Một Số Phương Trình Đối Xứng Bậc Chẵn, Một Số Phương Pháp Giải Phương Trình Bậc Cao

Hệ phương trình đối xứng là một dạng toán thường gặp trong chương trình thi tuyển sinh lớp 10 cũng như thi tốt nghiệp THPT Quốc gia. Vậy hệ phương trình đối xứng là gì? Các dạng hệ phương trình đối xứng và phương pháp giải? Cách nhận biết cũng như lý thuyết và bài tập hệ phương trình đối xứng loại 1, loại 2?… Trong nội dung bài viết dưới đây, lingocard.vn sẽ giúp bạn tổng hợp kiến thức về chủ đề này nhé!

Mục lục

2 Cách phân loại hệ phương trình đối xứng3 Cách nhận biết hệ phương trình đối xứng 4 Các phương pháp giải hệ phương trình đối xứng loại 1 6 Các phương pháp giải hệ phương trình đối xứng loại 28 Phương trình có hệ số đối xứng là gì?

Hệ phương trình đối xứng là gì?

Hệ phương trình đối xứng là hệ phương trình mà khi ta thay đổi vai trò của ( x,y ) cho nhau thì hệ phương trình không thay đổi. Trong đó chúng ta chia làm hai loại hệ phương trình đối xứng cơ bản là loại 1 và loại 2.

Đang xem: Phương trình đối xứng bậc chẵn

Cách phân loại hệ phương trình đối xứng

Định nghĩa hệ phương trình đối xứng loại 1 là gì?

Là hệ phương trình mà khi ta thay đổi vai trò ( x;y ) thì từng phương trình không thay đổi hay nói cách khác, hệ phương trình đối xứng loại 1 (HPTDXL1) là hệ phương trình mà hai ẩn ( x;y ) đối xứng trong mỗi phương trình

(left{egin{matrix} f(x;y)=0\g(x;y)=0 end{matrix}
ight.) trong đó: (left{egin{matrix} f(x;y)=f(y;x)\g(x;y)=g(y;x) end{matrix}
ight.)

Hệ phương trình đối xứng loại 1 hai ẩn

Định nghĩa hệ phương trình đối xứng loại 2 là gì?

Là hệ phương trình mà khi ta thay đổi vai trò ( x;y ) thì phương trình này trở thành phương trình kia và ngược lại hay nói cách khác, hệ phương trình đối xứng loại 2 (HPTDXL2) là hệ phương trình gồm 2 phương trình đối xứng nhau

(left{egin{matrix} f(x;y)=0\f(y;x)=0 end{matrix}
ight.)

Hệ phương trình đối xứng loại 2 hai ẩn

Cách nhận biết hệ phương trình đối xứng 

Cách nhận biết hệ phương trình đối xứng loại 1

Để nhận biết hệ phương trình đối xứng loại 1 thì chúng ta xét từng phương trình, thử đổi (x
ightarrow y ; y
ightarrow x) xem phương trình mới thu được có giống như phương trình ban đầu hay không.

Ví dụ:

Hệ (left{egin{matrix} x^2+2x+2y+y^2-1=0 \ x^3+y^3+xy=1 end{matrix}
ight.) là hệ phương trình đối xứng loại 1.

Hệ (left{egin{matrix} x^3-y^3+xy=1\ x^2+2xy+x+y+y^2=3 end{matrix}
ight.) không phải là hệ phương trình đối xứng loại 1.

Cách nhận biết hệ phương trình đối xứng loại 2

Để nhận biết hệ phương trình đối xứng loại 1 thì chúng ta xét phương trình thứ nhất, thử đổi (x
ightarrow y ; y
ightarrow x) xem phương trình mới thu được có giống như phương trình thứ hai hay không? Làm tương tự với phương trình thứ hai.

Ví dụ:

Hệ (left{egin{matrix} x^3-x^2y=x\ y^3-xy^2=y end{matrix}
ight.) là hệ phương trình đối xứng loại 2

Hệ (left{egin{matrix} x^2-xy=y\ y^2+xy=x end{matrix}
ight.) không là hệ phương trình đối xứng

Các phương pháp giải hệ phương trình đối xứng loại 1 

Phương pháp đặt ẩn tổng tích

Đây là phương pháp chung để giải các hệ phương trình đối xứng loại 1.

Bước 1: Đặt ( S=x+y ; P=x.y ) . Biến đổi từng phương trình về phương trình mới theo ( 2 ) ẩn ( S;P )Bước 2: Giải hệ phương trình tìm ra ( S;P ) thỏa mãn ( S^2 geq 4P )

Để biến đổi được hệ phương trình về dạng ( S;P ) thì ta cần nhớ một vài đẳng thức quan trọng:

( x^2+y^2 = (x+y)^2 -2xy =S^2-2P )

(|x-y| =sqrt{(x+y)^2-4xy}=sqrt{S^2-4P})

(x^3+y^3=(x+y)(x^2+y^2-xy)=S(S^2-3P))

***Chú ý: Nếu ( (x;y)=(a;b) ) là nghiệm của hệ phương trình thì ( (x;y) =(b;a) ) cũng là nghiệm của hệ phương trình.

Ví dụ:

Giải hệ phương trình:

(left{egin{matrix} x+xy+y=2\ x^2+xy+y^2=4 end{matrix}
ight.)

Cách giải:

Đặt ( S=x+y ; P=xy ). ĐK : ( S^2 geq 4P )

Thay vào hệ phương trình ta được:

(left{egin{matrix} S+P=2\ S^2-P=4 end{matrix}
ight.)

Thay ( -P=S-2 ) vào phương trình dưới ta được :

( S^2+S-6=0 Leftrightarrow (S-2)(S+3)=0 )

(Leftrightarrow left<egin{array}{l} S=2 ; P =0\S=-3 ; P=5end{array} ight.)

Kiểm tra điều kiện ( S^2 geq 4P ), vậy (left{egin{matrix} S=2\ P=0 end{matrix}
ight.)

Vậy ( x;y ) là nghiệm của phương trình ( t^2-2t =0 )

(Leftrightarrow left<egin{array}{l}t=0 \t=2 end{array} ight.)

Vậy hệ phương trình đã cho có hai cặp nghiệm ( (x;y) = ( 0;2) ; (2;0) )

Phương pháp đặt ẩn phụ 

Đây là phương pháp để giải các bài toán hệ phương trình đối xứng loại 1 khó. Những hệ này nếu nhìn qua thì ta sẽ thấy nó không phải là đối xứng. Nhưng khi chúng ta đặt ẩn phụ một cách thích hợp, bài toán sẽ trở thành hệ phương trình đối xứng loại 1. Từ đó chúng ta có thể giải một cách dễ dàng.

Ví dụ:

Giải hệ phương trình : (left{egin{matrix} x(x+2)(2x+y)-9=0\ x^2+4x+y=6 end{matrix}
ight.)

Cách giải:

Đặt ( x^2+2x= a ; 2x+y=b ). Thay vào hệ đã cho ta được :

(left{egin{matrix} ab=9 \a+b =6 end{matrix}
ight.)

Vậy ( a;b ) là nghiệm của phương trình :

( t^2-6t+9= 0 Leftrightarrow (t-3)^2=0 Leftrightarrow t=3 )

Vậy ( a=b=3 )

Thay vào ta được:

(left{egin{matrix} x^2+2x=3\2x+y=3 end{matrix}
ight. Leftrightarrow left{egin{matrix} (x+3)(x-1)=0\ 2x+y=3 end{matrix}
ight.)

(Leftrightarrow left<egin{array}{l}left{egin{matrix} x=-3\y=9 end{matrix} ight.\ left{egin{matrix} x=1\y=1 end{matrix} ight. end{array} ight.)

Vậy phương trình đã cho có ( 2 ) cặp nghiệm :

( (x;y) =(-3;9) ; (1;1) )

Giải hệ phương trình đối xứng loại 1 chứa căn 

Với những hệ phương trình này, cách giải vẫn bao gồm các bước như trên nhưng chúng ta cần thêm bước tìm ĐKXĐ của hệ phương trình.

Ví dụ:

Giải hệ phương trình:

(left{egin{matrix} x+y-sqrt{xy}=3\ sqrt{x+1} + sqrt{y+1}=4 end{matrix}
ight.)

Cách giải:

ĐKXĐ:

(left{egin{matrix} x geq -1\y geq -1 \ xy geq 0 end{matrix}
ight. hspace{1cm} (*))

Đặt (S=x+y hspace{5mm}; P=xy) với (left{egin{matrix} S^2 geq 4P\ Pgeq 0 \ S geq -2 end{matrix}
ight. hspace{1cm} (**))

Bình phương 2 vế PT (2) hệ phương trình đã cho tương đương với :

(left{egin{matrix} x+y-sqrt{xy}=3\ x+y+2+sqrt{x+y+xy+1}=16 end{matrix}
ight.)

(Leftrightarrow left{egin{matrix} S- sqrt{P} =3 \S+2+2sqrt{S+P+1}=16 end{matrix}
ight.)

(Leftrightarrow left{egin{matrix} P= S^2 -6S +9\ S -14 =-2sqrt{S+P+1} end{matrix}
ight.) với (3leq Sleq 14)

Thay ( P= S^2 -6S +9 ) từ PT (1) vào PT (2) ta có :

(S-14 = -2sqrt{S^2-5S+10})

(Leftrightarrow S^2-28S+196 = 4(S^2-5S+10))

(Leftrightarrow 3S^2+8S-156=0 Leftrightarrow (S-6)(3S+26)=0)

(Leftrightarrow left{egin{matrix} S=6\S=-frac{26}3{} end{matrix}
ight.)

Kết hợp ĐKXĐ ta được (S=6 Rightarrow P=9)

Vậy (x;y) là nghiệm của phương trình :

(t^2-6t+9 =0 Leftrightarrow t=3)

Vậy (x=y=3) ( thỏa mãn điều kiện). 

Bài tập hệ phương trình đối xứng loại 1

Sau đây là một số bài tập để các bạn luyện tập phần hệ phương trình đối xứng loại 1.

Xem thêm: Cách Giải Bài Toán Tính Nhanh Lớp 2 : Các Phép Tính Trong Phạm Vi 1000

Bài 1: Giải hệ phương trình:

(left{egin{matrix} x^2+xy+y^2=7\x^2+y^2+x+y=8 end{matrix}
ight.)

Đáp số : ( (x;y) = (1;2) ;(2;1) ; (1;-3) ; (-3;1) )

Bài 2: Giải hệ phương trình:

(left{egin{matrix} x+y+frac{1}{x}+frac{1}{y}=5\x^2+y^2+frac{1}{x^2}+frac{1}{y^2}=9 end{matrix}
ight.)

Đáp số : ( (x;y) = (1;frac{3+sqrt{5}}{2});(frac{3+sqrt{5}}{2};1);(1;frac{3-sqrt{5}}{2});(frac{3-sqrt{5}}{2};1))

Bài 3: Tìm ( m ) để hệ có đúng ( 2 ) nghiệm :

(left{egin{matrix} (x+y)^2=4\ x^2+y^2=2m+2 end{matrix}
ight.)

Đáp số : ( m=0 )

Các phương pháp giải hệ phương trình đối xứng loại 2

Phương pháp trừ hai vế

Đây là phương pháp chung để giải phương trình đối xứng loại 2.

Bước 1: Trừ hai vế tương ứng của hai phương trình, biến đổi phương trình thu được về dạng phương trình tích: ( (x-y).f(x;y) =0 )Bước 2: Giải phương trình ( f(x;y) =0 ) để tìm mối quan hệ ( x;y ). Sau đó thay vào một phương trình trong hệ ban đầu để giải ra ( x;y ) (chú ý thay cả trường hợp ( x-y=0 ) )Bước 3: Kết luận nghiệm.

Ví dụ:

Giải hệ phương trình :

(left{egin{matrix} x^3=3x+8y\ y^3=3y+8x end{matrix}
ight.)

Cách giải:

Để giải hệ phương trình đối xứng loại 2 bậc 3 này thì chúng ta cần ghi nhớ hằng đẳng thức : ( A^3-B^3=(A-B)(A^2+AB+B^2) )

Trừ hai vế của hai phương trình ta được :

((x^3-y^3)+5(x-y)=0 Leftrightarrow (x-y)(x^2+xy+y^2+5)=0 ;;;; (1) )

Ta có : (x^2+xy+y^2+5= (x+frac{y}{2})^2+frac{3y^2}{4}+5 geq 5 >0)

Vậy từ ((1) Rightarrow x=y)

Thay vào ta được:

(x^3=11x Leftrightarrow left<egin{array}{l} x=0\x=pm sqrt{11} end{array} ight.)

Vậy phương trình đã cho có ( 3 ) cặp nghiệm thỏa mãn : ( (x;y) =(0;0) ; (sqrt{11};sqrt{11}) ; (-sqrt{11};-sqrt{11}) )

Phương pháp hàm số

Như ta biết thì hệ phương trình ĐX bậc hai là một dạng hệ phương trình đối xứng vòng quanh gồm ( 2 ) ẩn dạng:

(left{egin{matrix} f(x)=g(y)\f(y)=g(x) end{matrix}
ight.)

Nếu ta chứng minh được hàm số ( f(t) ; g(t) ) cùng đồng biến thì giả sử ( xleq y ) ta có :

( f(x) leq f(y) =g(x) leq g(y) )

Mà mặt khác do ( f(x) =g(y) ) nên đẳng thức xảy ra. Vậy ( f(x)=g(x) ). Giải phương trình thu được x , từ đó tìm ra nghiệm của hệ phương trình

***Chú ý: Trong trường hợp hàm ( f(t);g(t) ) cùng nghịch biến thì làm tương tự

Đây cũng là phương pháp để giải các bài toán hệ phương trình đối xứng vòng quanh nhiều ẩn:

(left{egin{matrix} f(x)=g(y)\f(y)=g(z)\f(z)=g(x) end{matrix}
ight.)

Ví dụ:

Giải hệ phương trình :

(left{egin{matrix} x^3+x=3y\y^3+y=3x end{matrix}
ight.)

Cách giải:

Xét hàm số ( f(t) =t^3+t ) và hàm số ( g(t) = 3t )

Dễ thấy cả ( f(t) ; g(t) ) đều đồng biến. Do đó, giả sử ( xleq y ), từ hệ phương trình đã cho ta có :

( f(x) leq f(y) = g(x) leq g(y) )

Mà vì ( f(x) =g(y) ) ( theo hệ phương trình ) nên đẳng thức xảy ra, vậy ( f(x) =g(x) )

Do đó : ( x^3+x=3x Leftrightarrow x(x^2-2)=0 )

(Leftrightarrow left<egin{array}{l} x=0\x=pm sqrt{2} end{array} ight.)

Vậy hệ phương trình có ( 3 ) cặp nghiệm ((x;y)=(0;0);(sqrt{2};sqrt{2});(-sqrt{2};-sqrt{2}))

Giải hệ phương trình đối xứng loại 2 chứa căn

Đây là một dạng hệ phương trình đối xứng loại 2 khó do có căn thức nên nều trừ trực tiếp như cách thông thường thì sẽ không xuất hiện biểu thứ ( (x-y) ) ngay. Do đó chúng ta cần phải sử dụng phương pháp nhân liên hợp để biến đổi tạo ra nhân tử ( (x-y) ). Một số biến đổi cần lưu ý :

(sqrt{a}-sqrt{b} = frac{a-b}{sqrt{a}+sqrt{b}})

(sqrt<3>{a}-sqrt<3>{b}=frac{a-b}{sqrt<3>{a^2}+sqrt<3>{ab}+sqrt<3>{b^2}})

Ngoài ra chúng ta có để sử dụng phương pháp đặt ẩn phụ là biểu thức chứa căn để tạo ra hệ mới không chứa căn.

***Chú ý: Kiểm tra ĐKXĐ trước khi giải.

Ví dụ:

Giải hệ phương trình (left{egin{matrix} sqrt{x+5}+sqrt{y-2}=7\ sqrt{y+5}+sqrt{x-2}=7 end{matrix}
ight.)

Cách giải:

ĐKXĐ: ( x;y geq 2 )

Trừ hai vế của hai phương trình ta được : ((sqrt{x+5}-sqrt{y+5})-(sqrt{x-2}-sqrt{y-2})=0)

(Leftrightarrow (x-y)(frac{1}{sqrt{x+5}+sqrt{y+5}}-frac{1}{sqrt{x-2}+sqrt{y-2}})=0 ;;;;; (1) )

Ta có:

(left{egin{matrix} sqrt{x+5}>sqrt{x-2}\ sqrt{y+5}>sqrt{y-2} end{matrix}
ight. Rightarrow sqrt{x+5}+sqrt{y+5}>sqrt{x-2}+sqrt{y-2})

(Rightarrow frac{1}{sqrt{x+5}+sqrt{y+5}}

Vậy (Rightarrow frac{1}{sqrt{x+5}+sqrt{y+5}} -frac{1}{sqrt{x-2}+sqrt{y-2}}

Do đó từ ((1)Rightarrow x=y)

Thay vào ta được:

(sqrt{x+5}+sqrt{x-2}=7 Leftrightarrow 2x+3+2sqrt{x^2+3x-10}=49)

(Leftrightarrow 23-x=sqrt{x^2+3x-10} Rightarrow x^2-46x+529=x^2+3x-10)

(Rightarrow 49x=539 Rightarrow x=11) ( thỏa mãn)

Vậy ( x=y=11 )

Bài tập về hệ phương trình đối xứng loại 2

Ví dụ 3: Giải các hệ phương trình dưới đây.

Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm x = y = 3

Sau đây là một số bài tập để các bạn luyện tập phần hệ phương trình đối xứng loại 2.

Bài 1: Giải hệ phương trình:

(left{egin{matrix} 2x+3+sqrt{4-y}=4\ 2y+3+sqrt{4-x}=4 end{matrix}
ight.)

Đáp số: ( (x;y) = (3;3) ; (frac{11}{9};frac{11}{9}) )

Bài 2: Giải hệ phương trình:

(left{egin{matrix} x+sqrt<4>{y-1}=1\ y+sqrt<4>{x-1}=1 end{matrix}
ight.)

Đáp số ( x=y=1 )

Bài 3:

Tìm ( m ) để hệ phương trình sau có nghiệm duy nhất

(left{egin{matrix} x^2-x-y+m=0 \ y^2-y-x+m=0 end{matrix}
ight.)

Đáp số : ( m=1 ) 

Phương trình có hệ số đối xứng là gì?

Định nghĩa phương trình có hệ số đối xứng

Phương trình có hệ số đối xứng bậc ( n ) là phương trình có dạng ( f(x) =0 ) trong đố ( f(x) ) là đa thức với đầy đủ các số hạng sắp xếp từ bậc cao đến bậc thấp ( ( x^n; x^{n-1}; … ; x; x^0 ) ) sao cho từng cặp hệ số cách đều hai đầu thì bằng nhau, tức là:

(f(x)=a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+…+a_1x+a_0)

Với (a_i=a_{n-i}) với ( i=0;1;2;…;n )

Ví dụ : (ax^4+bx^3+cx^2+bx+a =0) là phương trình hệ số đối xứng bậc ( 4 )

(ax^3+bx^2+bx+a=0) là phương trình hệ số đối xứng bậc ( 3 )

Tính chất của phương trình có hệ số đối xứng

Phương trình hệ số đối xứng bậc chẵn nếu có nghiệm ( x_0 ) thì ( x_0
eq 0 ) và cũng nhận (frac{1}{x_0}) là nghiệm.Phương trình hệ số đối xứng bậc lẻ luôn phân tích được dưới dạng : ( (x+1).f(x) ) vói ( f(x) ) là phương trình hệ số đối xứng bậc chẵn.

Do đó:

Phương trình đối xứng bậc lẻ luôn có nghiệm ( x=-1 )Giải phương trình đối xứng bậc lẻ quy về giải phương trình đối xứng bậc chẵn.

Xem thêm: Giáo Án Nặn Đồ Dùng Trong Gia Đình Lớp 5 Tuổi, Nặn Đồ Dùng Trong Gia Đình

Cách giải phương trình có hệ số đối xứng

Do giải phương trình đối xứng bậc lẻ quy về giải phương trình đối xứng bậc chẵn nên ở đây ta chỉ xét cách giải phương trình đối xứng bậc chẵn:

(f(x)=a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+…+a_1x+a_0) với ( n ) chẵn

Bước 1: Do ( x=0 ) không là nghiệm của phương trình, chia cả hai vế phương trình cho (x^{frac{n}{2}})Bước 2: Đặt (t=x+frac{1}{x}) với điều kiện ( |t| geq 2 ) , biến đổi phương trình thu được về phương trình ẩn ( t )Bước 3: Sau khi tìm được ( t ) , giải phương trình (t=x+frac{1}{x}) để tìm ra ( x )

Ví dụ:

Giải phương trình : ( 3x^4+7x^3+7x+3 =0 )

Cách giải:

Do ( x=0 ) không là nghiệm của phương trình nên chia cả hai vế phương trình cho ( x^2 ) ta được :

(3x^2+7x+frac{7}{x}+frac{3}{x^2}=0)

(Leftrightarrow 3(x^2+frac{1}{x^2})+7(x+frac{1}{x})=0)

(Leftrightarrow 3(x+frac{1}{x})^2-6+7(x+frac{1}{x})=0)

Đặt (t=x+frac{1}{x}). ĐK : (|t| geq 2)

Phương trình đã cho tương đương với :

(3t^2+7t-6=0 Leftrightarrow (t+3)(3t-2)=0)

(Leftrightarrow left<egin{array}{l}t=-3 \ t=frac{3}{2}end{array} ight.)

Do (|t| geq 2) nên ( t=-3 )

Vậy ta có:

(x+frac{1}{x}=-3 Leftrightarrow x^2+3x+1=0)

(Leftrightarrow left<egin{array}{l} x= frac{-3+sqrt{5}}{2}\x=frac{-3-sqrt{5}}{2} end{array} ight.)

Bài viết trên đây của lingocard.vn đã giúp bạn tổng hợp lý thuyết và các phương pháp giải hệ phương trình đối xứng loại 1 loại 2 cũng như những nội dung liên quan. Hy vọng kiến thức trong bài viết sẽ giúp ích cho bạn trong quá trình học tập và nghiên cứu về chủ đề hệ phương trình đối xứng. Chúc bạn luôn học tốt!.