Giải Phương Trình Tổ Hợp Có Lời Giải Phương Trình Tổ Hợp Và Chỉnh Hợp

Giải phương trình tổ hợp, hoán vị và chỉnh hợp là phần nâng cao thuộc chương trình lớp 11.

Đang xem: Phương trình tổ hợp có lời giải

PHƯƠNG PHÁP

1. Kiến thức cần nhớ

2. Một số dạng toán thường gặp

Dạng 1: Giải phương trình, hệ phương trình hoán vị, chỉnh hợp, tổ hợpPhương pháp chung:Sử dụng các công thức tính số hoán vị, chỉnh hợp, tổ hợp để biến đổi phương trình.Kiểm tra điều kiện của nghiệm và kết luận.Dạng 2: Giải bất phương trình hoán vị, chỉnh hợp, tổ hợpPhương pháp chung:Sử dụng các công thức tính số hoán vị, chỉnh hợp, tổ hợp để biến đổi bất phương trình.Kiểm tra điều kiện của nghiệm và kết luận.

Câu 1.Tìm tất cả các giá trị $x in mathbb{N}$ thỏa mãn $6left( {{P_x} – {P_{x – 1}}}
ight) = {P_{x + 1}}.$A. x = 2.B. x = 3.C. x = 2; x = 3.D. x = 5.
Điều kiện: $x ge 1$ và $x in mathbb{N}.$Ta có $6left( {{P_x} – {P_{x – 1}}}
ight) = {P_{x + 1}} Leftrightarrow 6left< {x! - left( {x - 1} ight)!} ight> = left( {x + 1}
ight)! Leftrightarrow 6left( {x – 1}
ight)!.left( {x – 1}
ight) = left( {x – 1}
ight)!.xleft( {x + 1}
ight)$$ Leftrightarrow 6.left( {x – 1}
ight) = xleft( {x + 1}
ight) Leftrightarrow {x^2} – 5x + 6 = 0 Leftrightarrow left< egin{array}{l}x = 2{ m{ }}left( {nhan} ight)\x = 3{ m{ }}left( {nhan} ight)end{array} ight..$ Chọn C.
Câu 2.Tính tổng S của tất cả các giá trị của x thỏa mãn ${P_2}.{x^2}–{P_3}.x = 8.$A. S = – 4.B. S = – 1.C. S = 4.D. S = 3.
Ta có ${P_2}.{x^2}–{P_3}.x = 8 Leftrightarrow 2!.{x^2} – 3!.x = 8 Leftrightarrow 2{x^2} – 6x – 8 = 0 Leftrightarrow left< egin{array}{l}x = - 1\x = 4end{array} ight.$-> S = – 1 + 4 = 3Chọn D.
Điều kiện: $x ge 2$ và $x in mathbb{N}$.Ta có $3A_x^2 – A_{2x}^2 + 42 = 0 Leftrightarrow 3.frac{{x!}}{{left( {x – 2}
ight)!}} – frac{{left( {2x}
ight)!}}{{left( {2x – 2}
ight)!}} + 42 = 0$$ Leftrightarrow 3.left( {x – 1}
ight).x – left( {2x – 1}
ight).2x + 42 = 0 Leftrightarrow {x^2} + x – 42 = 0 Leftrightarrow left< egin{array}{l}x = - 7left( {loai} ight)\x = 6left( {nhan} ight)end{array} ight..$ Chọn B.
Câu 4.Cho số tự nhiên x thỏa mãn $A_x^{10} + A_x^9 = 9A_x^8$. Mệnh đề nào sau đây đúng?A. x là số chính phương.B. x là số nguyên tố.C. x là số chẵn.D. x là số chia hết cho 3
Điều kiện: $x ge 10$ và $x in mathbb{N}$.Ta có $A_x^{10} + A_x^9 = 9A_x^8 Leftrightarrow frac{{x!}}{{left( {x – 10}
ight)!}} + frac{{x!}}{{left( {x – 9}
ight)!}} = 9frac{{x!}}{{left( {x – 8}
ight)!}}$$ Leftrightarrow frac{1}{1} + frac{1}{{x – 9}} = frac{9}{{left( {x – 9}
ight)left( {x – 8}
ight)}} Leftrightarrow {x^2} – 16x + 55 = 0 Leftrightarrow left< egin{array}{l}x = 11left( {nhan} ight)\x = 5left( {loai} ight)end{array} ight..$ Chọn B.
Câu 5.Có bao nhiêu số tự nhiên $n$ thỏa mãn $A_n^3 + 5A_n^2 = 2left( {n + 15}
ight)$?A. 0.B. 1C. 2D. 3
Điều kiện: $n ge 3$ và $n in mathbb{N}.$Ta có $A_n^3 + 5A_n^2 = 2left( {n + 15}
ight) Leftrightarrow frac{{n!}}{{left( {n – 3}
ight)!}} + 5.frac{{n!}}{{left( {n – 2}
ight)!}} – 2n – 30 = 0$$ Leftrightarrow left( {n – 2}
ight).left( {n – 1}
ight).n + 5.left( {n – 1}
ight).n – 2n – 30 = 0 Leftrightarrow {n^3} + 2{n^2} – 5n – 30 = 0 Leftrightarrow n = 3.$ Chọn B.
Câu 6.Tìm giá trị $n in mathbb{N}$ thỏa mãn $C_{n + 1}^1 + 3C_{n + 2}^2 = C_{n + 1}^3.$A. n = 12.B. n = 9.C. n = 16.D. n = 2.
Điều kiện: $n ge 2$ và $n in mathbb{N}.$Ta có $C_{n + 1}^1 + 3C_{n + 2}^2 = C_{n + 1}^3 Leftrightarrow frac{{left( {n + 1}
ight)!}}{{1!.n!}} + 3.frac{{left( {n + 2}
ight)!}}{{2!.n!}} = frac{{left( {n + 1}
ight)!}}{{3!.left( {n – 2}
ight)!}}$$ Leftrightarrow n + 1 + 3.frac{{left( {n + 1}
ight).left( {n + 2}
ight)}}{2} = frac{{left( {n – 1}
ight).n.left( {n + 1}
ight)}}{6} Leftrightarrow 1 + 3.frac{{left( {n + 2}
ight)}}{2} = frac{{left( {n – 1}
ight).n.}}{6}$$ Leftrightarrow 6 + 9n + 18 = {n^2} – n Leftrightarrow {n^2} – 10n – 24 = 0 Leftrightarrow left< egin{array}{l}n = - 2left( {loai} ight)\n = 12left( {nhan} ight)end{array} ight..$ Chọn A.
Câu 7.Tính tích P của tất cả các giá trị của x thỏa mãn $C_{14}^x + C_{14}^{x + 2} = 2C_{14}^{x + 1}.$A. P = 4.B. P = 32.C. P = – 32.D. P = 12.
Điều kiện: $0 le x le 12$ và $x in mathbb{N}$.Ta có $C_{14}^x + C_{14}^{x + 2} = 2C_{14}^{x + 1} Leftrightarrow frac{{14!}}{{x!left( {14 – x}
ight)!}} + frac{{14!}}{{left( {x + 2}
ight)!left( {12 – x}
ight)!}} = 2frac{{14!}}{{left( {x + 1}
ight)!left( {13 – x}
ight)!}}$$egin{array}{l} Leftrightarrow frac{1}{{left( {14 – x}
ight)left( {13 – x}
ight)}} + frac{1}{{left( {x + 1}
ight)left( {x + 2}
ight)}} = 2.frac{1}{{left( {x + 1}
ight)left( {13 – x}
ight)}}\ Leftrightarrow left( {x + 1}
ight)left( {x + 2}
ight) + left( {14 – x}
ight)left( {13 – x}
ight) = 2left( {x + 2}
ight)left( {14 – x}
ight)end{array}$$ Leftrightarrow {x^2} – 12x + 32 = 0 Leftrightarrow left< egin{array}{l} x = 4\ x = 8 end{array} ight. o P = 4.8 = 32.$Chọn B.
Câu 8.Tính tổng S của tất cả các giá trị của $n$ thỏa mãn $frac{1}{{C_n^1}} – frac{1}{{C_{n + 1}^2}} = frac{7}{{6C_{n + 4}^1}}.$A. S = 8.B. S = 11.C. S = 12.D. S = 15.
Điều kiện: $n ge 1$ và $n in mathbb{N}$.Ta có $frac{1}{{C_n^1}} – frac{1}{{C_{n + 1}^2}} = frac{7}{{6C_{n + 4}^1}} Leftrightarrow frac{{left( {n – 1}
ight)!}}{{n!}} – frac{{2!.left( {n – 1}
ight)!}}{{left( {n + 1}
ight)!}} = frac{{7left( {n + 3}
ight)!}}{{6left( {n + 4}
ight)!}} Leftrightarrow frac{1}{n} – frac{2}{{nleft( {n + 1}
ight)}} = frac{7}{{6left( {n + 4}
ight)}}$$ Leftrightarrow {n^2} – 11n + 24 = 0 Leftrightarrow left< egin{array}{l}n = 3left( {nhan} ight)\n = 8left( {nhan} ight)end{array} ight. o S = 3 + 8 = 11.$ Chọn B.
Câu 9.Tìm giá trị $x in mathbb{N}$ thỏa mãn $C_x^0 + C_x^{x – 1} + C_x^{x – 2} = 79.$A. x = 13.B. x = 17.C. x = 16.D. x = 12.
Điều kiện: $x in mathbb{N}$.Ta có $C_x^0 + C_x^{x – 1} + C_x^{x – 2} = 79 Leftrightarrow C_x^0 + C_x^1 + C_x^2 = 79$$ Leftrightarrow 1 + x + frac{{xleft( {x – 1}
ight)}}{2} = 79 Leftrightarrow {x^2} + x – 156 = 0 Leftrightarrow left< egin{array}{l}x = 12left( {nhan} ight)\x = - 13left( {loai} ight)end{array} ight..$ Chọn D.
Câu 10.Tìm giá trị $n in mathbb{N}$ thỏa mãn $C_{n + 4}^{n + 1} – C_{n + 3}^n = 7left( {n + 3}
ight).$A. n = 15.B. n = 18.C. n = 16.D. n = 12.
Điều kiện: $n in mathbb{N}$.Ta có $C_{n + 4}^{n + 1} – C_{n + 3}^n = 7left( {n + 3}
ight) Leftrightarrow C_{n + 4}^3 – C_{n + 3}^3 = 7left( {n + 3}
ight)$$ Leftrightarrow frac{{left( {n + 4}
ight)left( {n + 2}
ight)}}{{3!}} – frac{{left( {n + 2}
ight)left( {n + 1}
ight)}}{{3!}} = 7 Leftrightarrow 3n – 36 = 0 Leftrightarrow n = 12left( {nhan}
ight).$ Chọn D.
Câu 11.Tìm giá trị $n in mathbb{N}$ thỏa mãn $C_n^1 + C_n^2 + C_n^3 = frac{{7n}}{2}.$A. n = 3.B. n = 4.C. n = 6.D. n = 8.
Ta có $C_n^1 + C_n^2 + C_n^3 = frac{{7n}}{2} Leftrightarrow frac{{n!}}{{left( {n – 1}
ight)!}} + frac{{n!}}{{2!.left( {n – 2}
ight)!}} + frac{{n!}}{{3!left( {n – 3}
ight)!}} = frac{{7n}}{2}$$ Leftrightarrow {n^2} – 16 = 0 o n = 4.$ Chọn B.
Câu 12.Tính tổng S của tất cả các giá trị của x thỏa $C_x^1 + 6C_x^2 + 6C_x^3 = 9{x^2} – 14x.$A. S = 2.B. S = 7.C. S = 9.D. S = 14.
Điều kiện: $x ge 3$ và $x in mathbb{N}.$Ta có $C_x^1 + 6C_x^2 + 6C_x^3 = 9{x^2} – 14x Leftrightarrow frac{{x!}}{{1!.left( {x – 1}
ight)!}} + 6.frac{{x!}}{{2!.left( {x – 2}
ight)!}} + 6.frac{{x!}}{{3!.left( {x – 3}
ight)!}} = 9{x^2} – 14x$$ Leftrightarrow x + 3xleft( {x – 1}
ight) + left( {x – 2}
ight)left( {x – 1}
ight)x = 9{x^2} – 14x Leftrightarrow left< egin{array}{l}x = 0left( {loai} ight)\x = 2left( {loai} ight)\x = 7left( {nhan} ight)end{array} ight..$ Chọn B.
Câu 13.Tìm giá trị $n in mathbb{N}$ thỏa mãn $C_n^6 + 3C_n^7 + 3C_n^8 + C_n^9 = 2C_{n + 2}^8.$A. n = 18.B. n = 16.C. n = 15.D. n = 14.
Điều kiện: $n ge 9$ và $n in mathbb{N}.$Áp dụng công thức $C_n^k + C_n^{k + 1} = C_{n + 1}^{k + 1}$, ta có $C_n^6 + 3C_n^7 + 3C_n^8 + C_n^9 = 2C_{n + 2}^8$$ Leftrightarrow C_n^6 + C_n^7 + 2left( {C_n^7 + C_n^8}
ight) + C_n^8 + C_n^9 = 2C_{n + 2}^8 Leftrightarrow C_{n + 1}^7 + 2C_{n + 1}^8 + C_{n + 1}^9 = 2C_{n + 2}^8$$ Leftrightarrow left( {C_{n + 1}^7 + C_{n + 1}^8}
ight) + left( {C_{n + 1}^8 + C_{n + 1}^9}
ight) = 2C_{n + 2}^8 Leftrightarrow C_{n + 2}^8 + C_{n + 2}^9 = 2C_{n + 2}^8$$ Leftrightarrow C_{n + 2}^9 = C_{n + 2}^8 o n + 2 = 9 + 8 Leftrightarrow n = 15.$ Chọn C.

Câu 14.Đẳng thức nào sau đây là sai?A. $C_{2007}^7 = C_{2006}^7 + C_{2006}^6.$B. $C_{2007}^7 = C_{2006}^{2000} + C_{2006}^6.$C. $C_{2007}^7 = C_{2006}^{2000} + C_{2006}^{1999}.$D. $C_{2007}^7 = C_{2006}^7 + C_{2006}^{2000}.$
Áp dụng công thức $C_n^k + C_n^{k + 1} = C_{n + 1}^{k + 1}$, ta có $C_{2006}^6 + C_{2006}^7 = C_{2007}^7$. Do đó A đúng.Áp dụng công thức $C_n^k = C_n^{n – k} o left{ egin{array}{l} C_{2006}^6 = C_{2006}^{2000}\ C_{2006}^7 = C_{2006}^{1999} end{array}
ight..$Suy ra $C_{2007}^7 = C_{2006}^6 + C_{2006}^7 = C_{2006}^{2000} + C_{2006}^{1999} = C_{2006}^{2000} + C_{2006}^7$. Do đó C, D đúng; B sai.Chọn B.
Câu 15.Đẳng thức nào sau đây là đúng?A. $1 + 2 + 3 + 4 + … + n = C_{n + 1}^2.$B. $1 + 2 + 3 + 4 + … + n = A_{n + 1}^2.$C. $1 + 2 + 3 + 4 + … + n = C_n^1 + C_n^2 + …. + C_n^n.$D. $1 + 2 + 3 + 4 + … + n = A_n^1 + A_n^2 + …. + A_n^n.$
Ta có $1 + 2 + 3 + 4 + … + n = frac{{nleft( {n + 1}
ight)}}{2}$ và $C_{n + 1}^2 = frac{{left( {n + 1}
ight)!}}{{2!left( {n + 1 – 2}
ight)!}} = frac{{nleft( {n + 1}
ight)}}{2}.$Do đó A đúng. Chọn A.
Câu 16.Tính tích P của tất cả các giá trị của $n$ thỏa mãn ${P_n}A_n^2 + 72 = 6left( {A_n^2 + 2{P_n}}
ight).$A. P = 12.B. P = 5.C. P = 10.D. P = 6.
Điều kiện: $n ge 2$ và $n in mathbb{N}.$Ta có ${P_n}A_n^2 + 72 = 6left( {A_n^2 + 2{P_n}}
ight) Leftrightarrow n!.frac{{n!}}{{left( {n – 2}
ight)!}} + 72 = 6left< {frac{{n!}}{{left( {n - 2} ight)!}} + 2.n!} ight>$$ Leftrightarrow n!.left( {n – 1}
ight).n + 72 = 6left< {left( {n - 1} ight)n + 2.n!} ight> Leftrightarrow left( {n! – 6}
ight)left( {{n^2} – n – 12}
ight) = 0$$ Leftrightarrow left< egin{array}{l} {n^2} - n - 12 = 0\ n! - 6 = 0 end{array} ight. Leftrightarrow left< egin{array}{l} n = 4left( {nhan} ight)\ n = - 3left( {loai} ight)\ n = 3left( {nhan} ight) end{array} ight. o P = 4.3 = 12.$Chọn A.
Câu 17.Tính tích P của tất cả các giá trị của x thỏa mãn $7left( {A_{x + 1}^{x – 1} + 2{P_{x – 1}}}
ight) = 30{P_x}.$A. P = 7.B. P = 4.C. P = 28.D. P = 14.
Điều kiện: $x ge 1$ và $x in mathbb{N}$.Ta có $7left( {A_{x + 1}^{x – 1} + 2{P_{x – 1}}}
ight) = 30{P_x} Leftrightarrow 7left< {frac{{left( {x + 1} ight)!}}{{2!}} + 2left( {x - 1} ight)!} ight> = 30x!$$ Leftrightarrow 7left< {frac{{xleft( {x + 1} ight)}}{2} + 2} ight> = 30x Leftrightarrow 7{x^2} – 53x + 28 = 0 Leftrightarrow left< egin{array}{l}x = 7left( {nhan} ight)\x = frac{4}{7}left( {loai} ight)end{array} ight. o P = 7.$ Chọn A.
Câu 18.Tìm giá trị $n in mathbb{N}$ thỏa mãn $C_{n + 8}^{n + 3} = 5A_{n + 6}^3.$A. n = 15.B. n = 17.C. n = 6.D. n = 14.
Áp dụng công thức $C_n^k = C_n^{n – k}$, ta có $C_{n + 8}^{n + 3} = 5A_{n + 6}^3 Leftrightarrow C_{n + 8}^5 = 5.A_{n + 6}^3$$ Leftrightarrow frac{{left( {n + 8}
ight)left( {n + 7}
ight)}}{{5!}} = 5 Leftrightarrow {n^2} + 15n – 544 = 0 Leftrightarrow left< egin{array}{l}n = 17left( {nhan} ight)\n = - 32left( {nhan} ight)end{array} ight..$ Chọn B.
Câu 19.Tìm giá trị $x in mathbb{N}$ thỏa mãn $A_x^2.C_x^{x – 1} = 48.$A. x = 4.B. x = 3.C. x = 7.D. x = 12.
Điều kiện: $x ge 2$ và $x in mathbb{N}$.Ta có $A_x^2.C_x^{x – 1} = 48 Leftrightarrow frac{{x!}}{{left( {x – 2}
ight)!}}.frac{{x!}}{{left( {x – 1}
ight)!.1!}} = 48$$ Leftrightarrow left( {x – 1}
ight)x.x = 48 Leftrightarrow {x^3} – {x^2} – 48 = 0 Leftrightarrow x = 4left( {tho^u a ma~o n}
ight).$ Chọn A.
Câu 20.Tìm giá trị $n in mathbb{N}$ thỏa mãn $A_n^2 – C_{n + 1}^{n – 1} = 5.$A. n = 3.B. n = 5.C. n = 4.D. n = 6.
Điều kiện: $n ge 2$ và $n in mathbb{N}.$Ta có $A_n^2 – C_{n + 1}^{n – 1} = 5 Leftrightarrow frac{{n!}}{{left( {n – 2}
ight)!}} – frac{{left( {n + 1}
ight)!}}{{left( {n – 1}
ight)!2!}} = 5 Leftrightarrow left( {n – 1}
ight).n – frac{{nleft( {n + 1}
ight)}}{2} – 5 = 0$$ Leftrightarrow {n^2} – 3n – 10 = 0 Leftrightarrow left< egin{array}{l}n = - 2;left( {loai} ight)\n = 5left( {nhan} ight)end{array} ight..$ Chọn B.
Câu 21.Tính tích P của tất cả các giá trị của $n$ thỏa mãn $A_n^2 – 3C_n^2 = 15 – 5n.$A. P = 5.B. P = 6.C. P = 30.D. P = 360.
Điều kiện: $n ge 2$ và $n in mathbb{N}.$Ta có $A_n^2 – 3C_n^2 = 15 – 5n Leftrightarrow frac{{n!}}{{left( {n – 2}
ight)!}} – 3.frac{{n!}}{{2!.left( {n – 2}
ight)!}} = 15 – 5n$$ Leftrightarrow nleft( {n – 1}
ight) – 3frac{{nleft( {n – 1}
ight)}}{2} = 15 – 5n Leftrightarrow – {n^2} + 11n – 30 = 0 Leftrightarrow left< egin{array}{l}n = 6left( {nhan} ight)\n = 5left( {nhan} ight)end{array} ight.$-> P = 5.6 = 30Chọn C.
Câu 22.Tìm giá trị $x in mathbb{N}$ thỏa mãn $3A_x^4 = 24left( {A_{x + 1}^3 – C_x^{x – 4}}
ight).$A. x = 3.B. x = 1.C. x = 5.D. $x = 1;{
m{ }}x = 5.$
Điều kiện: $x ge 4$ và $x in mathbb{N}$.Ta có $3A_x^4 = 24left( {A_{x + 1}^3 – C_x^{x – 4}}
ight) Leftrightarrow 23.frac{{x!}}{{left( {x – 4}
ight)!}} = 24.left< {frac{{left( {x + 1} ight)!}}{{left( {x - 2} ight)!}} - frac{{x!}}{{left( {x - 4} ight)!.4!}}} ight>$$ Leftrightarrow 23.frac{1}{{left( {x – 4}
ight)!}} = 24.left< {frac{{x + 1}}{{left( {x - 2} ight)!}} - frac{1}{{left( {x - 4} ight)!.4!}}} ight> Leftrightarrow 23.frac{1}{1} = 24.left< {frac{{x + 1}}{{left( {x - 2} ight)left( {x - 3} ight)}} - frac{1}{{1.24}}} ight>$$ Leftrightarrow 23 = 24.frac{{x + 1}}{{left( {x – 2}
ight)left( {x – 3}
ight)}} – 1 Leftrightarrow frac{{x + 1}}{{left( {x – 2}
ight)left( {x – 3}
ight)}} = 1 Leftrightarrow left< egin{array}{l}x = 1left( {loai} ight)\x = 5left( {nhan} ight)end{array} ight..$ Chọn C.
Câu 23.Có bao nhiêu số tự nhiên $n$ thỏa mãn $frac{{A_{n + 4}^4}}{{left( {n + 2}
ight)!}} B. 2C. 3D. Vô số.
Điều kiện: $n in mathbb{N}$.Ta có $frac{{A_{n + 4}^4}}{{left( {n + 2}
ight)!}} $ Leftrightarrow left( {n + 3}
ight)left( {n + 4}
ight) Câu 24.Có bao nhiêu số tự nhiên $n$ thỏa mãn $2C_{n + 1}^2 + 3A_n^2 – 20 B. 2C. 3D. Vô số.
Điều kiện: $n ge 2$ và $n in mathbb{N}$.Ta có $2C_{n + 1}^2 + 3A_n^2 – 20 $ Leftrightarrow nleft( {n + 1}
ight) + 3left( {n – 1}
ight)n – 20 Câu 25.Có bao nhiêu số tự nhiên $n$ thỏa mãn $2C_{n + 1}^2 + {
m{ }}3A_n^2 B. 2C. 3D. Vô số.
Điều kiện: $n ge 2$ và $n in mathbb{N}$.Ta có $2C_{n + 1}^2 + {
m{ }}3A_n^2 $ Leftrightarrow nleft( {n + 1}
ight) + 3left( {n – 1}
ight)x Câu 26.Có bao nhiêu số tự nhiên $n$ thỏa mãn $14.{P_3}C_{n – 1}^{n – 3} B. 2C. 3D. Vô số.
Điều kiện: $n ge 3$ và $n in mathbb{N}$.Ta có $14.{P_3}C_{n – 1}^{n – 3} $egin{array}{l} Leftrightarrow 42left( {n – 2}
ight)left( {n – 1}
ight) 0 Leftrightarrow left< egin{array}{l}n 6end{array} ight.end{array}$$ o left{ egin{array}{l}n ge 7\n in mathbb{N}end{array} ight..$ Chọn D.
Câu 27.Giải hệ phương trình $left{ egin{array}{l}C_x^y – C_x^{y + 1} = 0\4C_x^y – 5C_x^{y – 1} = 0end{array}
ight..$A. $left{ egin{array}{l}x = 17\y = 8end{array}
ight..$B. $left{ egin{array}{l}x = 17\y = – 8end{array}
ight..$C. $left{ egin{array}{l}x = 9\y = 8end{array}
ight..$D. $left{ egin{array}{l}x = 7\y = 9end{array}
ight..$
Điều kiện: $x ge y + 1$ và $x,y in mathbb{N}$.Ta có $left{ {egin{array}{*{20}{l}}{C_x^y – C_x^{y + 1} = 0}&{left( 1
ight)}\{4C_x^y – 5C_x^{y – 1} = 0}&{left( 2
ight)}end{array}}
ight.$.Phương trình $left( 1
ight) Leftrightarrow C_x^y = C_x^{y + 1} Leftrightarrow y + y + 1 = x Leftrightarrow x – 2y – 1 = 0$.Phương trình $left( 2
ight) Leftrightarrow 4C_x^y = 5C_x^{y – 1} Leftrightarrow 4.frac{{x!}}{{y!.left( {x – y}
ight)!}} = 5.frac{{x!}}{{left( {y – 1}
ight)!.left( {x – y + 1}
ight)!}}$$ Leftrightarrow frac{4}{y} = frac{5}{{x – y + 1}} Leftrightarrow 4x – 9y + 4 = 0.$Do đó hệ phương trình đã cho $ Leftrightarrow left{ egin{array}{l}x – 2y – 1 = 0\4x – 9y + 4 = 0end{array}
ight. Leftrightarrow left{ egin{array}{l}x = 17\y = 8end{array}
ight.left( {tho^u a ma~o n}
ight).$ Chọn A.
Câu 28.Tìm cặp số $left( {x;y}
ight)$ thỏa mãn $frac{{C_{x + 1}^y}}{6} = frac{{C_x^{y + 1}}}{5} = frac{{C_x^{y – 1}}}{2}.$A. $left( {x;y}
ight) = left( {8;3}
ight).$B. $left( {x;y}
ight) = left( {3;8}
ight).$C. $left( {x;y}
ight) = left( { – 1;0}
ight).$D. $left( {x;y}
ight) = left( { – 1;0}
ight),{
m{ }}left( {x;y}
ight) = left( {8;3}
ight).$
Điều kiện: $x ge y + 1$ và $x,y in mathbb{N}$.$frac{{C_{x + 1}^y}}{6} = frac{{C_x^{y + 1}}}{5} Leftrightarrow 5.C_{x + 1}^y = 6.C_x^{y + 1} Leftrightarrow frac{{5left( {x + 1}
ight)!}}{{y!left( {x + 1 – y}
ight)!}} = frac{{6x!}}{{left( {y + 1}
ight)!left( {x – y – 1}
ight)!}}$$ Leftrightarrow frac{{5left( {x + 1}
ight)}}{{left( {x – y}
ight)left( {x – y + 1}
ight)}} = frac{6}{{left( {y + 1}
ight)}} Leftrightarrow 5left( {y + 1}
ight)left( {x + 1}
ight) = 6left( {x – y}
ight)left( {x – y + 1}
ight)$. $left( 1
ight)$$frac{{C_x^{y + 1}}}{5} = frac{{C_x^{y – 1}}}{2} Leftrightarrow 2.C_x^{y + 1} = 5.C_x^{y – 1} Leftrightarrow frac{{x!}}{{5.left( {y + 1}
ight)!.left( {x – y – 1}
ight)!}} = frac{{x!}}{{2.left( {y – 1}
ight)!.left( {x – y + 1}
ight)!}}$$ Leftrightarrow frac{1}{{5.yleft( {y + 1}
ight)}} = frac{1}{{2.left( {x – y}
ight)left( {x – y + 1}
ight)}}$ $ Leftrightarrow 5.yleft( {y + 1}
ight) = 2.left( {x – y}
ight)left( {x – y + 1}
ight) Leftrightarrow 15.yleft( {y + 1}
ight) = 6.left( {x – y}
ight)left( {x – y + 1}
ight)$. $left( 2
ight)$Từ $left( 1
ight)$ và $left( 2
ight)$, suy ra $ Leftrightarrow 5left( {y + 1}
ight)left( {x + 1}
ight) = 15.yleft( {y + 1}
ight) Leftrightarrow x + 1 = 3y$. Thay vào $left( 1
ight)$, ta được$ Leftrightarrow 15left( {y + 1}
ight)y = 6left( {2y – 1}
ight)2y Leftrightarrow 3{y^2} – 9y = 0 Leftrightarrow left< egin{array}{l}y = 0 o x = - 1left( {loai} ight)\y = 3 o x = 8left( {nhan} ight)end{array} ight..$ Chọn A.
Câu 29.Giải hệ phương trình $left{ egin{array}{l}C_y^x:C_{y + 2}^x = frac{1}{3}\C_y^x:A_y^x = frac{1}{{24}}end{array}
ight..$A. $left{ egin{array}{l}x = 4\y = 1end{array}
ight..$B. $left{ egin{array}{l}x = 4\y = 8end{array}
ight..$C. $left{ egin{array}{l}x = 4\y = 1end{array}
ight.,{
m{ }}left{ egin{array}{l}x = 4\y = 8end{array}
ight..$D. $left{ egin{array}{l}x = 1\y = 8end{array}
ight..$
Điều kiện: $y ge x$ và $x,y in mathbb{N}$.Ta có $left{ {egin{array}{*{20}{l}}{C_y^x:C_{y + 2}^x = frac{1}{3}}&{left( 1
ight)}\{C_y^x:A_y^x = frac{1}{{24}}}&{left( 2
ight)}end{array}}
ight..$Phương trình $left( 2
ight) Leftrightarrow frac{{C_y^x}}{{A_y^x}} = frac{1}{{24}} Leftrightarrow 24C_y^x = A_y^x Leftrightarrow 24.frac{{y!}}{{x!left( {y – x}
ight)!}} = frac{{y!}}{{left( {y – x}
ight)!}} Leftrightarrow frac{{24}}{{x!}} = 1 Leftrightarrow x = 4$.Thay $x = 4$ vào $left( 1
ight)$, ta được $frac{{C_y^4}}{{C_{y + 2}^4}} = frac{1}{3} Leftrightarrow 3C_y^4 = C_{y + 2}^4 Leftrightarrow 3.frac{{y!}}{{4!.left( {y – 4}
ight)!}} = frac{{left( {y + 2}
ight)!}}{{4!.left( {y – 2}
ight)!}}$$ Leftrightarrow frac{3}{1} = frac{{left( {y + 1}
ight)left( {y + 2}
ight)}}{{left( {y – 3}
ight)left( {y – 2}
ight)}} Leftrightarrow {y^2} – 9y + 8 = 0 Leftrightarrow left< egin{array}{l}y = 1 4 = xleft( {nhan} ight)end{array} ight..$ Chọn B. Xem thêm: Khóa Học Lập Trình Theme WordPress Chuyên Sâu, Lập Trình Theme Cho WordPress

Câu 30.Giải hệ phương trình $left{ egin{array}{l}2A_x^y + 5C_x^y = 90\5A_x^y – 2C_x^y = 80end{array}
ight.$.A. $left{ egin{array}{l}x = 5\y = 2end{array}
ight..$B. $left{ egin{array}{l}x = 20\y = 10end{array}
ight..$C. $left{ egin{array}{l}x = 2\y = 5end{array}
ight..$D. $left{ egin{array}{l}x = 6\y = 3end{array}
ight..$
Điều kiện: $x ge y$ và $x,y in mathbb{N}$.Đặt $left{ egin{array}{l}u = A_x^y\v = C_x^yend{array}
ight.$, ta được $left{ egin{array}{l}2u + 5v = 90\5u – 2v = 80end{array}
ight. Leftrightarrow left{ egin{array}{l}u = 20\v = 10end{array}
ight.$.Ta có $A_n^k = k!C_n^k o u = y!.v Leftrightarrow 20 = y!.10 Leftrightarrow y! = 2 Leftrightarrow y = 2.$Với $u = 20$, suy ra $A_x^y = 20 Leftrightarrow A_x^2 = 20 Leftrightarrow frac{{x!}}{{left( {x – 2}
ight)!}} = 20 Leftrightarrow left( {x – 1}
ight)x = 20 Leftrightarrow left< egin{array}{l}x = 5\x = - 4left( {loai} ight)end{array} ight..$Vậy hệ phương trình có nghiệm $left{ egin{array}{l}x = 5\y = 2end{array} ight..$ Chọn A.