Giải Và Biện Luận Hệ Phương Trình Tuyến Tính Chứa Tham Số, Bài: Hệ Phương Trình Tuyến Tính Thuần Nhất

Gỉai được giữa chừng thì ko biết làm sao nên ai biết giải được thì chỉ hộ em với ạ

#2WhjteShadow

WhjteShadow

Thượng úy

Phó Quản trị

1319 Bài viếtGiới tính:Nam

Gỉai được giữa chừng thì ko biết làm sao nên ai biết giải được thì chỉ hộ em với ạ

Nhắc lại qua một chút về hệ phương trình tuyến tính và định lí Kronecker-Capelli cho dễ hình dung cách làm nhé :

Xét hai hệ phương trình tuyến tính không thuần nhất và thuần nhất $n$ ẩn $m$ phương trình :

$$Ax=B,,,, (1)$$

$$Ax=0 ,,,, (2)$$

Ở đây $A$ là một ma trận cỡ $m imes n$, $x$ là cột $n imes 1$ gồm $n$ ẩn và $B$ là cột $m imes 1$.

Đang xem: Giải và biện luận hệ phương trình tuyến tính chứa tham số

Nếu $(1)$ có nghiệm riêng $x_0$ thỏa mãn hệ (1) thì toàn bộ nghiệm của nó là :

$$L_0={x_0+x | ext{x là nghiệm của (2)}}$$

Vậy câu hỏi đặt ra khi nào $(1)$ có một nghiệm riêng $x_0$ : Định lý Kronecker – Capelli :

$(1)$ có nghiệm riêng khi và chỉ khi ma trận $A$ có hạng (rank) bằng hạng của ma trận hệ số mở rộng $ ext{Ã}$ (ma trận A bổ sung thêm cột thứ n+1 là B)

Và cuối cùng, nếu ta gọi không gian nghiệm của (2) là $L$ thì

$$rank L = dim Ker A = n – rank A$$

==========================================================

Trở lại bài toán trên, câu 1 thì dễ rồi phải không, đặt ma trận hệ số là $A$ nhé :

$A=egin{pmatrix} 1 & -2 & 1 & 2\ 1 & 1 & -1 & 1\ 1 & -7 & -5 & -1 end{pmatrix}$,$x=egin{pmatrix} x_1\ x_2\ x_3\ x_4 end{pmatrix}$,$B=egin{pmatrix} m\ 2m+1\ -m end{pmatrix}$

Cậu thấy là rank $A$ bằng 3 và rank của ma trận hệ số mở rộng cũng là 3 vì nó chỉ có 3 hàng và 3 hàng đấy độc lập tuyến tính rồi. Vậy nó có nghiệm riêng, mà phương trình thuần nhất liên kết với nó lại có 4 ẩn 3 phương trình nên có vô số nghiệm.

Xem thêm: cách tạo phần mềm kế toán bằng excel

Cách khác c có thể dùng PP Gauss giải hẳn ra các $x_i$ cũng được

Ở câu 2, vẫn như cách đặt câu 1 nhé, thì biến đổi tí ta có :

$rank A=rank egin{pmatrix} 1 & 2 & -3 & 4\ 2 & 4 & -7 & 9\ 5 & 10 & -17 & 23\ 3 & 6 & -10 & m end{pmatrix}= rank egin{pmatrix} 1 & 2 & -3 & 4\ 0 & 0 & -1 & 1\ 0 & 0 & -2 & 3\ 0 & 0 & -1 & m-12 end{pmatrix} =rank egin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 0\ 0 & 0 & -1 & 1\ 0 & 0 & -2 & 3\ 0 & 0 & -1 & m-12 end{pmatrix}=3 forall m$

Xét ma trận hệ số mở rộng :

$rank egin{pmatrix} 1 & 2 & -3 & 4 & 1\ 2 & 4 & -7 & 9 & 2\ 5 & 10 & -17 & 23 & 1\ 3 & 6 & -10 & m & 13-m end{pmatrix}=rank egin{pmatrix} 1 & 2 & -3 & 4 & 1\ 0 & 0 & -1 & 1 & 0\ 0 & 0 & -2 & 3 & -4\ 0 & 0 & -1 & m-12 & 10-m end{pmatrix}$

Mình có thể tính toán để thấy là rank của ma trận này $=4$ khi $m=13$ và $=3$ trong trường hợp còn lại. Nếu $m=13$, rank của ma trận này =4 thì hệ phương trình ban đầu không có nghiệm nào. Nếu $m
eq 13$ thì phương trình có nghiệm riêng và phương trình thuần nhất liên kết với nó có 4 ẩn, rank của ma trận =3 nên nó có vô số nghiệm.

Xem thêm: Khóa Học Tiếng Anh Cntt Năm 2018, Khóa Tiếng Anh Chuyên Ngành Cntt Năm 2018

================

Gõ xong mới thấy mình ngu
thực ra ở cả 2 bài chỉ cần dùng PP Gauss khử dần hệ số đi là được, ở câu 2 có thể tính toán dựa vào 3 pt đầu để ra được luôn $x_3,x_4$ rồi làm tiếp dễ dàng. Thôi coi như cách mà mình nói là cách tổng quát để làm mấy bài kiểu này đi

Còn những bài đặc biệt như trên chỉ cần biến đổi tí là đc.

#3vo van duc

vo van ducThiếu úy

Điều hành viên Đại học

565 Bài viếtGiới tính:NamĐến từ:Học Sư phạm Toán, ĐH Sư phạm TP HCM

Hệ phương trình $left{egin{matrix} x_1-2x_2+x_3+2x_4=m\ x_1+x_2-x_3+x_4=2m+1\ x_1-7x_2-5x_3-x_4=-m end{matrix}
ight.$Xét ma trận hệ số bổ sung$overline{A}=egin{pmatrix} 1 & -2 & 1 & 2 & vdots & m\ 1 & 1 & -1 & 1 & vdots & 2m+1\ 1 & -7 & -5 & -1 & vdots & -m end{pmatrix}$