Sách Giải Bài Tập Toán 12 Bài 5 Phương Trình Mũ Và Logarit, Giải Toán 12 Bài 5

⇒ (f(x)-g(x))đồng biến trên D.

2.2. Các phương pháp giải phương trình lôgarit

a) Phương pháp đưa về cùng cơ số

Với(00 end{matrix}
ight.)

b) Phương pháp mũ hóa

Với(0

c) Phương pháp đặt ẩn phụKiểu 1:Đặt 1 ẩn đưa về phương trình theo 1 ẩn mới.Kiểu 2:Đặt 1 ẩn nhưng không làm mất ẩn ban đầu. Khi đó, xử lý phương trình theo các cách sau:Xem ẩn ban đầu là tham số.Đưa về phương trình tích.Kiểu 3:Đặt nhiều ẩn. Khi đó, xử lý phương trình theo các cách sau:Đưa về phương trình tíchXem 1 ẩn là tham sốBiểu thức đồng bậc: đưa về phương trình theo 1 ẩn mới.d) Phương pháp hàm số

Các nội dung cần nhớ:

Xét hàm số(y = {log _a}x,(0 (a>1, y =log_a x)đồng biến trên((0;+infty )).​(0Xét hai hàm số(f(x))và(g(x):)Nếu(f(x))và(g(x))là hai hàm số đồng biến (nghịch biến) trên tập D thì(f(x)+g(x))là hàm số đồng biến (nghịch biến) trên tập D.Nếu(f(x))và(g(x))là hai hàm số đồng biếntrên tập D và(f(x).g(x)>0)thì(f(x).g(x))là hàm số đồng biến trên tập D.Nếu (f(x)) đồng biến trên D, (g(x))nghịch biến trên D:(f(x)-g(x))đồng biến trên D.(f(x)-g(x))nghịch biến trên D.Nếu hàm số(f(x))đồng biến trên Dvà(g(x))nghịch biến trên D thì phương trình(f(x)=g(x))có tối đa một nghiệm.Khi đó nhẩm nghiệm và chứng minh nghiệm duy nhất.Xét phương trình(f(x)=m): Nếu(f(x))đồng biến (nghịch biến) trên Dthì phương trình có tối đa 1 nghiệm.Khi đónhẩm nghiệm và chứng minh nghiệm duy nhất.

1. Giải phương trình mũ

Ví dụ 1:

Giải các phương trình mũ sau (Đưa về cùng cơ số):

a)({2^{{x^2} + 3x – 2}} = frac{1}{4})

b)({left( {frac{3}{4}}
ight)^{x – 1}}.sqrt {{{left( {frac{4}{3}}
ight)}^{frac{8}{x}}}} = frac{9}{{16}})

Lời giải:

a)({2^{{x^2} + 3x – 2}} = frac{1}{4} Leftrightarrow {2^{{x^2} + 3x – 2}} = {2^{ – 2}})

(Leftrightarrow {x^2} + 3x – 2 = – 2 Leftrightarrow {x^2} + 3x = 0 Leftrightarrow left< egin{array}{l} x = 0\ x = - 3 end{array} ight.)

Vậy phương trình có hai nghiệm x=0 và x=-3.

b)({left( {frac{3}{4}}
ight)^{x – 1}}.sqrt {{{left( {frac{4}{3}}
ight)}^{frac{8}{x}}}} = frac{9}{{16}})

(egin{array}{l} Leftrightarrow {left( {frac{3}{4}}
ight)^{x – 1}}.{left( {frac{4}{3}}
ight)^{frac{4}{x}}} = {left( {frac{3}{4}}
ight)^2}\ Leftrightarrow {left( {frac{3}{4}}
ight)^{x – 1}}.{left( {frac{3}{4}}
ight)^{ – frac{4}{x}}} = {left( {frac{3}{4}}
ight)^2} end{array})

(Leftrightarrow x – 1 – frac{4}{x} = 2 Leftrightarrow left< egin{array}{l} {x_1} = - 1\ {x_2} = 3 end{array} ight. Rightarrow {x_1} + {x_2} = 3).

Ví dụ 2:

Giải phương trình({3^x}{.2^{{x^2}}} = 1)(Dùng phương pháp lôgarit hóa)

Lời giải:

Lấy logarit hai vế với cơ số 3, ta được:

({3^x}{.2^{{x^2}}} = 1 Leftrightarrow {log _3}({3^x}{.2^{{x^2}}}) = {log _3}1)

(Leftrightarrow x + {x^2}{log _3}2 = 0 Leftrightarrow xleft( {1 + x{{log }_3}2}
ight) = 0)

(Leftrightarrow left< egin{array}{l} x = 0\ 1 + x{log _3}2 = 0 end{array} ight.)(Leftrightarrow left< egin{array}{l} x = 0\ x = - frac{1}{{{{log }_3}2}} end{array} ight. Leftrightarrow left< egin{array}{l} x = 0\ x = - {log _2}3 end{array} ight.)

Vậy phương trình có nghiệm:(x = 0,x = – {log _2}3).

Xem thêm: Giải Bài Tập Excel Bài 7: Bảng Tính Tiền Điện Sử Dụng Hàm Sum Và If Nâng

Ví dụ 3:

Giải các phương trình mũ sau (Dùng phương pháp đặt ẩn phụ)

a)({3.25^x} – {2.5^{x + 1}} + 7 = 0)

b)({4^{{x^2} + x}} + {2^{1 – {x^2}}} = {2^{{{(x + 1)}^2}}} – 1)

Lời giải:

a) Phương trình(Leftrightarrow {3.25^x} – {10.5^x} + 7 = 0). Đặt(t = {5^x},left( {t > 0}
ight))

Khi đó phương trình trở thành:(3{t^2} – 10t + 7 = 0 Leftrightarrow left< egin{array}{l} t = 1\ t = frac{7}{3} end{array} ight.)

(*) Với(t = 1 Rightarrow {5^x} = 1 Leftrightarrow x = 0)

(*) Với(t = frac{7}{3} Rightarrow {5^x} = frac{7}{3} Leftrightarrow x = {log _5}left( {frac{7}{3}}
ight))

Vậy phương trình có tập nghiệm:(S = left{ {0;{{log }_5}left( {frac{7}{3}}
ight)}
ight}).

b) Đặt:(left{ egin{array}{l} u = {4^{{x^2} + x}}\ v = {2^{1 – {x^2}}} end{array}
ight.,,u,v > 0)

Nhận xét:(u.v = {4^{{x^2} + x}}{.2^{1 – {x^2}}} = {2^{2({x^2} + x)}}{.2^{1 – {x^2}}} = {2^{{{(x + 1)}^2}}})

Khi đó phương trình tương đướng với:

(u + v = uv + 1 Leftrightarrow (u – 1)(v – 1) = 0 Leftrightarrow left< egin{array}{l} u = 1\ v = 1 end{array} ight.)

(Leftrightarrow left< egin{array}{l} {4^{{x^2} + x}} = 1\ {2^{1 - {x^2}}} = 1 end{array} ight. Leftrightarrow left< egin{array}{l} {x^2} + x = 0\ 1 - {x^2} = 0 end{array} ight. Leftrightarrow left< egin{array}{l} x = 0\ x = 1\ x = - 1 end{array} ight.).

Ví dụ 4:

a)(x + {2.3^{{{log }_2}x}} = 3)

b)({2^{x – 1}} – {2^{{x^2} – x}} = {(x – 1)^2})

Lời giải:

a) Điều kiện:(x>0)

(x + {2.3^{{{log }_2}x}} = 3 Leftrightarrow {2.3^{{{log }_2}x}} = 3 – x)(*)

Nhận xét:

+ Vế phải của phương trình là một hàm số nghịch biến.

+ Vế trái của phương trình là một hàm số đồng biến.

Do vậy nếu phương trình có nghiệm thì đó là nghiệm duy nhất.

Dễ thấy:(x=1)là nghiệm của phương trình (*).

Vậy (x=1)là nghiệm duy nhất của phương trình.

b) Ta có:({(x – 1)^2} ge 0 Leftrightarrow {x^2} – 2x + 1 ge 0 Leftrightarrow {x^2} – x ge x – 1)

Suy ra:({2^{{x^2} – x}} ge {2^{x – 1}} Leftrightarrow {2^{x – 1}} – {2^{{x^2} – x}} le 0)(Do hàm số(y=2^t)đồng biến)

Vậy:(left{ egin{array}{l} VT le 0\ VP ge 0 end{array}
ight.)

Mà:(VT=VP)

Suy ra:(VT=VP=0)(Rightarrow left{ egin{array}{l} {(x – 1)^2} = 0\ {2^{x – 1}} = {2^{{x^2} – x}} end{array}
ight. Leftrightarrow x = 1)

Vậy phương trình có nghiệm duy nhất(x=1.)

2. Giải phương trình lôgarit

Ví dụ 5:

Giải phương trình ({log _3}({9^{50}} + 6{x^2}) = {log _{sqrt 3 }}({3^{50}} + 2x))(Đưa về cùng cơ số)

Lời giải:

Điều kiện:({3^{50}} + 2x > 0), khi đó ta có:

({log _3}left( {{9^{50}} + 6{x^2}}
ight) = {log _{sqrt 3 }}left( {{3^{50}} + 2x}
ight) Leftrightarrow {log _3}left( {{9^{50}} + 6{x^2}}
ight) = {log _3}{left( {{3^{50}} + 2x}
ight)^2})

(egin{array}{l} Leftrightarrow {9^{50}} + 6{x^2} = {left( {{3^{50}} + 2x}
ight)^2}\ Leftrightarrow {9^{50}} + 6{x^2} = {9^{50}} + 2.2x{.3^{50}} + 4{x^2}\ Leftrightarrow 2{x^2} – 4x{.3^{50}} = 0\ Leftrightarrow 2x(x – {2.3^{50}}) = 0\ Leftrightarrow left< {egin{array}{*{20}{c}} {x = 0}\ {x = {{2.3}^{50}}} end{array}} ight. end{array})

Ví dụ 6:

Giải phương trình({log _{{x^2} – 1}}left( {2sqrt 2 }
ight) = frac{1}{2})(Dùng phương pháp mũ hóa)

Lời giải:

Điều kiện:(left{ {egin{array}{*{20}{l}} {{x^2} – 1 > 0}\ {{x^2} – 1
e 1} end{array}}
ight. Leftrightarrow left{ {egin{array}{*{20}{l}} {x 1}\ {x
e pm sqrt 2 } end{array}}
ight.)

(egin{array}{l} {log _{{x^2} – 1}}left( {2sqrt 2 }
ight) = frac{1}{2} Leftrightarrow 2sqrt 2 = {left( {{x^2} – 1}
ight)^{frac{1}{2}}} = sqrt {{x^2} – 1} \ Leftrightarrow {x^2} – 1 = 8 Leftrightarrow x = pm 3. end{array})

Vậy phương trình có hai nghiệm x=3 và x=-3.

Xem thêm: Cách Tính Lưu Lượng Gió Tươi Các Nhà Thầu Lưu Ý Lắp Và Tính Sao Cho Chuẩn Nhất

Ví dụ 7:

Giải phương trình (log _{frac{1}{2}}^2x + 2{log _{sqrt 2 }}x = 5)(Đặt ẩn phụ)

Lời giải:

(egin{array}{l} log _{frac{1}{2}}^2x + 2{log _{sqrt 2 }}x = 5 Leftrightarrow {{
m{<}} - {log _2}x{ m{>}}^2} + 4{mathop{
m log_2x}
olimits} = 5\ Leftrightarrow log _2^2x + 4log_2 x = 5 end{array})

Đặt:(t = {log _2}x.)Phương trình trở thành:

({t^2} + 4t – 5 = 0 Leftrightarrow left< egin{array}{l} t = - 5\ t = 1 end{array} ight. Rightarrow left< {egin{array}{*{20}{c}} {{{log }_2}x = - 5}\ {{{log }_2}x = 1} end{array}} ight. Leftrightarrow left< {egin{array}{*{20}{c}} {x = {2^{ - 5}}}\ {x = 2} end{array}.} ight.)

Vậy phương trình có hai nghiệm: (x=2)và(x=frac{1}{32}).

Ví dụ 8:

Giải phương trình({log _2}({x^2} – 4) + x = {log _2}left< {8(x + 2)} ight>)(Dùng phương pháp hàm số)

Lời giải:

Điều kiện:(left{ egin{array}{l} {x^2} – 4 > 0\ x + 2 > 0 end{array}
ight. Leftrightarrow x > 2.)

Khi đó:(egin{array}{l} {log _2}({x^2} – 4) + x = {log _2}left< {8(x + 2)} ight>\ Leftrightarrow {log _2}({x^2} – 4) – {log _2}(x + 2) = 3 – x\ Leftrightarrow {log _2}frac{{{x^2} – 4}}{{x + 2}} = 3 – x\ Leftrightarrow {log _2}left( {x – 2}
ight) = 3 – x end{array})