Các Phương Pháp Giải Pt

Các định lí cần sử dụng:

Nếu $f(x)$ là hàm đơn điệu trên $K$ (với $K$ là khoảng, đoạn hoặc nửa khoảng) thì phương trình $f(x)=0$ có tối đa một nghiệm trên $K.$

Nếu $f(x)$ là hàm liên tục trên đoạn $$ và $f(a)f(b)

Nếu $f(x)$ là hàm đơn điệu trên $K,forall a,bin K;f(a)=f(b)Leftrightarrow a=b.$

+) Nếu $f(x)$ đồng biến trên $K,forall a,bin KRightarrow f(a)>f(b)Leftrightarrow a>b;$

+) Nếu $f(x)$ nghịch biến trên $K,forall a,bin KRightarrow f(a)>f(b)Leftrightarrow a

Nếu ${f}”(x)=0$ có tối đa $n$ nghiệm trên $K$ thì phương trình $f(x)=0$ có tối đa $(n+1)$ nghiệm trên $K.$

Ví dụ 1:Giải phương trình ${{3}^{x}}+{{4}^{x}}={{5}^{x}}.$

Giải. Phương trình tương đương với: ${{left( frac{3}{5}
ight)}^{x}}+{{left( frac{4}{5}
ight)}^{x}}=1Leftrightarrow {{left( frac{3}{5}
ight)}^{x}}+{{left( frac{4}{5}
ight)}^{x}}-1=0.$

Hàm số $f(x)={{left( frac{3}{5}
ight)}^{x}}+{{left( frac{4}{5}
ight)}^{x}}-1$ nghịch biến trên $mathbb{R}$ và $f(2)=0$ do đó phương trình có nghiệm duy nhất $x=2.$

Ví dụ 2: Giải phương trình ${{3}^{x}}=left| {{5}^{x}}-2
ight|.$

Giải. Phương trình tương đương với: $left< egin{gathered} {5^x} - 2 = {3^x} hfill \ {5^x} - 2 = - {3^x} hfill \ end{gathered} ight. Leftrightarrow left< egin{gathered} 2 + {3^x} = {5^x} hfill \ {5^x} + {3^x} = 2 hfill \ end{gathered} ight. Leftrightarrow left< egin{gathered} 2{left( {frac{1}{5}} ight)^x} + {left( {frac{3}{5}} ight)^x} - 1 = 0 hfill \ {5^x} + {2^x} = 2 hfill \ end{gathered} ight. Leftrightarrow left< egin{gathered} x = 1 hfill \ x = 0 hfill \ end{gathered} ight..$

Ví dụ 3: Giải phương trình ${{3}^{x}}+{{2}^{x}}=3x+2.$

Giải. Phương trình tương đương với: ${{3}^{x}}+{{2}^{x}}-3x-2=0.$

Xét hàm số $y={{3}^{x}}+{{2}^{x}}-3x-2$ ta có ${y}”={{3}^{x}}ln 3+{{3}^{x}}ln 2-3;{y}””={{3}^{x}}{{ln }^{2}}3+{{2}^{x}}{{ln }^{2}}2>0,forall x.$

Do đó ${y}”=0$ có tối đa một nghiệm và vì vậy $y=0$ có tối đa hai nghiệm.

Đang xem: Phương pháp giải phương trình, bất phương trình mũ và logarit

Nhận thấy $x=0;x=1$ là nghiệm, do đó phương trình chỉ có hai nghiệm là $x=0;x=1.$

Ví dụ 4: Giải phương trình ${{3}^{2x+1}}=6{{x}^{2}}+7x+2+(3x+1){{3}^{x}}.$

Giải. Phương trình tương đương với:

$egin{gathered} {3.9^x} – (3x + 1){3^x} – 6{x^2} – 7x – 2 = 0 hfill \ Leftrightarrow ({3^x} – 2x – 1)({3^{x + 1}} + 3x + 2) = 0 hfill \ Leftrightarrow left< egin{gathered} {3^x} - 2x - 1 = 0 hfill \ {3^{x + 1}} + 3x + 2 = 0 hfill \ end{gathered} ight. Leftrightarrow left< egin{gathered} x = 0;x = 1 hfill \ x = - 1 hfill \ end{gathered} ight.. hfill \ end{gathered} $

Ví dụ 5: Giải phương trình ${{4}^{x}}=dfrac{5x+3}{5x-3}.$

Giải. Phương trình tương đương với: ${{4}^{x}}-dfrac{5x+3}{5x-3}=0.$

Xét hàm số $y={{4}^{x}}-dfrac{5x+3}{5x-3},$ ta có ${y}”={{4}^{x}}ln 4+dfrac{30}{{{(5x-3)}^{2}}}>0,forall x
e dfrac{3}{5}.$

Hàm số đồng biến trên mỗi khoảng $left( -infty ;dfrac{3}{5}
ight);left( dfrac{3}{5};+infty
ight).$ Do đó trên mỗi khoảng này phương trình có tối đa một nghiệm. Nhận thấy $x=-1;x=1$ thoả mãn. Vậy phương trình chỉ có hai nghiệm là $x=-1;x=1.$

Ví dụ 6: Giải phương trình $(2-x)(1+{{3}^{x}})=4.$

Giải. Phương trình tương đương với: $2-x=frac{4}{1+{{3}^{x}}}Leftrightarrow x+frac{4}{{{3}^{x}}+1}-2=0.$

Xét hàm số $y=x+frac{4}{{{3}^{x}}+1}-2,$ ta có

<egin{gathered} y" = 1 - frac{{{{4.3}^x}ln 3}}{{{{({3^x} + 1)}^2}}};y" = 0 Leftrightarrow {({3^x} + 1)^2} - (4ln 3){3^x} = 0 hfill \ Leftrightarrow {3^{2x}} + (2 - 4ln 3){3^x} + 1 = 0 Leftrightarrow left< egin{gathered} {3^x} approx 0,54 hfill \ {3^x} approx 1,85 hfill \ end{gathered} ight.. hfill \ end{gathered} >

Do đó ${y}”=0$ có hai nghiệm, do đó $y=0$ có tối đa ba nghiệm.

Nhận thấy $x=0;x=-1;x=1$ thoả mãn. Vậy phương trình chỉ có ba nghiệm $x=0;x=-1;x=1.$

Ví dụ 7: Giải phương trình ${{log }_{5}}left| {{x}^{2}}-sqrt{3}x
ight|={{log }_{7}}({{x}^{2}}-sqrt{3}x+2).$

Giải. Phương trình tương đương với:

$egin{gathered} {log _5}left| {{x^2} – sqrt 3 x}
ight| = {log _7}({x^2} – sqrt 3 x + 2) = t Leftrightarrow left{ egin{gathered} left| {{x^2} – sqrt 3 x}
ight| = {5^t} hfill \ {x^2} – sqrt 3 x + 2 = {7^t} hfill \ end{gathered}
ight. hfill \ Rightarrow left| {{7^t} – 2}
ight| = {5^t} Leftrightarrow left< egin{gathered} {7^t} - 2 = {5^t} hfill \ {7^t} - 2 = - {5^t} hfill \ end{gathered} ight. Leftrightarrow left< egin{gathered} 2{left( {frac{1}{7}} ight)^t} + {left( {frac{5}{7}} ight)^t} = 1 hfill \ {7^t} + {5^t} - 2 = 0 hfill \ end{gathered} ight. Leftrightarrow left< egin{gathered} t = 1 hfill \ t = 0 hfill \ end{gathered} ight.. hfill \ end{gathered} $

Vậy $left< egin{gathered} {x^2} - sqrt 3 x = - 1 hfill \ {x^2} - sqrt 3 x = 5 hfill \ end{gathered} ight. Leftrightarrow {x^2} - sqrt 3 x - 5 = 0 Leftrightarrow x = frac{{sqrt 3 pm sqrt {23} }}{2}.$

Ví dụ 8: Giải phương trình $ln left( frac{{{x}^{2}}+1}{2{{x}^{2}}-3x-1}
ight)=4{{x}^{2}}-12x-8.$

Giải. Phương trình tương đương với:

$egin{gathered} ln ({x^2} + 1) – ln (2{x^2} – 3x – 1) = 4{x^2} – 12x – 8 hfill \ Leftrightarrow ln ({x^2} + 1) + 4({x^2} + 1) = ln (2{x^2} – 3x – 1) + 4(2{x^2} – 3x – 1) hfill \ Leftrightarrow {x^2} + 1 = 2{x^2} – 3x – 1 Leftrightarrow {x^2} – 3x – 2 = 0 Leftrightarrow x = frac{{3 pm sqrt {17} }}{2}. hfill \ end{gathered} $

Ví dụ 9: Giải phương trình <{{5}^{x}}=20{{log }_{5}}(20x-15)-15.>

Giải. Đặt $t={{log }_{5}}(20x-15)Leftrightarrow 20x-15={{5}^{t}}Leftrightarrow -15={{5}^{t}}-20x,$ phương trình trở thành:

${{5}^{x}}=20t+({{5}^{t}}-20x)Leftrightarrow {{5}^{x}}+20={{5}^{t}}+20tLeftrightarrow t=x.$

Do đó ${{5}^{x}}-20x+15=0Leftrightarrow x=1;x=2.$

Ví dụ 10: Giải phương trình ${{3}^{x}}=2{{x}^{2}}+1.$

Giải. Phương trình tương đương với <{{3}^{x}}-2{{x}^{2}}-1=0.>

Xét hàm số $y={{3}^{x}}-2{{x}^{2}}-1$ ta có ${y}”={{3}^{x}}ln 3-4x;{y}””={{3}^{x}}{{ln }^{2}}3-4.$ Do đó ${y}””=0$ có một nghiệm nên ${y}”=0$ có tối đa 2 nghiệm và do đó $y=0$ có tối đa ba nghiệm.

Xem thêm: đồ án xử lý nước thải sinh hoạt

Nhận thấy $x=0;x=1;x=2$ thoả mãn nên phương trình chỉ có ba nghiệm $x=0;x=1;x=2.$

Ví dụ 11: Giải phương trình ${{log }_{2}}left( frac{1}{sin x}
ight)={{log }_{frac{sqrt{3}}{2}}}(cos x).$

Giải. Phương trình tương đương với:

$egin{gathered} {log _2}left( {frac{1}{{sin x}}}
ight) = {log _{frac{{sqrt 3 }}{2}}}(cos x) = t Leftrightarrow left{ egin{gathered} frac{1}{{sin x}} = {2^t} hfill \ cos x = {left( {frac{{sqrt 3 }}{2}}
ight)^t} hfill \ end{gathered}
ight. Leftrightarrow left{ egin{gathered} sin x = frac{1}{{{2^t}}} hfill \ cos x = {left( {frac{{sqrt 3 }}{2}}
ight)^t} hfill \ end{gathered}
ight. hfill \ Rightarrow frac{1}{{{4^t}}} + {left( {frac{3}{4}}
ight)^t} = 1 Leftrightarrow t = 1 Leftrightarrow left{ egin{gathered} sin x = frac{1}{2} hfill \ cos x = frac{{sqrt 3 }}{2} hfill \ end{gathered}
ight. Leftrightarrow x = frac{pi }{6} + k2pi . hfill \ end{gathered} $

Cách xác định tổng tất cả các nghiệm của hai phương trình mũ và logarit

Bài tập dành cho bạn đọc tự luyện:

Gồm 4 khoá luyện thi duy nhất và đầy đủ nhất phù hợp với nhu cầu và năng lực của từng đối tượng thí sinh:

Bốn khoá học X trong gói COMBO X 2019có nội dung hoàn toàn khác nhau và có mục đich bổ trợ cho nhau giúp thí sinh tối đa hoá điểm số.

Xem thêm: Thủ Thuật Bỏ Dấu Tiếng Việt Trong Excel Mới Nhất, Hướng Dẫn Cách Loại Bỏ Dấu Tiếng Việt Trong Excel

Quý thầy cô giáo, quý phụ huynh và các em học sinh có thể mua Combo gồm cả 4 khoá học cùng lúc hoặc nhấn vào từng khoá học để mua lẻ từng khoá phù hợp với năng lực và nhu cầu bản thân.

Xem thêm bài viết thuộc chuyên mục: Phương trình