Hệ Phương Trình Mũ Và Logarit Có Lời Giải, Hệ Phương Trình Mũ Và Logarit

Các em đã làm quen cách giải phương trình mũ, bất phương trình mũ cũng như cách giải phương trình logarit và bất phương trình logarit ở các bài học trước đây.

Đang xem: Hệ phương trình mũ và logarit có lời giải

Trong nội dung bài viết này, chúng ta sẽ giải một số bài tập về hệ phương trình, bất phương trình mũ và logarit từ cơ bản đến nâng cao.

Để giải được hệ phương trình hay bất phương trình mũ và logarit chúng ta cần kết hợp các phương pháp giải phương trình mũ và logarit với phương pháp giải hệ phương trình – bất phương trình đại số (chúng ta thường sử dụng phương pháp cộng hoặc phương pháp thế).

Các em có thể tham khảo bài viết về phương pháp giải phương trình và bất phương trình mũ cũng như cách giải phương trình và bất phương trình logarit đã được viết trên lingocard.vn.

I. Giải bài tập hệ phương trình, bất phương trình mũ và logarit

* Bài tập 1: Giải hệ phương trình mũ và logarit sau:

* Lời giải:

– Điều kiện: x>0, y>0 hệ tương đương:

– Vì y>0, nên từ pt dưới của hệ ta được x = 10/y thay vào pt trên của hệ ta được:

– Đặt x4 = t>0 ta được: 

 Giải phương trình này được: t = 16 (nhận) hoặc t = 625 (nhận).

• TH1: t = 16 ⇒ x4 = 16 ⇒ x = 2 ⇒ y = 5;

• TH2: t = 625 ⇒ x4 = 625 ⇒ x = 5 ⇒ y = 2;

Vậy hệ phương trình có 2 cặp nghiệm của x và y là: (2;5) và (5;2)

* Nhận xét: Ta thấy hệ phương trình trên là hệ đối xứng, tức là vị trí x và y có thể đổi chỗ cho nhau nhưng không làm hệ phương trình thay đổi. Như vậy, với hệ phương trình đối xứng nếu có nghiệm sẽ có 2 cặp nghiệm của x và y.

– Điều kiện: x>0, y>0. Hệ tương đương:

– Lấy phương trình ở trên trừ pt ở dưới của hệ ta được: 

Vậy nghiệm của hệ trên là: 

– Điều kiện x>0, y>0.

– Nếu m = 1 thì y = x suy ra hệ có vô số nghiệm thỏa điều kiện x>0.

– Nếu m ≠ 1 và m > 0 ta có: 

– Do đó: mlnx = lny (*)

– Mặt khác: y = mx ⇒ lny = lnm + lnx (**)

– Từ (*) và (**) ta có: 

Vậy hệ có nghiệm là: 

⇒ Kết luận: Nếu m = 1 thì hệ có vô số nghiệm (x;y) = (a;a) với a>0.

Xem thêm: Mẫu Công Văn Đề Nghị Yêu Cầu, Mẫu Công Văn Đề Nghị Của Doanh Nghiệp

Nếu m > 0 và m ≠ 1 hệ có cặp nghiệm 

* Bài tập 2: Giải hệ phương trình mũ và logarit sau:

* Lời giải:

– Điều kiện: x,y>0

 log2x = 1 + log2y ⇔ log2x = log22 + log2y ⇔ x = 2y.

 (x + y)x = (x – y)y ⇔ (3y)2y = yy ⇔ (9y2)y = yy

 ⇔ 9y2 = y ⇔ y(9y – 1) = 0 ⇔ y = 0 (loại) hoặc y = 1/9 (nhận).

Với y = 1/9 suy ra x = 2/9.

Vậy hệ có nghiệm là: x = 2/9; y = 1/9.

– Ta có x.y = 3 ⇒ x,y cùng dấu (cùng âm hoặc cùng dương).

– Điều kiện x + y > 0 và x – y > 0 ⇒ x > 0 ⇒ y > 0.

Do đó, áp dụng BĐT Cauchy ta có: 

Nên 

 ⇒ hệ vô nghiệm.

> Nhận xét: Ở câu b) ta dùng phương pháp đánh giá để dẫn đến kết luận hệ vô nghiệm.

Xem thêm: Công Thức Tính Diện Tích Hình Thang Lớp 5 : Diện Tích Hình Thang

* Bài tập 3: Giải hệ phương trình mũ và logarit sau:

* Lời giải:

– Ta có: 

– Thay vào pt dưới: log2(x + y) – log3(x – y) = 1, ta được:

Vậy hệ có nghiệm x = 3/2; y = 1/2

– Điều kiện: x,y>0

– Nếu x > y thì suy ra 

Do đó hệ có nghiệm khi: 

– Ta có: 

hệ có nghiệm khi: 

> Nhận xét: Trong bài này vận dụng bất đẳng thức Cauchy cho 1 phương trình cua hệ, sau đó kết hợp với hệ còn lại để đưa ra kết luận nghiệm.