Giáo Án Hệ Phương Trình Đối Xứng Loại 1 Cực Hay, Cách Giải Hệ Phương Trình Đối Xứng Loại 1 Cực Hay

Bài viết hướng dẫn nhận dạng và cách giải hệ phương trình đối xứng loại 1 cùng các bài toán có liên quan đến hệ phương trình đối xứng loại 1.

I. LÝ THUYẾT CẦN NẮM1. Định nghĩa: Hệ phương trình đối xứng loại 1 là hệ phương trình có dạng $left{ egin{array}{l}fleft( {x;y}
ight) = a\gleft( {x;y}
ight) = bend{array}
ight.$ $left( I
ight)$ trong đó $fleft( {x;y}
ight)$, $gleft( {x;y}
ight)$ là các biểu thức đối xứng, tức là $fleft( {x;y}
ight) = fleft( {y;x}
ight)$, $gleft( {x;y}
ight) = gleft( {y;x}
ight).$2. Cách giải hệ phương trình đối xứng loại 1:+ Đặt $S=x+y$, $P=xy.$+ Biểu diễn $f(x;y)$, $g(x;y)$ qua $S$ và $P$, ta có hệ phương trình: $left{ egin{array}{l}Fleft( {S;P}
ight) = 0\Gleft( {S;P}
ight) = 0end{array}
ight.$, giải hệ phương trình này ta tìm được $S$, $P.$+ Khi đó $x$, $y$ là nghiệm của phương trình ${X^2} – SX + P = 0$ $(1).$3. Một số biểu diễn biểu thức đối xứng qua $S$ và $P$:${x^2} + {y^2}$ $ = {left( {x + y}
ight)^2} – 2xy$ $ = {S^2} – 2P.$${x^3} + {y^3}$ $ = left( {x + y}
ight)left( {{x^2} + {y^2} – xy}
ight)$ $ = {S^3} – 3SP.$${x^2}y + {y^2}x$ $ = xyleft( {x + y}
ight) = SP.$${x^4} + {y^4}$ $ = {left( {{x^2} + {y^2}}
ight)^2} – 2{x^2}{y^2}$ $ = {left( {{S^2} – 2P}
ight)^2} – 2{P^2}.$4. Chú ý:+ Nếu $(x;y)$ là nghiệm của hệ $(I)$ thì $(y;x)$ cũng là nghiệm của hệ $(I).$+ Hệ $(I)$ có nghiệm khi $(1)$ có nghiệm hay ${S^2} – 4P ge 0.$

II. VÍ DỤ MINH HỌAVí dụ 1. Giải các hệ phương trình sau:1. $left{ egin{array}{l}x + y + 2xy = 2\{x^3} + {y^3} = 8end{array}
ight.$2. $left{ egin{array}{l}{x^3} + {y^3} = 19\left( {x + y}
ight)left( {8 + xy}
ight) = 2end{array}
ight.$

1. Đặt $S = x + y$, $P = xy$. Khi đó hệ phương trình đã cho trở thành:$left{ egin{array}{l}S + 2P = 2\Sleft( {{S^2} – 3P}
ight) = 8end{array}
ight.$ $ Leftrightarrow left{ egin{array}{l}P = frac{{2 – S}}{2}\Sleft( {{S^2} – frac{{6 – 3S}}{2}}
ight) = 8end{array}
ight.$$ Rightarrow 2{S^3} + 3{S^2} – 6S – 16 = 0$ $ Leftrightarrow left( {S – 2}
ight)left( {2{S^2} + 7S + 8}
ight) = 0$ $ Leftrightarrow S = 2 Rightarrow P = 0.$Suy ra $x$, $y$ là nghiệm của phương trình: ${X^2} – 2X = 0$ $ Leftrightarrow left< egin{array}{l}X = 0\X = 2end{array} ight.$Vậy nghiệm của hệ phương trình đã cho là: $left{ egin{array}{l}x = 0\y = 2end{array} ight.$ hoặc $left{ egin{array}{l}x = 2\y = 0end{array} ight.$2. Đặt $S=x+y$, $P=xy$. Khi đó hệ phương trình đã cho trở thành:$left{ egin{array}{l}Sleft( {{S^2} – 3P} ight) = 19\Sleft( {8 + P} ight) = 2end{array} ight.$ $ Leftrightarrow left{ egin{array}{l}SP = – 8S\{S^3} – 3left( {2 – 8S} ight) = 19end{array} ight.$ $ Leftrightarrow left{ egin{array}{l}SP = 2 – 8S\{S^3} + 24S – 25 = 0end{array} ight.$ $ Leftrightarrow left{ egin{array}{l}S = 1\P = – 6end{array} ight.$Suy ra $x$, $y$ là nghiệm của phương trình ${X^2} – X – 6 = 0$ $ Leftrightarrow left< egin{array}{l}X = 3\X = – 2end{array} ight.$Vậy hệ phương trình đã cho có cặp nghiệm: $(x;y)=(-2;3),(3;-2).$

Ví dụ 2. Giải các hệ phương trình sau:1. $left{ egin{array}{l}2left( {x + y}
ight) = 3left( {sqrt<3>{{{x^2}y}} + sqrt<3>{{x{y^2}}}}
ight)\sqrt<3>{x} + sqrt<3>{y} = 6end{array}
ight.$2. $left{ egin{array}{l}x + y + frac{1}{x} + frac{1}{y} = 4\{x^2} + {y^2} + frac{1}{{{x^2}}} + frac{1}{{{y^2}}} = 4end{array}
ight.$

1. Đặt $a = sqrt<3>{x}$, $b = sqrt<3>{y}$. Khi đó hệ phương trình đã cho trở thành:$left{ egin{array}{l}2left( {{a^3} + {b^3}}
ight) = 3left( {{a^2}b + {b^2}a}
ight)\a + b = 6end{array}
ight.$Đặt $S=a+b$, $P=ab$, ta được:$left{ egin{array}{l}2left( {{S^3} – 3SP}
ight) = 3SP\S = 6end{array}
ight.$ $ Leftrightarrow left{ egin{array}{l}2left( {36 – 3P}
ight) = 3P\S = 6end{array}
ight.$ $ Leftrightarrow left{ egin{array}{l}S = 6\P = 8end{array}
ight.$Suy ra $a$, $b$ là nghiệm của phương trình: ${X^2} – 6X + 8 = 0$ $ Leftrightarrow left< egin{array}{l}X = 2\X = 4end{array} ight.$Suy ra: $left{ egin{array}{l}a = 2 Rightarrow x = 8\b = 4 Rightarrow y = 64end{array} ight.$ hoặc $left{ egin{array}{l}a = 4 Rightarrow x = 64\b = 2 Rightarrow y = 8end{array} ight.$Vậy nghiệm của hệ phương trình đã cho là: $left( {x;y} ight) = left( {8;64} ight),left( {64;8} ight).$2. Đặt $a = x + frac{1}{x}$ $b = y + frac{1}{y}$, ta có hệ phương trình:$left{ egin{array}{l}a + b = 4\{a^2} + {b^2} – 4 = 4end{array} ight.$ $ Leftrightarrow left{ egin{array}{l}a + b = 4\{left( {a + b} ight)^2} – 2ab = 8end{array} ight.$ $ Leftrightarrow left{ egin{array}{l}a + b = 4\ab = 4end{array} ight.$ $ Leftrightarrow left{ egin{array}{l}a = 2\b = 2end{array} ight.$ $ Leftrightarrow left{ egin{array}{l}x + frac{1}{x} = 2\y + frac{1}{y} = 2end{array} ight.$ $ Leftrightarrow x = y = 1.$Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm $x=y=1.$

Ví dụ 3. Giải các hệ phương trình sau:1. $left{ egin{array}{l}sqrt {{x^2} + {y^2}} + sqrt {2xy} = 8sqrt 2 \sqrt x + sqrt y = 4end{array}
ight.$2. $left{ egin{array}{l}x + y – sqrt {xy} = 3\sqrt {x + 1} + sqrt {y + 1} = 4end{array}
ight.$

1. Điều kiện: $x,y ge 0.$Đặt $t = sqrt {xy} ge 0$, ta có: $xy = {t^2}$ và từ $sqrt x + sqrt y = 4$ $ Rightarrow x + y = 16 – 2t.$Thế vào phương trình thứ nhất của hệ phương trình, ta được:$sqrt {{t^2} – 32t + 128} = 8 – t$ $ Leftrightarrow left{ egin{array}{l}t le 8\{t^2} – 32t + 128 = {left( {t – 8}
ight)^2}end{array}
ight.$ $ Leftrightarrow t = 4.$Suy ra: $left{ egin{array}{l}xy = 16\x + y = 8end{array}
ight.$ $ Leftrightarrow left{ egin{array}{l}x = 4\y = 4end{array}
ight.$Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm: $x=y=4.$2.

Đang xem: Giáo án hệ phương trình đối xứng loại 1

Xem thêm: Hướng Dẫn Chi Tiết Cách Cố Định Ô Trong Excel 2013, 2010, 2007

Xem thêm: Bản Đồ Dự Án Vincity Gia Lâm, Thông Tin & Giá Bán Vinhomes Gia Lâm Từ Cđt

Điều kiện: $left{ egin{array}{l}xy ge 0\x,y ge – 1end{array}
ight.$Đặt $S=x+y$, $P=xy$ ta có: $left{ egin{array}{l}S – sqrt P = 3\S + 2 + 2sqrt {S + P + 1} = 16end{array}
ight.$ $ Leftrightarrow left{ egin{array}{l}S ge 3;P = {left( {S – 3}
ight)^2}\2sqrt {S + {{left( {S – 3}
ight)}^2} + 1} = 14 – Send{array}
ight.$ $ Leftrightarrow left{ egin{array}{l}3 le S le 14;P = {left( {S – 3}
ight)^2}\4left( {{S^2} + 8S + 10}
ight) = 196 – 28S + {S^2}end{array}
ight.$ $ Leftrightarrow left{ egin{array}{l}3 le S le 14;P = {left( {S – 3}
ight)^2}\{S^2} + 30S – 52 = 0end{array}
ight.$ $ Leftrightarrow left{ egin{array}{l}S = 6\P = 9end{array}
ight.$ $ Rightarrow x = y = 3.$Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm: $(x;y)=(3;3).$

Ví dụ 4. Giải các hệ phương trình sau:1. $left{ egin{array}{l}sqrt<4>{{{y^3} – 1}} + sqrt x = 3\{x^2} + {y^3} = 82end{array}
ight.$2. $left{ egin{array}{l}sqrt {frac{x}{y}} + sqrt {frac{y}{x}} = frac{7}{{sqrt {xy} }} + 1\sqrt {{x^3}y} + sqrt {{y^3}x} = 78end{array}
ight.$

1. Đặt $u = sqrt x $ và $v = sqrt<4>{{{y^3} – 1}}$. Khi đó, hệ phương trình đã cho trở thành:$left{ egin{array}{l}u + v = 3\{u^4} + left( {{v^4} + 1}
ight) = 82end{array}
ight.$ $ Leftrightarrow left{ egin{array}{l}u + v = 3\{u^4} + {v^4} = 81end{array}
ight.$ $left( *
ight)$Đặt $S=u+v$, $P=uv$. Với điều kiện ${S^2} – 4P ge 0$ thì hệ $(*)$ được viết lại:$left{ egin{array}{l}S = 3\{S^4} – 4{S^2}P + 2{S^2} = 81end{array}
ight.$ $ Leftrightarrow left{ egin{array}{l}S = 3\{P^2} – 18P = 0end{array}
ight.$ $ Leftrightarrow left{ egin{array}{l}P = 0\S = 3end{array}
ight.$ hoặc $left{ egin{array}{l}P = 18\S = 3end{array}
ight.$+ Trường hợp 1: Với $S=3$, $P=0$, suy ra $u$, $v$ là nghiệm của phương trình: ${X^2} – 3X = 0$ $ Leftrightarrow left< egin{array}{l}X = 0\X = 3end{array} ight.$Khi đó: $left{ egin{array}{l}u = 0\v = 3end{array} ight. Rightarrow left{ egin{array}{l}x = 0\y = sqrt<3>{{82}}end{array}
ight.$ hoặc $left{ egin{array}{l}u = 3\v = 0end{array}
ight. Rightarrow left{ egin{array}{l}x = 9\y = 1end{array}
ight.$+ Trường hợp 2: $P=18$, $S=3$ không thỏa mãn điều kiện vì ${S^2} – 4P Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm: $left( {x;y}
ight) = left( {0;sqrt<3>{{82}}}
ight)$, $left( {9;1}
ight).$2. Điều kiện: $xy>0.$+ Trường hợp 1: $x>0$, $y>0$, ta đặt: $u = sqrt x ,v = sqrt y .$+ Trường hợp 2: $xCả 2 trường hợp đều đưa về hệ phương trình:$left{ egin{array}{l}frac{u}{v} + frac{v}{u} = frac{7}{{uv}} + 1\{u^3}v + {v^3}u = 78end{array}
ight.$ $ Leftrightarrow left{ egin{array}{l}{u^2} + {v^2} = uv + 7\uvleft( {{u^2} + {v^2}}
ight) = 78end{array}
ight.$ $ Leftrightarrow left{ egin{array}{l}{S^2} – 3P = 7\Pleft( {{S^2} – 2P}
ight) = 78end{array}
ight.$ $ Leftrightarrow left{ egin{array}{l}{S^2} = 3P + 7\Pleft( {P + 7}
ight) = 78end{array}
ight.$ $ Leftrightarrow left{ egin{array}{l}{S^2} = 3P + 7\{P^2} + 7P – 78 = 0end{array}
ight.$ $ Leftrightarrow left{ egin{array}{l}P = 6\S = pm 5end{array}
ight.$Từ đó ta tìm được nghiệm của hệ phương trình đã cho là: $(x;y)=(-9;-4),(-4;-9),(4;9)(9;4).$Ví dụ 5. Tìm $m$ để các hệ phương trình sau đây có nghiệm:1. $left{ egin{array}{l}x + y = m\{x^2} + {y^2} = 2m + 1end{array}
ight.$2. $left{ egin{array}{l}x + frac{1}{x} + y + frac{1}{y} = 5\{x^3} + frac{1}{{{x^3}}} + {y^3} + frac{1}{{{y^3}}} = 15m – 10end{array}
ight.$

1. Đặt $S=x+y$, $P=xy$, ta có: $left{ egin{array}{l}S = m\{S^2} – 2P = 2m + 1end{array}
ight.$ $ Leftrightarrow left{ egin{array}{l}S = m\P = frac{1}{2}left( {{m^2} – 2m – 1}
ight)end{array}
ight.$Hệ phương trình có nghiệm khi và chỉ khi: ${S^2} – 4P ge 0$ $ Leftrightarrow {m^2} – 2left( {{m^2} – 2m – 1}
ight)$ $ = – {m^2} + 4m + 2 ge 0$ $ Leftrightarrow 2 – sqrt 6 le m le 2 + sqrt 6 .$2. Đặt $a = x + frac{1}{x}$, $b = y + frac{1}{y}$ $ Rightarrow left| a
ight| ge 2;left| b
ight| ge 2.$Hệ phương trình đã cho trở thành: $left{ egin{array}{l}a + b = 5\{a^3} + {b^3} – 3left( {a + b}
ight) = 15m – 10end{array}
ight.$ $ Leftrightarrow left{ egin{array}{l}a + b = 5\ab = 8 – mend{array}
ight.$Suy ra $a$, $b$ là nghiệm của phương trình: ${X^2} – 5X + 8 – m = 0$ $ Leftrightarrow {X^2} – 5X + 8 = m$ $(1).$Hệ phương trình đã cho có nghiệm khi và chỉ khi $(1)$ có hai nghiệm phân biệt thỏa: $left| X
ight| ge 2.$Xét tam thức $fleft( X
ight) = {X^2} – 5X + 8$ với $left| X
ight| ge 2$, ta có bảng biến thiên sau:

Dựa vào bảng biến thiên suy ra $(1)$ có hai nghiệm thỏa $left| X
ight| ge 2$ khi và chỉ khi $left< egin{array}{l}m ge 22\frac{7}{4} le m le 2end{array} ight.$

Ví dụ 6. Tìm $m$ để hệ phương trình $left{ egin{array}{l}x + y + xy = m\{x^2} + {y^2} = mend{array}
ight.$ $(*)$ có nghiệm.

Ta có: $left( *
ight) Leftrightarrow left{ egin{array}{l}x + y + xy = m\{left( {x + y}
ight)^2} – 2xy = mend{array}
ight.$Đặt $left{ egin{array}{l}S = x + y\P = xyend{array}
ight.$, điều kiện ${S^2} ge 4P$, ta có hệ phương trình:$left{ egin{array}{l}S + P = m\{S^2} – 2P = mend{array}
ight.$ $ Leftrightarrow left{ egin{array}{l}S + P = m\{S^2} + 2S – 3m = 0end{array}
ight.$ $ Leftrightarrow left< egin{array}{l}left{ egin{array}{l}S = – 1 + sqrt {1 + 3m} \P = m + 1 – sqrt {1 + 3m}end{array} ight.\left{ egin{array}{l}S = – 1 – sqrt {1 + 3m} \P = m + 1 + sqrt {1 + 3m}end{array} ight.end{array} ight.$Hệ phương trình đã cho có nghiệm khi và chỉ khi: ${S^2} ge 4P.$+ Trường hợp 1. Với $left{ egin{array}{l}S = – 1 + sqrt {1 + 3m} \P = m + 1 – sqrt {1 + 3m}end{array} ight.$, ta có: ${left( { – 1 + sqrt {1 + 3m} } ight)^2}$ $ ge 4left( {m + 1 – sqrt {1 + 3m} } ight)$ $ Leftrightarrow 2sqrt {1 + 3m} ge m + 2$ $ Leftrightarrow left< egin{array}{l}left{ egin{array}{l}m + 2 le 0\1 + 3m ge 0end{array} ight.\left{ egin{array}{l}m + 2 ge 0\4left( {1 + 3m} ight) ge {left( {m + 2} ight)^2}end{array} ight.end{array} ight.$ $ Leftrightarrow 0 le m le 8.$+ Trường hợp 2. Với $left{ egin{array}{l}S = – 1 – sqrt {1 + 3m} \P = m + 1 + sqrt {1 + 3m}end{array} ight.$, ta có: ${left( { – 1 – sqrt {1 + 3m} } ight)^2}$ $ ge 4left( {m + 1 + sqrt {1 + 3m} } ight)$ $ Leftrightarrow 3sqrt {1 + 3m} le – m – 2$, dễ thấy bất phương trình này vô nghiệm vì $–m-2Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm khi và chỉ khi $0 le m le 8.$

Ví dụ 7. Cho $x$, $y$, $z$ là nghiệm của hệ phương trình $left{ egin{array}{l}{x^2} + {y^2} + {z^2} = 8\xy + yz + zx = 4end{array}
ight.$. Chứng minh: $ – frac{8}{3} le x,y,z le frac{8}{3}.$

Ta có: $left{ egin{array}{l}{x^2} + {y^2} + {z^2} = 8\xy + yz + zx = 4end{array}
ight.$ $ Leftrightarrow left{ egin{array}{l}{x^2} + {y^2} = 8 – {z^2}\xy + zleft( {x + y}
ight) = 4end{array}
ight.$ $ Leftrightarrow left{ egin{array}{l}{left( {x + y}
ight)^2} – 2xy = 8 – {z^2}\xy + zleft( {x + y}
ight) = 4end{array}
ight.$ $ Leftrightarrow left{ egin{array}{l}{left( {x + y}
ight)^2} – 2left< {4 – zleft( {x + y} ight)} ight> = 8 – {z^2}\xy + zleft( {x + y}
ight) = 4end{array}
ight.$ $ Leftrightarrow left{ egin{array}{l}{left( {x + y}
ight)^2} + 2zleft( {x + y}
ight) + left( {{z^2} – 16}
ight) = 0\xy + zleft( {x + y}
ight) = 4end{array}
ight.$ $ Leftrightarrow left{ egin{array}{l}x + y = 4 – z\xy = {left( {z – 2}
ight)^2}end{array}
ight.$ hoặc $left{ egin{array}{l}x + y = – 4 – z\xy = {left( {z + 2}
ight)^2}end{array}
ight.$Do $x$, $y$, $z$ là nghiệm của hệ phương trình $left{ egin{array}{l}{x^2} + {y^2} + {z^2} = 8\xy + yz + zx = 4end{array}
ight.$ nên: ${left( {x + y}
ight)^2} ge 4xy$ $ Leftrightarrow left< egin{array}{l}{left( {4 – z} ight)^2} ge 4{left( {z – 2} ight)^2}\{left( { – 4 – z} ight)^2} ge 4{left( {z + 2} ight)^2}end{array} ight.$ $ Leftrightarrow – frac{8}{3} le z le frac{8}{3}.$Đổi vai trò $x$, $y$, $z$ ta được: $ – frac{8}{3} le x,y,z le frac{8}{3}.$

Ví dụ 8. Cho hai số thực $x$, $y$ thỏa $x + y = 1$. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: $A = {x^3} + {y^3}.$

Xét hệ phương trình: $left{ egin{array}{l}x + y = 1\{x^3} + {y^3} = Aend{array}
ight.$ $ Leftrightarrow left{ egin{array}{l}S = 1\Sleft( {{S^2} – 3P}
ight) = Aend{array}
ight.$ $ Leftrightarrow left{ egin{array}{l}S = 1\P = frac{{1 – A}}{3}end{array}
ight.$Ta có: $x$, $y$ tồn tại $ Leftrightarrow $ hệ có nghiệm $ Leftrightarrow {S^2} – 4P ge 0$ $ Leftrightarrow 1 – 4frac{{1 – A}}{3} ge 0$ $ Leftrightarrow A ge frac{1}{4}.$Vậy giá trị nhỏ nhất của $A$ là $min A = frac{1}{4}$ $ Leftrightarrow x = y = frac{1}{2}.$

Ví dụ 9. Cho các số thực $x
e 0,y
e 0$ thỏa mãn: $left( {x + y}
ight)xy = {x^2} + {y^2} – xy.$ Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: $A = frac{1}{{{x^3}}} + frac{1}{{{y^3}}}.$

Xét hệ phương trình: $left{ egin{array}{l}left( {x + y}
ight)xy = {x^2} + {y^2} – xy\frac{1}{{{x^3}}} + frac{1}{{{y^3}}} = Aend{array}
ight.$Đặt $a = frac{1}{x}$, $b = frac{1}{y}$ $left( {a,b
e 0}
ight)$, hệ phương trình trên trở thành: $left{ egin{array}{l}a + b = {a^2} + {b^2} – ab\{a^3} + {b^3} = Aend{array}
ight.$Đặt $S=a+b$, $P=ab$, ta có: $left{ egin{array}{l}S = {S^2} – 3P\Sleft( {{S^2} – 3P}
ight) = Aend{array}
ight.$ $ Leftrightarrow left{ egin{array}{l}{S^2} = A\3P = {S^2} – Send{array}
ight.$Từ $a + b = {a^2} + {b^2} – ab > 0$, suy ra $S > 0.$Hệ phương trình này có nghiệm $ Leftrightarrow {S^2} ge 4P$ $ Leftrightarrow 3{S^2} ge 4left( {{S^2} – S}
ight)$ $ Leftrightarrow S le 4$ $ Leftrightarrow A = {S^2} le 16.$Đẳng thức xảy ra $ Leftrightarrow left{ egin{array}{l}S = 4\P = frac{{{S^2} – S}}{3} = 4end{array}
ight.$ $ Leftrightarrow a = b = 2$ $ Leftrightarrow x = y = frac{1}{2}.$Vậy giá trị lớn nhất của $A$ là $max A = 16$ $ Leftrightarrow x = y = frac{1}{2}.$

Ví dụ 10. Cho $x$, $y$ thỏa mãn $x – 3sqrt {y + 2} = 3sqrt {x + 1} – y.$ Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của $A=x+y.$

Xét hệ phương trình: $left{ egin{array}{l}x – 3sqrt {y + 2} = 3sqrt {x + 1} – y\x + y = Aend{array}
ight.$Đặt $a = sqrt {x + 1} $, $b = sqrt {y + 2} $ $ Rightarrow a,b ge 0.$Hệ phương trình trên trở thành: $left{ egin{array}{l}{a^2} + {b^2} – 3left( {a + b}
ight) – 3 = 0\{a^2} + {b^2} = A + 3end{array}
ight.$ $ Leftrightarrow left{ egin{array}{l}a + b = frac{A}{3} = S\ab = frac{{{A^2} – 9A – 27}}{{18}} = Pend{array}
ight.$Suy ra hệ phương trình đã cho có nghiệm $ Leftrightarrow left{ egin{array}{l}S ge 0\P ge 0\{S^2} ge 4Pend{array}
ight.$ $ Leftrightarrow left{ egin{array}{l}A ge 0\{A^2} – 9A – 27 ge 0\{A^2} – 18A – 54 le 0end{array}
ight.$ $ Leftrightarrow left{ egin{array}{l}A ge 0\A le frac{{9 – 3sqrt {21} }}{2} : hoặc : A ge frac{{9 + 3sqrt {21} }}{2}\9 – 3sqrt {15} le A le 9 + 3sqrt {15}end{array}
ight.$Vậy $min A = frac{{9 + 3sqrt {21} }}{2}$ và $max A = 9 + 3sqrt {15} .$