Tìm Số Nghiệm Của Phương Trình Bằng Phương Pháp Hàm Số, Tìm Số Nghiệm Của Phương Trình

Cho hàm số $f(x)=x^{3}-6x^{2}+9x$. Đặt $f^{k}(x)=f(f^{k-1}(x))$ với $k$ là số nguyên dương lớn hơn 1. Tìm số nghiệm của phương trình $f^{6}(x)=0$ ?

#2

*

tritanngo99

tritanngo99

Đại úy

Điều hành viên THPT

*

1620 Bài viếtGiới tính:NamĐến từ:Đà Nẵng

Cho hàm số $f(x)=x^{3}-6x^{2}+9x$. Đặt $f^{k}(x)=f(f^{k-1}(x))$ với $k$ là số nguyên dương lớn hơn 1. Tìm số nghiệm của phương trình $f^{6}(x)=0$ ?

Xét $f(x)=x^3-6x^2+9x$. Ta có: $f”(x)=3x^2-12x+9=3(x-1)(x-3)$.

Đang xem: Tìm số nghiệm của phương trình

Ta có: $f”(x)=0iff x=1 ext{ hoặc }x=3$.

Lập bảng biến thiên, từ đó ta có nhận xét rằng:

Phương trình: $f(x)=c$ với $cin (0;4)$ luôn có 3 nghiệm phân biệt.

Không mất tính tổng quát giả sử ba nghiệm đó là: $u,v,w$.

Và ta chứng minh được rằng: $u,v,w$ cũng thuộc khoảng $(0;4)$.

Thật vậy ta chứng minh bằng phản chứng:

Giả sử: $u$ không thuộc khoảng $(0;4)$. Khi đó $ule 0 ext{ hoặc }uge 4$.

Ta có: $u^3-6u^2+9=c$.

Từ bảng biến thiên của hàm số: $f(x)=x^3-6x^2+9x$, ta thấy rằng:

Hàm số: $f(x)$ đồng biến trên $<-infty;1)$ nên với mọi $ule 0implies f(u)=u^3-6u^2+9le f(0)=0iff cle 0 ext{ mâu thuẩn }(1)$.

Và $f(x)$ đồng biến trên $<3;+infty)$ nên với mọi $uge 4implies f(u)ge f(4)=4iff c>4 ext{ mâu thuẩn}(2)$.

Từ $(1)(2)$ ta có điều phải chứng minh. Chứng minh tương tự cho $v,w$.

Vậy tóm lại: Phương trình $f(x)=c;cin(0;4)$ luôn có 3 nghiệm phân biệt $u,v,win(0;4)$.

Từ đó dùng quy nạp ta chứng minh được: Phương trình: $f^{n}(x)=c;cin(0;4)$ có: $3^n$ nghiệm.

Chứng minh: Với $n=1implies f(x)=c$. Rõ ràng phương trình này có $3^1=3$ nghiệm. Nên $n=1$ đúng.

Xem thêm: Tính Từ Chỉ Tính Cách Trong Tiếng Pháp, Từ Vựng Hướng Dẫn Miêu Tả Người Bằng Tiếng Pháp

Giả sử đúng với $n=k;k in mathbb{N^*};kge 2$. Tức là phương trình: $f^{k}(x)=c$ có $3^k$ nghiệm.

Ta đi chứng minh: Với $n=k+1$. Phương trình: $f^{k+1}(x)=c$ có $3^{k+1}$ nghiệm.

Thật vậy: Theo đề ta có: $f^{k+1}(x)=f(f^{k}(x))$. Nên $f^{k+1}(x)=ciff ^3-6^2+9=c$.

Rõ ràng phương trình này có $3$ nghiệm:

$left{egin{array}{I} f^{k}(x)=u\f^{k}(x)=v\f^{k}(x)=w end{array}
ight.$

Rõ ràng mỗi phương trình: $f^{k}(x)=u;f^{k}(x)=v;f^{k}(x)=w$ có $3^{k}$ nghiệm. Nên suy ra số nghiệm của pương trình:

$f^{k+1}(x)=c$ là: $3.3^{k}=3^{k+1}$ nghiệm.

Vậy theo giả thiết quy nạp: Ta có: phương trình: $f^{k}(x)=c;cin (0;4)$ có: $3^{k}$ nghiệm.

Bây giờ ta đi tìm số nghiệm của phương trình: $f^{n+1}(x)=0$.

Gọi $a_n$ là số nghiệm của phương trình: $f^{n}(x)=0$.

Gọi $b_n$ là số nghiệm của phương trình: $f^{n}(x)=3$. Rõ ràng $3in (0;4)$. Nên ta suy ra được: $b_n=3^{n}$.

Xét $f^{n+1}(x)=0iff ^3-6^2+9=0iff (-3)^2=0$.

$iff left{egin{array}{I} f^{n}(x)=0\f^{n}(x)=3 end{array}
ight.$

Suy ra: $a_{n+1}=a_n+3^{n}implies a_{n+1}-a_n=3^n$.

Tương tự ta có: $a_{n}-a_{n-1}=3^{n-1}…$.

Xem thêm: Hướng Dẫn Cách Gửi Fax Từ Máy Tính, Tải Fax Machine

Cộng lần lượt vế theo vế ta được: $a_{n+1}-a_1=3^{n}+3^{n-1}+…+3^{1}=frac{3^{n+1}-1}{3-1}-1(*)$.

Xem thêm bài viết thuộc chuyên mục: Phương trình