Từ Nghiệm Suy Ra Phương Trình Bậc Hai, Dạng 4: Ứng Dụng Của Định Lí Vi

Vận dụng định lý Vi-et để nhẩm nghiệm phương trình bậc hai là một kĩ năng cần đạt đối với các bạn học sinh lớp 101. Trong nhiều trường hợp, thậm chí với hệ số chứa căn hay tham số, nếu biết nhẩm nghiệm thì học sinh sẽ nhanh chóng tìm được nghiệm mà không cần phải nháp hay sử dụng máy tính. Tuy nhiên, trong SGK Đại số 10 thì mục này chỉ được giới thiệu sơ lược và không có nhiều bài tập vận dụng cho việc tính nhẩm. Đó là lí do bài viết này ra đời.

Đang xem: Từ nghiệm suy ra phương trình

Các dạng thường gặp

1. Cơ sở tính nhẩm

Cơ sở tính nhẩm xuất phát từ định lí Vi-ét quen thuộc sau:2

Định lí Vi-ét

Định lý gồm 2 phần, thuận và đảo:

* Nếu phương trình trình

có hai nghiệm

thì

* Ngược lại, nếu hai số và có tổng

và tích

thì và là các nghiệm của phương trình

2. Các dạng tính nhẩm thường gặp

Từ phần đảo, dễ dàng suy ra các kết quả sau.

Loại 1: a = 1, b = tổng, c = tích

* Nếu phương trình có dạng

thì phương trình đó có hai nhiệm và .

* Nếu phương trình có dạng

thì phương trình có hai nghiệm

và

Nếu a bằng 1, -b là tổng hai số và c là tích hai số đó thì phương trình bậc hai nhận hai số đó làm nghiệm

Tóm lại:

Như vậy, với loại này bạn cần thực hiện 2 phép nhẩm: “Phân tích hệ số thành tích và thành tổng”. Trong hai phép nhẩm đó, bạn nên nhẩm hệ số trước rồi kết hợp với để tìm ra hai số thỏa mãn tích bằng và tổng bằng .

Xem thêm: Các Phương Trình Hóa Học Lớp 12 Học Kì 1 2, Phản Ứng Hóa Học Lớp 12 Chọn Lọc

Khi tiến hành, bạn nhẩm trong đầu như sau:

Tích của hai nghiệm bằng , mà tổng lại bằng

Ví dụ phương trình

*

Nhẩm: “Tích của hai nghiệm bằng 6, mà tổng lại bằng 5”. Hai số đó là: 2 và 3 vì 6 = 2.3 và 5 = 2 + 3. Vậy phương trình có hai nghiệm

*

Nhẩm: “Tích của hai nghiệm bằng 10, mà tổng lại bằng 7”. Hai số đó là: 2 và 5 vì 10 = 2.5 và 7 = 2 + 5. Vậy phương trình có hai nghiệm

Loại 2: a + b + c = 0 và a – b + c = 0

* Nếu thay

vào (1) thì bạn sẽ có trường hợp nhẩm nghiệm quen thuộc

, với

.

* Nếu thay

vào (1) thì bạn sẽ có trường hợp nhẩm nghiệm

, với

.

Xem thêm: Các Mẫu Hoa Văn Đẹp Cho Photoshop, Vector Hoa Văn Họa Tiết Trang Trí Đường Viền Đẹp

Do loại này đã quá quen thuộc với bạn, nên bài viết không xét các ví dụ cho trường hợp này mà tập trung vào loại 1 và loại 3.

Loại 3: Hai nghiệm là nghịch đảo của nhau

Nếu

và

thì phương trình (1) có dạng

khi đó phương trình có hai nghiệm là nghịch đảo của nhau

. Đây cũng là trường hợp hay gặp khi giải toán. Ví dụ phương trình

*

có hai nghiệm

*

có hai nghiệm

Loại 4: Những trường hợp còn lại

Với một phương trình có hệ số

mà không phải loại 2, loại 3 thì bạn nên chia cả hai vế cho

, quy về loại 1 để nhẩm. Còn nếu vẫn không nhẩm được thì bạn biết phải làm gì rồi chứ