – x2

⇔ 5×4 + 2×2 – 16 – 10 + x2 = 0

⇔ 5×4 + 3×2 – 26 = 0 (1)

– Đặt t = x2 , điều kiện t ≥ 0.

– Khi đó (1) trở thành : 5t2 + 3t – 26 = 0 (2)

+ Giải (2): Có a = 5 ; b = 3 ; c = -26 ⇒ Δ = 32 – 4.5.(-26) = 529 > 0

⇒ Phương trình có hai nghiệm phân biệt:

– Đối chiếu điều kiện chỉ có t1 thỏa điều kiện, nên:

+ Với t = 2 ⇒ x2 = 2 ⇒ x = √2 hoặc x = -√2.

⇒ Kết luận: Vậy phương trình (1) có tập nghiệm S = {-√2; √2}.

c) 0,3×4 + 1,8×2 + 1,5 = 0 (1)

– Đặt t = x2, điều kiện t ≥ 0.

– Khi đó, (1) trở thành : 0,3t2 + 1,8t + 1,5 = 0 (2)

+ Giải (2) : có a = 0,3 ; b = 1,8 ; c = 1,5; ta thấy a – b + c = 0

⇒ Phương trình có hai nghiệm t1 = -1 và t2 = -c/a = -5.

– Đối chiếu với điều kiện t ≥ 0 thấy cả hai nghiệm đều không thỏa.

⇒ Vậy phương trình (1) vô nghiệm.

d)  (*)

– Điều kiện xác định: x ≠ 0.

– Quy đồng, khử mẫu ta được:

(*) ⇔ 2×4 + x2 = 1 – 4×2

 ⇔ 2×4 + x2 + 4×2 – 1 = 0

 ⇔ 2×4 + 5×2 – 1 = 0 (1)

– Đặt t = x2, điều kiện t > 0 (do x ≠ 0).

Xem thêm: Mẫu Excel Quản Lý Xe – File Excel Quản Lý Dịch Vụ Cho Thuê Xe

– Khi đó (1) trở thành : 2t2 + 5t – 1 = 0 (2)

+ Giải (2): Có a = 2 ; b = 5 ; c = -1 ⇒ Δ = 52 – 4.2.(-1) = 33 > 0

⇒ Phương trình có hai nghiệm phân biệt:

– Đối chiếu với điều kiện t >0 thấy có nghiệm t1 thỏa mãn, nên:

+ Với 

• Kết luận: Vậy phương trình có tập nghiệm

° Một số Bài tập về phương trình tích, phương trình trùng phương

* Bài 1: Giải các phương trình sau

a) x4 – 22×2 – 8x +77 = 0

b) x4 – 6×3 + 8×2 + 2x – 1 = 0

c) x4 + 2×3 – 5×2 + 6x – 3 = 0

* Bài 2: Giải các phương trình sau

a) 5×4 + 3×2 – 2 = 0

b) x4 – 5×2 + 6 = 0

c) 2×4 – 3×2 – 2 = 0

Hy vọng với bài viết về cách giải phương trình trùng phương, phương trình tích ở trên giúp các em hiểu và vận dụng tốt để giải các dạng toán tương tự, chúc các em học tập tốt.