Hàm số $y=fleft( x
ight)$ đồng biến (hoặc nghịch biến trên $mathbb{R}$) thì phương trình $fleft( x
ight)=fleft( {{x}_{0}}
ight)Leftrightarrow x={{x}_{0}}.$
Hàm số $fleft( t
ight)$ đồng biến hoặc nghịch biến trên D (trong đó D là một khoảng, một đoạn, một nửa đoạn) thì với $u;vin D$ ta có: $fleft( u
ight)=fleft( v
ight)Leftrightarrow u=v.$
Ví dụ 1: Giải các phương trình sau:
a) $ln left( frac{2{{x}^{2}}+1}{{{x}^{2}}+x+1} |
Lời giải:
a) Điều kiện: $frac{2{{x}^{2}}+1}{{{x}^{2}}+x+1}>0Leftrightarrow xin mathbb{R}.$
Khi đó $PTLeftrightarrow ln left( 2{{x}^{2}}+1
ight)-ln left( {{x}^{2}}+x+1
ight)=left( 2{{x}^{2}}+1
ight)-left( {{x}^{2}}+x+1
ight)$
$Leftrightarrow ln left( 2{{x}^{2}}+1
ight)+2{{x}^{2}}+1=ln left( {{x}^{2}}+x+1
ight)+left( {{x}^{2}}+x+1
ight)$
Xét hàm số $fleft( t
ight)=ln t+t,,left( t>0
ight)$ ta có: $f”left( t
ight)=frac{1}{t}+1>0,,left( forall tin mathbb{R}
ight)$ suy ra hàm số$fleft( t
ight)$đồng biến trên $mathbb{R}$nên $fleft( 2{{x}^{2}}+1
ight)=fleft( {{x}^{2}}+x+1
ight)Leftrightarrow 2{{x}^{2}}+1={{x}^{2}}+x+1Leftrightarrow {{x}^{2}}=xLeftrightarrow left< egin{array} {} x=0 \ {} x=1 \ end{array}
ight..$
b) Đáp số: $x=-2;x=-1.$
Ví dụ 2: Giải các phương trình sau:
a) ${{7}^{x}}-1=6{{log }_{7}}left( 6x+1 b) ${{3}^{x}}+5x=4+4{{log }_{3}}left( 4-x |
Lời giải:
a) Điều kiện: $x>-frac{1}{6}$. Đặt $y={{log }_{7}}left( 6x+1
ight)$ ta có: $6x+1={{7}^{y}}$ và ${{7}^{x}}-1=6y$
Suy ra
Xét hàm số $fleft( t
ight)={{7}^{t}}+6t,,left( tin mathbb{R}
ight)$ ta có: $f”left( t
ight)={{7}^{t}}ln 7+6>0,,left( forall tin mathbb{R}
ight)$ nên hàm số$fleft( t
ight)$đồng biến trên $mathbb{R}$ nên $fleft( x
ight)=fleft( y
ight)Leftrightarrow x=yRightarrow x={{log }_{7}}left( 6x+1
ight)$
$Leftrightarrow {{7}^{x}}=6x+1Leftrightarrow gleft( x
ight)={{7}^{x}}-6x-1=0$
Ta có: $g”left( x
ight)={{7}^{x}}ln 7-6=0Leftrightarrow x=log frac{6}{ln 7}$
Suy ra BBT:
Do vậy PT $gleft( x
ight)=0$ có nhiều nhất hai nghiệm. Mặt khác $gleft( 0
ight)=gleft( 1
ight)=0$
Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm là $x=0;x=1.$
b) Điều kiện: $4-x>0$. Đặt $y={{log }_{3}}left( 4-x
ight)Rightarrow {{3}^{y}}=4-x$
Khi đó ${{3}^{x}}+4x=4-x+4{{log }_{3}}left( 4-x
ight)={{3}^{y}}+4yRightarrow left{ egin{array} {} {{3}^{y}}=4-x \ {} {{3}^{x}}=4-y \ end{array}
ight.Rightarrow x=y$
Đáp số: $x=1.$
Ví dụ 3: Giải các phương trình sau:
a) ${{log }_{3}}frac{{{x}^{2}}+x+3}{2{{x}^{2}}+4x+5}=7{{x}^{2}}+21x+14$ b) $2{{x}^{2}}-6x+2={{log }_{2}}frac{2x+1}{{{left( x-1 |
Lời giải:
a) Ta có: ${{log }_{3}}frac{{{x}^{2}}+x+3}{2{{x}^{2}}+4x+5}=7left( 2{{x}^{2}}+4x+5-{{x}^{2}}-x-3
ight)$.
Đang xem: Giải phương trình logarit bằng phương pháp hàm số
$Leftrightarrow {{log }_{3}}left( {{x}^{2}}+x+3
ight)+7left( {{x}^{2}}+x+3
ight)={{log }_{3}}left( 2{{x}^{2}}+4x+5
ight)+7left( 2{{x}^{2}}+4x+5
ight)$
Xét hàm số $fleft( t
ight)={{log }_{3}}t+t$ trên khoảng $left( 0;+infty
ight)$ ta có: $f”left( t
ight)=frac{1}{tln 3}+1>0,,,,forall tin left( 0;+infty
ight)$
Do đó$fleft( {{x}^{2}}+x+3
ight)=fleft( 2{{x}^{2}}+4x+5
ight)Leftrightarrow {{x}^{2}}+x+3=2{{x}^{2}}+4x+5Leftrightarrow {{x}^{2}}+3x+2=0Leftrightarrow left< egin{array} {} x=-1 \ {} x=2 \ end{array}
ight.$
Đáp số: $x=-1;x=-2.$
b) Điều kiện: $left{ egin{array} {} x
e 1 \ {} 2x+1>0 \ end{array}
ight.Leftrightarrow left{ egin{array} {} x>-frac{1}{2} \ {} x
e 1 \ end{array}
ight.$.
Khi đó: $PTLeftrightarrow 2{{x}^{2}}-6x+2={{log }_{2}}left( 2x+1
ight)-{{log }_{2}}{{left( x-1
ight)}^{2}}$
$egin{array} {} Leftrightarrow 2left( {{x}^{2}}-2x+1
ight)-2x={{log }_{2}}left( 2x+1
ight)-{{log }_{2}}{{left( x-1
ight)}^{2}} \ {} Leftrightarrow 2{{left( x-1
ight)}^{2}}+{{log }_{2}}{{left( x-1
ight)}^{2}}=2x+1+{{log }_{2}}left( 2x+1
ight)-1 \ {} Leftrightarrow 2{{left( x-1
ight)}^{2}}+{{log }_{2}}{{left( x-1
ight)}^{2}}=2left( x+frac{1}{2}
ight)+{{log }_{2}}left( x+frac{1}{2}
ight) \ end{array}$
Xét hàm số $fleft( t
ight)=2t+{{log }_{2}}t,,left( tin left( 0;+infty
ight)
ight)$ ta có $f”left( t
ight)=2+frac{1}{tln 2}>0,,,forall tin left( 0;+infty
ight)$
Do vậy $fleft< {{left( x-1
ight)}^{2}}
ight>=fleft( x+frac{1}{2}
ight)Leftrightarrow {{left( x-1
ight)}^{2}}=x+frac{1}{2}Leftrightarrow x=frac{3pm sqrt{7}}{2},,left( t/m
ight).$
Ví dụ 4: Số nghiệm của phương trình ${{log }_{2}}left( 3x+2 ight)+{{log }_{3}}left( x+1 ight)=4$ là: A. 1. B. 2. C. 3. D. 4. |
Lời giải:
Điều kiện: $x>frac{-2}{3}$. Xét hàm số: $fleft( x
ight)={{log }_{2}}left( 3x+2
ight)+{{log }_{3}}left( x+1
ight)$ với $x>-frac{3}{2},fleft( 2
ight)=4$
Ta có: $f”left( x
ight)=frac{3}{left( 3x+2
ight)ln 2}+frac{1}{left( x+1
ight)ln 3}>0,,,,forall x>frac{-2}{3}Rightarrow fleft( x
ight)$ đồng biến $forall x>frac{-2}{3}$
Do vậy $fleft( x
ight)=fleft( 2
ight)Leftrightarrow x=2$
Vậy $x=2$là nghiệm duy nhất của PT đã cho. Chọn A.
Ví dụ 5: Số nghiệm của phương trình ${{log }_{2}}frac{2x-1}{{{left( x-1 ight)}^{2}}}=3{{x}^{2}}-8x+5$ là: A. Xem thêm: văn nghị luận chứng minh 1. B. 2. C. 3. D. 4. |
Lời giải:
Điều kiện: $frac{1}{2}0
ight)$ đồng biến trên khoảng $left( 0;+infty
ight)$
Do đó $fleft( 2x-1
ight)=fleft( 3{{x}^{2}}-6x+3
ight)Leftrightarrow 2x-1=3{{x}^{2}}-6x+3Leftrightarrow 3{{x}^{2}}-8x+4=0$
$Leftrightarrow left< egin{array} {} x=2 \ {} x=frac{2}{3} \ end{array} ight.Rightarrow $phương trình có hai nghiệm. Chọn B.
Ví dụ 6: Tập nghiệm của phương trình: ${{log }_{2}}frac{{{x}^{2}}+x+2}{2{{x}^{2}}-3x+5}={{x}^{2}}-4x+3$ là:
A. $left{ -1;-3 Xem thêm: bỏ #n/a trong excel $left{ -1;3 |
Lời giải:
Phương trình $Leftrightarrow {{log }_{2}}left( {{x}^{2}}+x+2
ight)-{{log }_{2}}left( 2{{x}^{2}}-3x+5
ight)=left( 2{{x}^{2}}-3x+5
ight)-left( {{x}^{2}}+x+2
ight)$
$Leftrightarrow {{log }_{2}}left( {{x}^{2}}+x+2
ight)+left( {{x}^{2}}+x+2
ight)={{log }_{2}}left( 2{{x}^{2}}-3x+5
ight)+left( 2{{x}^{2}}-3x+5
ight)$
Xét hàm số $fleft( t
ight)={{log }_{2}}t+t,,,,t>0.$ Ta có: $f”left( t
ight)=frac{1}{tln 2}+1>0,,,forall t>0Rightarrow $Hàm $f$ đồng biến trên $left( 0;+infty
ight).$
Do đó: $fleft( {{x}^{2}}+x+2
ight)=fleft( 2{{x}^{2}}-3x+5
ight)Leftrightarrow {{x}^{2}}+x+2=2{{x}^{2}}-3x+5Leftrightarrow {{x}^{2}}-4x+3=0Leftrightarrow left< egin{array} {} x=1 \ {} x=3 \ end{array}
ight..$