bất phương trình mũ đặt ẩn phụ

Đang xem: Bất phương trình mũ đặt ẩn phụ

Xem thêm: Đồ Án Ngành Viễn Thông Trang 1 Tải Miễn Phí Từ Tailieuxanh, 3000 Đồ Án Điện Tử Viễn Thông

Xem thêm: Bài Tập Về Liên Từ Đẳng Lập, Lý Thuyết Và Bài Tập Liên Từ

1. Lý Thuyết 
Kiểu 1: Đặt 1 ẩn đưa về phương trình theo 1 ẩn mới
1) (a.m^+b.m^+c>0)
Đặt (t=m^), ta có (at^2+bt+c>0)
2) 
(a.m^+b.n^+c>0)
trong đó m.n = 1
Đặt  (t=m^), ta có  (a.t+b.frac+c>0)
(Leftrightarrow at^2+ct+b>0)
3) (a.m^+b.m^.n^+c.n^>0)
Chia cả 2 vế cho (n^), ta có:
(a.left < frac}} ight >^2+b.frac}} +c>0)
Đặt (t=frac}}), ta có (at^2+bt+c>0)
Kiểu 2: Đặt 1 ẩn nhưng không làm mất ẩn ban đầu. Khi đó:
+ Đưa về bất phương trình tích
+ Xem ẩn ban đầu như là tham số
Kiểu 3: Đặt nhiều ẩn 
+ Đưa về bất phương trình tích
+ Xem 1 ẩn là tham số
II. Bài tập
VD1: Giải bất phương trình (9^x-3^x-2>0)
Giải
Đặt (t=3^x, t>0)
Bất phương trình trở thành 
(t^2-t-2>0)
(Leftrightarrow igg lbrackegin t<-1 (loai)\ t>2 end)
Với t > 2 thì (3^x>2Leftrightarrow x>log_32)
Vậy tập nghiệm là ((log_32;+infty ))
VD2: Giải bất phương trình 
(3.16^x+2.81^x>5.36^x)
Giải
(bptLeftrightarrow 3.16^x-5.36^x+2.81^x>0)
Chia 2 vế cho 81x, ta có:
(3.left ( frac
ight )^x-5.left ( frac
ight )^x+2>0)
Đặt (t=left ( frac
ight )^x, t>0)
Ta có 
(3t^2-5t+2>0)
(Leftrightarrow igglbrackegin t<frac\ t>1 end)
(Leftrightarrow Bigglbrackegin left ( frac
ight )^x<frac\ \ left ( frac
ight )^x>1 endLeftrightarrow Bigglbrackegin x>log_fracfrac=frac\ \ x<0 end)
Vậy tập nghiệm là ((-infty ;0)cup (frac;+infty ))
VD3: Giải bất phương trình 
((2+sqrt)^x+(2-sqrt)^x> 14)
Giải

Đặt (t=(2+sqrt)^x, t>0) ta có ((2-sqrt)^x=frac)
BPT(Leftrightarrow t+frac>14)
(Rightarrow t^2+1>14t)
(Rightarrow t^2-14t+1>0)
(Rightarrow igg lbrackegin t<7-4sqrt\ t>7+4sqrt\ end)
(Rightarrow igg lbrackegin (2+sqrt)^x<7-4sqrt=(2+sqrt)^\ (2+sqrt)^x<7+4sqrt=(2+sqrt)^ end)
Vậy tập nghiệm là ((-infty ;-2)cup (2;+infty ))
VD4: Giải bất phương trình 
(3.25^+(3x-10).5^+3-x>0)
Giải
Đặt (t=5^, t>0)
Ta có (3t^2+(3x-10)t+3-x>0)
(Delta =(3x-10)^2-12(3-x))
(=9x^2-48x+64=(3x-8)^2)
(3t^2+(3x-10)t+3-x=0Leftrightarrow Bigg lbrackegin t=frac\ \ t=frac end)
(Leftrightarrow igg lbrackegin t=frac \ t=-x+3 end)
(BptLeftrightarrow 3(t-frac)(t+x-3)>0)
(Leftrightarrow (3t-1)(t+x-3)>0)
TH1:
(left 3t-1>0\ t+x-3>0 end
ight.Leftrightarrow left t>frac\ t>3-x end
ight.)
(Leftrightarrow left 5^ > frac (1) \ 5^ >3-x (2) end
ight.)
((2)Leftrightarrow 5^+x>3)
(x>2 left.egin 5^>1\ x>2 end
ight}VT>VP)
(xleqslant 2 VTleqslant VP)
Tập nghiệm (2) là (((2;+infty )) thỏa mãn (1)
Vậy x > 2
TH2:
(left 3t-1<0\ t+x-3<0 end
ight. Leftrightarrow left t<frac\ t<3-x end
ight.)
(Leftrightarrow left 5^ < frac (3) \ 5^+x <3 (4) end
ight.)
(4) (xgeq 2 5^geqslant 1Rightarrow VTgeqslant 3)

+ x < 2 ta có (5^+x<3) (thỏa mãn)
(3) (x-2< log_5}Leftrightarrow x<2+log_5frac)
Vậy (x<2+log_5frac)
Kết luận
(igg lbrackegin x>2\ x<2+log_5frac end)

VD5: Giải bất phương trình 
(8.3^x+3.2^x>24+6^x)
Giải
Đặt (a=3^x, b=2^x) ta có
(8.4+3.b>24+ab)
(Leftrightarrow 8(a-3)-b(a-3)>0)
(Leftrightarrow (a-3)-(8-b)>0)
TH1:

(left a-3>0\ 8-b>0 end
ight.Leftrightarrow left a>3\ b<8 end
ight.Leftrightarrow left 3^x>3\ 2^x<8 end
ight.)
(Leftrightarrow left x>1\ x<3 end
ight.)
Vậy 1 < x < 3
TH2:
(left a-3<0\ 8-b<0 end
ight.Leftrightarrow left a<3\ b>8 end
ight.Leftrightarrow left 3^x<3\ 2^x>8 end
ight.Leftrightarrow left x<1\ x>3 end
ight. VN)
Vậy tập nghiệm là (1;3)