Giải Hệ Phương Trình Bậc Nhất 2 Ẩn Bằng Định Thức, Hệ Phương Trình Bậc Nhất 2 Ẩn Và Ứng Dụng

1) Hệ (I) có nghiệm duy nhất $ Leftrightarrow $(d) và (d’) cắt nhau;2) Hệ (I) vô nghiệm$ Leftrightarrow $(d) và (d’) song song với nhau;3) Hệ (I) có vô số nghiệm $ Leftrightarrow $ (d) và (d’) trùng nhau.2.

Đang xem: Giải hệ phương trình bậc nhất 2 ẩn bằng định thức

Xem thêm: Không Giải Phương Trình Hãy Tính Giá Trị Biểu Thức Vi, Giải Toán Trên Mạng

Xem thêm: Làm Đồ Án Thuê Xây Dựng Dd&Cn, Thâm Nhập Dịch Vụ Làm Đồ Án, Luận Văn Thuê

Giải và biện luận hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn.a, Xây dựng công thứcXét hệ phương trình bậc nhất hai ẩn(I) $left{ egin{gathered} { ext{ax}} + by = c,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,(1) \ a”x + b”y = c”,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,(2) \end{gathered}
ight.$ – Nhân hai vế của phương trình (1) với b’, hai vế của phương trình (2) với –b rồi cộng các vế tương ứng, ta được$(ab” – a”b)x = cb” – c”b$ (3)- Nhân hai vế của phương trình (1) với –a’, hai vế của phương trình (2) với a rồi cộng các vế tương ứng, ta được$(ab” – a”b)y = ac” – a”c$ (4)- Trong (3) và (4) ta đặt $D = ab” – a”b,,,{D_x} = cb” – c”b,,,{D_y} = ac” – a”c$. Khi đó, ta có hệ phương trình hệ quả(II)$left{ egin{gathered} D.,x = {D_x} \ D.y = {D_y} \end{gathered}
ight.$Đối với hệ (II), ta xét các trường hợp sau:1) $D
e 0$: Hệ có một nghiệm duy nhất (x; y), trong đó$x = frac{{{D_x}}}{D};,,y = frac{{{D_y}}}{D}$2) $D = 0$${D_x}
e 0$hoặc${D_y}
e 0$: Hệ vô nghiệm${D_x} = {D_y} = 0$: Hệ có vô số nghiệm, tập nghiệm của hệ là tập nghiệm của phương trình $ax + by = c$b, Thực hành giải và biện luậnTrong thực hành giải và biện luận hệ phương trình bậc nhất hai ẩn ,định thức là một công cụ đem lại nhiều thuận tiện.Biểu thức $pq” – p”q $ với p, q, p’, q’ là những số, được gọi là một định thức cấp 2 và kí hiệu là$left| egin{gathered} p,,,,,,,,,q \ p”,,,,,,,,q” \end{gathered}
ight|,,$Như vậy, các biểu thức $D;{D_x};{D_y}$mà chúng ta gặp khi giải hệ (I) đều là những định thức cấp hai:$D = ab” – a”b = left| egin{gathered} a,,,,,,,,,b \ a”,,,,,,,,b” \end{gathered}
ight|,,,{D_x} = cb” – c”b = left| egin{gathered} c,,,,,,,,,b \ c”,,,,,,,,b” \end{gathered}
ight|,,{D_y} = ac” – a”c = left| egin{gathered} a,,,,,,,,,c \ a”,,,,,,,,c” \end{gathered}
ight|$Ta thấy trong mỗi định thức trên đều có hai hàng và hai cộtTa có thể sử dụng định thức để giải hệ phương trình bậc nhất hai ẩn.Ví dụ 2: Giải và biện luận hệ phương trình$left{ egin{gathered} mx + y = m + 1 \ x + my = 2 \end{gathered}
ight.$GiảiTrước hết, ta tính các định thức$D = left| egin{gathered} m,,,,,,,,,,1 \ 1,,,,,,,,,,,,m \end{gathered}
ight| = {m^2} – 1 = (m – 1)(m + 1)$${D_x} = left| egin{gathered} m, + 1,,,,,,,,,,,1 \ 2,,,,,,,,,,,,,,,,,m \end{gathered}
ight| = {m^2} + m – 2 = (m – 1)(m + 2)$${D_y} = left| egin{gathered} m,,,,,,,,m + 1 \ 1,,,,,,,,,,,,,,2 \end{gathered}
ight| = {m^{}} – 1$Ta phải xét các trường hợp sau:1)$D
e 0$, tức là $m
e pm 1$. Ta có:$x = frac{{{D_x}}}{D} = frac{{(m – 1)(m + 2)}}{{left( {m – 1}
ight)left( {m + 1}
ight)}} = frac{{m + 2}}{{m + 1}}$$y = frac{{{D_y}}}{D} = frac{{m – 1}}{{left( {m – 1}
ight)left( {m + 1}
ight)}} = frac{1}{{m + 1}}$Hệ có một nghiệm duy nhất $left( {x;y}
ight) = left( {frac{{m + 2}}{{m + 1}};frac{1}{{m + 1}}}
ight)$2)$D = 0$, tức là m = 1 hoặc m = -1- Nếu m = 1 thì $D = {D_x} = {D_y} = 0$và hệ trở thành $left{ egin{gathered} x + y = 2 \ x + y = 2 \end{gathered}
ight.$. Ta có$left{ egin{gathered} x + y = 2 \ x + y = 2 \end{gathered}
ight. Leftrightarrow x + y = 2 Leftrightarrow left{ egin{gathered} x in mathbb{R} \ y = 2 – x \end{gathered}
ight.$- Nếu m= -1 thì $D = 0$, nhưng ${D_x}
e 0$nên hệ vô nghiệmKết luậnVới $m
e pm 1$, hệ có nghiệm duy nhất $left( {x;y}
ight) = left( {frac{{m + 2}}{{m + 1}};frac{1}{{m + 1}}}
ight)$Với m = -1, hệ vô nghiệm;Với m = 1, hệ có vô số nghiệm (x; y) tính theo công thức$left{ egin{gathered} x in mathbb{R} \ y = 2 – x \end{gathered}
ight.$3. Ví dụ về giải hệ phương trình bậc nhất ba ẩnHệ phương trình bậc nhất ba ẩn có dạng tổng quát là$left{ egin{gathered} {a_1}x + {b_1}y + {c_1}z = {d_1} \ {a_2}x + {b_2}y + {c_2}z = {d_2} \ {a_3}x + {b_3}y + {c_3}z = {d_3} \end{gathered}
ight.$Trong đó các hệ số của ba ẩn x, y, z trong mỗi phương trình của hệ không đồng thời bẳng 0.Giải hệ phương trình trên là tìm tất cả các bộ ba số (x; y; z) đồng thời nghiệm đúng cả ba phương trình của hệ.NHẬN XÉTNguyên tắc chung để giải các hệ phương trình nhiều ẩn là khử bớt ẩn để quy về giải các phương trình hay hệ phương trình có số ẩn ít hơn. Để khử bớt ẩn, ta cũng có thể dùng các phương pháp cộng đại số hay phương pháp thế giống như đối với hệ phương trình hai ẩn.