Cách Giải Hệ Phương Trình Đối Xứng Loại 1 Chứa Căn, Hệ Phương Trình Đối Xứng Loại 1 Chứa Căn

LÝ THUYẾT VÀ PHƯƠNG PHÁP1. Dạng tồng quát của hệ đối xứng loạiI:Định nghĩa: Hệ đối xứng loại I là hệ chứa 2 ẩn x,y mà khi ta thay đổi vai trò x,y cho nhauthì hệ phương trình không thay đổi. $left{ {egin{array}{*{20}{c}} {fleft( {x,y}
ight) = 0} \ {gleft( {x,y}
ight) = 0} end{array}}
ight.$ , trong đó $left{ {egin{array}{*{20}{c}} {fleft( {x,y}
ight) = fleft( {y,x}
ight)} \ {gleft( {x,y}
ight) = gleft( {y,x}
ight)} end{array}}
ight.$Phương pháp giải tổng quát:i) Bước 1: Đặt điều kiện (nếu có)ii) Bước 2: Đặt S = x + y; P = xy (với S2 $ geqslant $4P) . Khi đó, ta đưa hệ về hệ mới chứa S,P.iii) Bước 3: Giải hệ mới tìm S,P. Chọn S,P thỏa mãn S2 $ geqslant $4P.iiii) Bước 4: Với S,P tìm được thì x,y là nghiệm của phương trình: X2 –SX + P = 0 ( định lý Viét đảo)Chú ý:i) Cần nhớ: $egin{array} {x^2} + {y^2} = {S^2} – 2P \ {x^3} + {y^3} = {S^3} – 3SP \ end{array} $…ii) Đôi khi ta phải đặt ẩn phụ:$left{ {egin{array}{*{20}{c}} {u = uleft( x
ight)} \ {v = vleft( x
ight)} end{array}}
ight.$ và $left{{egin{array}{*{20}{c}} {S = u + v} \ {P = uv} end{array}}
ight.$iii) Có những hệ phương trình trở thành hệ đối xứng loại I sau khi ta đặt ẩn phụ.

Đang xem: Giải hệ phương trình đối xứng loại 1 chứa căn

2. Một số ví dụ minh họa:Ví dụ 1:

Gải hệ phương trình sau: $left{ egin{array} {x^2} + {y^2} + xy = 7 \ {x^2} + {y^2} + x + y = 8 \ end{array}
ight.$ (1)Giải:Đặt: $left{ egin{array} S = x + y \ P = xy \ end{array}
ight.$ , với S2 $ geqslant $4P.Khi đó, hệ (1) trở thành:$egin{array} ,,,,,,,left{ {egin{array}{*{20}{c}} {{S^2} – P = 7} \ {{S^2} – 2P + S = 8} end{array}}
ight.,, Leftrightarrow left{ {egin{array}{*{20}{c}} {P = {S^2} – 7} \ {{S^2} – 2left( {{S^2} – 7}
ight) + S = 8} end{array}}
ight. \ Leftrightarrow left{ {egin{array}{*{20}{c}} {P = {S^2} – 7} \ {{S^2} – S – 6 = 0} end{array}}
ight.,,,,,, Leftrightarrow left{ {egin{array}{*{20}{c}} {P = {S^2} – 7} \ {left< {egin{array}{*{20}{c}} {S = 3} \ {S = - 2} end{array}} ight.} end{array}} ight. \ end{array} $Với: $S = 3 Rightarrow P = 2$. Khi đó, x và y là nghiệm của phương trình: ${X^2} - 3X + 2 = 0$$ Leftrightarrow left< {egin{array}{*{20}{c}} {X = 1} \ {X = 2} end{array}} ight. Leftrightarrow left< egin{array} left{ egin{array} x = 1 \ y = 2 \ end{array} ight. \ left{ egin{array} x = 2 \ y = 1 \ end{array} ight. \ end{array} ight.$Với: $S = - 2 Rightarrow P = - 3$. Khi đó, x và y là ngiệm của phương trình:${X^2} + 2X - 3 = 0$$ Leftrightarrow left< {egin{array}{*{20}{c}} {X = 1} \ {X = - 3} end{array}} ight. Leftrightarrow left< {egin{array}{*{20}{c}} {left{ {egin{array}{*{20}{c}} {x = 1} \ {y = - 3} end{array}} ight.} \ {left{ {egin{array}{*{20}{c}} {x = - 3} \ {y = 1} end{array}} ight.} end{array}} ight.$Vậy hệ đã cho có 4 nghiệm(x,y) = (1;2), (2;1), (1;–3), (–3;1).Ví dụ 2:

Giải hệ phương trình:$left{ egin{array} x + y + frac{1}{x} + frac{1}{y} = 5 \ {x^2} + {y^2} + frac{1}{{{x^2}}} + frac{1}{{{y^2}}} = 9 \ end{array}
ight.$Giải:Đặt: $left{ egin{array} u = x + frac{1}{x} \ v = y + frac{1}{y} \ end{array}
ight. Rightarrow left{ egin{array} {x^2} + frac{1}{{{x^2}}} = {u^2} – 2 \ {y^2} + frac{1}{{{y^2}}} = {v^2} – 2 \ end{array}
ight.$Khi đó, hệ (1) trở thành:$egin{array} ,,,,,,left{ {egin{array}{*{20}{c}} {u + v = 5} \ {{u^2} + {v^2} = 13} end{array}}
ight. \ Leftrightarrow { ext{ }}left{ {egin{array}{*{20}{c}} {u + v = 5} \ {{{left( {u + v}
ight)}^2} – 2uv = 13} end{array}}
ight. \ Leftrightarrow { ext{ }}left{ {egin{array}{*{20}{c}} {u + v = 5} \ {uv = 6} end{array}}
ight. \ end{array} $$ Rightarrow $ u, v là nghiệm của phương trình: X2 – 5X + 6= 0 $egin{array} Leftrightarrow ,,,,,left< {egin{array}{*{20}{c}} {X = 3} \ {X = 2} end{array}} ight. \ Leftrightarrow ,,,,,left< {egin{array}{*{20}{c}} {left{ {egin{array}{*{20}{c}} {u = 2} \ {v = 3} end{array}} ight.} \ {left{ {egin{array}{*{20}{c}} {u = 3} \ {v = 2} end{array}} ight.} end{array}} ight. \ end{array} $Trường hợp 1: u = 2; v = 3$egin{array} Rightarrow ,,,,left{ {egin{array}{*{20}{c}} {x + frac{1}{x} = 2} \ {y + frac{1}{y} = 3} end{array}} ight. \ Leftrightarrow { ext{ }}left{ {egin{array}{*{20}{c}} {x = 1} \ {y = frac{{3 + sqrt 5 }}{2}} end{array}} ight.,,, vee ,,,left{ {egin{array}{*{20}{c}} {x = 1} \ {y = frac{{3 - sqrt 5 }}{2}} end{array}} ight. \ end{array} $Trường hợp 2: u = 3; v = 2 $egin{array} Rightarrow ,,,,left{ {egin{array}{*{20}{c}} {x + frac{1}{x} = 3} \ {y + frac{1}{y} = 2} end{array}} ight. \ Leftrightarrow ,,,left{ {egin{array}{*{20}{c}} {x = frac{{3 + sqrt 5 }}{2}} \ {y = 1} end{array}} ight.,,, vee ,,,,left{ {egin{array}{*{20}{c}} {x = frac{{3 - sqrt 5 }}{2}} \ {y = 1} end{array}} ight. \ end{array} $Vậy hệ đã cho có 4 nghiệm (x,y) là:$left( {1;frac{{3 + sqrt 5 }}{2}} ight),{ ext{ }}left( {1;frac{{3- sqrt 5 }}{2}} ight),{ ext{ }}left( {frac{{3 + sqrt 5 }}{2};1} ight),{ ext{ }}left( {frac{{3 - sqrt 5 }}{2};1} ight)$.3. Điều kiện tham số để hệ đối xứng loại I cónghiệm:Phương pháp giải tổng quát:i) Bước 1: Đặt điều kiện (nếu có).ii) Bước 2: Đặt S = x + y; P = xy với điều kiện của S,P và S2 $ geqslant $4P(*).iii) Bước 3: Thay x,y bởi S,P vào hệ phương trình. Giải hệ tìm S,P theo m, rồi từ điều kiện (*) tìm m (với m là tham số)Ví dụ 3: Tìm điều kiện m để hệ phương trình sau có nghiệm:$left{ {egin{array}{*{20}{c}} {sqrt {x – 4} + sqrt {y – 1} = 4} \ {x + y = 3m} end{array}}
ight.,,,left( 1
ight)$Giải:Đặt: $left{ egin{array} u = sqrt {x – 4} { ext{ }} geqslant { ext{0}} \ v = sqrt {y – 1} { ext{ }} geqslant { ext{0}} \ end{array}
ight.$Khi đó, hệ (1) trở thành:$left{ {egin{array}{*{20}{c}} {u + v = 4} \ {{u^2} + {v^2} = 3m – 5} end{array}}
ight.$ $ Leftrightarrow $$left{ {egin{array}{*{20}{c}} {u + v = 4} \ {uv = frac{{21 – 3m}}{2}} end{array}}
ight.$Suy ra u,v là nghiệm (không âm) của phương trình:${X^2} – 4X + frac{{21 – 3m}}{2} = 0{ ext{ (*)}}$Theo đề, hệ (1) có nghiệm$ Leftrightarrow $Pt (*) có 2 nghiệm không âm.$ Leftrightarrow left{ {egin{array}{*{20}{c}} {Delta ” geqslant 0} \ {P geqslant 0} \ {S geqslant 0} end{array}}
ight.{ ext{ }},,, Leftrightarrow ,,,,left{{egin{array}{*{20}{c}} {frac{{3m – 13}}{2} geqslant 0} \ {frac{{21 – 3m}}{2} geqslant 0} end{array}}
ight.{ ext{ }} Leftrightarrow ,,{ ext{ }}frac{{13}}{3}leqslant m leqslant 7.$Vậy $frac{{13}}{3} leqslant m leqslant 7$ là giá trị cần tìm.

Xem thêm: Bài Tập Trắc Nghiệm Về Mệnh Đề Và Tập Hợp, Trắc Nghiệm Mệnh Đề Và Tập Hợp

Ví dụ 4: Tìm m để hệ phương trình sau có nghiệm thực:$left{ {egin{array}{*{20}{c}} {sqrt x + sqrt y = 1} \ {xsqrt x + ysqrt y = 1 – 3m} end{array}{ ext{ (1)}}}
ight.$Giải:Điều kiện: $x geqslant 0;{ ext{ y}} geqslant { ext{0}}$Khi đó:$left{ {egin{array}{*{20}{c}} {sqrt x + sqrt y = 1} \ {xsqrt x + ysqrt y = 1 – 3m} end{array}{ ext{ }} Leftrightarrow ,,,{ ext{ }}left{{egin{array}{*{20}{c}} {sqrt x + sqrt y = 1} \ {{{left( {sqrt x }
ight)}^3} + {{left( {sqrt y }
ight)}^3} = 1 -3m} end{array}}
ight.}
ight.$Đặt: $S = sqrt x + sqrt ygeqslant 0;{ ext{ P = }}sqrt {xy} geqslant 0{ ext{}}left( {{S^2} geqslant 4P}
ight)$Hệ phương trình trở thành:$left{ {egin{array}{*{20}{c}} {S = 1} \ {{S^3} – 3SP = 1 – 3m} end{array}}
ight.{ ext{ }} Leftrightarrow ,,,{ ext{}}left{ {egin{array}{*{20}{c}} {S = 1} \ {P = m} end{array}}
ight.$Hệ (1) có nghiệm thực$ Leftrightarrow { ext{ }}left{ {egin{array}{*{20}{c}} {{S^2} geqslant 4P} \ {P geqslant 0} \ {S geqslant 0} end{array}}
ight.{ ext{ }} Leftrightarrow { ext{}}left{ {egin{array}{*{20}{c}} {1 geqslant 4m} \ {m geqslant 0} end{array}}
ight.{ ext{ }} Leftrightarrow { ext{ 0}}leqslant { ext{m}} leqslant frac{1}{4}$Vậy ${ ext{0}} leqslant m leqslant frac{1}{4}$ là giá trị cần tìm.BÀI TẬP RÈN LUYỆNBài 1: Giải hệ phương trình: $left{ {egin{array}{*{20}{c}} {x + y + sqrt {xy} = 19} \ {{x^2} + {y^2} + xy = 133} end{array}}
ight.$.

Xem thêm: Cách Lọc Dữ Liệu Từ Sheet-Sheet Trong Excel, Cách Lọc Dữ Liệu Sang Sheet Khác Trong Excel

Bài 2: Giải hệ phương trình: $left{ egin{array} x + y + frac{1}{x} + frac{1}{y} = 4 \ {x^2} + {y^2} + frac{1}{{{x^2}}} + frac{1}{{{y^2}}} = 4 \ end{array}
ight.$.Bài 3: Tìm m để hệ phương trình có đúng 2 nghiệm thực phân biệt. $left{ egin{array} {x^2} + {y^2} = 2(1 + m) \ {(x + y)^2} = 4 \ end{array}
ight.$Bài 4: Tìm m để hệ phương trình sau có nhgiệm thực:$left{ {egin{array}{*{20}{c}} {{x^2} + {y^2} + 4x + 4y = 10} \ {xy(x + 4)(y + 4) = m} end{array}}
ight.{ ext{ }}$Bài 5: Tìm m để hệ phương trình có nghiệm thực x > 0, y > 0: $left{ egin{array} x + xy + y = m + 1 \ {x^2}y + x{y^2} = m \ end{array}
ight.$