Ôn Tập Bất Đẳng Thức, Bất Phương Trình Lớp 10 Phải Biết, Ôn Tập Đại Số 10

Bạn đang xem 20 trang mẫu của tài liệu “Ôn tập Đại số 10 – Chương IV: Bất đẳng thức và bất phương trình”, để tải tài liệu gốc về máy bạn click vào nút DOWNLOAD ở trên

Đang xem: ôn tập bất đẳng thức, bất phương trình

WWW.TOANTRUNGHOC.COM BÀI TẬP ĐẠI SỐ 10 CHƯƠNGIV BẤT ĐẲNG THỨC VÀ BẤT PHƯƠNG TRÌNH Trần Sĩ Tùng Bất đẳng thức – Bất phương trình www.toantrunghoc.com Trần Sĩ Tùng www.toantrunghoc.com : Đề Thi – Đáp Án – Chuyên Đề – Tài Liệu – Phần Mềm Toán ,… Trang 30 1. Tính chất 2. Một số bất đẳng thức thông dụng a) a a2 0,  . a b ab2 2 2  . b) Bất đẳng thức Cô–si: + Với a, b  0, ta có: a bab2 . Dấu “=” xảy ra  a = b. + Với a, b, c  0, ta có: a b cabc33  . Dấu “=” xảy ra  a = b = c. Hệ quả: – Nếu x, y > 0 có S = x + y không đổi thì P = xy lớn nhất  x = y. – Nếu x, y > 0 có P = x y không đổi thì S = x + y nhỏ nhất  x = y. c) Bất đẳng thức về giá trị tuyệt đối d) Bất đẳng thức về các cạnh của tam giác Với a, b, c là độ dài các cạnh của một tam giác, ta có: + a, b, c > 0. + a b c a b    ; b c a b c    ; c a b c a    . e) Bất đẳng thức Bu–nhia–cốp–xki Với a, b, x, y  R, ta có: ax by a b x y2 2 2 2 2( ) ( )( )    . Dấu “=” xảy ra  ay = bx. CHƯƠNG IV BẤT ĐẲNG THỨC VÀ BẤT PHƯƠNG TRÌNH I. BẤT ĐẲNG THỨC Điều kiện Nội dung a 0 a 0, c > 0 a 0 a 0 x a a x a     x ax ax a      a b a b a b     Trần Sĩ Tùng www.toantrunghoc.com Bất đẳng thức – Bất phương trình www.toantrunghoc.com : Đề Thi – Đáp Án – Chuyên Đề – Tài Liệu – Phần Mềm Toán ,… Trang 31 VẤN ĐỀ 1: Chứng minh BĐT dựa vào định nghia và tính chất cơ bản  Để chứng minh một BĐT ta có thể sử dụng các cách sau: – Biến đổi BĐT cần chứng minh tương đương với một BĐT đã biết. – Sử dụng một BĐT đã biết, biến đổi để dẫn đến BĐT cần chứng minh.  Một số BĐT thường dùng: + A2 0 + A B2 2 0  + A B. 0 với A, B  0. + A B AB2 2 2  Chú ý: – Trong quá trình biến đổi, ta thường chú ý đến các hằng đẳng thức. – Khi chứng minh BĐT ta thường tìm điều kiện để dấu đẳng thức xảy ra. Khi đó ta có thể tìm GTLN, GTNN của biểu thức. Bài 1. Cho a, b, c, d, e  R. Chứng minh các bất đẳng thức sau: a) a b c ab bc ca2 2 2     b) a b ab a b2 2 1     c) a b c a b c2 2 2 3 2( )      d) a b c ab bc ca2 2 2 2( )     e) a b c a ab a c4 4 2 21 2 ( 1)       f) ab c ab ac bc22 224     g) a b b c c a abc2 2 2 2 2 2(1 ) (1 ) (1 ) 6      h) a b c d e a b c d e2 2 2 2 2 ( )        i) a b c ab bc ca1 1 1 1 1 1     với a, b, c > 0 k) a b c ab bc ca     với a, b, c  0 HD: a)  a b b c c a2 2 2( ) ( ) ( ) 0      b)  a b a b2 2 2( ) ( 1) ( 1) 0      c)  a b c2 2 2( 1) ( 1) ( 1) 0      d)  a b c 2( ) 0   e)  a b a c a2 2 2 2 2( ) ( ) ( 1) 0      f)  ab c2( ) 02      g)  a bc b ca c ab2 2 2( ) ( ) ( ) 0      h) a a a ab c d e2 2 2 202 2 2 2                             i)  a b b c c a2 2 21 1 1 1 1 10                     k)       a b b c c a2 2 20      Bài 2. Cho a, b, c  R. Chứng minh các bất đẳng thức sau: a) a b a b33 32 2     ; với a, b  0 b) a b a b ab4 4 3 3   c) a a4 3 4  d) a b c abc3 3 3 3   , với a, b, c > 0. e) a ba bb a6 64 42 2   ; với a, b  0. f) aba b2 21 1 211 1  ; với ab  1. g) aa22322 h) a b a b a b a b5 5 4 4 2 2( )( ) ( )( )     ; với ab > 0. HD: a)  a b a b 23( )( ) 08   b)  a b a b3 3( )( ) 0   Bất đẳng thức – Bất phương trình www.toantrunghoc.com Trần Sĩ Tùng www.toantrunghoc.com : Đề Thi – Đáp Án – Chuyên Đề – Tài Liệu – Phần Mềm Toán ,… Trang 32 c)  a a a2 2( 1) ( 2 3) 0    d) Sử dụng hằng đẳng thức a b a b a b ab3 3 3 2 2( ) 3 3     . BĐT  a b c a b c ab bc ca2 2 2( ) ( ) 0          . e)  a b a a b b2 2 2 4 2 2 4( ) ( ) 0    f)  b a abab a b22 2( ) ( 1)0(1 )(1 )(1 )    g)  a2 2( 1) 0  h)  ab a b a b3 3( )( ) 0   . Bài 3. Cho a, b, c, d  R. Chứng minh rằng a b ab2 2 2  (1). Áp dụng chứng minh các bất đảng thức sau: a) a b c d abcd4 4 4 4 4    b) a b c abc2 2 2( 1)( 1)( 1) 8    c) a b c d abcd2 2 2 2( 4)( 4)( 4)( 4) 256     HD: a) a b a b c d c d4 4 2 2 2 2 2 22 ; 2    ; a b c d abcd2 2 2 2 2  b) a a b b c c2 2 21 2 ; 1 2 ; 1 2      c) a a b b c c d d2 2 2 24 4 ; 4 4 ; 4 4 ; 4 4        Bài 4. Cho a, b, c, d > 0. Chứng minh rằng nếu ab1 thì a a cb b c(1). Áp dụng chứng minh các bất đảng thức sau: a) a b ca b b c c a2     b) a b c da b c b c d c d a d a b1 2            c) a b b c c d d aa b c b c d c d a d a b2 3               HD: BĐT (1)  (a – b)c 0. f) a b c abc4 4 4   nếu a b c 1   HD:  a b b c c a2 2 2( ) ( ) ( ) 0      . a) Khai triển, rút gọn, đưa về (1) b, c) Vận dụng a) d) Sử dụng (1) hai lần e) Bình phương 2 vế, sử dụng (1) f) Sử dụng d) Bài 6. Cho a, b  0 . Chứng minh bất đẳng thức: a b a b b a ab a b3 3 2 2 ( )     (1). Áp dụng chứng minh các bất đảng thức sau: a) abca b abc b c abc c a abc3 3 3 3 3 31 1 1 1       ; với a, b, c > 0. b) a b b c c a3 3 3 3 3 31 1 111 1 1       ; với a, b, c > 0 và abc = 1. c) a b b c c a1 1 111 1 1       ; với a, b, c > 0 và abc = 1. d) a b b c c a a b c3 3 3 3 3 33 3 34( ) 4( ) 4( ) 2( )        ; với a, b, c  0 . e*) A B CA B C3 3 33 3 3sin sin sin cos cos cos2 2 2     ; với ABC là một tam giác. HD: (1)  a b a b2 2( )( ) 0   . a) Từ (1)  a b abc ab a b c3 3 ( )      ab a b ca b abc3 31 1( )  . Cùng với 2 BĐT tương tự, cộng vế theo vế, ta suy ra đpcm. b, c) Sử dụng a). d) Từ (1)  a b a b ab3 3 2 23( ) 3( )    a b a b3 3 34( ) ( )   (2). Từ đó: VT  a b b c c a a b c( ) ( ) ( ) 2( )        . e) Ta có: C A B CA Bsin sin 2cos .cos 2cos2 2 2   . Sử dụng (2) ta được: a b a b3 33 4( )   .  C CA B A B3 3 3 3 3sin sin 4(sin sin ) 4.2.cos 2 cos2 2     Tương tự, AB C3 33sin sin 2 cos2  , BC A333sin sin 2 cos2  Cộng các BĐT vế theo vế ta được đpcm. Bài 7. Cho a, b, x, y  R. Chứng minh bất đẳng thức sau (BĐT Min–cốp–xki): a x b y a b x y2 2 2 2 2 2( ) ( )       (1) Áp dụng chứng minh các bất đảng thức sau: a) Cho a, b  0 thoả a b 1  . Chứng minh: a b2 21 1 5    . b) Tìm GTNN của biểu thức P = a bb a2 22 21 1   . c) Cho x, y, z > 0 thoả mãn x y z 1   . Chứng minh: x y zx y z2 2 22 2 21 1 182      . Bất đẳng thức – Bất phương trình www.toantrunghoc.com Trần Sĩ Tùng www.toantrunghoc.com : Đề Thi – Đáp Án – Chuyên Đề – Tài Liệu – Phần Mềm Toán ,… Trang 34 d) Cho x, y, z > 0 thoả mãn x y z 3   . Tìm GTNN của biểu thức: P = x y z2 2 2223 223 223     . HD: Bình phương 2 vế ta được: (1)  a b x y ab xy2 2 2 2( )( )    (*)  Nếu ab xy 0  thì (*) hiển nhiên đúng.  Nếu ab xy 0  thì bình phương 2 vế ta được: (*)  bx ay 2( ) 0  (đúng). a) Sử dụng (1). Ta có: a b a b2 2 2 21 1 (1 1) ( ) 5        . b) Sử dụng (1). P  a b a ba b a b2 22 21 1 4( ) ( ) 17                Chú ý: a b a b1 1 4  (với a, b > 0). c) Áp dụng (1) liên tiếp hai lần ta được: x y z x y zx y zx y z22 2 2 22 2 21 1 1 1 1 1( )               x y zx y z22 9( ) 82       . Chú ý: x y z x y z1 1 1 9   (với x, y, z > 0). d) Tương tự câu c). Ta có: P    x y z223 223 ( ) 2010    . Bài 8. Cho a, b, c là độ dài 3 cạnh của một tam giác. Chứng minh: a) ab bc ca a b c ab bc ca2 2 2+ 0 có S = x + y không đổi thì P = xy lớn nhất  x = y. + Nếu x, y > 0 có P = x y không đổi thì S = x + y nhỏ nhất  x = y. Bài 1. Cho a, b, c  0. Chứng minh các bất đẳng thức sau: a) a b b c c a abc( )( )( ) 8    b) a b c a b c abc2 2 2( )( ) 9     c)  a b c abc33(1 )(1 )(1 ) 1     d) bc ca aba b ca b c     ; với a, b, c > 0. e) a b b c c a abc2 2 2 2 2 2(1 ) (1 ) (1 ) 6      f) ab bc ca a b ca b b c c a 2     ; với a, b, c > 0. g) a b cb c c a a b32    ; với a, b, c > 0. HD: a) a b ab b c bc c a ca2 ; 2 ; 2       đpcm.

Xem thêm: Soạn Chương Trình Địa Phương Phần Văn Lớp 9 Chương Trình Địa Phương (Phần Văn)

Xem thêm: Giải Phương Trình X^2=2X – Giải Bằng Cách Hoàn Thành Hình Vuông X^2

b) a b c abc a b c a b c32 2 2 2 2 233 ; 3       đpcm. c)  a b c a b c ab bc ca abc(1 )(1 )(1 ) 1            a b c abc33    ab bc ca a b c3 2 2 23     a b c abc a b c abc abc33 2 2 23 3(1 )(1 )(1 ) 1 3 3 1         d) bc ca abcca b ab22 2   , ca ab a bcab c bc22 2   , ab bc ab cbc a ac22 2   đpcm e) VT  a b b c c a2 2 22( )   a b c abc3 3 3 36 6 . f) Vì a b ab2  nên ab ab aba b ab 22 . Tương tự: bc bc ca cab c c a;2 2  .  ab bc ca ab bc ca a b ca b b c c a 2 2         (vì ab bc ca a b c     ) g) VT = a b cb c c a a b1 1 1 3                       =  a b b c c ab c c a a b1 1 1 1( ) ( ) ( ) 32             9 332 2  .  Cách khác: Đặt x =b + c, y = c + a, z = a + b. Bất đẳng thức – Bất phương trình www.toantrunghoc.com Trần Sĩ Tùng www.toantrunghoc.com : Đề Thi – Đáp Án – Chuyên Đề – Tài Liệu – Phần Mềm Toán ,… Trang 36 Khi đó, VT = x y z x z yy x x z y z132                       1 3(2 2 2 3)2 2    . Bài 2. Cho a, b, c > 0. Chứng minh các bất đẳng thức sau: a) a b c a b ca b c3 3 3 21 1 1( ) ( )          b) a b c a b c a b c3 3 3 2 2 23( ) ( )( )       c) a b c a b c3 3 3 39( ) ( )     HD: a) VT = a b b c c aa b cb a c b a c3 3 3 3 3 32 2 2                      . Chú ý: a ba b abb a3 32 22 2   . Cùng với 2 BĐT tương tự ta suy ra đpcm. b)       a b c a b b a b c bc c a ca3 3 3 2 2 2 2 2 22( )        . Chú ý: a b ab a b3 3 ( )   . Cùng với 2 BĐT tương tự ta suy ra đpcm. c) Áp dụng b) ta có: a b c a b c a b c3 3 3 2 2 29( ) 3( )( )       . Dễ chứng minh được: a b c a b c2 2 2 23( ) ( )      đpcm. Bài 3. Cho a, b > 0. Chứng minh a b a b1 1 4  (1). Áp dụng chứng minh các BĐT sau: a) a b c a b b c c a1 1 1 1 1 12         ; với a, b, c > 0. b) a b b c c a a b c a b c a b c1 1 1 1 1 122 2 2               ; với a, b, c > 0. c) Cho a, b, c > 0 thoả a b c1 1 14   . Chứng minh: a b c a b c a b c1 1 112 2 2        d) ab bc ca a b ca b b c c a 2     ; với a, b, c > 0. e) Cho x, y, z > 0 thoả x y z2 4 12   . Chứng minh: xy yz xzx y y z z x2 8 462 2 4 4    . f) Cho a, b, c là độ dài ba cạnh của một tam giác, p là nửa chu vi. Chứng minh rằng: p a p b p c a b c1 1 1 1 1 12          . HD: (1)  a ba b1 1( ) 4     . Hiển nhiển suy từ BĐT Cô–si. a) Áp dụng (1) ba lần ta được: a b a b b c b c c a c a1 1 4 1 1 4 1 1 4; ;       . Cộng các BĐT vế theo vế ta được đpcm. b) Tương tự câu a). c) Áp dụng a) và b) ta được: a b c a b c a b c a b c1 1 1 1 1 142 2 2            . d) Theo (1): a b a b1 1 1 14       aba ba b1( )4 . Cùng với các BĐT tương tự, cộng vế theo vế ta được đpcm. e) Áp dụng câu d) với a = x, b = 2y, c = 4z thì a b c 12    đpcm. f) Nhận xét: (p –a) + (p – b) = 2p – (a + b) = c. Trần Sĩ Tùng www.toantrunghoc.com Bất đẳng thức – Bất phương trình www.toantrunghoc.com : Đề Thi – Đáp Án – Chuyên Đề – Tài Liệu – Phần Mềm Toán ,… Trang 37 Áp dụng (1) ta được: p a p b p a p b c1 1 4 4( ) ( )      . Cùng với 2 BĐT tương tự, cộng vế theo vế, ta được đpcm. Bài 4. Cho a, b, c > 0. Chứng minh a b c a b c1 1 1 9    (1). Áp dụng chứng minh các BĐT sau: a) a b c a b ca b b c c a2 2 2 1 1 1 3( ) ( )2           . b) Cho x, y, z > 0 thoả x y z 1   . Tìm GTLN của biểu thức: P = x y zx y z1 1 1   . c) Cho a, b, c > 0 thoả a b c 1   . Tìm GTNN của biểu thức: P = a bc b ac c ab2 2 21 1 12 2 2   . d) Cho a, b, c > 0 thoả a b c 1   . Chứng minh: ab bc caa b c2 2 21 1 1 130    . e*) Cho tam giác ABC. Chứng minh: A B C1 1 1 62 cos2 2 cos2 2 cos2 5    . HD: Ta có: (1)  a b ca b c1 1 1( ) 9       . Dễ dàng suy từ BĐT Cô–si. a) Áp dụng (1) ta được: a b b c c a a b c1 1 1 92( )      .  VT  a b c a b ca b ca b c a b c2 2 2 2 2 29( ) 3 3( ) 3. ( )2( ) 2 2          Chú ý: a b c a b c2 2 2 2( ) 3( )     . b) Để áp dụng (1), ta biến đổi P như sau: P = x y zx y z1 1 1 1 1 11 1 1         = x y z1 1 131 1 1        Ta có: x y z x y z1 1 1 9 91 1 1 3 4        . Suy ra: P  9 334 4  . Chú ý: Bài toán trên có thể tổng quát như sau: Cho x, y, z > 0 thoả x y z 1   và k là hằng số dương cho trước. Tìm GTLN của biểu thức: P = x y zkx ky kz1 1 1   . c) Ta có: P  a bc b ca c ab a b c2 2 2 29 992 2 2 ( )       . d) VT  ab bc caa b c2 2 21 9   = ab bc ca ab bc ca ab bc caa b c2 2 21 1 1 7             ab bc caa b c29 7 9 73011( )3     Bất đẳng thức – Bất phương trình www.toantrunghoc.com Trần Sĩ Tùng www.toantrunghoc.com : Đề Thi – Đáp Án – Chuyên Đề – Tài Liệu – Phần Mềm Toán ,… Trang 38 Chú ý: ab bc ca a b c 21 1( )3 3      . e) Áp dụng (1): A B C A B C1 1 1 92 cos2 2 cos2 2 cos2 6 cos2 cos2 cos2         9 63 562. Chú ý: A B C3cos2 cos2 cos22   . Bài 5. Áp dụng BĐT Cô–si để tìm GTNN của các biểu thức sau: a) xy xx18; 02   . b) xy xx2; 12 1  . c) xy xx3 1; 12 1   . d) xy xx5 1;3 2 1 2   e) xy xx x5; 0 11    f) xy xx321; 0  g) x xy xx24 4; 0   h) y x xx232; 0   HD: a) Miny = 6 khi x = 6 b) Miny = 32 khi x = 3 c) Miny = 362 khi x = 613 d) Miny = 30 13 khi x = 30 12 e) Miny = 2 5 5 khi x5 54 f) Miny = 334 khi x = 3 2 g) Miny = 8 khi x = 2 h) Miny = 5527 khi x = 5 3 Bài 6. Áp dụng BĐT Cô–si để tìm GTLN của các biểu thức sau: a) y x x x( 3)(5 ); 3 5      b) y x x x(6 ); 0 6    c) y x x x5( 3)(5 2 ); 32      d) y x x x5(2 5)(5 ); 52      e) y x x x1 5(6 3)(5 2 );2 2      f) xy xx2; 02  g)  xyx2322 HD: a) Maxy = 16 khi x = 1 b) Maxy = 9 khi x = 3 c) Maxy = 1218 khi x = 14 d) Maxy = 6258 khi x = 54 e) Maxy = 9 khi x = 1 f) Maxy = 12 2 khi x = 2 ( x x22 2 2  ) g) Ta có: x x x32 2 22 1 1 3      x x2 3 2( 2) 27   xx22 3127( 2)Trần Sĩ Tùng www.toantrunghoc.com Bất đẳng thức – Bất phương trình www.toantrunghoc.com : Đề Thi – Đáp Án – Chuyên Đề – Tài Liệu – Phần Mềm Toán ,… Trang 39  Maxy = 127 khi x = 1. Bài 7. a) VẤN ĐỀ 3: Chứng minh BĐT dựa vào BĐT Bu–nhia–cốp–xki 1. Bất đẳng thức Bu–nhia–cốp–xki: (B)  Với a, b, x, y  R, ta có: ax by a b x y2 2 2 2 2( ) ( )( )    . Dấu “=” xảy ra  ay = bx.  Với a, b, c, x, y, z  R, ta có: ax by cz a b c x y z2 2 2 2 2 2 2( ) ( )( )       Hệ quả:  a b a b2 2 2( ) 2( )    a b c a b c2 2 2 2( ) 3( )     Bài 1. Chứng minh các bất đẳng thức sau: a) a b2 23 4 7  , với a b3 4 7  b) a b2 27353 547  , với a b2 3 7  c) a b2 224647 11137  , với a b3 5 8  d) a b2 245  , với a b2 2  e) a b2 22 3 5  , với a b2 3 5  f) x y x y2 29( 2 1) (2 4 5)5      HD: a) Áp dụng BĐT (B) cho 4 số a b3, 4, 3 , 4 . b) Áp dụng BĐT (B) cho 4 số a b2 3, , 3 , 53 5 . c) Áp dụng BĐT (B) cho 4 số a b3 5, , 7 , 117 11 . d) Áp dụng BĐT (B) cho 4 số a b1,2, , . e) Áp dụng BĐT (B) cho 4 số a b2, 3, 2 , 3 . f) Đặt a = x – 2y + 1, b = 2x – 4y + 5, ta có: 2a – b = –3 và BĐT  a b2 295  . Áp dụng BĐT (B) cho 4 số 2; –1; a; b ta được đpcm. Bài 2. Chứng minh các bất đẳng thức sau: a) a b2 212  , với a b 1  . b) a b3 314  , với a b 1  . c) a b4 418