Giải Và Biện Luận Bất Phương Trình Bậc 2 Theo Tham Số M, Cách Giải Phương Trình Bậc 2 Chứa Tham Số M

a Ta có ngay: 3x$^2$ – x – 2 ≤ 0 $mathop Leftrightarrow limits_{{x_1} = 1,,va,,{x_2} = – frac{2}{3}}^{3{x^2} – x – 2 = 0,,co,2,nghiem} $ -$frac{2}{3}$ ≤ x ≤ 1.Vậy, tập nghiệm của bất phương trình là T = <-$frac{2}{3}$; 1>.b Ta có ngay: x$^2$ – 9x + 14 > 0 ⇔ $left< egin{array}{l}x > 7\x Vậy, tập nghiệm của bất phương trình là T = (-∞; 2) ∪ (7; +∞).Thí dụ 2. Giải các bất phương trình sau:a. -2x$^2$ + x + 1 ≤ 0. b. -x$^2$ + 6x – 14 > 0.c. 4x$^2$ – 12x + 10 d. x$^2$ + 2x + 1 ≤ 0.

a. Ta biến đổi bất phương trình về dạng: 2x$^2$ – x – 1 ≥ 0 ⇔ $left< egin{array}{l}x > 1\x Vậy, tập nghiệm của bất phương trình là T = (-∞; -$frac{1}{2}$) ∪ (1; +∞).Lưu ý: Như vậy, để tránh nhầm lẫn ta luôn chuyển bất phương trình về dạng có hệ số a dương.b. Ta biến đổi bất phương trình về dạng:x$^2$ – 6x + 14 > 0 $mathop Leftrightarrow limits^{Delta ” = – 5 Vậy, tập nghiệm của bất phương trình là T = $mathbb{R}$.c . Ta có: Δ’ = 36 – 40 = -4 Vậy, tập nghiệm của bất phương trình là T = ø.d. Ta có biến đổi: (x + 1)$^2$ ≤ 0 ⇔ x + 1 = 0 ⇔ x = -1.Vậy, tập nghiệm của bất phương trình là T = {-1}.Chú ý: Với bài toán “Giải và biện luận bất phương trình bậc hai” ta thực hiện như sau:Xét hai trường hợp:Trường hợp 1: Nếu a = 0 (nếu có).Trường hợp 2: Nếu a ≠ 0, thực hiện theo các bước:Bước 1: Tính Δ (hoặc Δ”) rồi lập bảng xét dấu chung cho a và Δ (hoặc Δ”).Bước 2: Dựa vào bảng ta xét các trường hợp xảy ra.Bước 3: Kết luận.Thí dụ 3. Giải và biện luận các bất phương trình:a. x$^2$ + 2x + 6m > 0. b. 12x$^2$ + 2(m + 3)x + m ≤ 0.
a. Ta có thể trình bày theo các cách sau:Cách 1: Ta có Δ” = 1 – 6m. Xét ba trường hợp:Trường hợp 1: Nếu Δ” $frac{1}{6}$ ⇒ f(x) > 0, ∀x ∈ $mathbb{R}$ ⇒ nghiệm của bất phương trình là ∀x ∈ $mathbb{R}$.Trường hợp 2: Nếu Δ” = 0 ⇔ m = $frac{1}{6}$ ⇒ f(x) > 0, ∀x ∈ $mathbb{R}${$ – frac{1}{2}$} ⇒ nghiệm của bất phương trình là ∀x ∈ $mathbb{R}$ {-1}.Trường hợp 3: Nếu Δ” > 0 ⇔ m Khi đó f(x) = 0 có hai nghiệm phân biệt x$_1$ = -1 – $sqrt {1 – 6m} $ và x$_2$ = -1 + $sqrt {1 – 6m} $.Dễ thấy, x$_1$

Dựa vào bảng xét dấu, suy ra tập nghiệm của bất phương trình là T = (-$frac{1}{2}$; -$frac{m}{6}$).Khả năng 2: Nếu x$_1$ > x$_2$ ⇔ m > 3.Khi đó, ta có bảng xét dấu:

Với m Với m = 1/2, ta có: $left{ egin{array}{l}a Với 1/2 0.Khi đó f(x) = 0 có hai nghiệm phân biệt ${x_1} = frac{{m + 1 – sqrt {Delta “} }}{{m – 1}},,& ,,{x_2} = frac{{m + 1 + sqrt {Delta “} }}{{m – 1}}$.Trường hợp này a

⇒ nghiệm của (1) là x$_2$ ≤ x ≤ x$_1$.Với 1 0 và Δ’ > 0: $left{ egin{array}{l}a > 0\Delta ” > 0end{array}
ight.$⇒ f(x) = 0 có hai nghiệm phân biệt x$_1$, x$_2$Trường hợp này a > 0 nên x$_2$ > x$_1$ do đó:
⇒ nghiệm của (1) là x x$_2$.Với m = 5, ta có: $left{ egin{array}{l}a > 0\Delta ” = 0end{array}
ight.$⇒ $left{ egin{array}{l}f(x) > 0,,forall x
e 3/2\f(x) = 0,khi,x = 3/2end{array}
ight.$⇒ nghiệm của (1) là ∀x ≠ $frac{3}{2}$. Với m > 5, ta có: $left{ egin{array}{l}a > 0\Delta ” 0, ∀x ∈ $mathbb{R}$ ⇒ (1) đúng với ∀x ∈ $mathbb{R}$.Kết luận:Với m ≤ 1/2, thì (1) vô nghiệm.Với 1/2 Với 1 x$_2$.Với m = 5, nghiệm của (1) là ∀x ≠ $frac{3}{2}$.Với m > 5, thì (1) đúng với ∀x ∈ $mathbb{R}$.Thí dụ 5. Cho phương trình: (m – 2)x$^2$ + 2(2m – 3)x + 5m – 6 = 0. (1)Tìm các giá trị của tham số m để phương trình:a. Vô nghiệm. b. Có nghiệm.c. Có đúng một nghiệm. d. Có hai nghiệm phân biệt.

Ta xét hai trường hợp sau:Trường hợp 1: Nếu m – 2 = 0 ⇔ m = 2.(1) ⇔ 0.x$^2$ + 2x + 4 = 0 ⇔ x = -2.Trường hợp 2: Nếu m – 2 ≠ 0 ⇔ m ≠ 2. Khi đó:a. Để (1) vô nghiệm điều kiện là: $Delta ” 0 ⇔ $left< egin{array}{l}m 3end{array} ight.$.Vậy, bất phương trình vô nghiệm khi m 3.b. Để (1) có nghiệm điều kiện là: Δ’ ≥ 0 ⇔ -m$^2$ + 4m - 3 ≥ 0 ⇔ m$^2$ - 4m + 3 ≤ 0 ⇔ 1 ≤ m ≤ 3.Vậy, bất phương trình có nghiệm khi 1 ≤ m ≤ 3.c. Để (1) có đúng một nghiệm điều kiện là: Δ’ = 0 ⇔ -m$^2$ + 4m - 3 = 0 ⇔ m = 1 hoặc m = 3.Vậy, bất phương trình có đúng một nghiệm khi m ∈{1, 2, 3}.d. Để (1) có hai nghiệm phân biệt điều kiện là: Δ’ > 0 ⇔ -m$^2$ + 4m – 3 > 0 ⇔ 1 Vậy, bất phương trình có hai nghiệm phân biệt khi m ∈(1; 3){2}.Thí dụ 6. Cho phương trình: x$^2$ + 2(m – 1)x + m – 1 = 0. (1)Tìm các giá trị của tham số m để phương trình:1. Vô nghiệm.2. Có hai nghiệm phân biệt x$_1$, x$_2$ thoả mãn:a. x$_1$, x$_2$ trái dấu. b. x$_1$, x$_2$ cùng dấu.c. x$_1$, x$_2$ dương. d. x$_1$, x$_2$ không dương.
1. Để (1) vô nghiệm điều kiện là: $Delta ” Vậy, bất phương trình vô nghiệm khi 0 2. Ta lần lượt:a. Để (1) có hai nghiệm trái dấu điều kiện là: a.f(0) Vậy, với m b. Để (1) có hai nghiệm cùng dấu điều kiện là: $left{ egin{array}{l}Delta ” > 0\P > 0end{array}
ight.$ $ Leftrightarrow ,,left{ egin{array}{l}{m^2} – 3m > 0\m – 1 > 0end{array}
ight.$$ Leftrightarrow ,,left{ egin{array}{l}left< egin{array}{l}m > 3\m 1end{array}
ight.$ ⇔ m > 3.Vậy, với m > 3 thoả mãn điều kiện đầu bài.c. Để (1) có hai nghiệm phân biệt dương (0 $left{ egin{array}{l}Delta ” > 0\P > 0\S > 0end{array}
ight.$ $ Leftrightarrow ,,left{ egin{array}{l}{m^2} – 3m > 0\m – 1 > 0\1 – m > 0end{array}
ight.$, vô nghiệm.Vậy, không tồn tại m thoả mãn điều kiện đầu bài.Lưu ý: Nếu biết nhận xét rằng S và P trái dấu thì khẳng định ngay vô nghiệm.

Xem thêm: Giảm Chi Phí Toàn Khóa Học Trống Cajon Tp, Khóa Học Trống Cajon

d. Để (1) có hai nghiệm phân biệt không dương (x$_1$ 0\ P ge 0\ S 0\ m – 1 ge 0\ 1 – m 3,,hoac,,m 1 end{array}
ight. Leftrightarrow m > 3$.Vậy, với m > 3 thoả mãn điều kiện đầu bài.