Bài giảngGiải tích 1Giải tích 2Đại số tuyến tính (Linear Algebra)Xác suất thống kêVideo bài giảngThảo luậnThảo luận về giải tíchThảo luận ĐSTTThảo luận XSTKEbooksMaths Ebooks
Đang xem: Giải phương trình becnuli
3. Các ví dụ:
Ví dụ 1: Giải phương trình:
(1)
Ta giải bằng phương pháp biến thiên hằng số. (Các phương pháp khác, các bạn thử tự giải và so sánh kết quả nhé)
Bước 1: Giải phương trình vi phân tuyến tính thuần nhất liên kết với (1). Ta có:
Hay:
Bước 2: Nghiệm tổng quát của phương trình (1) có dạng:
Ta có:
. Thế vào phương trình (1) ta có:
.
(Rõ ràng ta triệt tiêu được những gì liên quan đến v(x)).
Từ đó:
Vậy nghiệm tổng quát của phương trình (1) là:
Ví dụ 2: Giải phương trình:
(2)
Trước tiên, ta chuyển về dạng
rồi nhận diện dạng phương trình. Ta có:
(*)
Rõ ràng, đây không phải là phương trình tách biến, phương trình đẳng cấp, pt đẳng cấp được cũng không phải là phương trình tuyến tính với y là hàm theo x. Ở đây, vế phải là phân số mà tử số chỉ có 1 số hạng.
Xem thêm: vở bài tập tiếng việt lớp 2 tập 2 trang 9
Do đó, ta coi x là hàm theo biến số y, khi đó nghịch đảo phương trình (*) ta sẽ có:
Hay:
(2′)
Đây chính là phương trình tuyến tính cấp 1 với x là hàm theo biến y:
Vậy: giải phương trình tuyến tính thuần nhất liên kết với (2′):
Vậy nghiệm tổng quát của phương trình (2′) có dạng:
Ta có:
Thế vào pt (2′) ta có:
Vậy nghiệm tổng quát của phương trình (2′) là:
4. Phương trình Bernoulli:
Phương trình Bernoulli là phương trình có dạng:
(4)
Cách giải:
Nhân 2 vế của pt (4) cho
. Ta có:
(4′)
Khi đó, ta đặt:
. Ta có:
Thế vào phương trình (4′) ta có:
Phương trình này chính là phương trình tuyến tính với z là hàm theo biến x. Bài toán được giải quyết!
Ví dụ: Giải phương trình:
(1)
Ta viết lại phương trình:
Đây là phương trình Bernoulli với
Do đó, ta nhân hai vế của phương trình với
ta có:
(*)
Ta đặt
. Thế vào (*) ta có:
(**) (phương trình tuyến tính với z là hàm theo biến x).
– Giải pt thuần nhất liên kết với (**) ta được:
– Nghiệm tổng quát của pt(**) có dạng:
.
Thế vào (**) ta tìm được:
Vậy nghiệm tổng quát của pt (**) là:
Từ đó, nghiệm tổng quát của (1) là:
5. Phương trình Ricatti:
Là phương trình vi phân có dạng:
Nhìn chung, nghiệm của phương trình không biểu diễn được ở dạng hàm sơ cấp. Tuy nhiên, nếu ta biết được 1 nghiệm riêng nào đó của phương trình, giả sử
thì bằng cách biến đổi:
ta sẽ đưa được pt về phương trình Bernoulli.