Tính Diện Tích Tam Giác Trong Oxy, Cho Tam Giác Abc Có A(1;

về diện tích tam giác. Có nhiều cơng thức và cách giải quyết bài tốn về diện tích tamgiác song khơng có một cơng thức nào là tối ưu cho tất cả các bài toán.

Đang xem: Diện tích tam giác trong oxy

Qua quá trình nghiên cứu giải quyết lớp các bài tốn về diện tích tam giác chúng tơiphát hiện có một ứng dụng hữu ích của một cơng thức diện tích tam giác trong mặtphẳng tọa độ. Nhằm giúp học sinh có thêm một hướng giải quyết khác về một số bàitốn liên quan đến diện tích tam giác trong mặt phẳng tọa độ, chúng tôi xin giới thiệuđến trang mathvn.com, q bạn u mơn tốn chun đề:

Xin chân thành cảm ơn. Vĩnh Linh, tháng 5 năm 2013 Người thực hiện

Trần Đình Anh

(2)

Thơng thường thì học sinh chọn giải theo các hướng sau: + ) Hướng 1(Đã học chương II. Hình học 10):

Vận dụng công thức Hê – rông: Ta có

(1;1)

AB



(2;5)

AC



(1; 4)

BC



AB = c = 2; AC = b = 29; BC = a = 17; Gọi p = (a + b + c)/2.

Khi đó ta có diện tích tam giác ABC là

(

)(

)(

)

( 2

29

17)( 2

29

17)( 2

17

29)( 29

17)

2)

2.2.2.2

…

ABC

S





p p a p b p c



























Lời bình: Hướng giải quyết này khá là phức tạp và dài. Đòi hỏi học sinh phải rất cẩnthận và vất vả để có được kết quả tối ưu.

+) Hướng 2 ( Đã học chương III. Hình học 10): Dùng phương trình đường thẳng đểáp dụng cơng thức về khoảng cách nhằm tính độ dài đường cao và suy ra diện tích cầntìm.

Ta có:

BC

(1; 4)



suy ra phương trình cạnh BC là:

2 1

1 4

x y

Hay 4x – y – 7 = 0.

Khi đó chiều cao AH của tam giác ABC bằng khoảng cách từ A đến cạnh BC.

AH =

4.1 1.0 7 3( ; )

17 17

d A BC    

. BC =

4

2



1

2



17

Khi đó diện tích tam giác ABC là: S =

1 1 3 3

. . 17

2AH BC 2 17 2

Lời bình:

(3)

+) Viết phương trình đường thẳng MN, tính độ dài đoạn MN +) Gọi P( m; 0) thuộc Ox là điểm thỏa mãn.

+) Khi đó tính h là khoảng cách từ P đến MN và áp dụng công thức S = ah/2 để tìm m.

Lời bình: Trong hai bài tốn trên các cách giải khá phức tạp địi hỏi học sinh cần cósự linh hoạt và tư duy tốt. Q trình tính tốn cũng khá phức tạp và dài dịng.

Bây giờ ta cùng đến với một công thức về diện tích tam giác mà được xây dựng chỉbằng các kiến thức của học sinh khi học hết Chương II. Hình học 10.

Trong hệ trục Oxy, cho tam giác ABC.Gọi A(x yA; A), B(x yB; B) và C(x yC; C) . Khi đó ta có

1

1

sin

2

2

ABC b

S





bh



bc

A

2 2 2 2

2 2 2

2 2 2

1

1

1

os

( . osA)

2

2

1

.

(

.

. osA)

2

1

(

.

)

( )

2

ABC

S

bc

c

A

b c

bc c

AC AB

AC AB c

AC AB

AC AB

a

















 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 



Với

(

;

)

(

;

);

(

;

)

(

;

);

B A B A AB AB

C A C A AC AC

AB x

x y

y

x

y

AC x

x y

y

x

y













   
            





Thay thế vào ( a ) ta có:

2 2 2

2 2 2 2 2

1

(

.

)

2

1

(

)(

) (

.

.

)

2

ABC

AC AC AB AB AB AC AB AC

S

AC AB

AC AB

x

y

x

y

x x

y

y

(4)

1

2

x y

AB AC

y x

AB AC



 



 

Do đó ta có cơng thức

























































1

3

2

2

ABC AB AC AB AC

S





x y

 





y x





.

Lời bình:

mà chỉ cần áp dụng cơng thức.

Xem thêm: Báo Cáo Tiểu Luận Phương Pháp Giảng Dạy Đại Học Đại Học, Tiểu Luận Phương Pháp Dạy Học Chọn Lọc

Ta gọi P (m; 0), ( m – 3) thuộc Ox là điểm cần tìm. Khi đó ta có:

MN

(1;1)

MP m 

( ; 3)





Áp dụng công thức * cho ta

1

1

3

2

2

MNP MN MP MN MP

S





x y

 



 

y x



m



Theo bài ra ta có

1

(*)

2

ABC AB AC AB AC

(5)

3 4026

1

3

2013

3

4026

3

4026

2

4023

4029

m

m

m

m

m

m

 













 

 







 





Lời bình:

Như vậy chúng ta có thể thấy rõ ưu thế của cơng thức * là tính tốn rất ngắn ngọnvà khơng rườm rà phức tạp. Đặc biệt tư duy toán đơn giản chỉ cần áp dụng công thức. Hơn nữa khi công thức chỉ được xây dựng bằng kiến thức cơ bản của Chương II.

Hình học 10 nên qua công thức này lượng bài tập dành cho học sinh sẽ đa dạng và

phong phú thêm.

Trong hệ trục Oxy, cho tam giác ABC, với A (3; m), B( m+1; – 4). Xác định m để diện tích tam giác OAB đạt giá trị nhỏ nhất.

(6)

Ta có

OA

(3; )

m

OB m  

(

1; 4)

























































. Khi đó

2 2

1

1

3( 4)

(

1)

2

2

1

1

1

47

(

12)

((

)

)

2

2

2

4

OAB OA OB OA OB

S

x y

y x

m m

m

m

m



























               
                           

Vậy diện tích tam giác OAB đạt giá trị nhỏ nhất khi m = -1/2. Cách khác:

+ viết phương trình cạnh AB theo tham số m. + Tính khoảng cách từ O đến AB theo m +Áp dụng cơng thức diện tích s =1/2 ah. + Biến đổi để có được hàm theo m . + Xét hàm để có giá trị m.

Lời bình: Cách khác nhìn chung là dài, tính tốn phức tạp và qua nhiều bước mới có

được biểu thức về diện tích tam giác nhưng cách giải trên tỏ ra đơn giản, ngắn ngọn khơng tiêu tốn nhiều sức.

Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho điểm A 2;1

( )

. Trên trục Ox, lấy điểm B có hồnh độ xB ³ 0, trên trục Oy, lấy điểm C có tung độ yC ³ 0 sao cho tam giác ABC

vng tại A. Tìm các điểm B, C sao cho diện tích tam giác ABC lớn nhất.

Gọi B (b; 0) và C ( 0; c).

b

³

0;c

³

0

Khi đó ta có

AB b

(



2; 1)



AC

( 2;



c



1)

























































Vì tam giác ABC vng tại A nên ta có

AB AC

.

 

0

c



2

b



5 0

 

c

 

5 2

b

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Vì

b

³

0;c

³

0

Nên

5

0

2

b

 

Mặt khác ta có

1

1

(

2)(

1) 2

2

2

ABC AB AC AB AC

(7)

2

4

10 (0

5

)

2

b

b

b







 

khi đó diện tích tam giác ABC lớn nhất bằng 5 tại b = 0. Suy ra B( 0;0) và C( 0; 5).

Cách khác: Gọi toạ độ B, C

Tìm điều kiện B, C thoả mãn tam giác vng.Tính khoảng cách A tới BC.

Để diện tích max khoảng cách A tới BC max

Đến đây tìm giá trị lớn nhất biểu thức kết hợp điều kiện.

Lời bình:

Ý tưởng đơn giản không rườm rà.

Cho hàm số

2 11

xy

x





Xác định m để đường thẳng y = -2x + m cắt đồ thị hàm số trên tại hai điểm A, Bphân biệt sao cho diện tích tam giác OAB bằng 3 ( O là gốc tọa độ). ( trích trong đềTS khối B – 2010)

2

2

1

2

2

(4

)

1

0

1

x

x m

x

m x

m

x













 





 

m

2

 

8 0

với mọi m suy ra đường thẳng y = -2x + m luôn cắt đồ thị hàmsố trên tại hai điểm phân biệt A, B với mọi m.

Gọi A(

x y

1

;

1); B(

x y

2

;

2); khi đó

1 2 2 1

1

1

2

2

OAB OA OB OA OB

S





x y

 





y x





x y



x y

1 2

1

(

)

2

m x

x





theo bài ra ta có diện tích tam giác OAB bằng 3 nên

2 2

1 2 1 2 1 2

1

3

(

)

(

)

4 .

12

2

m x

x

m



x

x

x x



(8)

22

2

4

8

48 0

2

12

m

m

m

m

m









 











Cách khác: +) Tính khoảng cách từ O đến AB. +) Tính độ dài đoạn AB.

+) Áp dụng công thức diện tích và lập mối quan hệ. Lời bình

(9)

Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho tam giác ABC, biết điểm A(2;-1); B(-1;2) và tọa độtrọng tâm G nằm trên đường thẳng d: x + y – 2 = 0. Tìm tọa độ đỉnh C biết diện tích tam giác ABC bằng 27/2.

Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Descarter vuông góc Oxy, cho ΔABC có

(

)

A 2; 4 ,- B 0;2

( )

và điểm C thuộc đường thẳng: 3x y 1 0,- + = diện tích ΔABC bằng 1 (đơn vị diện tích). Hãy tìm tọa độ điểm C

Trong mặt phẳng Oxy cho các điểm A(1;0); B(-2;4); C(-1;4); D(3;5) và đường thẳng d: 3x – y – 5= 0. Tìm M trên d sao cho hai tam giác MAB và MCD có diện tích bằng nhau.

Trong mặt phẳng tọa độ vng góc Oxy, cho A 2; 3 , B 3; 2

(

–

) (

–

)

. Trọng tâm G của ΔABC nằm trên đường thẳng d : 3x y 8- – =0, diện tích ΔABC bằng

3

2. Tìm tọa độ

điểm C.

đoạn AC nằm trên đường thẳng d : y = x. Tìm tọa độ điểm C.

Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho tam giác ABC cân tại A có đỉnh A

(

– 1;4

)

vàcác đỉnh B, C thuộc đường thẳng D: x y 4- – =0. Xác định toạ độ các điểm B và C,biết diện tích tam giác ABC bằng 18.

Cho hàm số

21xy

x

 .

(10)