Phương Trình Bậc 2 Chứa Tham Số Lớp 9 (Có Đáp Án), Chuyên Đề Giải Phương Trình Bậc 2 Chứa Tham Số

Về các bài toán phương trình bậc hai chứa tham số, chúng ta thường phải sử dụng hệ thức Vi-ét để giải.

Đang xem: Phương trình bậc 2 chứa tham số lớp 9

Bằng việc áp dụng định lý Vi-et, các em sẽ dễ dàng giải các bài tập dạng PT bậc 2 chứa tham số.

I – KIẾN THỨC CƠ BẢN

1. Ứng dụng hệ thức Vi-ét:

Xét phương trình bậc hai: $ displaystyle a{{x}^{2}}+bx+c=0,,left( *
ight) ext{ } ext{,}left( a
e 0
ight), ext{ }Delta ={{b}^{2}}-4ac$ .

Gọi $ displaystyle S$, $ displaystyle P$ lần lượt là tổng và tích của hai nghiệm $ displaystyle {{x}_{1}}, ext{ }{{x}_{2}}$. Hệ thức Viét: $ displaystyle left{ egin{array}{l}S={{x}_{1}}+{{x}_{2}}=-frac{b}{a}\P={{x}_{1}}{{x}_{2}}=frac{c}{a}end{array}
ight.$ .

Xem thêm: #1 Cách Làm Ảnh Đại Diện Video Youtube Trên Máy Tính, Attention Required!

Điều kiện PT (*) có hai nghiệm trái dấu ⇔ $ displaystyle PĐiều kiện PT (*) có hai nghiệm phân biệt cùng dấu ⇔ $ displaystyle left{ egin{array}{l}Delta >0\P>0end{array}
ight.$.Điều kiện PT (*) có hai nghiệm phân biệt dương ⇔ $ displaystyle left{ egin{array}{l}Delta >0\S>0\P>0end{array}
ight.$.Điều kiện PT (*) có hai nghiệm phân biệt âm ⇔ $ displaystyle left{ egin{array}{l}Delta >0\S0end{array}
ight.$.

2. Các hệ thức thường gặp:

+ $ displaystyle {{x}_{1}}^{2}+{{x}_{2}}^{2}=left( {{x}_{1}}^{2}+2{{x}_{1}}.{{x}_{2}}+{{x}_{2}}^{2}
ight)-2{{x}_{1}}.{{x}_{2}}={{left( {{x}_{1}}+{{x}_{2}}
ight)}^{2}}-2{{x}_{1}}.{{x}_{2}}={{S}^{2}}-2P$

+ $ displaystyle {{x}_{1}}-{{x}_{2}}=pm sqrt{{{left( {{x}_{1}}+{{x}_{2}}
ight)}^{2}}-4{{x}_{1}}{{x}_{2}}}=pm sqrt{{{S}^{2}}-4P}$

+ $ displaystyle {{x}_{2}}-{{x}_{1}}=pm sqrt{{{left( {{x}_{1}}+{{x}_{2}}
ight)}^{2}}-4{{x}_{1}}{{x}_{2}}}=pm sqrt{{{S}^{2}}-4P}$

+ $ displaystyle {{x}_{1}}^{2}-{{x}_{2}}^{2}=left( {{x}_{1}}+{{x}_{2}}
ight)left( {{x}_{1}}-{{x}_{2}}
ight)=pm left( {{x}_{1}}+{{x}_{2}}
ight)sqrt{{{left( {{x}_{1}}+{{x}_{2}}
ight)}^{2}}-4{{x}_{1}}{{x}_{2}}}=pm S.sqrt{{{S}^{2}}-4P}$

+ $ displaystyle {{x}_{1}}^{3}+{{x}_{2}}^{3}=left( {{x}_{1}}+{{x}_{2}}
ight)left( {{x}_{1}}^{2}-{{x}_{1}}.{{x}_{2}}+{{x}_{2}}^{2}
ight)=left( {{x}_{1}}+{{x}_{2}}
ight)left< {{left( {{x}_{1}}+{{x}_{2}} ight)}^{2}}-3{{x}_{1}}.{{x}_{2}} ight>=S.left( {{S}^{2}}-3P
ight)$

+ $ displaystyle {{x}_{1}}^{4}+{{x}_{2}}^{4}={{left( {{x}_{1}}^{2}
ight)}^{2}}+{{left( {{x}_{2}}^{2}
ight)}^{2}}={{left( {{x}_{1}}^{2}+{{x}_{2}}^{2}
ight)}^{2}}-2{{x}_{1}}^{2}.{{x}_{2}}^{2}={{left< {{left( {{x}_{1}}+{{x}_{2}} ight)}^{2}}-2{{x}_{1}}{{x}_{2}} ight>}^{2}}-2x_{1}^{2}x_{2}^{2}$

$ displaystyle ={{left( {{S}^{2}}-2P
ight)}^{2}}-2{{P}^{2}}$

+ $ displaystyle frac{1}{{{x}_{1}}}+frac{1}{{{x}_{2}}}=frac{{{x}_{1}}+{{x}_{2}}}{{{x}_{1}}{{x}_{2}}}=frac{S}{P}$

+ $ displaystyle frac{1}{{{x}_{1}}}-frac{1}{{{x}_{2}}}=frac{{{x}_{2}}-{{x}_{1}}}{{{x}_{1}}{{x}_{2}}}=pm frac{sqrt{{{left( {{x}_{1}}+{{x}_{2}}
ight)}^{2}}-4{{x}_{1}}{{x}_{2}}}}{{{x}_{1}}{{x}_{2}}}=pm frac{sqrt{{{S}^{2}}-4P}}{P}$

+ $ displaystyle frac{{{x}_{1}}}{{{x}_{2}}}-frac{{{x}_{2}}}{{{x}_{1}}}=frac{{{x}_{1}}^{2}-{{x}_{2}}^{2}}{{{x}_{1}}{{x}_{2}}}=frac{left( {{x}_{1}}+{{x}_{2}}
ight)left( {{x}_{1}}-{{x}_{2}}
ight)}{{{x}_{1}}{{x}_{2}}}=pm frac{left( {{x}_{1}}+{{x}_{2}}
ight)sqrt{{{left( {{x}_{1}}+{{x}_{2}}
ight)}^{2}}-4{{x}_{1}}{{x}_{2}}}}{{{x}_{1}}{{x}_{2}}}=pm frac{S.sqrt{{{S}^{2}}-4P}}{P}$

+ $ displaystyle {{x}_{1}}^{3}-{{x}_{2}}^{3}=left( {{x}_{1}}-{{x}_{2}}
ight)left( {{x}_{1}}^{2}+{{x}_{1}}.{{x}_{2}}+{{x}_{2}}^{2}
ight)=left( {{x}_{1}}-{{x}_{2}}
ight)left< {{left( {{x}_{1}}+{{x}_{2}} ight)}^{2}}-{{x}_{1}}.{{x}_{2}} ight>$

$ displaystyle =left( pm sqrt{{{left( {{x}_{1}}+{{x}_{2}}
ight)}^{2}}-4{{x}_{1}}{{x}_{2}}}
ight)left< {{left( {{x}_{1}}+{{x}_{2}} ight)}^{2}}-{{x}_{1}}.{{x}_{2}} ight>=pm left( sqrt{{{S}^{2}}-4P}
ight)left< {{S}^{2}}-P ight>$

+ $ displaystyle {{x}_{1}}^{4}-{{x}_{2}}^{4}={{left( {{x}_{1}}^{2}
ight)}^{2}}-{{left( {{x}_{2}}^{2}
ight)}^{2}}=left( {{x}_{1}}^{2}+{{x}_{2}}^{2}
ight)left( {{x}_{1}}^{2}-{{x}_{2}}^{2}
ight)=pm left( {{S}^{2}}-2P
ight)left( S.sqrt{{{S}^{2}}-4P}
ight)$

II – CÁC VÍ DỤ MINH HỌA

Câu 1: Cho phương trình $ left( 2m-1
ight){{x}^{2}}-2mx+1=0$. Xác định m để phương trình trên có nghiệm thuộc khoảng (-1;0).

Lời giải

Xét $ 2m-1=0Rightarrow m=frac{1}{2}$ phương trình trở thành $ -x+1=0Rightarrow x=1
otin left( -1;0
ight)$Xét $ 2m-1
e 0Rightarrow m
e frac{1}{2}$ khi đó ta có:

$ Delta ‘={{m}^{2}}-left( 2m-1
ight)={{m}^{2}}-2m+1={{left( m-1
ight)}^{2}}ge 0$ mọi m.

Xem thêm: hướng dẫn Mẫu Điếu Văn Đơn Giản, hướng dẫn Mẫu Điếu Văn Đọc Trong Tang Lễ

Suy ra phương trình có nghiệm với mọi m.

Ta thấy nghiệm $ x=1$ không thuộc khoảng $ left( -1;0
ight)$

Với $ m
e frac{1}{2}$ phương trình còn có nghiệm là $ x=frac{m-m+1}{2m-1}=frac{1}{2m-1}$

Phương trình có nghiệm trong khoảng $ left( -1;0
ight)$ suy ra

$ -1le frac{1}{2m-1}le 0Leftrightarrow left{ egin{array}{l}frac{1}{2m-1}+1>0\2m-10\2m-10Leftrightarrow 25{{m}^{2}}-9m>0$ (*)

Theo hệ thức Vi-ét, ta có:

$ left{ egin{array}{l}{{x}_{1}}+{{x}_{2}}=10m\{{x}_{1}}-9{{x}_{2}}=0\{{x}_{1}}{{x}_{2}}=9mend{array}
ight.Leftrightarrow left{ egin{array}{l}10{{x}_{2}}=10m\{{x}_{1}}=9{{x}_{2}}\{{x}_{1}}{{x}_{2}}=9mend{array}
ight.Leftrightarrow left{ egin{array}{l}{{x}_{2}}=m\{{x}_{1}}=9m\9{{m}^{2}}-9m=0end{array}
ight.Leftrightarrow left{ egin{array}{l}{{x}_{2}}=m\{{x}_{1}}=9m\left< egin{array}{l}m=0\m=1end{array} ight.end{array} ight.,(*)Rightarrow m=1$