Giải Phương Trình Logarit Bằng Phương Pháp Hàm Số, Phương Trình Logarit

Giải PT Logarit bằng phương pháp đánh giá, hàm số có đáp án chi tiết

Kiến thức cần nhớ:

Hàm số $y=fleft( x
ight)$ đồng biến (hoặc nghịch biến trên $mathbb{R}$) thì phương trình $fleft( x
ight)=fleft( {{x}_{0}}
ight)Leftrightarrow x={{x}_{0}}.$

Hàm số $fleft( t
ight)$ đồng biến hoặc nghịch biến trên D (trong đó D là một khoảng, một đoạn, một nửa đoạn) thì với $u;vin D$ ta có: $fleft( u
ight)=fleft( v
ight)Leftrightarrow u=v.$

Một số bài tập, bài tập trắc nghiệm giải phương trình logarit

Lời giải:

a) Điều kiện: $frac{2{{x}^{2}}+1}{{{x}^{2}}+x+1}>0Leftrightarrow xin mathbb{R}.$

Khi đó $PTLeftrightarrow ln left( 2{{x}^{2}}+1
ight)-ln left( {{x}^{2}}+x+1
ight)=left( 2{{x}^{2}}+1
ight)-left( {{x}^{2}}+x+1
ight)$

$Leftrightarrow ln left( 2{{x}^{2}}+1
ight)+2{{x}^{2}}+1=ln left( {{x}^{2}}+x+1
ight)+left( {{x}^{2}}+x+1
ight)$

Xét hàm số $fleft( t
ight)=ln t+t,,left( t>0
ight)$ ta có: $f”left( t
ight)=frac{1}{t}+1>0,,left( forall tin mathbb{R}
ight)$ suy ra hàm số$fleft( t
ight)$đồng biến trên $mathbb{R}$nên $fleft( 2{{x}^{2}}+1
ight)=fleft( {{x}^{2}}+x+1
ight)Leftrightarrow 2{{x}^{2}}+1={{x}^{2}}+x+1Leftrightarrow {{x}^{2}}=xLeftrightarrow left< egin{array} {} x=0 \ {} x=1 \ end{array} ight..$

b) Đáp số: $x=-2;x=-1.$

Lời giải:

a) Điều kiện: $x>-frac{1}{6}$. Đặt $y={{log }_{7}}left( 6x+1
ight)$ ta có: $6x+1={{7}^{y}}$ và ${{7}^{x}}-1=6y$

Suy ra

Xét hàm số $fleft( t
ight)={{7}^{t}}+6t,,left( tin mathbb{R}
ight)$ ta có: $f”left( t
ight)={{7}^{t}}ln 7+6>0,,left( forall tin mathbb{R}
ight)$ nên hàm số$fleft( t
ight)$đồng biến trên $mathbb{R}$ nên $fleft( x
ight)=fleft( y
ight)Leftrightarrow x=yRightarrow x={{log }_{7}}left( 6x+1
ight)$

$Leftrightarrow {{7}^{x}}=6x+1Leftrightarrow gleft( x
ight)={{7}^{x}}-6x-1=0$

Ta có: $g”left( x
ight)={{7}^{x}}ln 7-6=0Leftrightarrow x=log frac{6}{ln 7}$

Suy ra BBT:

Do vậy PT $gleft( x
ight)=0$ có nhiều nhất hai nghiệm. Mặt khác $gleft( 0
ight)=gleft( 1
ight)=0$

Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm là $x=0;x=1.$

b) Điều kiện: $4-x>0$. Đặt $y={{log }_{3}}left( 4-x
ight)Rightarrow {{3}^{y}}=4-x$

Khi đó ${{3}^{x}}+4x=4-x+4{{log }_{3}}left( 4-x
ight)={{3}^{y}}+4yRightarrow left{ egin{array} {} {{3}^{y}}=4-x \ {} {{3}^{x}}=4-y \ end{array}
ight.Rightarrow x=y$

Đáp số: $x=1.$

Lời giải:

a) Ta có: ${{log }_{3}}frac{{{x}^{2}}+x+3}{2{{x}^{2}}+4x+5}=7left( 2{{x}^{2}}+4x+5-{{x}^{2}}-x-3
ight)$.

Đang xem: Giải phương trình logarit bằng phương pháp hàm số

$Leftrightarrow {{log }_{3}}left( {{x}^{2}}+x+3
ight)+7left( {{x}^{2}}+x+3
ight)={{log }_{3}}left( 2{{x}^{2}}+4x+5
ight)+7left( 2{{x}^{2}}+4x+5
ight)$

Xét hàm số $fleft( t
ight)={{log }_{3}}t+t$ trên khoảng $left( 0;+infty
ight)$ ta có: $f”left( t
ight)=frac{1}{tln 3}+1>0,,,,forall tin left( 0;+infty
ight)$

Do đó$fleft( {{x}^{2}}+x+3
ight)=fleft( 2{{x}^{2}}+4x+5
ight)Leftrightarrow {{x}^{2}}+x+3=2{{x}^{2}}+4x+5Leftrightarrow {{x}^{2}}+3x+2=0Leftrightarrow left< egin{array} {} x=-1 \ {} x=2 \ end{array} ight.$

Đáp số: $x=-1;x=-2.$

b) Điều kiện: $left{ egin{array} {} x
e 1 \ {} 2x+1>0 \ end{array}
ight.Leftrightarrow left{ egin{array} {} x>-frac{1}{2} \ {} x
e 1 \ end{array}
ight.$.

Khi đó: $PTLeftrightarrow 2{{x}^{2}}-6x+2={{log }_{2}}left( 2x+1
ight)-{{log }_{2}}{{left( x-1
ight)}^{2}}$

$egin{array} {} Leftrightarrow 2left( {{x}^{2}}-2x+1
ight)-2x={{log }_{2}}left( 2x+1
ight)-{{log }_{2}}{{left( x-1
ight)}^{2}} \ {} Leftrightarrow 2{{left( x-1
ight)}^{2}}+{{log }_{2}}{{left( x-1
ight)}^{2}}=2x+1+{{log }_{2}}left( 2x+1
ight)-1 \ {} Leftrightarrow 2{{left( x-1
ight)}^{2}}+{{log }_{2}}{{left( x-1
ight)}^{2}}=2left( x+frac{1}{2}
ight)+{{log }_{2}}left( x+frac{1}{2}
ight) \ end{array}$

Xét hàm số $fleft( t
ight)=2t+{{log }_{2}}t,,left( tin left( 0;+infty
ight)
ight)$ ta có $f”left( t
ight)=2+frac{1}{tln 2}>0,,,forall tin left( 0;+infty
ight)$

Do vậy $fleft< {{left( x-1 ight)}^{2}} ight>=fleft( x+frac{1}{2}
ight)Leftrightarrow {{left( x-1
ight)}^{2}}=x+frac{1}{2}Leftrightarrow x=frac{3pm sqrt{7}}{2},,left( t/m
ight).$

Lời giải:

Điều kiện: $x>frac{-2}{3}$. Xét hàm số: $fleft( x
ight)={{log }_{2}}left( 3x+2
ight)+{{log }_{3}}left( x+1
ight)$ với $x>-frac{3}{2},fleft( 2
ight)=4$

Ta có: $f”left( x
ight)=frac{3}{left( 3x+2
ight)ln 2}+frac{1}{left( x+1
ight)ln 3}>0,,,,forall x>frac{-2}{3}Rightarrow fleft( x
ight)$ đồng biến $forall x>frac{-2}{3}$

Do vậy $fleft( x
ight)=fleft( 2
ight)Leftrightarrow x=2$

Vậy $x=2$là nghiệm duy nhất của PT đã cho. Chọn A.

Lời giải:

Điều kiện: $frac{1}{2}0
ight)$ đồng biến trên khoảng $left( 0;+infty
ight)$

Do đó $fleft( 2x-1
ight)=fleft( 3{{x}^{2}}-6x+3
ight)Leftrightarrow 2x-1=3{{x}^{2}}-6x+3Leftrightarrow 3{{x}^{2}}-8x+4=0$

$Leftrightarrow left< egin{array} {} x=2 \ {} x=frac{2}{3} \ end{array} ight.Rightarrow $phương trình có hai nghiệm. Chọn B.

Lời giải:

Phương trình $Leftrightarrow {{log }_{2}}left( {{x}^{2}}+x+2
ight)-{{log }_{2}}left( 2{{x}^{2}}-3x+5
ight)=left( 2{{x}^{2}}-3x+5
ight)-left( {{x}^{2}}+x+2
ight)$

$Leftrightarrow {{log }_{2}}left( {{x}^{2}}+x+2
ight)+left( {{x}^{2}}+x+2
ight)={{log }_{2}}left( 2{{x}^{2}}-3x+5
ight)+left( 2{{x}^{2}}-3x+5
ight)$

Xét hàm số $fleft( t
ight)={{log }_{2}}t+t,,,,t>0.$ Ta có: $f”left( t
ight)=frac{1}{tln 2}+1>0,,,forall t>0Rightarrow $Hàm $f$ đồng biến trên $left( 0;+infty
ight).$

Do đó: $fleft( {{x}^{2}}+x+2
ight)=fleft( 2{{x}^{2}}-3x+5
ight)Leftrightarrow {{x}^{2}}+x+2=2{{x}^{2}}-3x+5Leftrightarrow {{x}^{2}}-4x+3=0Leftrightarrow left< egin{array} {} x=1 \ {} x=3 \ end{array} ight..$