Tính Diện Tích Cổng Parabol, Tính Diện Tích Hình Phẳng Giới Hạn Bởi Parabol

Một cổng chào có dạng hình parabol chiều cao 18m, chiều rộng chân đế 12m. Người ta căng sợi dây trang trí AB, CD nằm ngang đồng thời chia hình giới hạn bởi parabol thành ba phần có diện tích bằng nhau (xem hình vẽ bên). Tỉ số (frac{AB}{CD}) bằng :

Phương pháp giải

 +) Gắn hệ trục tọa độ, tìm phương trình parabol. Tính diện tích S của hình phẳng giới hạn bởi parabol và trục hoành.

Đang xem: Tính diện tích cổng parabol

+) Gọi ({{x}_{A}}=aRightarrow AB=2a), tính diện tích hình S1 của phẳng giới hạn bởi parabol và đường thẳng AB.

+) Sử dụng giả thiết ({{S}_{1}}=frac{1}{3}S) tìm a và suy ra AB

+) Tương tự tìm độ dài đoạn CD và tính tỉ số. 

Lời giải của GV lingocard.vn

Gắn hệ trục tọa độ như hình vẽ : Ta dễ dàng tìm được phương trình parabol là (y=-frac{1}{2}{{x}^{2}}+18)

Diện tích hình phẳng giới hạn bởi parabol và trục hoành là (S=intlimits_{-6}^{6}{left( -frac{1}{2}{{x}^{2}}+18
ight)dx}=left. left( -frac{{{x}^{3}}}{6}+18x
ight)
ight|_{-6}^{6}=144.)

Gọi ({{x}_{A}}=aRightarrow {{y}_{A}}=-frac{1}{2}{{a}^{2}}+18) (Rightarrow ) Phương trình đường thẳng AB : (y=-frac{1}{2}{{a}^{2}}+18) và ({{x}_{C}}=cRightarrow {{y}_{c}}=-frac{1}{2}{{c}^{2}}+18) (Rightarrow ) Phương trình đường thẳng CD : (y=-frac{1}{2}{{c}^{2}}+18).

Xem thêm: Cách Tính Giới Hạn Dạng 1 Mũ Vô Cùng, Giới Hạn Hàm Số

Diện tích hình phẳng giới hạn bởi parabol và đường thẳng AB là: (egin{align} & {{S}_{1}}=intlimits_{-a}^{a}{left( -frac{1}{2}{{x}^{2}}+18+frac{1}{2}{{a}^{2}}-18
ight)dx}=intlimits_{-a}^{a}{left( -frac{1}{2}{{x}^{2}}+frac{1}{2}{{a}^{2}}
ight)dx}=left.

Xem thêm: Bảo Vệ Đồ Án Tốt Nghiệp Cntt, Bảo Vệ Đồ Án Tốt Nghiệp Của Sinh Viên Lớp 18Th01

left( -frac{{{x}^{3}}}{6}+frac{{{a}^{2}}}{2}x
ight)
ight|_{-a}^{a}=-frac{{{a}^{3}}}{6}+frac{{{a}^{3}}}{2}-left( frac{{{a}^{3}}}{6}-frac{{{a}^{3}}}{2}
ight)=frac{2{{a}^{3}}}{3}. \ & {{S}_{1}}=frac{1}{3}SRightarrow frac{2}{3}{{a}^{3}}=frac{1}{3}.144=48Rightarrow a=2sqrt<3>{9}Rightarrow AB=2a=4sqrt<3>{9}. \ end{align}) Diện tích hình phẳng giới hạn bởi parabol và đường thẳng CD là: (egin{align} & {{S}_{2}}=intlimits_{-c}^{c}{left( -frac{1}{2}{{x}^{2}}+18+frac{1}{2}{{c}^{2}}-18
ight)dx}=left. left( -frac{{{x}^{3}}}{6}+frac{{{c}^{2}}}{2}x
ight)
ight|_{-c}^{c}=-frac{{{c}^{3}}}{6}+frac{{{c}^{3}}}{2}-left( frac{{{c}^{3}}}{6}-frac{{{c}^{3}}}{2}
ight)=frac{2{{c}^{3}}}{3}. \ & {{S}_{2}}=frac{2}{3}SRightarrow frac{2}{3}{{c}^{3}}=frac{2}{3}.144=96Rightarrow c=2sqrt<3>{18}Rightarrow CD=2c=4sqrt<3>{18} \ & Rightarrow frac{AB}{CD}=frac{1}{sqrt<3>{2}} \ end{align})