Chuyên Đề Hệ Phương Trình Đối Xứng, Học Tại Nhà

1.Định nghĩa:Hệ phương trình đối xứng loại II là hệ chứa hai ẩn x, y mà khi ta thay đổi vaitrò x, y cho nhau thì phương trình này trở thành phương trình kia của hệ.*Chú ý: Nếu $({x_0};{y_0})$ là nghiệm của hệ thì$({y_0};{x_0})$ cũng là nghiệmcủa hệ.

Đang xem: Hệ phương trình đối xứng

2. Các dạng của hệ phương trình đối xứngloại II:Dạng 1:

$left{ {egin{array}{*{20}{c}} {f(x,y) = 0} \ {f(y,x) = 0} end{array}}
ight.$ (đổi vị trí x và y cho nhau thì phương trình này trở thành phương trình kia).Phương pháp giải chung:Trừ vế với vế hai phương trình và biến đổi về dạng phương trình tích số.Kết hợp một phương trình tích số với một phương trình của hệ để suy ra nghiệm củahệVí dụ1: Giải hệ phương trình sau:${ ext{(I}})left{ {egin{array}{*{20}{c}} {{x^2} – 2x = y} \ {{y^2} – 2y = x} end{array}}
ight.$Nhận xét: Nếu thay đồng thời x bởi y và y bởi x thì phương trình thứ nhất sẽ trởthành phương trình thứ hai và ngược lại.Giải:Trừ từng vế hai phương trình trong hệ, ta được$egin{array} { ext{ }}(x – y)(x + y) – 2(x – y) = – (x- y) \ Leftrightarrow { ext{ }}(x – y)(x + y – 1) = { ext{ }}0\ Leftrightarrow { ext{ }}left< egin{array} x - y = 0 \ x + y - 1 = 0 \ end{array} ight. \ end{array} $Do đó, hệ phương trình đã cho tương đương với:${ ext{(Ia}})left{ egin{array} x - y = 0 \ {x^2} - 2x = y \ end{array} ight.$ hoặc ${ ext{(Ib}})left{egin{array} x + y - 1 = 0 \ {x^2} - 2y = y \ end{array} ight.$Giải hệ (Ia) ta được nghiệm (0;0), (3;3).Giải hệ (IIa) ta được nghiệm:$left( {frac{{1 + sqrt 5 }}{2};frac{{1 - sqrt 5 }}{2}} ight),left({frac{{1 - sqrt 5 }}{2};frac{{1 + sqrt 5 }}{2}} ight)$Vậy hệ phương trình có 4 nghiệm là(0;0), (3;3), $left( {frac{{1 + sqrt 5 }}{2};frac{{1 - sqrt 5 }}{2}} ight),left( {frac{{1 - sqrt 5 }}{2};frac{{1 + sqrt 5 }}{2}} ight)$Dạng 2:

$left{ {egin{array}{*{20}{c}} {f(x,y) = 0} \ {g(x,y) = 0} end{array}}
ight.$(trong đó chỉ có 1 phương trình đối xứng loại I)Cách giải:

Đưa phương trình đối xứng về dạngtích, giải y theo x rồi thế vào phương trình còn lại.Ví dụ 2: Giải hệ phương trình:$left{ egin{array} x – frac{1}{x} = y – frac{1}{y}{ ext{ (1)}} \ 2{x^2} – xy – 1 = 0{ ext{ (2)}} \ end{array}
ight.$Giải:Điều kiện: $x
e 0;{ ext{ y}}
e { ext{0}}$. Khi đó:$(1) Leftrightarrow (x – y)left( {1 + frac{1}{{xy}}}
ight) =0{ ext{ }} Leftrightarrow left< egin{array} x = y \ y = - frac{1}{x} \ end{array} ight.$Với x = y thì (2)$ Leftrightarrow {x^2} - 1 = 0 Leftrightarrow x = pm1$Với $y = - frac{1}{x}$ thì (2) vô nghiệmVậy hệ phương trình có 2 nghiệm phân biệt (1;1), (–1;–1).3. Một số bài tập về phương trình đối xứngloại II :Ví dụ 3: Giải hệ phương trình:$left{ egin{array} {x^2} – 3x = 2y \ {y^2} – 3y = 2x \ end{array}
ight.$Giải:Trừ vế theo vế của hai phương trình, ta được:$egin{array} { ext{ }}{x^2} – {y^2} – 3x + 3y = 2y -2x \ Leftrightarrow { ext{(x – y)(x + y – 1)}} = { ext{0}}Leftrightarrow { ext{ }}left< egin{array} x - y = 0 \ x + y - 1 = 0 \ end{array} ight. \ end{array} $Vậy hệ phương trình đã cho tương đương với:${ ext{(I}})left{ egin{array} {x^2} - 3x = 2y \ x - y = 0 \ end{array} ight.$ hoặc ${ ext{(II}})left{egin{array} {x^2} - 3x = 2y \ x + y - 1 = 0 \ end{array} ight.$Giải (I):$(I) Leftrightarrow left{ egin{array} {x^2} - 3x = 2x \ x = y \ end{array} ight. Leftrightarrow left{ egin{array} x(x - 5) = 0 \ x = y \ end{array} ight. Leftrightarrow x = y = 0 vee x = y = 5$Giải (II): $egin{array} (II) Leftrightarrow left{ egin{array} {x^2} - 3x = 2(1 - x) \ y = 1 - x \ end{array} ight. Leftrightarrow left{ egin{array} {x^2} - x - 2 = 0 \ y = x - 1 \ end{array} ight. \ { ext{ }} Leftrightarrow left{ egin{array} x = - 1 \ y = 2 \ end{array} ight.{ ext{ }} vee { ext{ }}left{egin{array} x = 2 \ y = - 1 \ end{array} ight. \ end{array} $Vậy hệ phương trình có bốn nghiệm (0;0), (5;5), (–1;2), (2;–1).Ví dụ 4: Giải hệ phương trình $left{ egin{array} sqrt {2x + 3} + sqrt {4 – y} = 4{ ext{ }}(1)\ sqrt {2y + 3} + sqrt {4 – x} = 4{ ext{ }}(2)\ end{array}
ight.$Giải:Điều kiện: $left{ egin{array} – frac{3}{2} leqslant x leqslant 4 \ – frac{3}{2} leqslant y leqslant 4 \ end{array}
ight.$.Lấy(1) trừ (2) ta được:$egin{array} ,,,,,,,,,left( {sqrt {2x + 3} – sqrt {2y + 3} }
ight) + left( {sqrt {4 – y} – sqrt {4 – x} }
ight) = 0 \ Leftrightarrow { ext{ }}frac{{(2x + 3) – (2y + 3)}}{{sqrt {2x+ 3} + sqrt {2y + 3} }} + frac{{(4 – y) – (4 – x)}}{{sqrt {4 -y} + sqrt {4 – x} }} = 0 \ Leftrightarrow (x – y)left( {frac{2}{{sqrt {2x + 3} +sqrt {2y + 3} }} + frac{1}{{sqrt {4 – y} + sqrt {4 – x} }}}
ight) =0 Leftrightarrow x = y \ end{array} $Thay x = y vào (1), ta được:$sqrt {2x + 3} + sqrt {4 – x} = 4 Leftrightarrow x + 7 + 2sqrt{(2x + 3)(4 – x)} = 16$$ Leftrightarrow 2sqrt { – 2{x^2} + 5x + 12} = 9 – x Leftrightarrowleft{ egin{array} 9 – x geqslant 0 \ 9{x^2} – 38x + 33 = 0 \ end{array}
ight. Leftrightarrow left< egin{array} x = 3 \ x = frac{{11}}{9} \ end{array} ight.,,$Vậy hệ phương trình có 2 nghiệm phân biệt$left( {x;y} ight) = left( {3;3} ight),left({frac{{11}}{9};frac{{11}}{9}} ight)$. Xem thêm: Giải Vở Bài Tập Tiếng Việt Lớp 4 Tập 2 Tuần 32, Giải Vở Bài Tập Tiếng Việt 4 Tuần 32

Vídụ 5: Giải hệ phương trình $left{ egin{array} 2y = frac{{{y^2} + 1}}{{{x^2}}} \ 2x = frac{{{x^2} + 1}}{{{y^2}}} \ end{array}
ight.$Giải:Điều kiện: $x,y > 0$Khi đó, hệ phương trình đã cho tương đương $left{ egin{array} 2y{x^2} = {y^2} + 1{ ext{ (1)}} \ 2x{y^2} = {x^2} + 1{ ext{ (2)}} \ end{array}
ight.$Lấy (1) trừ (2) vế theo vế ta được: $egin{array} { ext{ }},,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,2xy(x- y) = y – x \ Leftrightarrow (x – y)left( {2xy + x + y}
ight) =0,,,{ ext{mà }},,,,left( {2xy + x + y}
ight) > 0 \ Leftrightarrow x = y{ ext{ (3)}}\ end{array} $Thay (3) vào (1) ta được:$egin{array} { ext{ }}2{x^3} = {x^2} + 1 \ Leftrightarrow 2{x^3} – {x^2} – 1 = 0 \ Leftrightarrow (x – 1)(underbrace {2{x^2} + x + 1}_{ >0forall x}) = 0 Leftrightarrow x = 1 \ end{array} $Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất (x;y) = (1;1).BÀI TẬP RÈN LUYỆNBài 1:Giải hệ phương trình: $egin{array} left. a
ight)left{ egin{array} 2x + y = frac{3}{{{x^2}}} \ 2y + x = frac{3}{{{y^2}}} \ end{array}
ight.,,,,,,,,,,,,,,,,,,,left. b
ight)left{ egin{array} xy + {x^2} = 1 + y \ xy + {y^2} = 1 + x \ end{array}
ight. \ left. c
ight)left{ egin{array} x – 3y = frac{{4y}}{x} \ y – 3x = frac{{4x}}{y} \ end{array}
ight.left. {,,,,,,,,,,,,,,,,,,d}
ight)left{ egin{array} x – 3y = frac{{4y}}{x} \ y – 3x = frac{{4x}}{y} \ end{array}
ight. \ end{array} $Bài 2: Tìm a để hệ sau có nghiệm duy nhất:$left{ egin{array} {x^2} + xy = a(y – 1) \ {y^2} + xy = a(x – 1) \ end{array}
ight.$Bài 3: Chứng minh rằng với $a
e 0$thì phương trình sau có nghiệm duy nhất:$left{ egin{array} 2{x^2} = y + frac{{{a^2}}}{y} \ 2{y^2} = x + frac{{{a^2}}}{x} \ end{array}
ight.$II. HỆ PHƯƠNG TRÌNH ĐẲNG CẤP BẬC HAI1. Định nghĩa:Biểu thức f(x; y) gọi là phương trình đẳng cấp bậc 2 nếuf(mx; my) = m2f(x; y)Hệ phương trình đẳng cấp bậc hai có dạng:$left{ egin{array} fleft( {x,y}
ight) = a \ gleft( {x,y}
ight) = b \ end{array}
ight.$Trong đó: f(x; y) và g(x; y) là phương trình đẳng cấp bậc 2;với a và b là hằng số.2. Cách giải:Xét x = 0 thay vào hệ kiểm tra.Với x ≠ 0 ta đặt y = xt thay vào hệ ta có:$left{ egin{array} fleft( {x,xt}
ight) = a \ gleft( {x,xt}
ight) = b \ end{array}
ight. Leftrightarrow left{ egin{array} {x^2}fleft( {1,t}
ight) = a \ {x^2}gleft( {1,t}
ight) = b \ end{array}
ight.$Sau đó, chia 2 vế của 2 phương trình với nhau ta được:$fleft( {1,t}
ight) = frac{a}{b}gleft( {1,t}
ight),,,,,,,,,left( *
ight)$Giải phương trình (*) ta tìm được t.Thế t vào hệ ta tìm được (x; y).3. Các ví dụ:Ví dụ 1: Giải hệ phương trình sau: $left{ egin{array} 2{x^2} + {y^2} + 3xy = 12 \ 2{left( {x + y}
ight)^2} – {y^2} = 14 \ end{array}
ight.,,,,,,,,left( 1
ight)$Giải.Dễ thấy x = 0 không là nghiệm của hệ phương trìnhVới x ≠ 0 ta đặt y = xt. Khi đó hệ phương trình trở thành:Khi đó (2) $ Leftrightarrow {t^2} – 3t + 2 = 0 Leftrightarrow left<egin{array} t = 1 \ t = 2 \ end{array} ight.,,$(thỏa)Khi t = 1 thế vào hệ ta được (x; y) = $left( { pm sqrt 2 ;,, pm sqrt 2 } ight)$Khi t = 2 thế vào hệ ta được (x; y) = (1; 2), (–1; –2)Vậy nghiệm của hệ là:(x; y) = $left( { pm sqrt 2 ; pm sqrt 2 } ight)$,(1; 2), (–1; –2)Ví dụ 2: Tìm m để hệ phương trình sau có nghiệm: $left{ egin{array} {x^2} + xym + {y^2} = m \ {x^2} + left( {m – 1}
ight)xy + m{y^2} = m \ end{array}
ight.$Giải:Dễ thấy x = 0 không là nghiệm của hệ phương trìnhVới x 0 ta đặt y = xt. Thế vào hệ phương trình ta được$egin{array} ,,,,,,left{ egin{array} {x^2} + {x^2}tm + {x^2}{t^2} = m \ {x^2} + left( {m – 1}
ight){x^2}t + {x^2}{t^2}m = m \ end{array}
ight. Leftrightarrow left{ egin{array} {x^2}left( {{t^2} + tm + 1}
ight) = m \ {x^2}left( {{t^2}m + tm – t + 1}
ight) = m \ end{array}
ight. \ Rightarrow frac{{{t^2} + tm + 1}}{{{t^2}m + tm + – t + 1}}= 1,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,, Leftrightarrow left( {1 – m}
ight){t^2} + t = 0 Leftrightarrow left< egin{array} t = 0 \ left( {1 - m} ight)t = 1 \ end{array} ight. \ end{array} $Khi t = 0 thì Khi (1–m)t = 1 $ Rightarrow left{ egin{array} y = frac{x}{{m - 1}} \ {y^2} = frac{m}{{2{m^2} - 3m + 2}} \ end{array} ight.,,,,,,left( * ight)$Vì $2{m^2} - 3m + 2 = 2{left( {m - frac{3}{4}} ight)^2} + frac{7}{8} >0$ nên (*) có nghĩa$ Leftrightarrow m geqslant 1$Vậy với $m geqslant 1$ thì hệ phương trình trên có nghiệm.Ví dụ 3: Cho hệ phương trình sau: $left{ egin{array} {x^2} – 4xy + {y^2} = m \ {y^2} – 3xy = 4 \ end{array}
ight.$Chứng minh hệ phương trình luôn luôn có nghiệm $forall m$.

Xem thêm: Khóa Học Laser Thẩm Mỹ – Đào Tạo Laser Thẩm Mỹ Chuyên Sâu

Giải:Khi x = 0 không là nghiệm của hệ phương trình.Với x 0 ta đặt y = xt. Khi đó hệ phương trình trở thànhKhi đó $left( *
ight) Leftrightarrow left( {4 – m}
ight){t^2} – left({16 – 3m}
ight)t + 4 = 0,,,left( {**}
ight)$Với m = 4 thì (**) có dạng $ – 4t + 4 = 0 Leftrightarrow t = 1$ (thoả)Với m 4 thì (**) có dạng:$left( {4 – m}
ight){t^2} – left( {16 – 3m}
ight)t + 4 = 0,,$Với $Delta = 9{m^2} – 80m + 192 = {left( {3m – frac{{40}}{3}}
ight)^2} + frac{{128}}{9} > 0$Vậy hệ phương trình luôn luôn có nghiệm$forall m$.BÀI TẬP RÈN LUYỆNBài 1: Giải các hệ phương trình sau:$egin{array} left. a
ight)left{ egin{array} 3{x^2} + 2xy + {y^2} = 11 \ {x^2} + 2xy + 3{y^2} = 17 \ end{array}
ight. \ \ left. b
ight)left{ egin{array} {x^2} + {y^2} = 5 – 2xy \ yleft( {x + y}
ight) = 10 \ end{array}
ight. \ \ left. c
ight)left{ egin{array} 2{x^2}{y^2} + {x^2} + 2x = 2 \ 2{x^2}y – {x^2}{y^2} + 2xy = 1 \ end{array}
ight. \ \ left. d
ight)left{ egin{array} {x^2} + {y^2} + xy + 2y + x = 2 \ 2{x^2} – {y^2} – 2y – 2 = 0 \ end{array}
ight. \ \ left. d
ight)left{ egin{array} 2x + 3y = {x^2} + 3xy + {y^2} \ {x^2} + 2{y^2} = x + 2y \ end{array}
ight. \ end{array} $Bài 2: Tìm giá trị của m để phương trình có nghiệm:$left{ egin{array} 3{x^2} + 2xy + {y^2} = 11 \ {x^2} + 2xy + 3{y^2} = 17 + m \ end{array}
ight.$

Xem thêm bài viết thuộc chuyên mục: Phương trình