Phương Trình Tiếp Tuyến Đi Qua Gốc Tọa Độ Và Điểm A (, Bài Giảng Toán 11

¾ Điều kiện cần và đủ để hai đường

và

tiếp xúc nhau hệ

có nghiệm (nhớ: “hàm hàm, đạo đạo”)

II – Các dạng toán viết phương trình tiếp tuyến thường gặp

� Viết PTTT của biết có hệ số góc k cho trước

¾ Gọi là tiếp điểm. Tính

.

¾ Do phương trình tiếp tuyến có hệ số góc k

¾ Giải tìm được

.

Đang xem: Phương trình tiếp tuyến đi qua gốc tọa độ

Lưu ý. hệ số góc của tiếp tuyến thường cho gián tiếp như sau:

¾ Phương trình tiếp tuyến

.

¾ Phương trình tiếp tuyến

.

¾ Phương trình tiếp tuyến tạo với trục hoành góc

.

¾ Phương trình tiếp tuyến tạo với

góc

‚ Viết PTTT của biết đi qua (kẻ từ) điểm

¾ Gọi là tiếp điểm. tính

và

theo .

¾ Phương trình tiếp tuyến tại là .

¾ Do

¾ Giải phương trình

và

phương trình .

ƒ Viết PTTT của biết cắt hai trục tọa độ tại A và B sao cho tam giác OAB vuông cân hoặc có diện tích S cho trước

¾ Gọi

là tiếp điểm và tính hệ số góc theo .

¾

vuông cân tạo với Ox một góc và

Đề cho

¾ Giải hoặc

phương trình tiếp tuyến .

„ Tìm những điểm trên đường thẳng

mà từ đó vẽ được

tiếp tuyến với đồ thị hàm số

¾ Gọi

(sao cho có một biến

trong M)

¾ PTTT qua M và có hệ số góc k có dạng .

¾ Áp dụng điều kiện tiếp xúc:

¾ Thế k từ vào được:

¾ Số tiếp tuyến của vẽ từ

số nghiệm x của .

… Tìm những điểm

mà từ đó vẽ được hai tiếp tuyến với đồ thị hàm số và hai tiếp tuyến đó vuông góc nhau

¾ PTTT qua M và có hệ số góc k có dạng .

¾ Áp dụng điều kiện tiếp xúc:

¾ Thế k từ vào được:

¾ Qua M vẽ được hai tiếp tuyến với

có hai nghiệm phân biệt .

¾ Hai tiếp tuyến đó vuông góc nhau

.

Lưu ý.

¾

có hai nghiệm phân biệt .

Qua M vẽ được hai tiếp tuyến với

sao cho hai tiếp điểm nằm về hai phía với trục hoành thì

¾ Đối với bài toán tìm điểm

sao cho tại đó tiếp tuyến song song hoặc vuông góc với đường thẳng d cho trước, ta chỉ cần gọi và là tiếp tuyến với

. Rồi áp dụng

nếu cho song song và

nếu cho vuông góc

.

BÀI TẬP TỔNG HỢP

Cho đường cong

. Viết phương trình tiếp tuyến của trong các trường hợp sau:

a) Tại điểm

.

b) Tại điểm thuộc và có hoành độ

.

c) Tại giao điểm của với trục hoành .

d) Biết tiếp tuyến đi qua điểm

.

LỜI GIẢI

Ta có

a). Ta có

Vậy phương trình tiếp tuyến tại điểm

:

b). Ta có

Vậy phương trình tiếp tuyến tại điểm

là

.

c). Phương trình hoành độ giao điểm của với trục hoành:

Với

Vậy phương trình tiếp tuyến tại điểm

là

Với

Vậy phương trình tiếp tuyến tại điểm

là

.

d). Gọi

là tọa độ tiếp điểm của phương trình tiếp tuyến d đi qua điểm A

Vì điểm

, và

Phương trình d:

Vì

nên:

Với

, phương trình tiếp tuyến

Với

, phương trình tiếp tuyến

Cho đường cong

. a). Viết phương trình tiếp tuyến của biết tiếp tuyến song song với đường thẳng

. b). Viết phương trình tiếp tuyến của biết tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng

. c). Viết phương trình tiếp tuyến của biết tiếp tuyến tạo với đường thẳng :

một góc .

Tập xác định

. Ta có

a). Có

Vì tiếp tuyến song song với d nên

.

Gọi

là tọa độ tiếp điểm của tiếp tuyến, ta có

Với

, phương trình tiếp tuyến tại điểm này là:

(loại, vì trùng với d).

Với

, phương trình tiếp tuyến tại điểm này là:

.

b).

Vì tiếp tuyến vuông góc với nên,

Gọi

là tọa độ tiếp điểm của tiếp tuyến, ta có

.

Với

, phương trình tiếp tuyến tại điểm này là:

Với

, phương trình tiếp tuyến tại điểm này là:

.

c).

Ta có tiếp tuyến hợp với d một góc 300, nên có

Cho hàm số

a). Viết phương trình tiếp tuyến của (C) tại điểm M(2; 4).

b). Viết phương trình tiếp tuyến của (C) biết tiếp tuyến có hệ số góc

.

LỜI GIẢI

Ta có:

a). Ta có

Phương trình tiếp tuyến của (C) tại điểm M(2; 4) là

b). Gọi là hoành độ tiếp điểm của tiếp tuyến với đồ thị, ta có

(vô lý).

Kết luận không có tiếp tuyến nào có hệ số góc bằng 1.

Cho hàm số (C):

. Tìm phương trình tiếp tuyến với (C):

a) Tại điểm có hoành độ

.

b) Song song với đường thẳng (d): x + 2y = 0.

LỜI GIẢI

Tập xác định

. Ta có

a). Với

Vậy phương trình tiếp tuyến tại điểm

là

.

b). Ta có

Vì tiếp tuyến song song với d nên,

. Gọi là hoành độ tiếp điểm của tiếp tuyến với đồ thị, ta có

So với điều kiện

(nhận), (loại)

Với

, phương trình tiếp tuyến tại điểm

là:

.

Cho hàm số

. Trong tất cả các tiếp tuyến của đồ thị , hãy tìm tiếp tuyến có hệ số góc nhỏ nhất.

LỜI GIẢI

Ta có

Gọi là hoành độ tiếp điểm của tiếp tuyến, vậy

Ta có

Vậy

tại

Suy ra phương trình tiếp tuyến cần tìm:

Cho hàm số

. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số (1), biết tiếp tuyến đó cắt trục hoành, trục tung lần lượt tại hai điểm phân biệt A, B và tam giác OAB cân tại gốc tọa độ O. (Khối A – 2009) .

LỜI GIẢI

Tập xác định

. Ta có

Vì tiếp tuyến (d) cắt hai trục Ox, Oy lần lượt tại A, B tạo thành tam giác OAB vuông cân, nên đường thẳng (d) hợp với trục Ox một góc 450.

Vậy có

Gọi là hoành độ tiếp điểm của tiếp tuyến, ta có

Với

(phương trình vô nghiệm).

Với

Với

, phương trình tiếp tuyến tại điểm này

. Tiếp tuyến này loại vì đường thẳng này đi qua gốc tọa độ nên không tạo thành được tam giác.

Với

, phương trình tiếp tuyến tại điểm này

Cho hàm số

, m là tham số thực. Tìm các giá trị của m để tiếp tuyến của đồ thị của hàm số (1) tại điểm có hoành độ đi qua điểm . (Dự bị A1 – 2008)

LỜI GIẢI

Tập xác định

Với

,

Phương trình tiếp tuyến tại điểm :

(d).

Ta có

.

Cho hàm số

. Tính diện tích của tam giác tạo bởi các trục tọa độ và tiếp tuyến của đồ thị của hàm số (1) tại điểm .(Dự bị D1 – 2008)

LỜI GIẢI

Tập xác định . Có

.

Phương trình tiếp tuyến (d) tại điểm :

Gọi A là giao điểm của d và trục hoành

, vậy

Gọi B là giao điểm của d và trục tung

, vậy

.

Ta có tam giác OAB vuông tại O nên

Cho hàm số

. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị biết tiếp tuyến tạo với đường thẳng

góc .

LỜI GIẢI

Tập xác định . Ta có

Vì tiếp tuyến tạo với đường thẳng d một góc nên thỏa

Gọi là hoành độ tiếp điểm

Với

. Phương trình tiếp tuyến tại điểm (0 ; 4):

.

Với

Với

, phương trình tiếp tuyến

.

Với

, phương trình tiếp tuyến

.

Cho hàm số

. Trong tất cả các tiếp tuyến của đồ thị , hãy tìm tiếp tuyến có hệ số góc lớn nhất.

LỜI GIẢI

Tập xác định . Ta có

Gọi là hoành độ tiếp điểm của tiếp tuyến, ta có

Từ đó suy ra

tại .

Với

, phương trình tiếp tuyến cần tìm:

Cho hàm số

. Gọi

. Tìm điểm sao cho tiếp tuyến của tại vuông góc với đường thẳng

.(Dự bị B2 – 2003)

Xem thêm: (Doc) Đồ Án Nguyên Lý Chi Tiết Máy Spkt Đề 2, Đồ Án Nguyên Lý Chi Tiết Máy Đề 2: Trường Spkt

LỜI GIẢI

Tập xác định . Ta có

Gọi

Ta có

Hệ số góc của tiếp tuyến tại M

Vì tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng IM nên có

Vậy có 2 điểm

thỏa yêu cầu bài toán.

Cho hàm số

. Tìm điểm , biết tiếp tuyến của tại cắt hai trục tọa độ tại

và tam giác

có diện tích bằng

.(Khối D – 2007)

LỜI GIẢI

Tập xác định . Ta có

Gọi

Phương trình tiếp tuyến của (C) tại M:

Gọi

là giao điểm của d và trục Ox, có

. Vậy

Gọi B là giao điểm của d và trục Oy, có

. Vậy

Ta có tam giác OAB cân tại O, theo giả thiết ta có:

Với

phương trình vô nghiệm.

Với

Với

ta có . Với

ta có

Vậy có hai điểm M thỏa mãn yêu cầu bài toán là ,

(*) Cho hàm số

. Qua điểm

có thể kẻ được mấy tiếp tuyến đến đồ thị . Viết phương trình các tiếp tuyến ấy .

LỜI GIẢI

Cho hai hàm số

và

. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị của các hàm số đã cho tại giao điểm của chúng. Tìm góc giữa hai tiếp tuyến trên.

LỜI GIẢI

Cho hàm số :

.

a) Viết phương trình tiếp tuyến của tại điểm

;

b) Vết phương trình tiếp tuyến của tại giao điểm của với trục hoành;

c) Viết phương trình tiếp tuyến của tại giao điểm của với trục tung ;

d) Viết phương trình tiếp tuyến của bết tiếp tuyến song song với đường thẳng

;

e) Viết phương trình tiếp tuyến của biết tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng

.

LỜI GIẢI

Tìm các điểm trên đồ thị

mà tiếp tuyến tại đó vuông góc với đường thẳng

.

LỜI GIẢI

Tập xác định . Ta có

Gọi

là tọa độ tiếp điểm của tiếp tuyến d với đồ thị (C), sao cho d vuông góc với đường thẳng

.

Phương trình tiếp tuyến d là:

.

(d) vuông góc với ( ) khi và chỉ khi

Kết luận có hai tọa độ điểm M cần tìm là

và

.

Cho đồ thị

.Tìm m để tiếp tuyến tại giao điểm của với Ox song song với đường thẳng d: .

LỜI GIẢI

Tập xác định

. Ta có

.

Tọa độ giao điểm của và trục Ox là

. Phương trình tiếp tuyến của tại điểm A là:

.

Để song song với d: khi và chỉ khi:

.

Kết luận

thỏa yêu cầu.

Cho hàm số (C): y =

. Viết phương trình tiếp tuyến đi qua

của đồ thị (C).

LỜI GIẢI

Tập xác định

. Ta có

Gọi

là tọa độ tiếp điểm của tiếp tuyến (d) cần tìm với đồ thị hàm số (C) nên

và

. Phương trình tiếp tuyến (d):

Ta có

.

Kết luận có hai tiếp tuyến cần tìm là

và

.

Gọi (Cm) là đồ thị của hàm số

(m là tham số).

Gọi M là điểm thuộc (Cm) có hoành độ bằng

. Tìm m để tiếp tuyến của (Cm) tại điểm M song song với đường thẳng

LỜI GIẢI

Tập xác định . Ta có

Điểm thuộc có hoành độ là

Phương trình tiếp tuyến của tại M là:

Để song song với d:

khi và chỉ khi:

.

Kết luận

.

Cho hàm số

. Viết phương trình tiếp tuyến của (1), biết tiếp tuyến đi qua điểm

.

LỜI GIẢI

Tập xác định . Có

.

Gọi

là tọa độ tiếp điểm của tiếp tuyến (d) cần tìm với đồ thị hàm số (1) nên

và

. Phương trình tiếp tuyến (d):

Ta có

Kết luận có hai tiếp tuyến cần tìm là

và

.

Cho đồ thị (C):

. Viết phương trình tiếp tuyến của (C) tại giao điểm của (C) với Ox.

LỜI GIẢI

Tập xác định . Ta có

Phương trình hoành độ giao điểm của (C) và trục Ox:

(loại). Với

Phương trình tiếp tuyến tại

của (C):

.

Phương trình tiếp tuyến tại

của (C):

.

Tìm

sao cho tiếp tuyến của tại

song song với nhau và vuông tại O ?

LỜI GIẢI

● Gọi

. Ta có:

.

● Tiếp tuyến tại A và B lần lượt có hệ số góc:

.

● Do tiếp tuyến tại A và B song song nhau nên

● Do ba điểm

tạo thành tam giác vuông tại O nên

.

● Vậy

hoặc

là các điểm cần tìm.

Tìm những điểm

sao cho tiếp tuyến với tại M tạo với hai trục tọa độ một tam giác có trọng tâm nằm trên đường thẳng

?

LỜI GIẢI

● Gọi

và tiếp tuyến tại điểm M có phương trình

● Gọi

.

● Khi đó tọa độ trọng tâm của là

.

● Do

nên

hoặc

.

Tìm

biết rằng tiếp tuyến của đồ thị tại điểm

cắt đồ thị tại B (khác điểm A) thỏa:

?

LỜI GIẢI

● Gọi

và phương trình tiếp tuyến tại điểm A có dạng

.

● Ta có

có hoành độ nghiệm của phương trình hoành độ giao điểm:

● Theo giả thiết, ta có:

.

Xem thêm: văn nghị luận lớp 8 khi con tu hú

Cho hàm số

.Tìm điểm M thuộc (C), sao cho tiếp tuyến của (C) tại M cắt (C) tại điểm thứ hai là N và

.

LỜI GIẢI

Gọi

. Phương trì