Lớp 1-2-3
Lớp 4
Lớp 5
Lớp 6
Lớp 7
Lớp 8
Lớp 9
Lớp 10
Lớp 11
Lớp 12
IT
Chuyên đề Toán 9Chuyên đề: Hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩnChuyên đề: Phương trình bậc hai một ẩn sốChuyên đề: Hệ thức lượng trong tam giác vuôngChuyên đề: Đường trònChuyên đề: Góc với đường trònChuyên đề: Hình Trụ – Hình Nón – Hình Cầu
4 cách giải phương trình vô tỉ cực hay
Trang trước
Trang sau
– Cách 1: Nâng lên cùng một lũy thừa ở cả hai vế.
+ Phương trình
+ Phương trình √A = √B ⇔ A = B.
+ Phương trình A2 = B2 ⇔ |A| = |B| ⇔ A = ±B
– Cách 2: Đặt ẩn phụ.
– Cách 3: Sử dụng biểu thức liên hợp, đánh giá.
Đang xem: Các phương pháp giải phương trình vô tỉ
– Một số phương trình đặc biệt có cách giải riêng biệt khác.
Ví dụ 1: Sử dụng phương pháp bình phương để giải các phương trình:
Hướng dẫn giải:
a) √x = 3 (đkxđ: x ≥ 0)
⇔ x = 32 = 9 (t/m)
Vậy phương trình có nghiệm x = 9.
b)
(đkxđ: x ≥ -1)
⇔ x + 1 = 4
⇔ x = 3 (t/m)
Vậy phương trình có nghiệm x = 3.
c)
(đkxđ: x ≥ -3/2 )
⇒ 2x + 3 = x2
⇔ x2 – 2x – 3 = 0
⇔ (x + 1)(x – 3) = 0
⇔ x = -1 hoặc x = 3
Thử lại chỉ có giá trị x = 3 thỏa mãn phương trình.
Vậy phương trình có nghiệm x = 3.
d)
(đkxđ: x ≥ 1).
⇒ x – 1 = (x-3)2
⇔ x – 1 = x2 – 6x + 9
⇔ x2 – 7x + 10 = 0
⇔ (x – 2)(x – 5) = 0
⇔ x = 2 hoặc x = 5
Thử lại chỉ có giá trị x = 5 thỏa mãn.
Ví dụ 2: Sử dụng phương pháp đặt ẩn phụ để giải các phương trình sau:
Hướng dẫn giải:
a) Đặt
⇒ x2 + 5x + 3 = t2
⇒ 2×2 + 10x = 2(x2 + 5x) = 2. (t2 – 3) = 2t2 – 6
Khi đó phương trình trở thành:
t + 2t2 – 6 – 15 = 0 ⇔ 2t2 + t – 21 = 0
⇔ (t-3) (2t + 7/2) = 0 ⇔ t = 3 (T/M) hoặc t = -7/2(L).
Với t = 3 thì
⇔ x2 + 5x + 3 = 9
⇔ x2 + 5x – 6 = 0
⇔ (x-1) (x+6) = 0
⇔ x = 1 hoặc x = -6
Vậy phương trình có hai nghiệm: x = 1 và x = -6.
b) Đặt
⇒ x = t3.
Khi đó phương trình trở thành: t3 + t – 2 = 0 ⇔ (t – 1)(t2 + t + 2) = 0 ⇔ t = 1 (Vì t2 + t + 2 > 0 với mọi t).
Với t = 1 ⇒ x = 1.
Vậy phương trình có nghiệm x = 1.
c)
(Đkxđ: x ≠ 0 và x – 1/x ≥ 0 ).
Chia cả hai vế cho x ta được:
Phương trình trở thành: t2 + 2t – 3 = 0
⇔ (t-1)(t+3) = 0 ⇔ t = 1(t/m) hoặc t = -3(l)
Với t = 1 ⇒
⇔ x2 – 1 = x
⇔ x2 – x – 1 = 0
⇔ (x-1/2)2 = 5/4
Vậy phương trình có hai nghiệm
d) Đặt
Ta thu được hệ phương trình :
⇔ 5x = 5 ⇔ x = 1.
Vậy phương trình có nghiệm x = 1.
Ví dụ 3: Giải các phương trình sau đây:
Hướng dẫn giải:
a) Phương pháp giải: Phân tích thành nhân tử
Vậy phương trình có nghiệm duy nhất x = 0.
b)
Điều kiện xác định :
⇔ x = 7.
Xem thêm: hàm tính chiết khấu trong excel
Thay x = 7 vào thấy không thỏa mãn phương trình.
Vậy phương trình vô nghiệm.
c) Phương pháp giải: Đánh giá
VT = VP ⇔
Vậy phương trình vô nghiệm.
+ TH1: Xét
⇔ x-1 ≥ 9 ⇔ x ≥ 10 .
Phương trình trở thành:
⇔ x – 1 = 81/4 ⇔ x = 85/4 (t.m)
+ TH2: Xét
(không tồn tại)
+ TH3: Xét
⇔ 5 ≤ x ≤ 10 .
Phương trình trở thành:
⇔ 1 = 4 (vô nghiệm)
+ TH4: Xét
⇔ x ≤ 5.
Phương trình trở thành:
⇔ x – 1 = 1/4 ⇔ x = 5/4 (thỏa mãn).
Vậy phương trình có hai nghiệm x = 5/4 và x = 85/4
Bài 1: Nghiệm của phương trình
là :
A. x = 6 B. x = 3 C. x = 9 D. Vô nghiệm.
Hiển thị đáp án
Bài 2: Phương trình
có số nghiệm là:
A. 0B. 1 C. 2D. 3.
Hiển thị đáp án
Đáp án: C
(đkxđ: x ≤ -3 hoặc x ≥ -1)
⇔ (x + 1)(x + 3) = 8
⇔ x2 + 4x + 3 = 8
⇔ x2 + 4x – 5 = 0
⇔ x2 + 5x – x – 5 = 0
⇔ (x + 5)(x – 1) = 0
⇔ x = -5 hoặc x = 1 (t/m)
Vậy phương trình có hai nghiệm
Bài 3: Tổng các nghiệm của phương trình x – 5√x + 6 = 0 là:
A. 5B. 9C. 4D. 13.
Hiển thị đáp án
Đáp án: D
Đkxđ: x ≥ 0.
x – 5√x + 6 = 0
⇔ x – 3√x – 2√x + 6 = 0
⇔ (√x – 3) (√x – 2) = 0
(đkxđ: x ≤ -3 hoặc x ≥ -1)
Vậy tổng các nghiệm của phương trình là 13.
Bài 4: Phương trình
có nghiệm là:
A. x = 4B. x = -3C. x = -3 và x = 4 D. Vô nghiệm.
Hiển thị đáp án
Đáp án: A
(đkxđ: x ≤ -3 hoặc x ≥ -1)
⇒ 25 – x2 = (x – 1)2
⇔ 25 – x2 = x2 – 2x + 1
⇔ 2×2 – 2x – 24 = 0
⇔ x2 – x – 12 = 0
⇔ x2 – 4x + 3x – 12 = 0
⇔ (x – 4)(x + 3) = 0
⇔ x = 4 hoặc x = -3.
Thử lại chỉ có x = 4 là nghiệm của phương trình.
Bài 5: Phương trình
có số nghiệm là:
A. 0B. 1C. 2D. Vô số.
Hiển thị đáp án
Đáp án: D
(đkxđ: x ≤ -3 hoặc x ≥ -1)
⇔ |x-3| = x-3 ⇔ x ≥ 3
Vậy phương trình có nghiệm đúng với mọi x ≥ 3 hay phương trình có vô số nghiệm.
Bài 6: Giải các phương trình:
Hướng dẫn giải:
a)
(đkxđ: x ≥ -3/2 )
⇔
⇔ 2x + 3 = 1/4
⇔ 2x = -11/4
⇔ x = -11/8
Vậy phương trình có nghiệm x = -11/8 .
b)
(đkxđ: x ≥ 0)
⇔ 3x = 144
⇔ x = 48
c)
(đkxđ: x ≥ -1)
⇔ x + 1 = 25
⇔ x = 24.
Vậy phương trình có nghiệm x = 24.
Bài 7: Giải các phương trình:
Hướng dẫn giải:
a)
⇔ x2 + x + 1 = 2×2 – 5x + 9
⇔ x2 – 6x + 8 = 0
⇔ x2 – 2x – 4x + 8 = 0
⇔ (x – 2)(x – 4) = 0
⇔ x = 2 hoặc x = 4.
Vậy phương trình có hai nghiệm x = 2 hoặc x = 4.
b)
⇒ 3×2 + 4x + 1 = (x – 1)2
⇔ 3×2 + 4x + 1 = x2 – 2x + 1
⇔ 2×2 – 6x = 0
⇔ 2x(x – 3) = 0
⇔ x = 0 hoặc x = 3.
Thử lại chỉ có x = 3 là nghiệm của phương trình.
Vậy phương trình có nghiệm x = 3.
⇔ x2 + 5x – 2 = 4
⇔ x2 + 5x – 6 = 0
⇔ (x + 6)(x – 1) = 0
⇔ x = 1 hoặc x = -6
Thử lại cả hai nghiệm đều thỏa mãn phương trình.
Vậy phương trình có hai nghiệm x = -6 hoặc x = 1.
⇒ 4(x+1)(2x+3) = (21-3x)2
⇔ 4(2×2 + 2x + 3x + 3) = 441 – 126x + 9×2
⇔ 8×2 + 20x + 12 = 441 – 126x + 9×2
⇔ x2 – 146x + 429 = 0.
⇔ x2 – 3x – 143x + 429 = 0
⇔ (x – 3)(x – 143) = 0
⇔ x = 3 hoặc x = 143.
Thử lại cả hai đều thỏa mãn phương trình
Vậy phương trình có hai nghiệm x = 3 và x = 143.
Bài 8: Giải các phương trình:
Hướng dẫn giải:
a)
Đặt
+ Th1:
⇔ x = 1.
+ Th2:
⇔ x = -7.
Vậy phương trình có hai nghiệm x = 1 và x = -7.
b)
(đkxđ: x ≥ -1)
Đặt
⇒ a2 – b2 = (2x+3) – (x+1) = x + 2
⇒ a – b = a2 – b2
⇔ (a – b)(a + b) – (a – b) = 0
⇔ (a – b)(a + b – 1) = 0
⇔ a = b hoặ a + b = 1
+ Th1: a = b ⇒
⇔ 2x + 3 = x + 1 ⇔ x = -2 2 – 2x – 3 ≥ 0)
Phương trình trở thành: t2 + 3t – 4 = 0
⇔ t2 + 4t – t – 4 = 0
⇔ (t + 4)(t – 1) = 0
⇔ t = -4 (L) hoặc t = 1 (T/M)
⇔
⇔ x2 – 2x – 3 = 1
⇔ x2 – 2x – 4 = 0
⇔ (x – 1)2 = 5
Bài 9: Giải phương trình:
Hướng dẫn giải:
(1)
Ta có:
⇒ VT (1) =
≥ 2 + 3 = 5.
Xem thêm: Tài Liệu Khóa Học Siêu Âm Tổng Quát 2018, Khai Giảng Khóa Học 3 Tháng “Siêu Âm Tổng Quát”
VP (1) = 4 – 2x – x2 = 5 – (1 + 2x + x2) = 5 – (x + 1)2 ≤ 5.
VT = VP ⇔ ⇔ x = -1.
Thử lại x = -1 là nghiệm của phương trình.
Vậy phương trình có nghiệm x = -1.
Bài 10: Giải phương trình:
Hướng dẫn giải:
(Đkxđ: x ≥ -1 )
+ TH1:
Khi đó phương trình trở thành:
⇔ x = 3 (t.m)
+ TH2:
⇔ x
Mục lục các Chuyên đề Toán lớp 9:
Chuyên đề Đại Số 9Chuyên đề Hình Học 9
Phụ huynh đăng ký mua khóa học lớp 9 cho con, được tặng miễn phí khóa ôn thi học kì. Cha mẹ hãy đăng ký học thử cho con và được tư vấn miễn phí. Đăng ký ngay!