Giải Phương Trình Lượng Giác Nâng Cao, Bài Tập Lượng Giác Nâng Cao 11(Có Đáp Án)

Bạn đang xem 20 trang mẫu của tài liệu “Phương trình lượng giác và ứng dụng (Nâng cao)”, để tải tài liệu gốc về máy bạn click vào nút DOWNLOAD ở trên

Đang xem: Giải phương trình lượng giác nâng cao

Phương trình lượng giác và ứng dụng (Nâng cao) www.MATHVN.com Ths. Lê Văn Đoàn “Cần cù bù thông minh” www.DeThiThuDaiHoc.com – 1 – MỤC LỤC Trang Công thức lượng giác cần nắm vững ———————————————————————— 2 A – Phương trình lượng giác cơ bản —————————————————————— 5 Bài tập áp dụng —————————————————————————————— 5 Hướng dẫn giải bài tập áp dụng ———————————————————————– 8 Bài tập rèn luyện —————————————————————————————– 29 B – Phương trình bậc hai và bậc cao đối với một hàm lượng giác ————————– 32 Bài tập áp dụng —————————————————————————————— 33 Hướng dẫn giải bài tập áp dụng ———————————————————————– 35 Bài tập rèn luyện —————————————————————————————– 56 C – Phương trình bậc nhất theo sin và cos ———————————————————- 59 Bài tập áp dụng —————————————————————————————— 59 Hướng dẫn giải bài tập áp dụng ———————————————————————– 62 Bài tập rèn luyện —————————————————————————————– 81 D – Phương trình lượng giác đẳng cấp ————————————————————— 84 Bài tập áp dụng —————————————————————————————— 85 Hướng dẫn giải bài tập áp dụng ———————————————————————– 87 Bài tập rèn luyện —————————————————————————————– 92 E – Phương trình lượng giác đối xứng ————————————————————— 93 Bài tập áp dụng —————————————————————————————— 94 Bài tập rèn luyện —————————————————————————————– 96 F – Phương trình lượng giác chứa căn thức và trị tuyệt đối ———————————– 97 Bài tập áp dụng —————————————————————————————— 97 Bài tập rèn luyện —————————————————————————————– 99 G – Phương trình lượng giác không mẫu mực —————————————————– 101 Bài tập áp dụng —————————————————————————————— 102 Bài tập rèn luyện —————————————————————————————– 104 H – Phương trình lượng giác chứa tham số – Hai phương trình tương đương ——— 106 Bài tập áp dụng —————————————————————————————— 106 Bài tập rèn luyện —————————————————————————————– 112 I – Hệ phương trình lượng giác ————————————————————————- 116 Bài tập áp dụng —————————————————————————————— 117 J – Hệ thức lượng trong tam giác – Nhận dạng tam giác ————————————— 121 Bài tập áp dụng —————————————————————————————— 122 Bài tập rèn luyện —————————————————————————————– 125 Ths. Lê Văn Đoàn www.MATHVN.com Phương trình lượng giác và ứng dụng (Nâng cao) – 2 – www.DeThiThuDaiHoc.com CÁC CÔNG THỨC LƯỢNG GIÁC NẮM VỮNG


 Công thức cơ bản ● 2 2sin x cos x 1+ = ● tan x.cotx 1= ● sin xtan xcos x= ● cos xcotxsin x= ● os2211 tan xc x+ = ● 2211 cot xsin x+ =  Công thức cung nhân đôi – Công thức hạ bậc – Công thức cung nhân ba ● sin2x 2sin x.cos x=● 2 22 2cos x sin xcos2x2cos x 1 1 2 sin x −=  − = − ● os2 1 c 2xsin x2−= ● osos21 c 2xc x2+= ● 3sin 3x 3 sin x 4 sin x= − ● 3cos 3x 4 cos x 3cos x= −  Công thức cộng cung ● ( )sin a b sina.cosb cosa.sin b± = ± ● ( )osc a b cosa.cosb sina.sin b± = ∓ ● ( )tana tanbtan a b1 tana.tanb++ =− ● ( )tana tan btan a b1 tana.tanb−− =+ ● π 1 tan xtan x4 1 tan x  + + =   −  ● π 1 tan xtan x4 1 tan x  − − =   +  Công thức biến đổi tổng thành tích ● a b a bcosa cosb 2cos .cos2 2+ −+ = ● a b a bcosa cosb 2sin .sin2 2+ −− =− ● a b a bsina sin b 2sin .cos2 2+ −+ = ● a b a bsina sin b 2cos .sin2 2+ −− = ● ( )sin a btana tanbcosa.cosb++ = ● ( )sin a btana tanbcosa.cosb−− =  Công thức biến đổi tích thành tổng ● ( ) ( )cos a b cos a bcosa.cosb2+ + −= ● ( ) ( )sin a b sin a bsin a.cosb2+ + −= ● ( ) ( )cos a b cos a bsin a.sin b2− − +=  Một số công thức thông dụng khác ● π πsinx cosx 2 sin x 2cos x4 4      + = + = −         ● π πsinx cosx 2 sin x 2cos x4 4      − = − = +         ● 4 4 21 cos4xcos x sin x 1 s3 1in 2×2 4++ = − = ● 6 6 23 cos4xcos x sin x 1 s5 3in 2×4 8++ = − = Phương trình lượng giác và ứng dụng (Nâng cao) www.MATHVN.com Ths. Lê Văn Đoàn “Cần cù bù thông minh” www.DeThiThuDaiHoc.com – 3 –  Một số lưu ý: Điều kiện có nghiệm của phương trình sin xcos x = α = α là: 1 1− ≤α ≤ . Khi giải phương trình có chứa các hàm số tan hoặc cot , có mẫu số hoặc căn bậc chẵn thì nhất thiết phải đặt điều kiện để phương trình xác định.  Phương trình chứa tan x , điều kiện: ( ) cos x 0 x k k2π≠ ⇔ ≠ + π ∈ ℤ .  Phương trình chứa cotx , điều kiện: ( ) sin x 0 x k k≠ ⇔ ≠ π ∈ ℤ .  Phương trình chứa cả tan x và cotx , điều kiện: ( ) x k. k2π≠ ∈ ℤ . Khi tìm được nghiệm phải kiểm tra (so) với điều kiện. Ta thường dùng một trong các cách sau đây để kiểm tra điều kiện:  Kiểm tra trực tiếp bằng cách thay giá trị của x vào biểu thức điều kiện. Nếu khi thế vào, giá trị ấy làm đẳng thức đúng thì nhận nghiệm, nếu sai thì loại nghiệm.  Dùng đường tròn lượng giác, nghĩa là biểu diễn các ngọn cung của điều kiện và cung của nghiệm. Nếu các ngọn cung này trùng nhau thì ta loại nghiệm, nếu không trùng thì ta nhận nghiệm. Cách biểu diễn cung – góc lượng giác trên đường tròn: ” Nếu cung hoặc góc lượng giác AM có số đo là k2nπα + 00 k.360hay an  +    với k ,n +∈ ∈ℤ ℕ thì có n điểm M trên đường tròn lượng giác cách đều nhau”. Ví dụ 1: Nếu sđ AM k23π= + π thì có một điểm M tại vị trí 3π (ta chọn k 0= ). Ví dụ 2: Nếu sđ AM k6π= + π thì có 2 điểm M tại vị trí 6πvà 76π (ta chọn k 0,k 1= = ). Ví dụ 3: Nếu sđ  2AM k.4 3π π= + thì có 3 điểm M tại các vị trí 11;4 12π πvà 1912π, ( )k 0;1;2= . Ví dụ 4: Nếu sđ  k2AM k.4 2 4 4π π π π= + = + thì có 4 điểm M tại các vị trí 4π,34π, 54π;74π(ứng với các vị trí k 0,1,2,3= ). Ví dụ 5: Tổng hợp hai cung x k6π=− + π và x k3π= + π Biểu diễn cung x k6π= − + π trên đường tròn thì có 2 điểm tại các vị trí:6π− và 56π Biểu diễn cung x k3π= + π trên đường tròn thì có Để giải được phương trình lượng giác cũng như các ứng dụng của nó, các bạn học sinh cần nắm vững tất cả những công thức lượng giác. Đó là hành trang, là công cụ cần thiết nhất để chinh phục thế giới mang tên: “Phương trình lượng giác” Ths. Lê Văn Đoàn www.MATHVN.com Phương trình lượng giác và ứng dụng (Nâng cao) – 4 – www.DeThiThuDaiHoc.com 2 điểm tại các vị trí: 3π và 43π. Tổng hợp hai cung gồm 4 điểm như hình vẽ và cung tổng hợp là: x k3 2π π= + Đối với phương trình 221 1cos x cos x2 21 1sin x sin x2 2  = = ± ⇔  = = ±   ta không nên giải trực tiếp vì khi đó có tới 4 nghiệm, khi kết hợp và so sánh với điều kiện rất phức tạp, ta nên hạ bậc là tối ưu nhất. Nghĩa là: 2 2221cos x 2cos x 1 0 cos2x 021 cos2x 02sin x 1 0sin x2 = − = =  ⇔ ⇔   =− =  = . Tương tự đối với phương trình 22sin x 1 sin x 1cos x 1cos x 1 = = ± ⇔  = ±=  ta không nên giải như thế, mà nên biến đổi dựa vào công thức 2 2sin x cos x 1+ = . Lúc đó: 2 22 2sin x 1 cos x 0 cos x 0sin x 0cos x 1 sin x 0  = = =  ⇔ ⇔   == =    Sử dụng thành thạo câu thần chú: “” Cos đối – Sin bù – Phụ chéo “”  Đây có thể xem là câu thần chú “”đơn giản, dễ nhớ”” trong lượng giác nhưng nó lại đóng vai trò là một trong những nhân tố cần thiết, hiệu quả nhất khi giải phương trình lượng giác.  Cos đối, nghĩa là cos của hai góc đối nhau thì bằng nhau, tức là ( )cos cos−α = α , còn các cung góc lượng giác còn lại thì bằng “” – “” chính nó: ( ) ( ) ( ) sin sin , tan tan , cot tan−α =− α −α =− α −α =− α  Sin bù, nghĩa là sin của hai góc bù nhau thì bằng nhau, tức là ( )sin sinπ−α = α , còn các cung góc lượng giác còn lại thì bằng “” – “” chính nó: ( ) ( ) ( ) cos cos , tan tan , cot tanπ−α =− α π−α = − α π−α = − α  Phụ chéo, nghĩa là với hai góc phụ nhau (có tổng bằng 900) thì sin góc này bằng cos góc kia và ngược lại, tức là: sin cos , cos sin , tan cot , cot tan2 2 2 2       π π π π         −α = α −α = α −α = α −α = α                       Ta hãy thử đến với ví dụ nhỏ sau đây để thấy được hiệu quả của “” câu thần chú “” này: Giải phương trình lượng giác: sin u cos v= Rõ ràng, ở phần phương trình lượng giác cơ bản, ta chỉ biết cách giải sao cho phương trình sin u sin v= , vậy còn phương trình sin u cos v= thì sao ? Câu trả lời ở đây chính là phụ chéo, bởi: sin u cos v sin u sin v2 π  = ⇔ = −   ( ) u v k2 u v k2 , k2 2π π= − + π ∨ = + + π ∈ ℤ . Qua ví dụ này, chắc hẳn nếu trong bài gặp những phương trình dạng như 2sin x cos x3 π  = −   pi/3 5pi/6 4pi/3 –pi/6 O Phương trình lượng giác và ứng dụng (Nâng cao) www.MATHVN.com Ths. Lê Văn Đoàn “Cần cù bù thông minh” www.DeThiThuDaiHoc.com – 5 – thì các bạn học sinh sẽ không còn cảm thấy lúng túng nữa.  Một số cung góc hay dùng khác: ( )( )sin x k2 sin xcos x k2 cos x + π = + π = và ( )( )( ) sin x k2 sin xkcos x k2 cos x + π + π =−∈ + π + π =−ℤ . A – PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC CƠ BẢN  Dạng: u v k2sin u sin vu v k2 = + π= ⇔  = π− + π Đặc biệt: sin x 0 x ksin x 1 x k22sin x 1 x k22 = ⇒ = π π = ⇒ = + π π = − ⇒ =− + π Dạng: u v k2cosu cos vu v k2 = + π= ⇔  = − + π Đặc biệt: cos x 0 x k2cos x 1 x k2cos x 1 x k2 π = ⇒ = + π = ⇒ = π = − ⇒ = π+ π Dạng: tanu tan v u v kÐk : u,v k2= ⇔ = + ππ≠ + π Đặc biệt: tan x 0 x ktan x 1 x k4 = ⇔ = π π = ± ⇔ = ± + π Dạng: cotu cotv u v kÐk : u,v k= ⇔ = + π≠ π Đặc biệt: cotx 0 x k2cotx 1 x k4 π = ⇔ = + π π = ± ⇔ = ± + πBÀI TẬP ÁP DỤNG Bài 1. Giải phương trình: ( ) cos 3x 4 cos2x 3cos x 4 0 , x 0;14 − + − = ∗ ∀ ∈    Bài 2. Giải phương trình: ( )( ) ( ) 2cos x 1 2 sin x cos x sin2x sin x− + = − ∗ Bài 3. Giải phương trình: ( ) cos 3x cos2x cos x 1 0+ − − = ∗ Bài 4. Giải phương trình: ( ) sin x cos x 1 sin2x cos2x 0+ + + + = ∗ Bài 5. Giải phương trình: ( ) ( ) 2 sin x 1 cos2x sin2x 1 cos x+ + = + ∗ Bài 6. Giải phương trình: ( ) 1 1 74 sin xsin x 43sin x2 π  + = − ∗   π   −   Bài 7. Giải phương trình: ( ) 4 47sin x cos x cot x cot x8 3 6   π π   + = + − ∗        Ths. Lê Văn Đoàn www.MATHVN.com Phương trình lượng giác và ứng dụng (Nâng cao) – 6 – www.DeThiThuDaiHoc.com Bài 8. Giải phương trình: ( ) 4 44sin 2x cos 2x cos 4xtan x tan x4 4+= ∗   π π   − +        Bài 9. Giải phương trình: ( ) 3 x 1 3xsin sin 110 2 2 10 2   π π   − = +        Bài 10. Giải phương trình: ( ) sin 3x sin2x sin x 14 4   π π   − = +        Bài 11. ( ) 38 cos x cos 3x 13 π + =   Bài 12. Giải phương trình: ( ) 32 sin x 2 sin x 14 π + =   Bài 13. Giải phương trình: ( ) 3sin x 2 sin x 14 π − =   Bài 14. Giải phương trình: ( ) cos x cos2x cos 3x cos 4x 0+ + + = ∗ Bài 15. Giải phương trình: ( ) 2 2 2 3sin x sin 2x sin 3×2+ + = ∗ . Bài 16. Giải phương trình: ( ) 2 2 2sin x sin 2x sin 3x 2+ + = ∗ . Bài 17. Giải phương trình: ( ) 2 2 2 2sin x sin 3x cos 2x cos 4x+ = + ∗ Bài 18. Giải phương trình: ( ) 2 2 2 2sin 3x cos 4x sin 5x cos 6x− = − ∗ Bài 19.

Xem thêm: Cách Tải Nhạc Vào Iphone Không Cần Máy Tính Vào Iphone Không Cần Dây Cáp

Xem thêm: Giảm Giá 50% Khóa Học Làm Hoạt Hình 3D Và Quảng Cáo, Dạy Và Đào Tạo Thiết Kế Đồ Họa 2D 3Dsmax

Giải phương trình: ( )sin 2 25x 9xcos 3x sin7x 2 2cos4 2 2 π  + = + − ∗   Bài 20. Giải phương trình: ( ) 2 2 2sin x cos 2x cos 3x= + ∗ Bài 21. Giải phương trình: ( ) 22sin 2x sin 7x 1 sin x+ − = ∗ Bài 22. Giải phương trình: ( ) sin x sin2x sin 3x 1 cos x cos2x+ + = + + ∗ Bài 23. Giải phương trình: ( ) 3 3 3sin x cos 3x cos x sin 3x sin 4x+ = ∗ Bài 24. Giải phương trình: ( ) 2 3cos10x 2cos 4x 6cos 3x cos x cos x 8 cos x cos 3x+ + = + ∗ Bài 25. Giải phương trình: ( ) 3 3 24 sin x 3cos x 3sin x sin x cos x 0+ − − = ∗ Bài 26. Giải phương trình: ( )( ) ( ) 22sin x 1 3cos 4x 2sin x 4 4 cos x 3+ + − + = ∗ Bài 27. Giải phương trình: ( ) ( ) 6 6 8 8sin x cos x 2 sin x cos x+ = + ∗ Bài 28. Giải phương trình: ( ) ( ) 8 8 10 10 5sin x cos x 2 sin x cos x cos2x4+ = + + ∗ Bài 29. Giải phương trình: ( ) ( ) 3 3 5 5sin x cos x 2 sin x cos x+ = + ∗ Bài 30. Giải phương trình: ( ) 4 2 2 43cos x 4 cos x sin x sin x 0− + = ∗ Bài 31. Giải phương trình: ( ) 3 3 2 3 2cos 3x cos x sin 3x sin x8−− = ∗ Phương trình lượng giác và ứng dụng (Nâng cao) www.MATHVN.com Ths. Lê Văn Đoàn “Cần cù bù thông minh” www.DeThiThuDaiHoc.com – 7 – Bài 32. Giải phương trình: ( ) 1cos x cos2x cos 4x cos 8×16= ∗ Bài 33. Giải phương trình: ( ) 34 sin 3x cos2x 1 6sin x 8 sin x= + − ∗ Bài 34. Giải phương trình: ( ) 1cos x cos2x cos 3x cos 4x cos5x2+ + + + =− ∗ Bài 35. Giải phương trình: ( ) sin2x 2cos x sin x 10tan x 3+ − −= ∗+Bài 36. Giải phương trình: ( ) 21 sin2x cos2x2 sin x sin2x1 cot x+ += ∗+Bài 37. Giải phương trình: ( ) ( ) tan x cotx 2 sin2x cos2x+ = + ∗ Bài 38. Giải phương trình: ( ) 2tan x tan x tan 3x 2− = ∗ Bài 39. Giải phương trình: ( ) 2 2 2 11tan x cot x cot 2×3+ + = ∗ Bài 40. Giải phương trình: ( ) 2 2 2x xsin tan x cos 02 4 2 π − − = ∗   Bài 41. Giải phương trình: ( ) ( ) 2sin2x cotx tan2x 4 cos x+ = ∗ Bài 42. Giải phương trình: ( ) ( ) 2 2cot x tan x16 1 cos 4xcos2x−= + ∗ Bài 43. Giải phương trình: ( ) 12 tan x cot2x 2 sin2x2sin2x+ = + ∗ Bài 44. Giải phương trình: ( )( ) ( ) 3 sin x tan x2 1 cos x 0tan x sin x+− + = ∗−Bài 45. Giải phương trình: ( ) ( )( )( ) ( ) 2 22 21 cos x 1 cos x 1tan x sin x 1 sin x tan x24 1 sin x− + +− = + + ∗−Bài 46. Giải phương trình: ( ) cos 3x tan5x sin7x= ∗ Bài 47. Giải phương trình: ( ) 1 1sin2x sin x 2cotx2 sin x sin2x+ − − = ∗ Bài 48. Giải phương trình: ( ) ( ) 4 4sin x cos x 1tan x cot2xsin2x 2+= + ∗ Bài 49. Giải phương trình: ( ) 2 2 2 2tan x.cot 2x.cot3x tan x cot 2x cot3x= − + ∗ Bài 50. Giải phương trình: ( ) xcotx sin x 1 tan x tan 42  + + = ∗   Ths. Lê Văn Đoàn www.MATHVN.com Phương trình lượng giác và ứng dụng (Nâng cao) – 8 – www.DeThiThuDaiHoc.com HƯỚNG DẪN GIẢI PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC CƠ BẢN


Lời bình: Từ việc xuất hiện ba cung x,2x,3x , giúp ta liên tưởng đến việc đưa chúng về cùng một cung. Nhưng đưa về cung x hay cung 2x ? Các bạn có thể trả lời câu hỏi đó dựa vào quan niệm sau: ” Trong phương trình lượng giác tồn tại ba cung x,2x,3x , ta nên đưa về cung trung gian 2x nếu trong biểu thức có chứa sin2x (hoặc cos2x). Còn không chứa sin2x (hoặc cos2x), nên đưa về cung x “. Bài giải tham khảo ( ) ( ) ( )3 2 3 24 cos x 3cos x 4 2cos x 1 3cos x 4 0 4 cos x 8 cos x 0∗ ⇔ − − − + − = ⇔ − = ( )( )( )( )2cos x 0 N4 cos x cos x 2 0 x k , kcos x 2 L 2 = π⇔ − = ⇔ ⇔ = + π ∈ =ℤ . 0,5 k 3,9 3 5 7Do x 0;14 ,k 0 k 14 x ; ; ;k2 2 2 2 2  − ≤ ≤≈  π π π π π   ∈ ∈ ⇔ ≤ + π ≤ ⇔ ⇒ ∈       ∈   ℤℤ. Bài giải tham khảo ( ) ( )( )2cos x 1 2 sin x cos x 2sin x cos x sin x∗ ⇔ − + = − ( )( ) ( ) 2cos x 1 2 sin x cos x sin x 2cos x 1 0⇔ − + − − = ( ) ( ) ( )( ) 2cos x 1 2sin x cos x sin x 0 2cos x 1 sin x cos x 0 ⇔ − + − = ⇔ − + =   ( ) x k22cos x 1 0 cos x cos 3 k; l3sin x cos x 0 tan x 1 x l4 π π  = ± + π − =  =  ⇔ ⇔ ⇔ ∈ + = π = − = − + π  ℤ . Lời bình: Từ việc xuất hiện các cung 3x và 2x , chúng ta nghĩ ngay đến việc đưa chúng về cùng một cung x bằng công thức nhân ba và công thức nhân đôi của hàm cos Bài giải tham khảo ( ) 3 2 3 24 cos x 3cos x 2cos x 1 cos x 1 0 2cos x cos x 2cos x 1 0∗ ⇔ − + − − − = ⇔ + − − = ( ) ( ) ( )( ) 2 2cos x 2cos x 1 2cos x 1 0 2cos x 1 cos x 1 0⇔ + − + = ⇔ + − = Bài 1. Giải phương trình: ( ) cos 3x 4 cos2x 3cos x 4 0 , x 0;14 − + − = ∗ ∀ ∈    Trích đề thi tuyển sinh Đại học khối D năm 2002 Bài 2. Giải phương trình: ( )( ) ( ) 2cos x 1 2 sin x cos x sin2x sin x− + = − ∗ Trích đề thi tuyển sinh Đại học khối D năm 2004 Bài 3. Giải phương trình: ( ) cos 3x cos2x cos x 1 0+ − − = ∗ Trích đề thi tuyển sinh Đại học khối D năm 2006 Phương trình lượng giác và ứng dụng (Nâng cao) www.MATHVN.com Ths. Lê Văn Đoàn “Cần cù bù thông minh” www.DeThiThuDaiHoc.com – 9 – Bài 4. Giải phương trình: ( ) sin x cos x 1 sin2x cos2x 0+ + + + = ∗ Trích đề thi tuyển sinh Đại học khối B năm 2005 ( ) ( ) 2sin x 0 x k2cos x 1 sin x 0 k;l1 2cos x x l22 3 = = π  ⇔ − + = ⇔ ⇔ ∈π = − = ± + π  ℤ . Bài giải tham khảo ( ) ( ) 2sin x cos x 2 sin x cos x 2cos x 0∗ ⇔ + + + = ( ) ( ) sin x cos x 2cos x sin x cos x 0⇔ + + + = ( )( ) sin x cos x 1 2cos x 0⇔ + + = ( ) sin x cos x tan x 1 x k4 k; l1 2 2cos x cos x cos x l22 3 3 π = − =−  = − + π   ⇔ ⇔ ⇔ ∈π  π= − =  = ± + π    ℤ . Lời bình: Từ việc xuất hiện của cung 2x và cung x mà ta nghĩ đến việc chuyển cung 2x về cung x bằng công thức nhân đôi của hàm sin và cos, từ đó xuất hiện nhân tử chung ở hai vế ( ) ( )2sin x 1 2cos x 1 2 sin x cos x 1 cos x∗ ⇔ + − + = + ( ) ( ) 22sin x cos x 2 sin x cos x 1 cos x 2sin x cos x cos x 1 1 cos x 0⇔ + = + ⇔ + − + = ( )( ) ( ) 21 x k2cos x 3cos x 1 sin2x 1 0 k, l2sin2x 1 x l4 π  = ± + π = − ⇔ + − = ⇔ ⇔ ∈ π= = + π  ℤ . Lời bình: Từ việc xuất hiện hai cung 3×2π− và 7×4π− giúp ta suy nghĩ đến việc đưa hai cung khác nhau này về cùng một cung chung là x . Để làm được điều đó, ta có thể dùng công thức cộng cung hoặc dùng câu thần chú “cos đối – sin bù – phụ chéo””. Ta thực hiện hai ý tưởng đó qua hai cách giải sau đây Bài giải tham khảo Cách giải 1. Sử dụng công thức cộng cung: ( )sin a b sina.cosb cosa.sin b± = ± Bài 6. Giải phương trình: ( ) 1 1 74 sin xsin x 43sin x2 π  + = − ∗   π   −   Trích đề thi tuyển sinh Đại học khối A năm 2008 Bài 5. Giải phương trình: ( ) ( ) sin x 1 cos2x sin2x 1 cos x+ + = + ∗ Trích đề thi tuyển sinh Đại