Phương Trình Nguyên Hàm – Bảng Nguyên Hàm Các Hàm Số Thường Gặp (Đầy Đủ)

Đổi biến số là một trong những phương pháp tính nguyên hàm được sử dụng thường xuyên, đây là phương pháp hiệu quả để đưa bài toán nguyên hàm dạng phức tạp thành những bài toán nguyên hàm cơ bản.

Đang xem: Phương trình nguyên hàm

Vậy cách tính nguyên hàm bằng phương pháp đổi biến số cụ thể như thế nào? được vận dụng để tính nguyên hàm của hàm vô tỉ, hàm hữu tỉ, hay hàm lượng giác,... , chúng ta hãy cùng tìm hiểu qua bài viết dưới đây, đồng thời vận dụng phương pháp này để giải một số bài tập tìm nguyên hàm.

I. Công thức nguyên hàm

* Công thức nguyên hàm cơ bản (hàm vô tỉ, hữu tỉ, hàm mũ, hàm e, hàm lượng giác)

 1. 

 2. 

 3. 

 4.

 5. 

 6. 

 7. 

 8. 

 15. 

 16.

 17. 

 18.

 19. 

 20. 

 21. 

 22. 

 23. 

 24. 

* Công thức nguyên hàm nâng cao (hàm hữu tỉ, hàm căn, hàm mũ e, hàm lượng giác)

 25. 

 26. 

 27. 

 28.

 29. 

 30.

 31. 

 32 

 33. 

 34. 

 35. 

II. Phương pháp tính nguyên hàm bằng cách đổi biến số

– Phương pháp đổi biến số để xác định nguyên hàm có hai dạng dựa trên định lý sau:

a) Nếu 

và

 là hàm số có đạo hàm thì 

b) Nếu hàm số f(x) liên tục thì khi đặt x = φ(t) trong đó φ(t) cùng với đạo hàm của nó φ”(t) là những hàm số liên tục, ta sẽ được:

– Từ đó ta trình bày hai bài toán về phương pháp đổi biến (phép biến đổi 1 thì x là hàm theo t, phép biến đổi 2 thì t là hàm theo x) cụ thể như sau:

* Bài toán 1: Sử dụng phương pháp đổi biến số dạng 1 tìm nguyên hàm I = ∫f(x)dx

* Phương pháp:

– Ta thực hiện theo các bước:

+ Bước 1: Chọn x = φ(t), trong đó φ(t) là hàm số mà ta chọn cho thích hợp.

+ Bước 2: Lấy vi phân 2 vế, dx = φ”(t)dt.

Xem thêm: Bài Tập Tự Luận Tiếng Anh 7 Unit 4 At School, Bài Tập Tự Luận Unit 4, 5, 6 Tiếng Anh Lớp 7

+ Bước 3: Biểu thị f(x)dx theo t và dt: f(x)dx = f<φ(t)>.φ”(t)dt = g(t)dt.

+ Bước 4: Khi đó I = ∫g(t)dt = G(t) + C

* Lưu ý: Các dấu hiệu dẫn tới việc lựa chọn ẩn phụ kiểu trên thông thường là:

+ Dấu hiệu 

 đặt

 với

 hoặc 

 với 

.

+ Dấu hiệu

 đặt 

 với 

 hoặc 

 với 

+ Dấu hiệu 

 đặt

 với 

 Ví dụ 2: Tính tích phân bất định 

* Lời giải:

 – Ta có, x2 + 2x + 3 = x2 + 2x + 1 + 2 = (x+1)2 + (√2)2 nên

 Đặt: x + 1 = √2tan(t). 

– Ta có: 

– Khi đó: 

 (*)

– Mà 

 tha vào (*) ta được kết quả.

Xem thêm: cách phòng tránh virus máy tính tin học 9

 Ví dụ 3: Tính tích phân bất định sau:

* Lời giải: 

– ĐK: x2 – 1 >0 ⇔ x > 1 hoặc x 1

 – Đặt 

 – Nên có: 

⇒

+ TH2: x * Lời giải:

 – Đặt 

 đặt 

+ Dấu hiệu 

 đặt

 với 

+ Dấu hiệu 

 với x + a > 0 và x + b > 0 đặt 

; với x + a * Lời giải:

– Đặt 

– Khi đó,

⇒ 

 Ví dụ 2: Tính tích phân bất định sau: 

* Lời giải:

– Đặt

– Khi đó: 

 ⇒ 

 Ví dụ 3: Tính tích phân bất định: 

* Lời giải: 

– Đặt 

; 

⇒ 

 Ví dụ 4: Tìm nguyên hàm: 

* Lời giải:

– Đặt

– Khi đó:

⇒ 

 Ví dụ 5: Tìm nguyên hàm của 

* Lời giải:

– Đặt 

– Khi đó: 

⇒ 

 Ví dụ 6: Tính tính phân bất định 

* Lời giải:

– Đặt 

– Khi đó: I

 Ví dụ 7: Tìm nguyên hàm của 

* Lời giải:

– Ta xét 2 trường hợp:

+ TH1: 

– Đặt 

– Khi đó: 

+ TH2: 

b) 

c) 

d) 

* Lời giải Bài 3 trang 103 sgk giải tích 12:

a) Đặt 

– Ta có: 

b) Đặt 

– Ta có: 

c) Đặt 

– Ta có: 

d) Đặt 

– Ta có: 

Hy vọng với bài viết về cách tìm nguyên hàm bằng phương pháp đặt biến số và bài tập vận dụng có lời giải ở trên hữu ích cho các em. Mọi thắc mắc và góp y các em vui lòng để lại bình luận dưới bài viết để lingocard.vn ghi nhận và hỗ trợ, chúc các em học tập tốt.