Cách Xác Định Tính Chẵn Lẻ Của Hàm Số Lượng Giác Bằng Máy Tính Casio

a) Hàm số y= f x

( )

được gọi là hàm số chẵn nếu với mọi x thuộc D, ta có − ∈x D

và f

( )

− =x f x

( )

.

b) Hàm số y= f x

( )

được gọi là hàm số lẻ nếu với mọi x thuộc D, ta có − ∈x D và

( )

( )

f − = −x f x .

Để kết luận hàm số y= f x

( )

không chẵn khơng lẻ thì ta chỉ cần chỉ ra điểm

0

x ∈D sao cho

( )

( )

( )

00

( )

00

f x f x

f x f x

 − ≠




− ≠ −

 hoặc chỉ ra tập xác định của f x

( )

không phải là tập đối xứng.

∗ Nếu D là tập đối xứng (tức ∀ ∈x D⇒− ∈x D), thì ta thực hiện tiếp bước 2. ∗ Nếu D không phải tập đối xứng(tức là ∃ ∈x D mà − ∉x D) thì ta kết luận hàm số khơng chẵn không lẻ.

∗ Nếu f

( )

− =x f x

( )

,∀ ∈x D thì kết luận hàm số là hàm số chẵn. ∗ Nếu f

( )

− = −x f x

( )

,∀ ∈x D thì kết luận hàm số là hàm số lẻ.

∗ Nếu không thỏa mãn một trong hai điều kiện trên thì kết luận hàm số không chẵn không lẻ.

(2)

1. Hàm số y=sinx là hàm số lẻ trên D=ℝ.

2. Hàm số y =cosx là hàm số chẵn trên D=ℝ.

3. Hàm số y=tanx là hàm số lẻ trên |2

D= π +kπ k∈ 

 

ℝ ℤ .

4. Hàm số y=cotx là hàm số lẻ trên D=ℝ

{

kπ |k∈ℤ

}

.

a) Ta có: TXĐ: D=ℝ: là tập đối xứng.

+ f

( )

− =x sin

( ) ( )

− + − = −x x sinx− = −x

(

sinx+ = −x

)

f x

( )

. Hàm số đã cho là hàm số lẽ.

b) TXĐ: D=ℝ: là tập đối xứng.

Ta có:

( )

( )

2 2

( )

sin sin

f − =x x + −x = x+x = f x . Do đó hàm số đã cho là hàm số chẵn.

c) TXĐ: / ;

10 5 7

D= π +kπ kπ

ℝ 

(

k∈ℤ

)

: là tập đối xứng.

( )

tan 5

( )

.cot 7

( ) (

tan 5 .

Đang xem: Cách xác định tính chẵn lẻ của hàm số lượng giác bằng máy tính casio

) (

cot 7

)

tan 5 .cot 7

( )

f − =x −x − = −x x − x = x x= f x

Do đó: Hàm số đã cho là hàm số chẵn.

d) TXĐ: D=ℝ: là tập đối xứng.

Ta có:

( )

( )

2

( )

(

)

2 2

( )

cos sin cos sin cos sin

a) y = sinx + x b) y = sin x + x2 c) y = tan5x.cot7x

(3)

e) TXĐ: D=ℝ: là tập đối xứng.

Ta có: f

( )

− =x sin 2

( )

−x .cos 3

( ) (

− = −x sin 2x

)

cos3x= −sin 2 .cos 3x x= −f x

( )

Do đó: Hàm số đã cho là hàm số lẽ.

+ Tổng hoặc hiệu của hai hàm chẳn là hàm chẵn.

+ Tích của hai hàm chẳn là hàm chẳn, tích của hai hàm lẽ là hàm chẵn.

+ Tích của một hàm chẳn và hàm lẽ là hàm lẽ.

+ Bình phương hoặc trị tuyệt đối của hàm lẽ là hàm chẳn.

(Áp dụng điều này chúng ta có thể xét tính chẳn lẽ của hàm số lượng giác một cách nhanh chóng để làm trắc nghiệm nhanh chóng hơn nhiều).

(4)

(5)

( )

sin

( )

(

2

)

sin 2

( )

2 cos 3 2 cos 3

x x

f x f x

x x

− −

− = = = −

− − − . Vậy hàm số đã cho là hàm số lẻ.

Nguyên tắc: Ta sẽ tạo song song hai hàm. Một hàm f(x) và một hàm g(x)=f(-x). Và

tính giá trị của hai hàm số này với Start=0, End=π và Step=

12

π . Từ đó ta có các

kết quả ở hai hàm ở kết quả. Nếu bằng nhau thì hàm số đã cho làm hàm chẵn, bằng đối nhau là hàm lẽ.

+ Nhập hàm f(x).

Thứ tự bấm máy Màn hình hiển thị

2 cos 3

xy

x=

− thì y= f x

( )

là

(6)

+ Nhập hàm g(x)=f(-x) (nghĩa là chổ nào có x thì ta đổi lại thành -x)

Thứ tự bấm máy Màn hình hiển thị

Nhập tiếp với Start=0, End=π và Step=

12

π . Nhấn phím và để kiểm

tra kết quả.

(7)

Ta có f

( )

− = −x 2 cos

( )

− = −x 2 cosx= f x

( )

Ta lần lượt kiểm tra tính chẵn – lẽ của hàm số theo nguyên tắc như Bài tập mẫu 1. Với các thông số như ở Bài tập mẫu 1. (Nhớ cài đặt máy như ở trên)

+ Kiểm tra hàm y= −2 cosx. Nhập hàm F X

( )

= −2cosx

Thứ tự bấm máy Màn hình hiển thị

+ Nhập hàm G X

( )

= −2 cos

( )

−x

Thứ tự bấm máy Màn hình hiển thị

Nhập tiếp với Start=0, End=π và Step=

12

π . Nhấn phím và để kiểm

tra kết quả.

(8)

Thực hiện tương tự ta được các kết quả với các hàm như sau: + Kiểm tra hàm số y= −2 sinx.

Nhấn AC và sửa các thông số ở F(X) và G(X)

Màn hình kết quả

Vậy : y= −2 sinx là hàm số lẽ.

+ Kiểm tra hàm số y=2sin

( )

−x . Nhấn AC và sửa các thông số ở F(X) và G(X)

Kết quả màn hình

Vậy hàm số y=2sin

( )

−x là hàm số lẽ.

+ Kiểm tra hàm số y=sinx−cosx. Nhấn AC và sửa các thông số ở F(X) và G(X)

(9)

Khi sử dụng máy tính cầm tay ta nên chú ý cả tập xác định của hàm số xem có phải là tập đối xứng không.

Ta có : cos 2 sin 2 1

(

cos 2 sin 2

)

1

(

sin 2 cos 2

)

0

4 4 2 2

y=  x+π +  x−π = x− x + x− x =

    .

Ta có tập xác định D=ℝ.

Hàm số y=0 vừa thỏa mãn tính chất của hàm số chẵn, vừa thỏa mãn tính chất

Thực hiện kiểm tra các bước và các thông số như Bài tập mẫu 1.

+ Nhập hàm

( )

cos 2 sin 2

4 4

F X =  x+π +  x−π 

   .

Thứ tự bấm máy Màn hình hiển thị

( )

cos 2 sin 2

4 4

y= f x =  x+π +  x−π 

   , ta đượcy= f x

( )

là:

(10)

+ Nhập hàm

( )

cos 2

( )

sin 2

( )

4 4

G X =  − +x π +  − −x π 

   

Thứ tự bấm máy Màn hình hiển thị

Màn hình hiển thị

Nhận thấy giá trị của F(X) và G(X) lúc nào cũng bằng 0 với mọi giá trị của x. Nên ta thấy f(x) vừa thỏa mãn định nghĩa hàm số chẵn, cũng đồng thời thỏa mãn định nghĩa hàm số lẽ. Do đó hàm số f(x) là hàm số vừa chẵn vừa lẽ.

cos 2 5xy

x−=

+ là hàm:

(11)

Tập xác định: D=ℝ: là tập đối xứng.

Ta có:

( )

( )

( )

(

)

( )

( )

2 sin 3 2 sinx 3 2 sinx 3 2 sinx 3

cos 2 5 cos 2 5 cos 2 5 cos 2 5

x

f x f x

x x x x

− − − − − −

− = = = = =

− + − + + +

+ Nhập hàm f(x).

Thứ tự bấm máy Màn hình hiển thị

+ Nhập hàm g(x)=f(-x) (nghĩa là chổ nào có x thì ta đổi lại thành -x)

Thứ tự bấm máy Màn hình hiển thị

Nhập tiếp với Start=0, End=π và Step=

12

π . Nhấn phím và để kiểm

(12)

Nhận thấy giá trị của hàm f(x) và G(X) lúc nào cũng bằng nhau. Vậy hàm số đã cho là hàm số chẵn.

(13)

+ Xét hàm số

( )

1 3sin2

3

f x x

x

= +

− có tập xác định là D=ℝ 3

{ }

.

Ta có x= − ∈3 D nhưng − = ∉x 3 D nên D khơng có tính đối xứng. Do đó ta có kết

luận hàm số f x

( )

không chẵn không lẻ.

3

f x x

x

= +

− và g x

( )

=sin 1−x. Kết luận nào sau đây đúng về tính chẵn lẻ của hai hàm số này?

(14)

+ Xét hàm số g x

( )

=sin 1−x có tập xác định là D2= +∞

<

1;

)

. Dễ thấy D2 không phải là tập đối xứng nên ta kết luận hàm số g x

( )

không chẵn không lẻ.

Khi xét tính chẵn lẻ của hàm số ta cần chú ý xét tập xác định đầu tiên để giải quyết bài tốn một cách chính xác.

Hàm số có tập xác định D=ℝ.

Ta có

( )

2007

( )

(

)

2007

( )

sin cos sin cos

n

xf x

x+

= , với n∈ℤ. Xét các biểu thức sau:

1. Hàm số đã cho xác định trên D=ℝ.

2. Đồ thị hàm số đã cho có trục đối xứng. 3. Hàm số đã cho là hàm số chẵn.

4. Đồ thị hàm số đã cho có tâm đối xứng. 5. Hàm số đã cho là hàm số lẻ.

6. Hàm số đã cho là hàm số không chẵn không lẻ. Số phát biểu đúng trong sáu phát biểu trên là

ℤ.

Hàm số y= f x

( )

là:

(15)

Hàm số đã xác định khi cos 0 , .
2

x≠ ⇔ ≠ + π ∈x π k k ℤ Vậy phát biểu 1 sai.

Ở đây ta cần chú ý : các phát biểu 2; 3; 4; 5; 6 để xác định tính đúng sai ta chỉ cần đi xét tính chẵn lẻ của hàm số đã cho.

Ta có tập xác định của hàm số trên là

2

D= π+ π | ∈k k 

 

ℝ ℤ là tập đối xứng.

( )

sin2004

( )

( )

2004 sin2004 2004

( )

.

cos cos

− + +

− = = =

−

n x n

x

f x f x

x x

Đồ thị hàm số lẻ thì đối xứng qua tâm O.

Đồ thị hàm số chẵn thì đối xứng qua trục Oy.

Hàm số đã cho xác định trên tập D =ℝ nên ta loại A.

Tiếp theo để xét tính đối xứng của đồ thị hàm số ta xét tính chẵn lẻ của hàm số đã cho.

( )

− = − sin

( )

− = − sin = −

( )

.

Với bài tốn này ta nên xét B và C trước thay vì xét lần lượt A, B, C, D.

TXĐ: D=ℝ. Suy ra ∀ ∈x D⇒− ∈x D.

Ta có f

( )

− =x 3msin4

( )

− +x cos 2

( )

− = −x 3msin4x+cos 2 .xĐể hàm số đã cho là hàm chẵn thì:

( )

( )

, 3 cos 2 3 cos 2 ,

f − =x f x ∀ ∈ ⇔ −x D msin4x+ x= msin4x+ x ∀ ∈x D

⇔ 4 sin 4m x= ∀ ∈ ⇔ =0, x D m 0.

để xét từng trường hợp. Nếu bài có nhiều khoảng dành cho m thì ta cũng dùng máy tính để sử dụng Phương pháp loại suy.

+ Đặc biệt ta ưu tiên sử dụng các giá trị m “bằng” trước khi thử các giá trị m trong khoảng.

+ Cụ thể trong trường hợp này ta sẽ thử với giá trị m=0, 2 trước khi ta thử m>0.

và m

+ Thử với m=0 với cách thực hiện như trên ta được, nhập hàm f(x):

Thứ tự bấm máy Màn hình hiển thị

( )

3 sin4x cos 2x

y= f x = m + là hàm chẵn.

(17)

+ Nhập hàm g(x)=f(-x) (nghĩa là chổ nào có x thì ta đổi lại thành -x)

Thứ tự bấm máy Màn hình hiển thị

Nhập tiếp với Start=0, End=π và Step=

12

π . Nhấn phím và để kiểm

tra kết quả.

Nếu đáp án C chưa phải là đáp án hàm số chẵn thì ta có thể tính các hàm số còn lại mà chỉ cần thay đổi giá trị của m ở từng đáp án. Ta thử đáp án D với m=2 và màn hình hiển thị:

(18)

Kết quả:

Với A: TXĐ: . Ta có với

sin .cos tany= x x+ x là:

( )

2cos x 2cos .x

− − = −

( )

(

)

( )

2sin x 2. sinx 2sinx f x .

(19)

Hàm số đã cho có tập xác định .

Vậy với . Ta có .

xy= +

Tập xác định của hàm số là là tập đối xứng.

Ta có

I.Hàm số y=sinx sinxlà hàm số lẻ.

II.Hàm số y =cosx cosxlà hàm số chẵn.

III.Hàm số y= sinx cosxlà hàm số lẻ.

Trong các câu trên, câu nào đúng?

Ta loại I và II do khi thì , do đó không tồn tại.

Với III: Hàm số xác định khi .

Tập xác định của hàm số là tập đối xứng.

,

2

D= π+ π ∈k k Z

 

x D∈ ⇒− ∈x D f

( )

− =x sin

( ) ( )

−x cos2 − +x tan

( )

−x = −sin .cosx 2x−tanx= −f x

( )

(

)

2 1 |

3

D=  k+ π k∈Z

 

( )

( )

( )

(

( )

( )

)

2

2 1 sin 2 2

1 sin 2 1 sin 2.1 cos 3 1 cos 3 1 cos3

x

x x

f x

x x x

+ −

+ − +

− = = =

+ − + − + →

sinx>0 sin

( )

− = −x sinxsin xcosx≥0 2 2 ,

2 k x 2 k k Z

π π

(20)

Do vậy, ta xét .

cos

xy

x

sin

x
y

x

= .

Ta có . Vậy hàm sô cot

cos

xy

x

= là hàm số lẽ. Chọn đáp án C.

sin

xy

x

= có tính chất nào sau đây?

Ta loại D vì để hàm số đã cho xác định thì nên tập xác định của hàm

số đã cho không thể là hàm số chẵn.

y x

x

4 4

cos siny = x− x.

Ta thấy các hàm số ở phương án A,C là các hàm số lẻ, còn ở phương án D là

( )

sin

( )

. cos

( )

sin . cos

( )

f − =x −x − = −x x x = −f x

( )

2

( ) (

)

2 2sin sin sin .f − =x − = −x x = x

cos 2 0sin 0xx≠≠

( )

3

(

( )

)

3

( )

tan 2 tan 2sin sin

x x

f x f x

x x

− −

− = = =

− −

2sin 2sin 2sin

4 4 4

x π x π x π

     

− − =− + ≠ −

     

(21)

4y = x+π 

1sin

y

x

Lý giải: Tập xác định là tập đối xứng.

. Vậy hàm số ở phương án C là hàm số lẻ có

sin

y

x

Hàm số chẵn có đồ thị nhận trục tung làm trục đối xứng do đó ta đi tìm hàm số chẵn trong bốn hàm số đã cho.

sin .cosx

tan 1

xy

x=

3cos .siny= x x.

Với A: TXĐ: .

Ta có . Vậy hàm số này là hàm số chẵn.

{

}

|

( )

2013

( )

2013

( )

1 1

sin sin

f x f x

x x

−

− = = = −

−

( )

(

( )

)

2016

( )

2016

sin .cos sin .cos

(22)

(I)Hàm số y= f x( ) tanx cotx= + là hàm số lẻ.

(II) Hàm số y= f x( ) tanx cotx= − là hàm số lẻ.

Trong các câu trên, câu nào đúng?

(I) Tập xác định của hàm số đã cho là tập đối xứng.

Ta có . Vậy (I) đúng.

(II) Tập xác định của hàm số đã cho là tập đối xứng.

Ta có: .

(I) Hàm số y= f x( ) tanx cosx= + là hàm số lẻ.

(II) Hàm số y= f x( )=tanx sinx+ là hàm số lẻ.

Trong các câu trên, câu nào đúng?

Với (I) ta có .

Vậy hàm số ở (I) không phải hàm số chẵn cũng không phải hàm số lẻ.

Với (II) ta có .

1 sin
y = − xlà:

( )

tan

( )

cot

( )

tan cot

( )

f − =x − +x − = −x x− x= −f x

( )

tan

( )

cot

( )

tan cot

( )

f − =x − −x − = −x x+ x= −f x

( )

tan

( )

cos

( )

f − =x − +x −x = −tanx+cosx≠ f x

( )

≠ f x

( )

( )

tan

( )

sin

( )

(23)

Tập xác định của hàm số .

Ta có

sin

y

x

= .

Với B ta có Vậy hàm số ở B là hàm số lẻ.

Với C ta có TXĐ là tập đối xứng.

cos

xy

x

sin

xy

x

Với A: Tập xác định . Ta có

( )

2

( )

(

)

2

1 sin 1 sin

f − = −x − = − −x x = −1 sin2x= f x

( )

.

sin 2

y= x

( ) ( )

.cos

( )

.cos

( )

.f − = −x x − = −x x x= −f x

{

}

|

( )

cos

( ) ( )

.cot cos . cot

(

)

( )

.f − =x −x − =x x − x =−f x

( )

y= f x

2 2

(24)

 

−

 

Tập là tập đối xứng.

Ta có . Vậy hàm số đã cho là hàm số chẵn.

.sin

y = x xlà hàm chẵn .

tan cot

xy

x x

=

+ là hàm lẻ .

sin cot

x x

y

x x

−=

+ là hàm chẵn.

cos sin

y= x+ xlà hàm số không chẵn không lẻ. ;

2 2D= − π π

 

( )

cos( ) cos

( )

(25)

Với A: Ta có vậy A đúng.

Với B : Tập xác định D là tập đối xứng .

Ta có = .

2sin 3cotx xyx x−=

+ nhận trục Oy làm trục đối xứng.

xy

x x

=

+ nhận góc tọa độ làm tâm đối xứng.

n

x

y n Z

x+

= ∈ nhận trục Oy làm trục đối xứng.

Với A : Tập xác định của hàm số đã cho là tập đối xứng . Ta có

= . Vậy hàm số đã

cho là hàm số chẵn có đồ thị nhận trục oy làm trục đối xứng . Vậy A đúng.

Với B : Ta có . Vậy hàm số đã cho là

hàm số lẽ có đồ thị nhận gốc tọa độ làm tâm đối xứng . vậy B đúng .

Với C : Ta có Vậy hàm số đã cho

( ) ( )

3

( )

3

( )

sin sin .

f − = −x x − =x x x= f x

( )

sin

( )

( ) ( )

cos

( )

(

sin cos

)

tan cot tan cot

x x x x

f x

x x x x

− − −− = =− + − − +

( )

sin costan cotx xf xx+ x =

( )

sin( ) tan( )2sin( ) 3cot( )

x xf x
x x− − −− =− + −

sin tan sin tan

( )2sin 3cot 2sin 3cot

x x x x

f x

x x x x

− + = − =

− − +

2 2

( )

( ) ( )

sin( ) tan( ) sin tan

x x

f x f x

x x x x

−

− = = = −

− + − − −

2008 2008

sin ( ) 2009 sin 2009

( ) ( ).

cos( ) cos

n n

x x

f x f x

x x

− + +

− = = =

(26)

6 4 2 15

xy

x x x

=

12sin 1yx=− .

Bài tốn trở thành tìm hàm số chẵn trong bốn hàm số đã cho phần phương án .

Với A : Ta có

Vậy hàm số đã cho là hàm số lẽ, (loại).

Với B : Ta có

Vậy hàm số đã cho là hàm số lẽ (loại).

Với C : Ta có =

x x

y

x+ +

= . Hàm số trên là hàm số.

Vì . Do đó điều kiện là

Vậy tập xác định của D là tập đối xứng.

Ta có .

 là:

2008 2008

cos ( ) 2003 cos 2003

( ) ( ).

2012sin( ) 2012sin

n n

x x

f x f x

x x

− + +

− = = = −

− −

( ) tan( ) cot( ) tan cot ( ).f − =x − +x − = −x x− x= −f x

6 4 2

cos( )( )

6( ) 4( ) 2( ) 15

xf x

x x x

−− =

− + − + − + 6 4 2

cos

( ).6 4 2 15

x

f xx + x + x + =

cosx+ > ∀ ∈2 0, x ℝ sin 0 , .

sin 4 0 4

4x kx kx kkx xπ ππ≠≠ ⇔ ⇔ ≠ ∈ ≠ ≠  ℤ2 2

cos 2 cot ( ) cos 2 cot ( )

( ) ( )

sin( 4 ) sin 4

x x x x

f x f x

x x

+ + − + + −

− = = − = −

(27)

Tập xác định Với

Ta có = =

Ta thấy . Vậy hàm số đã cho không chẵn không lẻ.

1 2 cos 3 xy= + x − .

Tập xác định là tập đối xứng .

Xem thêm: Diện Tích Hồ Victoria, Viên Ngọc Quý Của Châu Phi, Lake Victoria

.

sin 3

xy

x

.

D=ℝ ∀ ∈x D⇒− ∈x D.( ) cos( 2 ).sin( )

4

f − =x − x − −x π cos 2 .sin( )4

x − −x π cos 2 .sin( )4

x x π

− +

( ) ( )

( ) ( )

f x f x

f x f x

− ≠




− ≠ −

D =ℝ

2 2

( ) 1 2( ) cos 3( ) 1 2 cos 3 ( )

(28)

(29)