Giải Phương Trình Bậc 4 Có 2 Nghiệm, 1 Nghiệm, Vô Nghiệm? Cách Giải Phương Trình Bậc 4

Trong chương trình đại số ở trường phổ thông chúng ta chỉ học một loạiphương trình bậc bốn đặc biệt. Đó là phương trình trùng phương. Tuy nhiêntrong các đề thi đại học thì dạng phương trình thường khai triển và đưa vềdạng phương trình bậc bốn không thuộc dạng trùng phương

Đang xem: Giải phương trình bậc 4 có 2 nghiệm

Trường THPT chuyên Lê Quý Đôn Math08_11 GIẢI PHƯƠNG TRÌNH BẬC BỐN x 4 + ax 3 + bx 2 + cx + d = 0 Trong chương trình đại số ở trường phổ thông chúng ta chỉ học một loạiphương trình bậc bốn đặc biệt. Đó là phương trình trùng phương. Tuy nhiêntrong các đề thi đại học thì dạng phương trình thường khai triển và đưa vềdạng phương trình bậc bốn không thuộc dạng trùng phương Sau đây xin giới thiệu với các bạn cách giải các phương trình bậc bốndạng x 4 + ax 3 + bx 2 + cx + d = 0 trong đó a, b, c, d là các số thực khác không. 1. Với các phương trình bậc bốn, trong một số trường hợp cụ thể,nếu ta có cách nhìn sáng tạo, biết biến đổi hợp lí và sáng tạo, ta có thểgiải đuợc chúng không khó khăn gì.Ví dụ 1. Giải phương trình ( x 2 − a ) 2 − 6 x 2 + 4 x + 2a = 0 (1) Phương trình (1) được viết thành x 4 − 2ax 2 + a 2 − 6 x 2 + 4 x + 2a = 0hay x 4 − ( 2a + 6) x 2 + 4 x + a 2 + 2a = 0 (2) Phương trình (2) là phương trình bậc bốn đối với x mà bạn khống đuợchọc cách giải. Nhưng ta lại có thể viết phương trình (1) dưới dạng a 2 − 2( x 2 − 1) a + x 4 − 6 x 2 + 4 x = 0 (3) Và xem (3) là phương trình bậc hai đối với a.Với cách nhìn này, ta tìm được a theo x: a1, 2 = x 2 − 1 ± x 4 − 2 x 2 + 1 − x 4 +6 x 2 − 4 x = x 2 − 1 ± 4x 2 − 4x + 1 = x 2 − 1 ± ( 2 x − 1) Giải các phương trình bậc hai đối với x (4) x 2 + 2x − a − 2 = 0Và x − 2 x − a = 0 (5) 2Ta tìm đuợc các nghiệm (1) theo a.Điều kiện để (4) có nghiệm là 3 + a ≥ 0 và các nghiệm của (4) là x1, 2 = −1 ± 3 + aĐiều kiện để (5) có nghiệm là 1 + a ≥ 0 và các nghiệm của (5) là x 3, 4 = 1 ± 1 + aTổng kết a -3 -1Phương trình (4) Vô nghiệm 2 nghiệm 2 nghiệmPhương trình (5) Vô nghiệm Vô nghiệm 2 nghiệmLê Duơng Trường Giang – T*G*M 1Trang Tháng 12/2009Trường THPT chuyên Lê Quý Đôn Math08_11Phương trình (6) Vô nghiệm 2 nghiệm 4 nghiệm 1 nghiệm 3 nghiệmVí dụ 2. Giải phương trình (1) x 4 − x 3 − 5x 2 + 4x + 4 = 0 Phương trình (1) đuợc viết dưới dạng: ( ) x 4 − x3 − x 2 − 4x 2 − 4x − 4 = 0 ( )( ) x x − x −1 − 4 x − x −1 = 0 2 2 2 (x )( ) − 4 x − x −1 = 0 2 2 Vậy (1) có 4 nghiệm là 1− 5 1+ 5 x1 = −2; x 2 = 2; x3 = ; x4 = . 2 2Ví dụ 3. Giải phương trình (1) 32 x 4 − 48 x 3 − 10 x 2 + 21x + 5 = 0 Ta viết (1) dưới dạng: ( )( ) 2 16 x 4 − 24 x 3 + 9 x 2 − 7 4 x 2 − 3 x + 5 = 0 Và đặt: y = 4 x 2 − 3x thì (1) được biến đổi thành 2y2 − 7y + 5 = 0 5 Từ đó y1 = 1 và y 2 = 2 Giải tiếp các phương trình bậc hai đối với x sau đây (sau khi thay y1 = 1 và 5y2 = vào y = 4 x 2 − 3x ): 2 4 x 2 − 3x − 1 = 0Và 8 x 2 − 6 x − 5 = 0 Ta sẽ đuợc các nghiệm của (1).Ví dụ 4.

Xem thêm: Dạng 2: Lập Phương Trình Tham Số Hyperbol, Dạng 2: Lập Phương Trình Của Hypebol (H)

Xem thêm: Giải Bài Tập Thực Hành Toán Lớp 5 Tập 1, 2, Vở Bài Tập Thực Hành Toán Lớp 5 Tập 1

Giải phương trình 2 x 4 + 3 x 3 − 16 x 2 + 3 x + 2 = 0 (1) 2 e ��d Đây là phương trình bậc bốn (và là phương trình hồi quy khi = � �) a ��b Với phương trình này ta giải như sau:Chia hai vế của phương trình cho x 2 (khác không) thì (1) tương đuơng với 32 2 x 2 + 3 x − 16 + + =0 x x2 �2 1 � � 1 �Hay 2 � + 2 � 3 � + � 16 = 0 +x − x � x � � x� 1 1 Đặt y = x + thì y 2 − 2 = x 2 + 2 x x Phương trình (1) đuợc biến đổi thành: ( ) 2 y 2 − 2 + 3 y − 16 = 0hay 2 y 2 + 3 y − 20 = 0Lê Duơng Trường Giang – T*G*M 2Trang Tháng 12/2009Trường THPT chuyên Lê Quý Đôn Math08_11 5 Phương trình này có nghiệm là y1 = −4, y2 = 2 1 1 5Vì vậy x + = −4 và x + = tức là x 2 + 4 x + 1 = 0 và 2 x 2 − 5 x + 2 = 0 x x 2Từ đó ta tìm đuợc các nghiệm của (1) là: 1×1,2 = −2 3, x3 = , x4 = 2 . 2 Như vậy, với các ví dụ 2,3 và 4 ta giải đuợc phương trình bậc bốn nhờbiết biến đổi sáng tạo vế trái của phương trình để dẫn tới việc giải cácphương trình và phương trình quen thuộc. 2. Có thể giải phương trình bậc bốn nói trên bằng cách phân tích vếtrái của phương trình thành nhân tử bằng phương pháp hệ số bất định.Ví dụ 5. Giải phương trình: x 4 + 4 x3 − 10 x 2 + 37 x − 14 = 0 (1) Ta thử phân tích vế trái thành hai nhân tử bậc hai x 2 + px + q và x 2 + rx + s ,trong đó p, q, r , s là các hệ số nguyên chưa xác định.Ta có: x 4 + 4 x3 − 10 x 2 + 37 x − 14 = ( x 2 + px + q ) ( x 2 + rx + s ) (2) Đồng nhất các hệ số của những số hạng cùng bậc hai vế của đồng nhấtthức ta có hệ phương trình sau p + r = −4 s + q + pr = −10 ps + qr = 37 qs = −14 Nhờ phương trình cuối cùng của hệ này ta đoán nhận các giá trị nguyêntương ứng có thể lấy đuợc của q và s như sauq 1 2 7 14 -1 -2 -7 -14s -14 -7- 2 -1 14 72 1 Thử lần lượt các giá trị trên của q thì thấy với q = 2, s = −7 phương trìnhthứ hai và thứ ba của hệ trên cho ta hệ phương trình mới pr = −5 −7 p + 2r = 37Mà khử p đi thì đuợc 2r 2 − 37r + 35 = 0 Phương trình này cho nghiệm nguyên của r là 1. Nhờ thế ta suy ra p = −5 Thay các giá trị p, q, r , s vừa tìm được vào (2) thì có: ( )( ) x 4 + 4 x3 − 10 x 2 + 37 x − 14 = x 2 − 5 x + 2 x 2 + x − 7 Phương trình (1) ứng với ( x − 5x + 2) ( x + x − 7) = 0 2 2Giải phương trình tích này ta đuợc các nghiệm sau của (1): −1 5 17 29 x= ;x = 2 2Lê Duơng Trường Giang – T*G*M 3Trang Tháng 12/2009Trường THPT chuyên Lê Quý Đôn Math08_11 Lưu ý: Trong một số truờng hợp ta không thể dùng phương pháp này vìnhiều khi việc phân tích trên không được như mong muốn chẳng hạn khi hệtrên không có nghiệm nguyên. 3. Sau đây ta sẽ tìm công thức nghiệm của phương trình bậc bốn f ( x ) = x 4 + ax 3 + bx 2 + cx + d = 0 (1) trong đó a, b, c, d là các số thực. Dụng ý của ta là phân tích đa thức x 4 + ax3 + bx 2 + cx + d thành hai nhân tử bậchai Dùng ẩn phụ h, ta biến đổi như sau: 2 �1 1� 1 1 1 f ( x ) = � 2 + ax + h �+ bx 2 + cx + d − a 2 x 2 − h 2 − hx 2 − ahx x �2 2� 4 4 2 2 1�� 1 � �1 1 1 � �� �� � f ( x ) = � 2 + ax + h �− �h + a 2 − b � 2 + � ah − c � + � h 2 − d � (2) x x x � � �2 2�� 4 2 4 � �� �� � �Tam thức trong dấu móc vuông có dạng: Ax + Bx + C 2 Ax 2 + Bx + C có thể viết dưới dạng: Ax + Bx + C = ( Px + q ) 2 2 (3)Khi và chỉ khi B − 4 AC = 0 hay 4 AC − B = 0 2 2 2 1 1 1 � � � �� �Ta có: 4 � + a 2 − b � h 2 − d � � ah − c �= 0 − h � �4 �4 2 � �� � Đây là phương trình bậc ba đối với h nến phải có ít nhất một nghiệm thực.Giả sử nghiệm đó là h = 1 .(Ta có thể dùng công thức biểu diễn nghiệm phương trình bậc ba củaCacđanô (nhà toán học người Italia) x3 + px 2 + q = 0 (*) qua các hệ số của nó.Mọi phương trình bậc ba tổng quát: a0 y 3 + a1 y 2 + a2 y + a3 = 0, a0 0 đều có thể ađưa về dạng (*) nhờ phép biến đổi ẩn số y = x − 3a . Công thức được viết 1 0 2 3 2 3như sau: x = 3 − q + q + p + 3 − q − q + p trong đó mỗi căn thức bậc ba ở 2 4 27 2 4 27 pvế sau có ba giá trị, nhưng phải chọn các cặp giá trị có tích bằng − để cộng 3với nhau) 2 �1 1�Thế thì (2) đuợc viết dưới dạng: f ( x ) = �2 + ax + t �− ( px + q ) 2 (4) x �2 2�Vậy: �1 1 �1 1 � �f ( x ) = � 2 + ax + t + px + q �x 2 + ax + t − px + q � 0 = x � �2 2 �2 2 � � 1 �1 �Từ đó: x + � a + p � + t + q = 0 2 x 2 �2 �Lê Duơng Trường Giang – T*G*M 4Trang Tháng 12/2009Trường THPT chuyên Lê Quý Đôn Math08_11 1 1 � �hoặc x + � a − p � + t − q = 0 2 x 2 �2 �Giải hai phương trình bậc hai này ta đuợc tập hợp nghiệm của (1): 2 1�1 1 �� �x1,2 = − � a + p� � a + p �− 4q − 2t 2�2 2 �� � 2 1�1 1 �� �Và x3,4 = − � a − p� � a − p �+ 4q − 2t 2�2 2 �� �Ví dụ 6. Giải phương trình: x 4 − x3 − 7 x 2 + x + 6 = 0 Dựa vào công thức (3) ta xác định đuợc h : 2 � 29 � 1 ��1 � � 4 � + � h 2 − 6 � � h − 1 �= 0 −− h � � 4 �4 ��2 � �tức h + 7h − 25h − 175 = 0 3 2 Ta tìm đuợc một nghiệm thực h của phương trình này là h = 5 −1 7 Dựa vào (3) và với h = t = 5, a = −1,, b = −7, c = 1, d = 6 thì tính đuợc p = , q = 2 2 Phương trình đã cho sẽ đuợc diễn đạt theo (4) là: 2 2�2 1 5� � 7 1�� − 2 x + 2 �− � x − 2 �= 0 x 2� �� � �1 57 1��1 57 1�� � 2 − x + + x − �x 2 − x + − x + � 0 = x �2 �2 22 2� 22 2� �Thì đựơc tập nghiệm của phương trình đã cho là: { −1; −2;3;1} 4. Ta còn có thể giải phương trình bậc bốn bằng cách sử dụng đồthị.Thật vậy, để giải phương trình bậc bốn (1) x 4 + ax 3 + bx 2 + cx + d = 0bằng đồ thị, ta hãy đặt x = y − mx 2Phương trình (1) trở thành: y 2 − 2mxy + m 2 x 2 + axy − axm 2 + bx 2 + cx + d = 0Để khử đuợc các số hạng có xy trong phương trình này thì phải có: a−2m + a = 0 và m = 2Vậy nếu đặt a ax 2 = y − mx và m = tức x 2 = y − x 2 2 2 2 a aThì (1) trở thành: y 2 + x 2 − x 2 + bx 2 + cx + d = 0 (2) 4 2 aThay x 2 bởi y − x và biến đổi thì (2) trở thành 2Lê Duơng Trường Giang – T*G*M 5Trang Tháng 12/2009Trường THPT chuyên Lê Quý Đôn Math08_11 � a ab ��a � 3 2 a x2 + y 2 + � + − + c � + � − − 1� + d = 0 xb y �8 2 2 �� 4 �Vậy phương trình (1) tương đuơng với hệ phương trình a y = x4 + x, (3) 2 � a 3 ab � � a2 � a x2 + y 2 + � + − + c � + � − − 1� + d = 0, (4) xb y �8 2 2 �� 4 � Do đó hoành độ các giao điểm của parabol, đồ thị (3) và của đuờng tròn,đồ thị của (4), là nghiệm của phương trình (1) đã cho aNếu ta đặt my = x 2 + x(m 0) thì khi ấy nghiệm của phương trình (1) lại là 2hoành độ các giao điểm của hai parabol 12 a y= x+ x m 2m � a2 � m�− � b y m2 y 2 4� +�3Và x = +d ab a 3 ab a − −c − −c 28 2 3 Bây giờ, ta hãy vận dụng các phương pháp trên để giải các phương trìnhbậc bốn sau:1) x 4 + 4 x 3 + 3x 2 + 2 x − 1 = 0,2) x 4 + 2 x 3 + 5 x 2 + 4 x − 12 = 0,3)6 x 4 + 5 x 3 − 38 x 2 + 5 x + 6 = 0,4) x 4 + 5 x 3 − 12 x 2 + 5 x + 1 = 0,5) x 4 + 2 x 3 − 2 x 2 + 6 x − 15 = 0.Lê Duơng Trường Giang – T*G*M 6Trang Tháng 12/2009