Cách Giải Hệ Phương Trình Tuyến Tính Bằng Casio Fx, Giải Hệ Phương Trình Tuyến Tính

Mời các bạn cùng tham khảo phần 2 “Ma trận, định thức, hệ phương trình tuyến tính” thuộc tài liệu Casio Việt Nam, đại số tuyến tính dưới đây. Tài liệu trình bày về phương pháp sử dụng máy tính CASIO để hỗ trợ việc giải bài tập đại số tuyến tính, cụ thể là các vấn đề liên quan đến ma trận. Các bạn hãy đón đọc tiếp 2 tài liệu CASIO về Số phức và Không gian vector.

Đang xem: Giải hệ phương trình tuyến tính bằng casio

CASIO VIỆT NAM – ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH 2 Lâm Hữu MinhPHẦN II. MA TRẬN – ĐỊNH THỨC – HỆ PT TUYẾN TÍNHTrong tài liệu này, tôi sẽ sử dụng máy tính CASIO fx-570ES để minh họa các thủthuật, với các dòng máy khác cùng kiểu dáng, nếu trong quá trình làm phím bấmkhông giống nhau, thì các bạn chỉ cần quan sát tên chức năng mà tôi thao tác và tựtìm phím chức năng tương ứng là được.Phần này chúng ta sẽ sử dụng MODE thứ 5 và 6 – EQN và MATRIX.MODE EQN thì ai cũng đã biết sử dụng từ hồi lớp 10 rồi, nên tôi bỏ qua cho tài liệuđỡ dài, còn lại MATRIX thì nhiều người cũng đã biết chút chút, do đó trước hết tôi sẽgiới thiệu những chức năng cơ bản.Sau khi các bạn đã vào được MODE MATRIX, mép trên màn hình sẽ hiện chữ MAT,khi đó chúng ta mới bắt đầu các thao tác của MODE này.Menu của MODE MATRIX nằm ở phím 4 (các bạn có thấy chữ MATRIX chỗ đókhông?), do đó phải nhấn SHIFT 4 . Bảng hiện ra các chức năng như sau:+ 1 là Dim: viết tắt của “Dimension” là “Kích thước”. Đây là chỗ để mở một ma trậnmới, nói cách khác là thêm dữ liệu là một ma trận mới. Khi chọn vào đây (bằng cáchnhấn 1 ), máy sẽ hỏi “Matrix?” và ta phải chọn một trong 3 ma trận MatA, MatBhoặc MatC mà nó đưa ra, giả sử tôi lấy ma trận A. Khi đó nhấn tiếp 1 và chuyển đếnbước chọn “Dimension” cho ma trận. Ở đây ta có tối đa 9 loại kích thước cho ma trậnA  (aij ) mn vì m, n không vượt quá 3. Giả sử tiếp tục nhấn 1 chọn cỡ 3  3 , bây giờbảng ma trận đã hiện ra cho ta nhập giá trị các phần tử, nhìn nó rất quen thuộc nhưbảng nhập hệ số trong MODE EQN (chính vì thế hệ PT tuyến tính mới liên quan chặtchẽ đến ma trận như vậy).+ 2 là Data: xem lại “dữ liệu” đã nhập. Khi bấm vào đây (phím 2 ứng với thứ tự đãđịnh), màn hình hiện ra y hệt chỗ Dim, và ta muốn xem lại ma trận nào thì chọn sốCASIO VIỆT NAM – ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH 2 Lâm Hữu Minhtương ứng. Cả Dim và Data đều là 2 vị trí ta có thể vừa xem vừa sửa đổi giá trị cácphần tử trong ma trận.+ 3, 4, 5, 6 lần lượt là 4 ma trận MatA, MatB, MatC và MatAns để chúng ta chọn mộttrong 4 ma trận đó đưa vào phép tính (rõ ràng khi chọn số ứng với mỗi ma trận đó thìtên của nó sẽ hiện tương ứng ra màn hình như một thành phần trong phép tính bìnhthường). Ở đây có chút thắc mắc, đó là MatAns là ma trận gì mà có tên khác vậy?Nếu như ta đã quen thuộc dùng phím Ans là để xem lại kết quả sau khi tính, thìMatAns cũng vậy, xem lại kết quả sau phép tính (nếu kết quả đó là một ma trận).Trường hợp chưa có kết quả nào để lưu vào MatAns, thì khi các bạn chọn vào đó, tứclà bấm 6 rồi  để xem giá trị, máy sẽ báo lỗi “Dimension ERROR”.+ 7 là det: tính định thức. Giả sử muốn tính detA, ta chỉ cần nhập det(MatA) rồi nhấn.+ 8 là Trn: chuyển vị ma trận. Giả sử muốn tìm ma trận chuyển vị của A, ta nhập vàoTrn(MatA) rồi  , kết quả là ma trận chuyển vị (và được lưu vào MatAns).Các bạn có nghĩ rằng chức năng thứ 8 thiết kế hơi thừa hay không? Vì ma trậnchuyển vị thì cũng như số phức liên hợp, nhìn phát là đọc được ra ngay. Thực ra phảiđem đặt trong phép tính phức tạp, mới thấy rõ được sự quan trọng của nó.Bây giờ là từng bài toán chi tiết.1. Các phép tính ma trận đơn giản  1 3 2  2 5 6   0 6 6  1VD1. Tìm X biết: X   3 4 1   1 2 5    2 9 2  2  2 5 3  1 3 2   4 8 6      CASIO VIỆT NAM – ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH 2 Lâm Hữu Minh  1 3 2  2 5 6   0 6 6       2 9 2   , do đó ta cần cả 3 ma trậnTa có: X  2  3 4 1   1 2 5     2 5 3  1 3 2   4 8 6      MatA, MatB, MatC của máy.Thực hiện thao tác mở ma trận, chọn kích thước 3  3 trong Dim, ta lần lượt nhập vàodữ liệu của 3 ma trận:  1 3 2   2 5 6  0 6 6 MatA   3 4 1  , MatB   1 2 5  , MatC   2 9 2       2 5 3  1 3 2  4 8 6       Sau đó, nhập phép tính ra màn hình: 2( MatA  MatB  MatC ) , bấm  , kết quả là:  2 2 2 MatAns   2 38 4   4 2 2    a 1 0VD2. Cho ma trận A   0 a 1  . Tính An 0 0 a  Có tham số, phải làm sao để dùng máy tính?Đối với CASIO, mà gặp tham số, các bạn hãy nghĩ ngay đến số 1000, nó được ápdụng gần như nhiều nhất để trị tham số đấy!Nếu các bạn chưa hiểu tôi muốn nói gì và làm gì, thì bây giờ sẽ thấy sức mạnh củaCASIO thông qua con số 1000 này. 1000 1 0 Thay a  1000 và đưa ma trận này vào MatA, ta được: MatA   0 1000 1   0 0 1000  CASIO VIỆT NAM – ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH 2 Lâm Hữu MinhLoại bài toán này phải quy nạp từ n nhỏ ra n lớn, trước hết chúng ta cứ tínhA2 , A3 , A4 , A5 xem sao đã.  106 2000 1   Ra màn hình viết MatA2 ấn  , các bạn thấy gì? MatAns   0 106 2000   0 0 106  Ta hồi phục lại tham số a bằng cách thay ngược 1000  a là được ngay chứ gì, chỉ  a2 2a 1  cần khéo léo trong việc thay lại là sẽ không sai: A2  MatAns   0 a 2 2a  0 0 a 2  Bây giờ lại tính MatA3 , ta được kết quả (tôi thay luôn 1000  a cho đỡ phải viết lần 109 3  106 3000   a 3 3a 2 3a     nữa): A3   0 109 3  106    0 a 3 3a 2   0 0 109   0 0 a 3   1012 4  109 6  106   a 4 4a 3 6a 2     Tiếp tục, ta có: A4   0 1012 4  109    0 a 4 4a 3   0 0 1012   0 0 a 4  (Lưu ý: khi các bạn nhập MatA ^ (4) và  thì máy báo lỗi cú pháp “SyntaxERROR”, đó là vì người ta thiết kế tồi nên không cho tính lũy thừa với mũ lớn hơn 3,cho nên các bạn phải nhập tách ra là MatA3 MatA , tương tự như bên số phức). 1015 5  1012 1010   a 5 5a 4 10a 3     Tương tự: A5   0 1015 5  1012    0 a 5 5a 4   0 0 1015   0 0 a 5  Chừng ấy kết quả đã đủ đoán dạng tổng quát chưa nhỉ?CASIO VIỆT NAM – ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH 2 Lâm Hữu Minh  an na n1 ka n2   Trước hết, ta có thể đoán được: An   0 an na n1  , vấn đề bây giờ là tìm xem 0 0 a n  k là biểu thức nào của nTa lập bảng: n 2 3 4 5 k 1 3 6 10Nhìn như thế này không thể đoán nổi quy luật (tất nhiên mấy đứa hay đố vui nhaumấy cái dãy số, dãy chữ thì cũng sẽ đoán ra), ta hãy căn cứ vào những gì đã đoánđược trước đó. Ta thấy có 3 cái a n thì có thể viết thành n0 a n , còn 2 cái na n1 thì cóthể viết là n1a n1 , nhưng sang ka n2 lại không thấy k  n 2 , do đó ta phải nghĩ rằng klà một tam thức bậc 2 của n, tức là có thể giả sử: k  pn 2  qn  r  4 p  2q  r  1 Khi đó, lấy 3 giá trị đầu tiên trong bảng đã lập trên, ta được hệ:  9 p  3q  r  3 , 16 p  4q  r  6   1  p  2  1 1 n(n  1)đem vào MODE EQN thu được:  1  k  n2  n  , kết quả này q 2 2 2  2   r0hoàn toàn phù hợp với cặp giá trị (n, k) thứ 4 còn lại trong bảng.  n n(n  1) n 2  a na n1 a  n 2Kết quả đúng là: A    (nếu còn sợ sai, các bạn có thể lấy 0 an na n1  0 0 a n   máy thử tiếp với lũy thừa cao hơn xem k bằng mấy nhé).CASIO VIỆT NAM – ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH 2 Lâm Hữu MinhVừa rồi chỉ có 1 tham số, bây giờ chúng ta thử 2 xem thế nào nhé! x y 2   x 2 1 VD3. Thực hiện phép nhân:   1 2   3 y 0   3 2 x 2 tham số, chẳng lẽ gán 1000 cả? Không được, lẫn vào nhau mất. Nguyên tắc của tôilà sử dụng các số tròn chục, tròn trăm,… nên ta sẽ gán ( x, y )  (10000;100) (các bạnsử dụng 2 biến X, Y để gán và nhập dữ liệu vào ma trận luôn). Khi đó, tích trên trở 10100 2  10000 2 1 thành:    1 2   3 100 0    3 20000  100999999 4 Và kết quả là:  (nhớ chọn cho đúng cỡ ma trận đấy nhé).  30400 194 Bây giờ chúng ta phân tích để tìm cách gán lại (10000;100)  ( x, y ) .

Xem thêm: Hướng Dẫn Khắc Phục Lỗi Excel Printer Setup, Hướng Dẫn Khắc Phục Lỗi Excel Không Nhận Máy In

Xem thêm: Hàm Lấy Giá Trị Duy Nhất Trong Excel, Excel Lấy Giá Trị Duy Nhất Trong Một Cột

Đầu tiên viết số100999999 ra màn hình, sau đó phân tích rồi cộng trừ thêm bớt các biểu thức của X,Y một cách hợp lí nhằm làm cho kết quả bằng 0 là được.Ta có: 100999999  100000000  1000000  1  x 2  xy  1 30400  30000  400  3 x  4 y;  194  200  6  6  2 y  x 2  xy  1 4 Vậy kết quả là:    3x  4 y 6  2yẢo và có gì đó hơi… bốc phét phải không?Khi tôi chưa giải thích tại sao lại phân tích như trên thì đúng là phần lớn mọi ngườicó thể nghĩ rằng đây là một trò lừa, đem kết quả nhân tay viết ra còn việc phân tích từ100999999 thành x 2  xy  1 thì không hề chắc chắn do có rất nhiều cách phân tích.CASIO VIỆT NAM – ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH 2 Lâm Hữu MinhNhưng đây không phải là một trò lừa, nó chỉ là một chiêu cũ rích đối với tôi khi tôidạy CASIO cho những người ôn thi Đại học mà thôi.Tôi sẽ lí giải việc phân tích cho từng số một.Đầu tiên là 100999999, ta có nhiều cách phân tích chẳng hạn:  y 4  y3  1100999999  100000000  1000000  1   2  xy  xy  1Tuy nhiên nhân ma trận cũng như nhân đa thức, chúng ta phải nhìn bậc các phần tửmỗi ma trận, nó giống như mỗi hạng tử của 1 đa thức. Bằng cách quan sát bậc caonhất của mỗi đa thức ta biết được bậc cao nhất của kết quả nhân là mấy. Ở đây 2 matrận, thì mỗi phần tử trong mỗi ma trận đều có bậc của x, y cao nhất là 1, cho nên bậccủa x, y trong các phần tử của ma trận kết quả cao nhất chỉ có thể là 2 mà thôi. Vì vậyviết thành y 4  y 3  1 , tới tận bậc 4 liền, là sai, và viết xy 2  xy  1 thì hạng tử xy 2cũng vọt lên bậc 3 rồi, sai luôn.Mọi sự kết hợp khác của x, y như xy 2 ,100 xy để thành 100000000 đều là không phùhợp, do đó nó chỉ có thể là x 2 , tương tự 1000000 chỉ có thể là xy thôi, và do đó100999999  x 2  xy  1Còn số 30400, nó là kết quả của hàng 2 ma trận thứ 1 nhân với cột 1 ma trận thứ 2,nhìn vào 2 chỗ đó thấy rằng kết quả phải có cả x, y, cho nên ta không thể phân tích30400  3 y 2  4 y được, mà phải là 3x  4 yCòn số 194 thì quá rõ rồi, không cần phải giải thích thêm.Như vậy phương pháp này cần đến sự suy nghĩ một chút, nếu không dễ sai như chơi.Nhìn tôi giải thích có vẻ dài và mệt nhọc, nhưng thực ra bấm máy chỉ mất tầm 20sthôi, khi đã quen rồi thì phân tích rất nhanh.CASIO VIỆT NAM – ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH 2 Lâm Hữu MinhBởi vậy, đây là một số phép tính để các bạn luyện tập, hãy kiểm tra xem kết quả bấmcủa các bạn có giống tôi không nhé:  2 x x  y 3  1 2 3y  1)  2 4 0  4 2 x  3 y 4    1 y  3 5  1 0 6     6x  4 y  3 2 x 2  xy  x 6 xy  4 x  4 y  18     14 8 x  12 y  4 6 y  16   4y  8 2 3 y  2 xy  6 x  9 y  2 18  y    2  x  y  1 2 5 T   2)  1  y 2    4 x  1 3 x      x 2  y 2  2 xy  22 x  2 y  6 7x  3 8 x 2  4 xy  2 x  y  4     2 x  17 y2  4 11x  3 y  2   10 x  5 y  9 2x  2 y  5 2 x  20 x  1   (Có viết được cú pháp của bài này không? Trn( MatA) 2 hoặc Trn( MatA2 ) ).  x2 y 2   1 x      1 y  13)  2 2    2  y      x 1 1   y2 2 x   2x  y x  2 y    x 1  y 1     xy  y 3 y    x 2  y 2  2 xy  3x  3 y x 2  2 xy  2 x  3 y   Kết luận chung: 2 biến không nên lạm dụng cách này vì khó xử lí, dễ sai.2. Định thức  1 3 2 VD1. Tìm điều kiện tham số để ma trận khả nghịch: A   3 7 m  5     m 2m 1  CASIO VIỆT NAM – ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH 2 Lâm Hữu MinhĐiều kiện là det A  0 , vậy ta phải tính detADùng biến M của máy thay cho m, gán M = 1000 rồi nhập ma trận vào MatA, ta  1 3 2  được: MatA   3 7 1005   1000 2000 1  Nhập phép tính det( MatA) ấn  , ta được kết quả: 1003002  m 2  3m  2  m  1Vậy điều kiện là: m 2  3m  2  0   m  2 0 1 5 1 a b ab 2 1 1 1VD2. Tính D1  và D2  b ab a 0 1 0 1 ab a b 3 2 4 2Xét D1 , thấy hàng thứ 3 có tới 2 số 0, nên ta sẽ khai triển theo hàng 3, thu được 2 matrận cấp thấp hơn, đem nhập chúng vào MatA và MatB rồi viết cú pháp quen thuộc làxong:0 1 5 1 0 5 1 0 1 52 1 1 1   2 1 1  2 1 1   det( MatA)  det( MatB )  00 1 0 1 3 4 2 3 2 43 2 4 2Còn D2 , như phương pháp đã biết, ta dùng 2 biến A, B của máy thay cho a, b, thực 10000 100 10100hiện gán ( A, B)  (10000;100) ta được: D2  100 10100 10000 10100 10000 100Bấm máy, ta được một số có vẻ không mong muốn: 2,000002  1012Không sao, vẫn tiến hành thêm bớt như thường.CASIO VIỆT NAM – ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH 2 Lâm Hữu MinhĐầu tiên thấy 2,000002  1012  2  1012  2a3 , ta thêm vào 2a 3 thì kết quả mới là:det( MatA)  2a3  2000000 , thấy chưa, kết quả giảm rồi đấy!Quan sát định thức đề bài, trông rất là đối xứng, do đó ta chọn 2000000  2b3 làhợp lí hơn cả, vậy ta có: det( MatA)  2a 3  2b3Đây gọi là sự linh hoạt qua luyện tập nhiều! 1 0 pVD3. Tìm điều kiện khả nghịch rồi tìm ma trận nghịch đảo của A   1 1 0  2 1 1     1 0 1000 Với p  1000 , ta được: A   1 1 0  2 1 1  Đưa nó vào MatA, ta được: det( MatA)  999  1  p . Vậy điều kiện là p  1  x11 x12 x13 Giả sử A   x21 1 x22 x23  là ma trận nghịch đảo của A, điều đó đồng nghĩa với: x x32 x33   31AA1  A1 A  I 3  1 0 1000   x11 x12 x13   1 0 0 Tức là ta có:  1 1 0   x21 x22 x23    0 1 0  2 1 1   x31 x32 x33   0 0 1    1 1  x11   999  1  p  x11  1000 x31  1    1 1Lập tức vào MODE EQN giải hệ:  x11  x21  0 ta được:  x21   2 x  x  x  0  999 p  1  11 21 31  1  x31   p 1CASIO VIỆT NAM – ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH 2 Lâm Hữu Minh  1    1 p   1 Vậy cột thứ nhất của A1 là c1 ( A1 )     p 1  1   p 1  Giữ nguyên hệ vừa nhập trong EQN, chỉ quay lại sửa các hệ số tự do, ta được hệ mới:  1000 p  p   x12      999 1  p  1 p  x12  1000 x32  0   1999 2 p  1  2 p 1 x12  x22  1   x22    c2 ( A1 )   2 x  x  x  0  999 p 1  p 1  12 22 32  1 1  1   x32    p 1   999 p  1  Tiếp tục quay lại lần cuối để sửa hệ số tự do, ta tìm được cột còn lại của A1 :  1000 p  p   x13  999  p  1   p 1 x13  1000 x33  0    1000 p  p  x13  x23  0   x23     c3 ( A1 )   2 x  x  x  1  999 1  p 1 p  13 23 33  1 1  1   x33    1 p   999 1  p    1 p p    1 p 1 p p 1  1 2 p 1 p Kết luận: A1    p 1 p  1 1  p   1 1 1   p 1 p  1 1  p  Nhanh phải không? Chỉ mất tầm 1 phút để vừa bấm vừa viết xong cái A1Nhưng vấn đề là sẽ có nhiều người còn thắc mắc lí do tại sao lại làm được như trên,và nguyên nhân của việc thắc mắc đấy chính là các bạn nắm không chắc kiến thức!CASIO VIỆT NAM – ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH 2 Lâm Hữu MinhCó bao nhiêu phương pháp tìm ma trận nghịch đảo?  A11 A21 A31  1 ATìm ma trận phụ hợp rồi áp dụng công thức A1  A22 A32  , hoặc sử det A  12  A13 A23 A33 dụng phép khử Gauss-Jordan. Phương pháp mà tôi chọn để bấm máy ở trên chính làGauss-Jordan quen thuộc!Các bạn thông thường chỉ áp dụng phương pháp này theo kiểu bổ sung ma trận rồi  1 p p  1 0 0   1 p 1 p p 1 1 0 p 1 0 0    1 2 p 1 p biến đổi từ  1 1 0 0 1 0  về  0 1 0 phải 2 1 1 0 0 1  p 1 p  1 1  p     1 1 1  0 0 1 p 1 p  1 1  p  không?Nếu các bạn không hiểu cách tôi bấm máy, thì đó là do các bạn quên mất phươngpháp Gauss-Jordan có nguồn gốc như thế nào rồi.  x11 x12 x13 Phương pháp đó có nguồn gốc như sau: gọi A1   x21 x22 x23  là ma trận nghịch x x32 x33   31  a11 a12 a13   a11 a12 a13  x11 x12 x13   1 0 0 đảo của A   a21 a22 a23  , khi đó a  21 a22 a23   x21 x22 x23    0 1 0  a  31 a32 a33  a  31 a32 a33   x31 x32 x33   0 0 1   a11 a12 a13  x11   1 Do đó 3 cột của A sẽ thỏa mãn 3 hệ thức sau:  a21 a22 1 a23      x21    0  , a a33      31 a32  x31   0  a11 a12 a13  x12   0   a11 a12 a13  x13   0 a a23      a23     21 a22  x22    1  và  a21 a22  x23    0 a a33     a a33     31 a32  x32   0   31 a32  x33   1 CASIO VIỆT NAM – ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH 2 Lâm Hữu Minh  a11 x11  a12 x21  a13 x31  1 3 hệ thức này tương đương với 3 hệ phương trình: a21 x11  a22 x21  a23 x31  0 , a x  a x  a x  0  31 11 32 21 33 31 a11 x12  a12 x22  a13 x32  0  a11 x13  a12 x23  a13 x33  0  a21 x12  a22 x22  a23 x32  1 và a21 x13  a22 x23  a23 x33  0 . Đây chính là 3 hệ tôi đãa x  a x  a x  0  a x  a x  a x 1 31 12 32 22 33 32  31 13 32 23 33 33bấm máy, chúng chỉ khác nhau mỗi hệ số tự do (mà chỉ có mỗi 0 với 1), nên sửa vàbấm rất nhanh.  a11 a12 a13 1   Để giải 3 hệ trên, ta xét 3 ma trận hệ số của 3 hệ lần lượt là H1   a21 a22 a23 0  , a a33 0   31 a32  a11 a12 a13 0   a11 a12 a13 0     H 2   a21 a22 a23 1  và H 3   a21 a22 a23 0  a a33 0  a a33 1   31 a32  31 a32Ta lần lượt thực hiện các phép biến đổi theo hàng 3 ma trận trên để đưa về dạng sau,  1 0 0 x11   1 0 0 x12     thu được 3 nghiệm: H1  H1 ”   0 1 0 x21  , H 2  H 2 ”   0 1 0 x22  và 0 0 1 x  0 0 1 x   31   32   1 0 0 x13   H 3  H 3 ”   0 1 0 x23  0 0 1 x   33 Trong phương pháp Gauss-Jordan, tác giả đã gộp cả 3 ma trận trên làm một thay vìtách riêng như vậy, có nghĩa là H1 , H 2 , H 3 sẽ được gộp lại thànhCASIO VIỆT NAM – ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH 2 Lâm Hữu Minh  a11 a12 a13 1 0 0   H   a21 a22 a23 0 1 0  , do đó sau khi biến đổi ta sẽ chỉ thu được 1 ma trận a a33 0 0 1   31 a32  1 0 0 x11 x12 x13   H ” chính là gộp của H1 “, H 2 “, H 3 ” : H  H ”   0 1 0 x21 x22 x23  0 0 1 x x32 x33   31Nguồn gốc của nó chỉ có vậy thôi!Câu hỏi mục này cho các bạn suy nghĩ nè: các ma trận cấp lớn hơn 3 như 4 và 5 làmsao để dùng máy tính tìm ma trận nghịch đảo trong khi MODE EQN chỉ có thể giảiđược hệ tối đa là 3 ẩn? (Tôi sẽ giải đáp sau!).3. Hệ phương trình tuyến tínhSẽ chẳng có gì đáng nói nếu cái MODE EQN của chúng ta có thể giải được tất cảnhững hệ mà ta phải làm trong bài tập Đại số tuyến tính, tiếc thay nó không đấu đượchệ 4; 5 ẩn, và vì vậy tôi phải đưa ra cho các bạn kỹ thuật ép máy tính giải hệ 4; 5 ẩndo tôi nghĩ ra.  1 3 5 1  2 1 1 4 VD1. Tìm ma trận nghịch đảo của A     5 1 1 7    7 7 9 1 Các bạn có cảm giác tôi ra đề không đúng chỗ?  x11 x12 x13 x14  x x22 x23 x24 Giả sử ma trận nghịch đảo là A   21 1 , tương tự VD3 mục 2, ta sẽ  x31 x32 x33 x34     x41 x42 x43 x44 tìm lần lượt 4 cột của A1CASIO VIỆT NAM – ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH 2 Lâm Hữu Minh  x11  3×21  5 x31  x41  1  2x  x  x  4x  0 Đầu tiên là cột 1, nó được tìm qua hệ:  11 21 31 41 , hệ này MODE 5 x   11 21 31 x  x  7 x41  0 7 x11  7 x21  9 x31  x41  0EQN botay.com!Dù EQN bó tay nhưng tôi sẽ ép nó phải giải! Cụ thể là, ta thấy PT thứ 4 của hệ có hệ  x11  3 x21  5 x31  x41  1 số to hơn cả, nên ta vứt luôn PT đó đi! Như vậy còn lại hệ: 2 x11  x21  x31  4 x41  0 5 x  x  x  7 x  0  11 21 31 41Đến đây thì sao? Ta coi x41 là tham số, cho x41  1000 và áp dụng phương pháp cũrích mà các bạn đã thấy xuyên suốt trong tài liệu này, ta được một hệ mới mà EQN  x11  3×21  5 x31  1001 thừa xử: 2 x11  x21  x31  4000 5 x  x  x  7000  11 21 31  21999 1  22 x41  x11   14  14   23997 24 x41  3Nghiệm thu được ta trả lại x41 luôn:  x21    28 28  1  x31  4Bây giờ, thế lại mấy nghiệm này vào PT đã vứt đi ban đầu, ta được PT 1 ẩn là x41 :  1  22 x41   24 x41  3  9 17   7    x41  0  x41   14   28  4 2CASIO VIỆT NAM – ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH 2 Lâm Hữu Minh  5 7   x11   9      x  Từ đó ta được:  21    28  , đó là cột thứ nhất của ma trận nghịch đảo!  x31  1      x41   4   1     2   x12  3×22  5 x32  x42  0  2x  x  x  4x  1 Sang cột thứ 2, lại chơi 1 hệ nữa:  12 22 32 42  5 x12  x22  x32  7 x42  0 7 x12  7 x22  9 x32  x42  0  x12  3×22  5 x32  1000 Vứt tiếp PT4 và cho x42  1000 , ta được: 2 x12  x22  x32  3999 5 x  x  x  7000  12 22 32  10998 2  11×42  x12   7  7   11987 12 x42  13Kết quả:  x22    14 14  1  x 32   2  2  11×42   12 x42  13  9Thế hết vào PT bị vứt: 7    7    x42  0 thu được x42  0  7   14  2  2   7      13 Vậy cột thứ 2 là  14   1     2   0   CASIO VIỆT NAM – ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH 2 Lâm Hữu MinhTương tự như vậy, các bạn tự giải nốt 2 cột còn lại.  5 2 9 11   7 7  28 28     9  13 17  3  14 Đáp số: A1   28 14 28   1 1  1 0   4 2 4   1 1 1  0    2 4 4Nhận xét: hơi dài trong bài toán tìm ma trận nghịch đảo, nhưng đối với bài toán giảihệ PT 4 ẩn thì lại rất nhanh, mất tầm 1 phút nếu đã thành thạo.Bây giờ chúng ta nâng cấp độ khó!  2 x2  2 x3  2 x5  2  x  2 x  3x  x  4 x  1 VD2. Giải hệ sau:  1 2 3 4 5 2 x1  5 x2  7 x3  3×4  10 x5  5  2 x1  4 x2  5 x3  3×4  8 x5  3Liếc qua thấy là phải biểu diễn nghiệm qua ít nhất 1 tham số rồi. Ta chọn luôn thamsố đó là x5 đi, thay nó thành t  2 x2  2 x3  2  2t  x  2 x  3x  x  1  4t Ít ra thì vẫn còn lại 4 ẩn liền:  1 2 3 4 2 x1  5 x2  7 x3  3×4  5  10t  2 x1  4 x2  5 x3  3×4  3  8tCác bạn đã biết chúng ta sẽ làm những gì chưa? Nếu muốn dùng EQN thì phải thế tới2 biến, ta chọn 2 biến đó là x4 , x5 và thực hiện thay: ( x4 , t )  (10000;100) . Đồng thờivứt luôn PT thứ 3 của hệ đi (vì trông nó dài nhất), ta còn lại hệ suy biến: 2 x2  2 x3  198 x1  2 x2  3×3  103992 x  4 x  5 x  30797 1 2 3CASIO VIỆT NAM – ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH 2 Lâm Hữu Minh  x1  20200  2 x4  2t Giải hệ này trong EQN, ta được:  x2  10098  2  x4  t  x  9999  1  x  3 4Thế đống này vào PT bị vứt: 2(2 x4  2t )  5(2  x4  t )  7(1  x4 )  3 x4  5  10t  x1  4 Đổi t từ 100 thành 1000 rồi giải, ta được x4  998  2  t . Từ đó:  x2  0  x  999  t  1  3  x1   0   4  x       2  0   0 Kết quả cuối cùng:  x3   t  1    1  (t  ) .        x4   1  2  x   1   0   5      x1  2 x2  x3  x4  1  2x  x  x  2x  0 VD3. Xác định m để hệ có nghiệm:  1 2 3 4  x1  x2  2 x3  3×4  2  4 x1  2 x2  2 x3  mTôi dùng 2 biến A và M của máy để thay thế cho x4 và m trong hệ, lúc giải thì tôi sẽkhông ghi A, M nhưng khi thao tác các bạn phải gán như vậy thì mới hoạt động được.Hệ này có một điều đặc biệt khi ta dùng máy tính, đó là tuy đề có tham số m và 4 ẩn,nghĩa là coi như 5 ẩn rồi, nhưng khi dùng máy ta sẽ vứt đi PT cuối nghĩa là mất luônm, máy chỉ phải giải 3 PT đầu với x4 coi như tham số. Chính vì chỉ còn 1 tham sốnên khi gán ta sẽ gán 1000 chứ không phải 10000 hay 100 (rõ ràng 10000 và 100 chỉđi theo cặp khi có từ 2 tham số trở lên).CASIO VIỆT NAM – ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH 2 Lâm Hữu MinhĐặt x4  1000 (tức A  1000 ), đồng thời vứt luôn PT cuối cùng đi, ta được hệ mới: x1  2 x2  x3  9992 x1  x2  x3  2000 x  x  2 x  2998 1 2 3  4001 4 x4  1  x1   8   8   11989 12 x4  11Dùng EQN, ta được:  x2    8 8  19987 20 x4  13  x3  8  8 Thay đống này vào PT4 ban đầu, ta được PT 1 ẩn tham số m, lúc này vẫn chỉ có 1tham số, nên ta lại thay m = 1000 để giải:  4 x  1   12 x4  11   20 x4  13 4  4   2   2 m  8   8   8 Đối với PT tham số m này, các bạn Solve trong bao lâu? Thời gian chờ rất lâu đúngkhông.Nếu chờ lâu như vậy thì hãy đặt câu hỏi ngay, vì loại bậc nhất 1 ẩn máy không baogiờ giải lâu đến thế nếu không có gì đó đặc biệt!Khi chờ lâu đến vậy, tôi đã nghĩ lí do là vì m = 1000 quá lớn nên máy dò lâu, vì vậytôi đã xoay sang hướng ngừng giải và dùng máy rút gọn vế trái thành dạng ax4  bnhư vậy sẽ dễ hơn.Cách rút gọn biểu thức bằng máy tính cũng dễ thôi, đầu tiên vẫn nhập biểu thức cầnrút gọn, cụ thể tôi xóa m đi rồi sửa vế trái thành:   4 x  1   12 x4  11   20 x4  13  8 4   4   2   2    8   8   8 Tôi nhân 8 với tất cả vế trái nhằm triệt tiêu mẫu số 8 đi, như vậy mới dùng máy tínhđược.CASIO VIỆT NAM – ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH 2 Lâm Hữu MinhBấm CALC và gán x4  1000 (trong máy dùng X thay cho x4 nhé), ta được kết quảkhá bất ngờ: 8Đáng lẽ nếu vế trái có dạng ax4  b thì với x4  1000 và các hệ số a, b nhỏ, kết quảphải là một số có giá trị mấy trăm (hoặc nghìn) chứ không thể là 8 được. Điều đódẫn đến nghi ngờ rằng x4 đã bị triệt tiêu sau khi rút gọn.Thật vậy, tiếp tục CALC và gán x4 với nhiều giá trị bất kì khác nhau, kết quả luônlà 8 , như vậy rõ ràng x4 đã bị triệt tiêu nên kết quả không còn phụ thuộc vào giá trịcủa x4 nữa.Vậy giá trị của vế trái sau khi rút gọn là 1 (giá trị 8 ở trên là do ta đã nhân toàn bộvế trái với 8 để rút gọn trên máy), điều đó nghĩa là PT của chúng ta trở thành: 1  mKết luận: hệ đã cho có nghiệm  m  1Nhìn chung, việc tìm nghiệm và các điều kiện nọ kia của hệ PT tuyến tính không cònlà khó đối với các bạn nữa sau khi học xong tài liệu này. Sở dĩ tôi nói vậy vì hệ màcác bạn làm bài tập và bài thi nhiều ẩn lắm cũng chỉ có đến 5 mà thôi, 6 ẩn trở lên rấthiếm gặp, mà loại 5 ẩn không tham số thì thừa giải rồi.Còn nếu như gặp phải 6 ẩn, loại ấy nếu muốn dùng EQN chúng ta phải vứt bớt PT vàẩn của hệ sao cho chỉ còn lại 3 ẩn, 3 PT. 6 ẩn mà vứt còn lại 3 ẩn thì nghĩa là phải coi3 ẩn kia như tham số và đặt lần lượt cho chúng 3 giá trị tròn chục! Ở trên các bạn mớichỉ thấy tôi đặt 2 giá trị là (10000;100) mà đã suy đoán hơi khó rồi, huống gì là 3 giátrị, chẳng hạn như (1000000;10000;100) , làm sai là cái chắc! Cho nên kỹ thuật nàykhông trị được loại 6 ẩn trở lên. Kể cả 5 ẩn mà có tham số thì cũng như 6 ẩn rồi.Hiện tại các vấn đề liên quan đến ma trận tôi mới chỉ nghĩ ra được chừng ấy kỹ thuật,nếu các bạn có gì băn khoăn hoặc có thao tác nào chưa rõ mà tôi chưa nói kĩ, thậmchí phát hiện ra tài liệu có lỗi (thiếu sót), hãy ib tôi qua địa chỉ Facebook hoặc Gmailsau: