Cách Tìm Hai Nghiệm Của Phương Trình Mũ Bằng Casio, Cách Giải Phương Trình Logarit Bằng Máy Tính

1) PHƯƠNG PHÁP SỬ DỤNG MODE 7Tổng hợp phương pháp Bước 1: Chuyển PT về dạng Vế trái = 0Bước 2: Sử dụng chức năng MODE 7 để xét lập bảng giá trị của vế tráiBước 3: Quan sát và đánh giá :+) Nếu $Fleft( alpha
ight) = 0$ thì $alpha $ là 1 nghiệm+) Nếu $Fleft( a
ight).Fleft( b
ight) VD1-Số nghiệm của phương trình ${6.4^x} – {12.6^x} + {6.9^x} = 0$ là ;A. 3B. 1C. 2D. 0

GIẢIKhởi động chức năng lập bảng giá trị MODE 7 của Casio rồi nhập hàm

Ta thấy khi x=0 thì F(0)=0 vậy x=0 là nghiệm. Tiếp tục quan sát bảng giá trị F(X) nhưng không có giá trị nào làm cho F(X)=0 hoặc khoảng nào làm cho F(X) đổi dấu. Điều này có nghĩa x=0 là nghiệm duy nhấtKết luận : Phương trình ban đầu có 1 nghiệm $ Rightarrow $ Ta chọn đáp án BCách tham khảo : Tự luậnVì ${9^x} > 0$ nên ta có thể chia cả 2 vế cho ${9^x}$Phương trình đã cho $ Leftrightarrow 6.frac{{{4^x}}}{{{9^x}}} – 12.frac{{{6^x}}}{{{9^x}}} + 6 = 0$$ Leftrightarrow 6.{left( {frac{2}{3}}
ight)^{2x}} – 12.{left( {frac{2}{3}}
ight)^x} + 6 = 0$ (1)Đặt ${left( {frac{2}{3}}
ight)^x}$ là t thì ${left( {frac{2}{3}}
ight)^{2x}} = {t^2}$ . Khi đó (1) $ Leftrightarrow 6{t^2} – 12t + 6 = 0 Leftrightarrow 6{left( {t – 1}
ight)^2} = 0 Leftrightarrow t = 1$Vậy ${left( {frac{2}{3}}
ight)^x} = 1 Leftrightarrow x = 0$Bình luận :Để sử dụng phương pháp Casio mà không bị sót nghiệm ta có thể sử dụng vài thiết lập miền giá trị của X để kiểm tra. Ngoài Start -9 End 10 Step 1 ta có thể thiết lập Start -4 End 5 Start 0.5

Ta quan sát bảng giá trị vẫn có 1 nghiệm x=0 duy nhất vậy ta có thể yên tâm hơn về lựa chọn của mình.Theo cách tự luận ta thấy các số hạng đều có dạng bậc 2. Ví dụ ${4^x} = {left( {{2^x}}
ight)^2}$ hoặc ${6^x} = {2^x}{.3^x}$ vậy ta biết đây là phương trình dạng đẳng cấp bậc 2.Dạng phương trình đẳng cấp bậc 2 là phương trình có dạng $m{a^2} + nab + p{b^2} = 0$ ta giaỉ bằng cách chia cho ${b^2}$ rồi đặt ẩn phụ là $frac{a}{b} = t$

VD2-Số nghiệm của phương trình ${e^{sin left( {x – frac{pi }{4}}
ight)}} = an x$ trên đoạn $left< {0;2pi } ight>$ là :A. 1B. 2C. 3D. 4GIẢIChuyển phương trình về dạng : ${e^{sin left( {x – frac{pi }{4}}
ight)}} – an x = 0$Sử dụng chức năng MODE 7 với thiết lập Start 0 End $2pi $ Step $frac{{2pi – 0}}{{19}}$

Quan sát bảng giá trị ta thấy 3 khoảng đổi dấu như trên :$fleft( {0.6613}
ight).fleft( {0.992}
ight) $fleft( {1.3227}
ight).fleft( {1.6634}
ight) $fleft( {3.6376}
ight).fleft( {3.9683}
ight) $fleft( {4.6297}
ight).fleft( {4.9604}
ight) Kết luận : Phương trình ban đầu có 4 nghiệm $ Rightarrow $ Ta chọn đáp án DBình luận :Đề bài yêu cầu tìm nghiệm thuộc $left< {0;2pi } ight>$ nên Start = 0 và End = $2pi $Máy tính Casio tính được bảng giá trị gồm 19 giá trị nên bước nhảy Step = $frac{{2pi – 0}}{{19}}$

Đang xem: Cách tìm hai nghiệm của phương trình mũ bằng casio

VD3- Phương trình ${left( {sqrt 3 + sqrt 2 }
ight)^{frac{{3x}}{{x – 1}}}} = {left( {sqrt 3 – sqrt 2 }
ight)^x}$ có số nghiệm âm là :A. 2 nghiệmB. 3 nghiệmC. 1 nghiệmD. Không cóGIẢIchuyển phương trình về dạng : ${left( {sqrt 3 + sqrt 2 }
ight)^{frac{{3x}}{{x – 1}}}} – {left( {sqrt 3 – sqrt 2 }
ight)^x} = 0$Khởi động chức năng lập bảng giá trị MODE 7 của Casio rồi nhập hàm :

Vì đề bài yêu cầu nghiệm âm nên ta hiết lập miền giá trị của X là : Start -9 End 0 Step 0.5

Máy tính cho ta bảng giá trị

:Ta thấy khi x=-4 thì F (-4) =0 vậy x= -4 là nghiệm.Tiếp tục quan sát bảng giá trị F(X) nhưng không có giá trị nào làm cho F(X)=0 hoặc khoảng nào làm cho F(X) đổi dấu.Điều này có nghĩa x= -4 là nghiệm âm duy nhấtKết luận : Phương trình ban đầu có 1 nghiệm âm $ Rightarrow $ Ta chọn đáp án CCách tham khảo : Tự luậnLogarit hai vế theo cơ số dương $sqrt 3 + sqrt 2 $Phương trình ${left( {sqrt 3 + sqrt 2 }
ight)^{frac{{3x}}{{x – 1}}}} = {left( {sqrt 3 – sqrt 2 }
ight)^x}$ $ Leftrightarrow {log _{sqrt 3 + sqrt 2 }}{left( {sqrt 3 + sqrt 2 }
ight)^{frac{{3x}}{{x – 1}}}} = {log _{sqrt 3 + sqrt 2 }}{left( {sqrt 3 – sqrt 2 }
ight)^x}$$ Leftrightarrow frac{{3x}}{{x + 1}} = x{log _{sqrt 3 + sqrt 2 }}left( {sqrt 3 – sqrt 2 }
ight)$ $ Leftrightarrow frac{{3x}}{{x + 1}} = – x Leftrightarrow xleft( {frac{3}{{x + 1}} + 1}
ight) = 0 Leftrightarrow left< egin{array}{l}x = 0\x + 1 = – 3 Leftrightarrow x = – 4end{array} ight.$x= -4 thỏa điều kiện. Vậy ta có x= -4 là nghiệm âm thỏa phương trìnhBình luận :•Phương trình trên có 2 cơ số khác nhau và số mũ có nhân tử chung. Vậy đây là dấu hiệu của phương pháp Logarit hóa 2 vế•Thực ra phương trình có 2 nghiệm $x = 0;x = – 4$ nhưng đề bài chỉ hỏi nghiệm âm nên ta chỉ chọn nghiệm x=-4 và chọn đáp án C là đáp án chính xác•Vì đề bài hỏi nghiệm âm nên ta thiết lập miền giá trị của x cũng thuộc miền âm (-9;0)

VD4- Số nghiệm của phương trình ${left( {3 – sqrt 5 }
ight)^x} + 7{left( {3 + sqrt 5 }
ight)^x} = {2^{x + 3}}$ là :A. 2B. 0C. 3D. 1GIẢIChuyển phương trình về dạng : ${left( {3 – sqrt 5 }
ight)^x} + 7{left( {3 + sqrt 5 }
ight)^x} – {2^{x + 3}} = 0$Khởi động chức năng lập bảng giá trị MODE 7 của Casio rồi nhập hàm:

Thiết lập miền giá trị của X là : Start -9 End 10 Step 1

Máy tính cho ta bảng giá trị:

Ta thấy khi x=0 thì F(0)=0 vậy x=0 là nghiệm.Tiếp tục quan sát bảng giá trị F(X)

Ta lại thấy $fleft( { – 3}
ight).fleft( { – 2}
ight) 0$ nên ta có thể chia cả 2 vế cho ${2^x}$Phương trình đã cho $ Leftrightarrow {left( {frac{{3 – sqrt 5 }}{2}}
ight)^x} + 7{left( {frac{{3 + sqrt 5 }}{2}}
ight)^x} – 8 = 0$Đặt ${left( {frac{{3 – sqrt 5 }}{2}}
ight)^x} = t$ $left( {t > 0}
ight)$ thì ${left( {frac{{3 + sqrt 5 }}{2}}
ight)^x} = frac{1}{t}$ . Khi đó (1) $ Leftrightarrow t + 7.frac{1}{t} – 8 = 0 Leftrightarrow {t^2} – 8t + 7 = 0 Leftrightarrow left< egin{array}{l}t = 1\t = 7end{array} ight.$Với $t = 1 Leftrightarrow {left( {frac{{3 – sqrt 5 }}{2}} ight)^x} = 1 Leftrightarrow x = 0$Với $t = 7 Leftrightarrow {left( {frac{{3 – sqrt 5 }}{2}} ight)^x} = 7 Leftrightarrow x = {log _{frac{{3 – sqrt 5 }}{2}}}7$Vậy phương trình ban đầu có 2 nghiệm $x = 0;x = {log _{frac{{3 – sqrt 5 }}{2}}}7$Bình luận :• Nhắc lại một lần nữa nếu $fleft( a
ight).fleft( b
ight) • Ta nhận thấy 2 đại lượng nghịch đảo quen thuộc $frac{{3 + sqrt 5 }}{2}$ và $frac{{3 – sqrt 5 }}{2}$ nên ta tìm cách để tạo ra 2 đại lượng này bằng cách chia cả 2 vế của phương trình cho ${2^x}$

VD5: Số nghiệm của bất phương trình ${left( {2 + sqrt 3 }
ight)^{{x^2} – 2x + 1}} + {left( {2 – sqrt 3 }
ight)^{{x^2} – 2x – 1}} = frac{4}{{2 – sqrt 3 }}$ (1) là :A. 0B. 2C. 3D. 5GIẢIChuyển bất phương trình (1) về dạng : ${left( {2 + sqrt 3 }
ight)^{{x^2} – 2x + 1}} + {left( {2 – sqrt 3 }
ight)^{{x^2} – 2x – 1}} – frac{4}{{2 – sqrt 3 }} = 0$Nhập vế trái vào máy tính Casio : $Fleft( X
ight) = {left( {2 + sqrt 3 }
ight)^{{x^2} – 2x + 1}} + {left( {2 – sqrt 3 }
ight)^{{x^2} – 2x – 1}} – frac{4}{{2 – sqrt 3 }}$(2+s3$)^Q)dp2Q)+1$+(2ps3$)^Q)dp2Q)p1$pa4R2ps3$$Thiết lập miền giá trị cho x với Start -9 End 9 Step 1

Máy tính Casio cho ta bảng giá trị:

Ta thấy $fleft( { – 1}
ight).fleft( 0
ight)

Ta thấy f(1)=0 vậy x=1 là nghiệm của phương trình (1)

Lại thấy $fleft( 2
ight).fleft( 3
ight) Kết luận : Phương trình (1) có 3 nghiệm $ Rightarrow $ Chọn đáp án C

BÀI TẬP TỰ LUYỆN

Bài 1- Số nghiệm của phương trình $log {left( {x – 1}
ight)^2} = sqrt 2 $ là :A. 2B. 1C. 0D. Một số khácBài 2-Số nghiệm của phương trình $left( {x – 2}
ight)left< {{{log }_{0.5}}left( {{x^2} – 5x + 6} ight) + 1} ight> = 0$ là :A. 1B. 3C. 0D. 2Bài 3- Phương trình ${3^{{x^2} – 2x – 3}} + {3^{{x^2} – 3x + 2}} = {3^{2{x^2} – 5x – 1}} + 1$A. Có ba nghiệm thực phân biệt B. Vô nghiệmC. Có hai nghiệm thực phân biệt D. Có bốn nghiệm thực phân biệtBài 4- Tìm số nghiệm của phương trình ${2^{frac{1}{x}}} + {2^{sqrt x }} = 3$ :A.B. 2C. Vô sốD. Không có nghiệmBài 5-Cho phương trình $2{log _2}x + {log _{frac{1}{3}}}left( {1 – sqrt x }
ight) = frac{1}{2}{log _{sqrt 2 }}left( {x – 2sqrt x + 2}
ight)$. Số nghiệm của phương trình là ;A.

Xem thêm: Bảo Vệ Đồ Án Kiến Trúc Cảnh Quan, Năm 2019, Đồ Án Kiến Trúc Cảnh Quan

Xem thêm: Chức Năng Và Cú Pháp Hàm Đếm Tần Suất Trong Excel ? Cách Dùng Hàm Frequency Trong Excel

2 nghiệmB. Vô số nghiệmC. 1 nghiệmD. Vô nghiệmBài 6-Tìm số nghiệm của phương trình $log {left( {x – 2}
ight)^2} = 2log x + {log _{sqrt {10} }}left( {x + 4}
ight)$A. 3B. 2C. 0D. 1BÀI TẬP TỰ LUYỆNBài 1- Số nghiệm của phương trình $log {left( {x – 1}
ight)^2} = sqrt 2 $ làA. 2B. 1C. 0D. Một số khácGIẢIPhương trình $ Leftrightarrow log {left( {x – 1}
ight)^2} – sqrt 2 = 0$ . Sử dụng chức năng MODE 7 để tìm số nghiệm với Start -9 End 10 Step 1

Ta thấy có hai khoảng đổi dấu $ Rightarrow $ Phương trình ban đầu có 2 nghiệm$ Rightarrow $ A là đáp án chính xácChú ý : Để tránh bỏ sót nghiệm ta thường thử thêm 1 hoặc 2 lần nữa với hai khoảng Start End khác nhau Ví dụ Start -29 End -10 Step 1 hoặc Sart 11 End 30 Step 1. Ta thấy không có khoảng đổi dấu nào nữa$ Rightarrow $ Chắc ăn hơn với 2 nghiệm tìm được

Bài 2-Số nghiệm của phương trình $left( {x – 2}
ight)left< {{{log }_{0.5}}left( {{x^2} – 5x + 6} ight) + 1} ight> = 0$ là :A. 1B. 3C. 0D. 2GIẢITìm điều kiện của phương trình : ${x^2} – 5x + 6 > 0$ $ Leftrightarrow left< egin{array}{l}x > 3\x end{array}
ight.$

Phương trình $left( {x – 2}
ight)left< {{{log }_{0.5}}left( {{x^2} – 5x + 6} ight) + 1} ight> = 0$ . Vì điều kiện chia hai khoảng nên ta MODE 7 hai lần. Lần thứ nhất với Start -7 End 2 Step 0.5

Ta thấy có 1 nghiệm x=1Lần thứ hai với Start 3 End 12 Start 0.5

Ta lại thấy có nghiệm x=4 $ Rightarrow $ Phương trình có 2 nghiệm 1 và 4 . $ Rightarrow $ Đáp án chính xác là D

Bài 3- Phương trình ${3^{{x^2} – 2x – 3}} + {3^{{x^2} – 3x + 2}} = {3^{2{x^2} – 5x – 1}} + 1$A. Có ba nghiệm thực phân biệt B. Vô nghiệmC. Có hai nghiệm thực phân biệt D. Có bốn nghiệm thực phân biệtGIẢIPhương trình $ Leftrightarrow {3^{{x^2} – 2x – 3}} + {3^{{x^2} – 3x + 2}} – {3^{2{x^2} – 5x – 1}} – 1 = 0$ . Sử dụng MODE 7 với Start -9 End 0 Step 0.5

Ta thấy có 1 nghiệm x=-1Tiếp tục MODE 7 với Start 0 End 9 Step 0.5Ta lại thấy có thêm ba nghiệm x=1;2;3 $ Rightarrow $ Tổng cộng 4 nghiệm $ Rightarrow $ Đáp án chính xác là D

Bài 4- Tìm số nghiệm của phương trình ${2^{frac{1}{x}}} + {2^{sqrt x }} = 3$ :A. 1B. 2C. Vô sốD. Không có nghiệmGIẢIPhương trình $ Leftrightarrow {2^{frac{1}{x}}} + {2^{sqrt x }} – 3 = 0$ (điều kiện $x ge 0$). Sử dụng MODE 7 với Start 0 End 4.5 Step 0.25

Trên đoạn $left< {0;4.5} ight>$ không có nghiệm nàoTiếp tục MODE 7 với Start $4.5$ End 9 Step 0.25

Dự đoán phương trình vô nghiệm. Để chắn ăn hơn ta thử lần cuối với Start 9 End 28 Step 1

Giá trị của F(X) luôn tăng đến $ + propto $ $ Rightarrow $ Phương trình vô nghiệm $ Rightarrow $ Đáp án chính xác là DBài 5-Cho phương trình $2{log _2}x + {log _{frac{1}{3}}}left( {1 – sqrt x }
ight) = frac{1}{2}{log _{sqrt 2 }}left( {x – 2sqrt x + 2}
ight)$. Số nghiệm của phương trình là ;A. 2 nghiệmB. Vô số nghiệmC. 1 nghiệmD. Vô nghiệmGIẢIPhương trình $ Leftrightarrow 2{log _2}x + {log _{frac{1}{3}}}left( {1 – sqrt x }
ight) – frac{1}{2}{log _{sqrt 2 }}left( {x – 2sqrt x + 2}
ight) = 0$ (điều kiện $0 le x le 1$). Sử dụng MODE 7 với Start 0 End 1 Step 0.1

Ta thấy có 1 nghiệm duy nhất thuộc khoảng $left( {0.6;0.7}
ight)$ $ Rightarrow $ Đáp án chính xác là CBài 6-Tìm số nghiệm của phương trình $log {left( {x – 2}
ight)^2} = 2log x + {log _{sqrt {10} }}left( {x + 4}
ight)$A. 3B. 2C. 0D. 1GIẢIPhương trình $ Leftrightarrow log {left( {x – 2}
ight)^2} – 2log x – {log _{sqrt {10} }}left( {x + 4}
ight) = 0$ (điều kiện $x ge 0$). Sử dụng MODE 7 với Start 0 End 4.5 Step 0.25

Trên đoạn $left< {0;4.5} ight>$ có 1 nghiệmTiếp tục MODE 7 với Start 4.5 End 9 Step 0.25

Trên khoảng này không thu được nghiệm nào. Để chắn ăn hơn ta thử lần cuối với Start 9 End 28 Step 1

Cũng không thu được nghiệm $ Rightarrow $ Tóm lại phương trình có nghiệm duy nhất $ Rightarrow $ Đáp án chính xác là C.