Giải Phương Trình Becnuli – Phương Trình Vi Phân Bernoulli

Bài giảngGiải tích 1Giải tích 2Đại số tuyến tính (Linear Algebra)Xác suất thống kêVideo bài giảngThảo luậnThảo luận về giải tíchThảo luận ĐSTTThảo luận XSTKEbooksMaths Ebooks

Đang xem: Giải phương trình becnuli

3. Các ví dụ:

Ví dụ 1: Giải phương trình:

(1)

Ta giải bằng phương pháp biến thiên hằng số. (Các phương pháp khác, các bạn thử tự giải và so sánh kết quả nhé)

Bước 1: Giải phương trình vi phân tuyến tính thuần nhất liên kết với (1). Ta có:

Hay:

Bước 2: Nghiệm tổng quát của phương trình (1) có dạng:

Ta có:

. Thế vào phương trình (1) ta có:

.

(Rõ ràng ta triệt tiêu được những gì liên quan đến v(x)).

Từ đó:

Vậy nghiệm tổng quát của phương trình (1) là:

Ví dụ 2: Giải phương trình:

(2)

Trước tiên, ta chuyển về dạng

rồi nhận diện dạng phương trình. Ta có:

(*)

Rõ ràng, đây không phải là phương trình tách biến, phương trình đẳng cấp, pt đẳng cấp được cũng không phải là phương trình tuyến tính với y là hàm theo x. Ở đây, vế phải là phân số mà tử số chỉ có 1 số hạng.

Xem thêm: Viết Đoạn Văn Nghị Luận Có Sử Dụng Yếu Tố Tự Sự Và Miêu Tả, Đoạn Văn Nghị Luận Có Yếu Tố Tự Sự Và Miêu Tả

Xem thêm: vở bài tập tiếng việt lớp 2 tập 2 trang 9

Do đó, ta coi x là hàm theo biến số y, khi đó nghịch đảo phương trình (*) ta sẽ có:

Hay:

(2′)

Đây chính là phương trình tuyến tính cấp 1 với x là hàm theo biến y:

Vậy: giải phương trình tuyến tính thuần nhất liên kết với (2′):

Vậy nghiệm tổng quát của phương trình (2′) có dạng:

Ta có:

Thế vào pt (2′) ta có:

Vậy nghiệm tổng quát của phương trình (2′) là:

4. Phương trình Bernoulli:

Phương trình Bernoulli là phương trình có dạng:

(4)

Cách giải:

Nhân 2 vế của pt (4) cho

. Ta có:

(4′)

Khi đó, ta đặt:

. Ta có:

Thế vào phương trình (4′) ta có:

Phương trình này chính là phương trình tuyến tính với z là hàm theo biến x. Bài toán được giải quyết!

Ví dụ: Giải phương trình:

(1)

Ta viết lại phương trình:

Đây là phương trình Bernoulli với

Do đó, ta nhân hai vế của phương trình với

ta có:

(*)

Ta đặt

. Thế vào (*) ta có:

(**) (phương trình tuyến tính với z là hàm theo biến x).

– Giải pt thuần nhất liên kết với (**) ta được:

– Nghiệm tổng quát của pt(**) có dạng:

.

Thế vào (**) ta tìm được:

Vậy nghiệm tổng quát của pt (**) là:

Từ đó, nghiệm tổng quát của (1) là:

5. Phương trình Ricatti:

Là phương trình vi phân có dạng:

Nhìn chung, nghiệm của phương trình không biểu diễn được ở dạng hàm sơ cấp. Tuy nhiên, nếu ta biết được 1 nghiệm riêng nào đó của phương trình, giả sử

thì bằng cách biến đổi:

ta sẽ đưa được pt về phương trình Bernoulli.