giải bất phương trình tích lớp 8

Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (770.65 KB, 16 trang )

Đang xem: Giải bất phương trình tích lớp 8

MỤC LỤC
PHẦN I: MỞ ĐẦU Trang 2
1/ Lí do chọn đề tài Trang 2
2/ Mục đích nghiên cứu Trang 2
3/ Nhiệm vụ nghiên cứu Trang 3
4/ Pham vi và đối tượng nghiên cứu Trang 3
5/ Phương pháp nghiên cứu
Trang 3
PHẦN II: NỘI DUNG Trang 3
CHƯƠNG I: Cơ sở lý luận và thực tiễn Trang 3
1/ Cơ sở lý luận Trang 3
2/ Cơ sở thực tiễn Trang 4
CHƯƠNG II: Các biện pháp Trang 5

1/ Những giải pháp mới của đề tài. Trang 5
2/ Các phương trình thường gặp Trang 5
3/ Các dạng bất phương trình thường gặp Trang 15
CHƯƠNG III: Thực nghiệm sư phạm Trang 22
1/ Mục đích thực nghiệm Trang 22
2/ Nội dung thực nghiệm Trang 22
3/ Kết quả thực nghiệm và một số chú ý Trang 31
PHẦN III: KẾT LUẬN Trang 33
Tài lệu tham khảo Trang 35
Trang 1
Chương II . Các biện pháp
1. Những giải pháp mới của đề tài


Đề tài đưa ra các giải pháp như sau:
– Sắp xếp các dạng phương trình bất phương trình theo các mức độ.
– Xây dựng các phương pháp giải cơ bản theo từng dạng phương trình và bất phương
trình.
– Sửa chữa các sai lầm thường gặp của học sinh trong giải toán.
– Củng cố các phép biến đổi và hoàn thiện các kỹ năng giải phương trình và bất
phương trình.
– Tìm tòi những cách giải hay, khai thác bài toán.
a) Đối với học sinh yếu, kém: Củng cố kiến thức cơ bản
+ Phương pháp giải phương trình đưa được về dạng ax + b = 0.
+ Phương pháp giải phương trình tích.

+ Phương pháp giải phương trình chứa ẩn ở mẫu.
+Bất phương trình dạng: (hoặc , ,
)
b) Đối với học sinh đại trà: Phát triển tư duy, kỹ năng giải phương trình và
phương trình
+ Phát triển kỹ năng giải các dạng phương, khai thác bài toán.(nâng cao)
+ Đưa ra cách giải hay, sáng tạo, cho các dạng phương trình và bất phương trình
thường gặp
2. Các phương trình thường gặp
a. Củng cố kiến thức cơ bản về phương trình
 Phương trình đưa được về dạng ax + b = 0 (hoặc ax = c).


Dạng1: Phương trình chứa dấu ngoặc:
Phương pháp chung:
– Thực hiện bỏ dấu ngoặc.
– Thực hiện phép tính ở hai vế và chuyển vế đưa phương trình về dạng ax = c.
 Chú ý: Nếu a
≠
0, phương trình có nghiệm x =
c
a
Nếu a = 0, c
≠
0, phương trình vô nghiệm

Nếu a = 0, c = 0, phương trình có vô số nghiệm
Ví dụ 1: Giải phương trình: 5 – (x – 6) = 4(3 – 2x) (BT-11c)-SGK-tr13)
Trang 2
Gợi ý: Bỏ dấu ngoặc, chuyển vế, thu gọn, tìm nghiệm.
Giải: 5 – (x – 6) = 4(3 – 2x)
⇔
5 – x + 6 = 12 – 8x
⇔
– x + 8x = 12 – 11
⇔
7x = 1
⇔

x =
1
7
Vậy phương trình đã cho có nghiệm x =
1
7
Ví dụ 2: Giải phương trình: (x – 1) – (2x – 1) = 9 – x (2) (BT-17f)-SGK-tr14)
Gợi ý: Bỏ dấu ngoặc, chuyển vế, thu gọn, tìm nghiệm.
Lời giải sai: (x – 1) – (2x – 1) = 9 – x
⇔
x – 1 – 2x – 1 = 9 – x (bỏ dấu ngoặc sai)
⇔

x – 2x – x = 9 – 2 (chuyển vế không đổi dấu)
⇔
–2x = 7 (sai từ trên)
⇔
x = 7 – 2 = 5 (tìm nghiệm sai)
Sai lầm của học yếu kém thường gặp ở đây là:
Thực hiện bỏ dấu ngoặc sai: không đổi dấu hạng tử trong dấu ngoặc
Thực hiện chuyển vế sai: không đổi dấu hạng tử đã chuyển vế
Tìm nghiệm sai: số ở vế phải trừ số ở vế trái
Lời giải đúng: (2)
⇔
x – 1 – 2x + 1 = 9 – x

⇔
x – 2x + x = 9

⇔
0x = 7
Vậy phương trình đã cho vô nghiệm
Qua ví dụ này, giáo viên củng cố cho học sinh:
Quy tắc bỏ dấu ngoặc, quy tắc nhân, quy tắc chuyển vế, phương pháp thu gọn và
chú ý về cách tìm nghiệm của phương trình.

Dạng 2: Phương trình chứa mẫu là các hằng số:

Phương pháp chung:
– Thực hiện quy đồng mẫu ở hai vế rồi khử mẫu, đưa phương trình về dạng 1.
– Thực hiện cách giải như dạng 1.
Ví dụ 3: Giải phương trình:
1 1 1
2
2 3 6
x x x
− − −
+ − =
(3) (ví dụ 4 Sgk-tr12)
Gợi ý: Quy đồng-khử mẫu, bỏ dấu ngoặc, chuyển vế, thu gọn, tìm nghiệm.

Lời giải sai:
1 1 1
2
2 3 6
x x x
− − −
+ − =

Trang 3
⇔

3( 1) 2( 1) 1 12

6 6
x x x
− + − − −
=
(sai ở hạng tử thứ ba)
⇔

3( 1) 2( 1) 1 12x x x
− + − − − =
(sai từ trên)
⇔

4 18x
=
(sai từ trên)
⇔

4,5x
=
(sai từ trên)
Sai lầm của học ở đây là:
Sai lầm ở trên là cách đưa dấu trừ của phân thức lên tử thức chưa đúng.
Lời giải đúng:
1 1 1

2
2 3 6
x x x
− − −
+ − =

⇔

3( 1) 2( 1) ( 1) 12
6 6
x x x
− + − − −

⇔

4x
=
Vậy: S =

4
Qua ví dụ trên, giáo viên củng cố cho học sinh:
Cách quy đồng mẫu, cách chuyển dấu trừ của phân thức lên tử hoặc xuống mẫu khi
tử và mẫu của phân thức là những đa thức.
 Chú ý: Ở ví dụ trên học sinh có thể giải theo cách khác như sau:
Cách 1: (3)

− =

⇔
x = 4 Vậy: S =

4
Ví dụ 4: Giải phương trình:
2 1 2
0,5 0,25
5 4
x x
x

+ −
− = +
(4) (BT-18b)-SGK-tr14)
Gợi ý: Quy đồng-khử mẫu, bỏ dấu ngoặc, chuyển vế, thu gọn, tìm nghiệm.
Cách giải 1: (4)
⇔

4(2 ) 20 0,5 5(1 2 ) 20 0,25x x x
+ − × = − + ×

⇔

Ở ví dụ trên học sinh có thể giải theo cách khác như sau:
Cách 2: Chuyển phương trình về phân số
Trang 4
(4)
⇔

2 1 2 1
5 2 4 4
x x x
+ −
− = +
⇔

=

Cách 3: Chuyển phương trình về số thập phân
(4)
⇔

0,2 (2 ) 0,5 0,25 (1 2 ) 0,25x x x
× + − = × − +
⇔
0,4 0,2 0,5 0,5 0,5x x x
+ − = −
⇔

0,2 0,1x
=
 Phương trình tích
Phương pháp chung:
Dạng tổng quát A(x).B(x).C(x) … = 0, với A(x), B(x), C(x) là các biểu thức.
Cách giải: A(x).B(x).C(x) … = 0
⇔
A(x) = 0 hoặc B(x) = 0 hoặc C(x) = 0
 Chú ý: Để có dạng A(x).B(x).C(x) … = 0. Ta thường biến đổi như sau:
Bước 1: Đưa phương trình về dạng tích.
– Chuyển tất cả các hạng tử sang vế trái khi đó vế phải bằng 0.
– Thu gọn, tìm cách phân tích vế trái thành nhân tử.

Bước 2: Giải phương trình tích nhận được và kết luận.
Ví dụ 5: Giải phương trình (3x – 2)(4x + 5)

= 0 (BT- 21a)-Sgk-tr17)
Lời giải: (3x – 2)(4x + 5)

= 0
⇔
3x – 2 = 0 hoặc 4x + 5

= 0
⇔

−

Vậy S =
2 5
;
3 4
 
−
 
 
 Chú ý: Ở ví dụ trên Giáo viên hướng dẫn học sinh làm quen với kí hiệu sau:
(3x – 2)(4x + 5)

= −


* Tuy nhiên trong giải toán ta thường gặp phải những phương trình bắt buộc ta phải biến
đổi để đưa phương trình đã cho về phương trình tích.
Ví dụ 6: Giải phương trình x
2
– x = –2x + 2 (6) (BT-23b)-Sgk-tr17)
– Trong ví dụ trên học sinh thông thường biến đổi như sau:
(6)
⇔
x

2
– x + 2x – 2 = 0
⇔
x
2
+ x – 2 = 0 đây là phương trình rất khó chuyển về
phương trình tích đối với học sinh trung bình và yếu kém. Vì vậy giáo viên cần định
hướng cho học sinh cách giải hợp lý.
Trang 5
Chuyển vế các hạng tử rồi nhóm
Cách 1: (6)
⇔

x
2
– x + 2x – 2 = 0

⇔
x(x – 1) + 2(x – 1) = 0

⇔
(x – 1)(x + 2) = 0

⇔

1 ; 2
−
Nhóm các hạng tử rồi chuyển vế
Cách 2: (6)
⇔
x(x – 1) = – 2(x – 1)
⇔
x(x – 1) + 2(x – 1) = 0
⇔
(x – 1)(x + 2) = 0
⇔

Vậy S =

1 ; 2
−
Ví dụ 7: Giải phương trình (x + 2)(3 – 4x) = x
2
+ 4x + 4 (7) (BT-28f)-Sgk-tr7)
– Trong ví dụ trên học sinh thông thường biến đổi như sau: Bỏ dấu ngoặc, chuyển vế các
hạng tử, thu gọn hai vế phương trình.
(7)
⇔
–4x

2
– 5x + 6 – x
2
– 4x – 4 = 0
⇔
–5x
2
– 9x + 2 = 0 đây là phương trình rất khó chuyển về phương trình
tích. Giáo viên định hướng gợi ý cách phân tích hợp lý.
Giải: (7)
⇔
(x + 2)(3 – 4x) = (x + 2)

2

⇔
(x + 2)(3 – 4x) – (x + 2)
2
= 0

⇔
(x + 2)(3 – 4x – x – 2) = 0

⇔

1
2 ;
5
 
−
 
 
Giáo viên củng cố cho học sinh kinh nghiệm khi đưa phương trình về dạng tích:
Nếu nhận thấy hai vế phương trình có nhân tử chung thì ta biến đổi phương trình
và đặt ngay nhân tử chung ấy.
Nếu nhận thấy một trong hai vế của phương trình có dạng hằng đẳng thức thì ta sử
dụng ngay phương pháp hằng đẳng thức để phân tích thành nhân tử.

Khi đã chuyển vế mà ta thấy không thể phân tích vế trái thành nhân tử thì nên rút
gọn rồi tìm cách phân tích thành nhân tử.
 Phương trình chứa ẩn ở mẫu
Phương pháp chung
Bước 1: Tìm điều kiện xác định của phương trình.
Bước 2: Quy đồng mẫu hai vế của phương trình và khử mẫu.
Bước 3: Giải phương trình vừa nhận được.
Bước 4: (Kết luận). Trong các giá trị tìm được ở bước 3, các giá trị thỏa mãn điều
kiện xác định chính là nghiệm của phương trình đã cho.
Ví dụ 8: Giải phương trình
2 1 2
2 ( 2)

x
x x x x
+
− =
− −
(8) (BT 52b)-Sgk-tr33)
Trang 6
Khi giải phương trình chứa ẩn ở mẫu học sinh thường mắc các sai lầm sau:
Lời giải sai: ĐKXĐ: x
≠
2 ; x
≠

x(x + 2) – 1(x – 2) = 2 (dùng ký hiệu
⇔
là không chính xác)
⇔
x
2
+ 2x – x + 2 = 2
⇔
x
2
+ x = 0
⇔

 
Vậy S =

0 ; 1
−
(kết luận dư nghiệm)
Sai lầm của học sinh là: Dùng ký hiệu “
⇔
”không chính xác
Không kiểm tra các nghiệm tìm được với điều kiện
Lời giải đúng: ĐKXĐ: x
≠

− −
⇒
x(x + 2) – 1(x – 2) = 2 (8’)
⇔
x
2
+ 2x – x + 2 = 2
⇔
x
2
+ x = 0
⇔

 
Vậy S =

1
−

Giáo viên cần củng cố cho học sinh:
Khi khử mẫu ta chỉ thu được phương trình hệ quả của phương trình đã cho, nên ta
dùng ký hiệu “
⇒
” hay nói cách khác tập nghiệm của phương trình (8’) chưa chắc là tập
nghiệm của phương trình (8).

Kiểm tra các nghiệm tìm được với điều kiện rồi mới kết luận.
Ví dụ 9: Giải phương trình
1 3
3
2 2
x
x x
−
+ =
− −
(9) (BT 30a)-Sgk-tr23)
– Trước hết cho học sinh nhận xét mẫu thức của phương trình trước, tìm mẫu thức chung

của phương trình, rồi tìm ĐKXĐ.
– Lưu ý quy tắc đổi dấu, bước khử mẫu của phương trình và kiểm tra nghiệm.
Giải: ĐKXĐ: x
≠
2
(9)
⇔

1 3( 2) 3
2 2
x x
x x

+ − −
=
− −

Trang 7

⇒
1 + 3(x – 2) = 3 – x

⇔
1 + 3x – 6 = 3 – x

⇔
4x = 8

⇔
x = 2 (không thỏa mãn điều kiện)
Vậy phương trình vô nghiệm
Qua ví dụ này giáo viên củng cố lại ở học sinh và rèn các kỹ năng sau:
– Tìm ĐKXĐ của phương trình:
* Tìm các giá trị của ẩn để các mẫu đều khác 0. (Cho các mẫu thức khác 0)
* Tìm các giá trị của ẩn để các mẫu bằng 0, rồi loại giá trị đó. (Cho các mẫu thức bằng 0)
– Khi giải phương trình chứa ẩn ở mẫu để không sót điều kiện của phương trình nên cho
học sinh tìm trước mẫu thức chung (MTC) và cho MTC khác 0, đây là điều kiện xác định

(ĐKXĐ) của phương trình.
– Rèn cho học sinh về kỹ năng thực hiện ở các bước giải phương trình, kỹ năng về phân
tích đa thức thành nhân tử để tìm MTC, các quy tắc dấu như quy tắc đổi dấu, quy tắc dấu
ngoặc và việc triển khai tích có dấu trừ ở đàng trước.
– Rèn ở học sinh về kỹ năng nhận dạng các phương trình có mẫu là các đa thức dạng x
2
+
1; 3x
2
+ 2; x
2
+ x + 3;… hoặc là bình phương thiếu của một tổng, một hiệu luôn luôn

dương với mọi giá trị của x. Do đó khi gặp phải các mẫu thức có dạng này ta không cần
phải đặt điều kiện cho mẫu thức đó khác 0.
Ví dụ 10: Giải phương trình
2
3 2
1 2 5 4
1 1 1
x
x x x x
−
+ =
− − + +

(10)
Lời giải: ĐKXĐ: x
≠
1 ; x
2
+ x + 1 > 0
(10)
⇔

2 2
2 2
1 2 5 4( 1)

( 1)( 1) ( 1)( 1)
x x x x
x x x x x x
+ + + − −
=
− + + − + +

⇒
3x
2
+ x – 4 = 4x – 4
⇔

Xem thêm: Khóa Học Toeic 800 + Toeic Trọn Đời, Lộ Trình Tự Học Từ 0 Đến 800 Toeic

 
⇔
 
− = =
 
Vậy S =

0
b. Phát triển tư duy và kỹ năng giải phương trình
Ví dụ 11: Giải phương trình
3 4
3

−
−
= − +
(Sách Bổ trợ-Nâng cao)
– Đối với bài tập này gợi ý cách giải: Thực hiện quy đồng khử mẫu hai lần.
Lần 1: Mẫu chung là 15
Lần 2: Mẫu chung là 10
Trang 8
Hướng dẫn: (11)
⇔

3 4 9 3

15 15 15
5 2
x x
x x x
− −
− = − − +
⇔

10 2(3 4) 5(9 3 ) 150x x x
− − = − − +
(học sinh giải tiếp)
Ví dụ 12: Giải phương trình

1 2 3 4
9 8 7 6
x x x x+ + + +
+ = +
(12)
– Thông thường học sinh thực cách giải quy đồng khử mẫu như sau:
Cách 1: (12)
⇔

56.( 1) 63.( 2) 72.( 3) 84.( 4)x x x x
+ + + = + + +

⇔
56x + 56 + 63x + 126 = 72x + 216 + 84x + 336

⇔
37x = –370

⇔
x = –10
Vậy S =

10
−

– Với cách giải này thì ta không thể khai thác được gì ở bài toán này, đôi khi gặp phải bài
toán có mẫu lớn thì học sinh sẽ lúng túng, việc quy đồng khó khăn hơn. Do đó giáo viên
cần định hướng cách giải mới hay hơn, trên cơ sở đó ta có thể rút ra cách giải tổng quát
cho các bài tập có dạng tương tự.
Ta có nhận xét: Nhận thấy rằng các phân thức có tính chất đặc biệt sau:
x + 1 + 9 = x +10 Tử thức cộng mẫu thức của các phân thức đều
x + 2 + 8 = x + 10
x + 3 + 7 = x + 10
x + 4 + 6 = x + 10
Khi đó ta có cách giải như sau:
 Phương pháp thêm vào hai vế của phương trình cho cùng một hạng tử:
Cách 2: (12)

⇔

1 2 3 4
1 1 1 1
9 8 7 6
x x x x+ + + +
       
+ + + = + + +
 ÷  ÷  ÷  ÷
       

⇔

10
−
– Với cách giải này thì ta có thể có cách giải tổng quát cho các bài toán tương tự. Do đó
giáo viên cần hướng học sinh có cách nhìn tổng quát đối với bài toán, trên cơ sở đó ta đề
xuất các bài tập có dạng tương tự, phức tạp hơn.
-Khai thác bài toán:
* Thay các mẫu 9; 8; 7; 6 bởi mẫu 2009; 2008; 2007; 2006 ta có bài toán hay sau:
1)
1 2 3 4
2009 2008 2007 2006
x x x x

+ + + +
+ = +
* Thay đổi cả tử và mẫu ta có bài toán rất hay sau:
Trang 9
2)
1 2 3 4
2006
2011 2012 2013 2014
x x x x
x
− − − −
+ + + = +

3)
1 2 3 2009 2010
2010
2010 2009 2008 2 1
x x x x x
+ + + + +
+ + + + + = −
Hướng dẫn: 2)
1 2 3 4
1 1 1 1 2006 4
2011 2012 2013 2014
x x x x

x
− − − −
+ + + + + + + = + +
⇔

2010 2010 2010 2010 ( 2010)
0
2011 2012 2013 2014 1
x x x x x
+ + + + +
+ + + − =
3)

1 2 3 2009 2010
2010
2010 2009 2008 2 1
x x x x x
+ + + + +
+ + + + + = −
⇔

2011 2011 2011 2011 2011
0
2010 2009 2008 2 1
x x x x x

+ + + + +
+ + + + + =
 Phương pháp nhóm, thêm bớt, tách hạng tử:
Ví dụ 13: Giải phương trình (x + 2)(2x
2
– 5x) – x
3
= 8 (13) (Sách Bổ trợ-Nâng cao)
Gợi ý phân tích: Chuyển số 8 về vế trái, nhóm x
3
và 8
Hướng dẫn: (13)

⇔
(x + 2)(2x
2
– 5x) – (x
3
+ 8) = 0
⇔
(x + 2)(2x
2
– 5x) – (x + 2)(x
2
– 2x + 4) = 0

⇔
(x + 2)(2x
2
– 5x – x
2
+ 2x – 4) = 0
⇔
(x + 2)(x
2
+ x – 4x – 4) = 0
⇔
(x + 2)(x + 1)(x – 4) = 0 (học sinh giải tiếp)

– Trong bài tập này giáo viên cần củng cố ở học sinh phương pháp phân tích đa thức
thành nhân tử và cho học sinh nhắc lại về “Phương pháp tách một hạng tử thành nhiều
hạng tử khác” để đưa về dạng tích mà các em đã học.
Bài tốn tổng quát:
Để phân tích đa thức dạng ax
2
+ bx + c thành nhân tử, ta tách hạng tử bx thành
b
1
x + b
2
x sao cho b

1
b
2
= ac
Trong thực hành ta làm như sau:
Bước 1: Tìm tích ac.
Bước 2: Phân tích ac thành tích của hai thừa số nguyên bằng mọi cách.
Bước 3: Chọn hai thừa số mà tổng bằng b.

Chú ý trường hợp đặc biệt: Xét tổng a + b + c = 0 hoặc a – b + c = 0
Trang 10
Ví dụ 14 Giải phương trình

3 2 1
( 1)( 2) ( 3)( 1) ( 2)( 3)x x x x x x
+ =
− − − − − −
(BT.31.b/23)
Hướng dẫn: ĐKXĐ: x
≠
1; x
≠
2; x
≠
3

(14)
⇒
3(x – 3) + 2(x – 2) = x – 1 (học sinh giải tiếp)
– Với bài tập này việc giải phương trình đối với các em là dễ dàng. Nhưng vấn đề ở đây
không phải là việc giải được mà là việc nhìn nhận bài toán ở góc độ khác, khía cạnh khác
thì việc giải phương trình của chúng ta sẽ lý thú hơn.
-Khai thác bài toán:
* Bài toán (14) trên chính là bài toán phức tạp sau:
1) Ta có: (14)
⇔

2 2 2

3 2 1
3 2 4 3 6 5x x x x x x
+ =
− + − + − +

* Ta có bài toán tương tự như sau:
2)
4 3 2 1
0
( 1)( 2)( 3) ( 1)( 2)( 4) ( 1)( 3)( 4) ( 2)( 3)( 4)x x x x x x x x x x x x
+ + + =
− − − − − − − − − − − −

3)
1 1 1 1 1 1
( 1)( 2) ( 2)( 3) ( 3)( 4) ( 4)( 5) ( 5)( 6) 10x x x x x x x x x x
+ + + + =
− − − − − − − − − −
(*)
Hướng dẫn:
1 1 1
( 1)( 2) 2 1x x x x
= −
− − − −
;

1 1 1
( 2)( 3) 3 2x x x x
= −
− − − −
; …
(*)
⇔
1 1 1
6 1 10x x
− =
− −
 Phương pháp đặt ẩn phụ:

Ví dụ 15: Giải phương trình
2
2
3 1
3 4 0x x
x x
− + − + =
(15) (Sách Bổ trợ-Nâng cao)
– Đối với bài tập này nếu học sinh thực hiện quy đồng rồi khử mẫu thì việc giải phương
trình là vô cùng khó khăn (phương trình bậc 4). Vì vậy giáo viên cần hướng dẫn học sinh
có cách nhìn tổng quát tìm hướng giải thích hợp hơn.
Giải: ĐKXĐ: x

Phương trình trở thành y
2
– 3y + 2 = 0
⇔
(y – 1)(y – 2) =0
⇔
y = 1 hoặc y = 2
Khi đó
1
1x
x
+ =

2
– 2x + 1 = 0
⇔
(x – 1)
2

⇔
x = 1 (nhận)
Vậy S =

1
3. Các dạng bất phương trình thường gặp

Trang 11
Định nghĩa : Bất phương trình dạng:
(hoặc , , ) trong đó a và b là hai số đã
cho, a ≠ 0, được gọi là bất phương trình bậc nhất một ẩn.
Hoạt động 1
Trong các bất phương trình sau, hãy cho biết bất phương trình nào không là bất phương
trình bậc nhất một ẩn:
a) 2x – 3 < 0; b) 0.x + 5 > 0; c) 5x – 15 ≥ 0; d) x
2
> 0.
ĐA: Bất phương trình d)
Hai quy tắc biến đổi bất phương trình

Quy tắc chuyển vế
Từ liên hệ giữa thứ tự và phép cộng, ta có quy tắc sau (gọi là quy tắc chuyển vế) để biến
đổi tương đương bất phương trình:
Khi chuyển vế một hạng tử của bất phương trình từ vế này sang vế kia ta
phải đổi dấu hạng tử đó.

VÍ DỤ 1 Giải các bất phương trình sau:

Lời giải a) Ta có:

Hoạt động 2 Giải các bất phương trình sau:

Quy tắc nhân với một số
Từ liên hệ giữa thứ tự và phép nhân , ta có quy tắc sau (gọi là quy tắc nhân) để biến đổi
tương đương bất phương trình:
Khi nhân hai vế của bất phương trình với cùng một số khác 0, ta phải:
• Giữ nguyên chiều bất phương trình nếu số đó dương;
• Đổi chiều bất phương trình nếu số đó âm.
• VÍ DỤ Giải các bất phương trình sau: a) 0,5x < 3; b) (có biểu diễn
tập nghiệm trên trục số).
Trang 12
Lời giải a) Ta có:
0,5x < 3 0,5x.2 < 3.2 (Nhân cả hai vế với 2)
x < 6.

Vậy tập nghiệm của bất phương trình là S= .
b) Ta có:
(Nhân cả hai vế với -4 và đổi chiều)
x > -12.
Vậy tập nghiệm của bất phương trình là .
Tập nghiệm này được biểu diễn trên trục số như sau:

Hoạt động 3

Giải các bất phương trình sau (dùng quy tắc nhân):
a) 2x < 24; b) -3x < 27.
Hoạt động 4

Giải thích sự tương đương:
a) x + 3 < 7 x – 2 < 2; b) 2x < – 4 -3x > 6.
Giải bất phương trình bậc nhất một ẩn
VÍ DỤ 3 Giải bất phương trình 2x – 3 < 0 và biểu diễn tập nghiệm trên trục số.

Lời giải Ta có:

Hoạt động 5

CHÚ Ý: Để cho gọn khi trình bày, ta có thể:
• Không ghi câu giải thích;

• Khi có kết quả x < 1,5 (ở ví dụ 3) thì coi là giải xong và viết đơn giản:
Trang 13
"Nghiệm của bất phương trình 2x – 3 < 0 là x < 1,5".
VÍ DỤ 4 Giải bất phương trình -4x + 12 < 0.

Lời giải Ta có:

Giải bất phương trình đưa được về dạng bậc nhất một ẩn
VÍ DỤ 5 Giải bất phương trình 3x + 5 < 5x – 7.

Lời giải Ta có:

Hoạt động 6 Giải bất phương trình -0,2x – 0,2 > 0,4x – 2.

Ta có -0,2x-0.4x > 0.2 – 2  -0.6x > -1,8
 x <
1,8
3
0,6
−
=
−
=> x < 3
BÀI TẬP

8. Hình vẽ sau biểu diễn tập nghiệm của bất phương trình nào? (Kể ba bất phương trình
có cùng tập nghiệm).
a)
b)
9. Kiểm tra xem giá trị x = -2 có là nghiệm của bất phương trình sau không:
a)
b)
Tập nghiệm của bất phương trình
Tập hợp tất cả các nghiệm của một bất phương trình được gọi là tập nghiệm của bất
phương trình.
Giải bất phương trình là tìm tập nghiệm của bất phương trình đó.
Trang 14

VÍ DỤ 1. Tập nghiệm của bất phương trình x > 3 là tập hợp các số lớn hơn 3, tức là tập
hợp
Để dễ hình dung, ta biểu diễn tập hợp này trên trục số như hình vẽ sau:
(Trong hình vẽ trên, tất cả các điểm bên trái điểm 3 và cả điểm 3 bị gạch bỏ).
Hoạt động 2 Hãy cho biết vế trái, vế phải và tập nghiệm của bất phương trình x > 3,
bất phương trình 3 < x và phương trình x = 3.
VÍ DỤ 2. Bất phương trình x ≤ 7 có tập nghiệm là tập hợp các số nhỏ hơn hoặc bằng 7,
tức là tập hợp . Tập hợp này được biểu diễn trên trục số như sau:
(Trong hình vẽ trên, các điểm bên phải điểm 7 bị gạch bỏ nhưng điểm 7 được giữ lại).
Hoạt động 3 Viết và biểu diễn tập nghiệm của các bất phương trình sau trên các trục
số khác nhau:

Bất phương trình tương đương
Bất phương trình x > 3 và bất phương trình 3 < x có cùng tập nghiệm là .
Người ta gọi hai bất phương trình có cùng tập nghiệm là hai bất phương trình tương
đương và dùng kí hiệu " " để chỉ sự tương đương đó.
VÍ DỤ 3. .
BÀI TẬP ĐỀ NGHỊ
1. Kiểm tra xem giá trị x = 3 là nghiệm của bất phương trình nào trong các bất phương
trình sau đây:
a) 2x + 3 < 9;
b) -4x > 2x +
5;
c) 5 – x > 3x – 12.

Trang 15
2. Viết và biểu diễn tập nghiệm trên trục số của mỗi bất phương trình sau:
a) x < 4;
b) x ≤
-2;
c) x >
-3;
d) x ≥ 1.
3. Hình vẽ sau đây biểu diễn tập nghiệm của bất phương trình nào? (Chỉ cần nêu một bất
phương trình).
a)
b)

c)
d)
Trên đây là một vài ví dụ điển hình giúp các em học sinh giải quyết những khúc
mắc trong quá trình giải phương trình và bất phương trình. Vì thời gian có hạn nên
không đi sâu vào một số phương trình và bất phương trình khác như phương trình và bất
phương trình chứa dấu giá trị tuyệt đối,vv………
Bài tập kiểm tra
Giải các phương trình và bất phương trình sau
Bài 1
a/ (x+5)(x-1) = 2x(x-1)
b/ 5(x+3)(x-2) -3 (x+5)(x-2) = 0
c/ 2x

3
+ 5x
2
-3x = 0.
d/ (x-1)
2
+2 (x-1)(x+2) +(x+2)
2
=0
e/ x
2
+2x +1 =4(x

2
-2x+1)
f/
1 2 3 4
.
99 98 97 96
x x x x
+ + + +
+ = +
g/
109 107 105 103
4 0.

91 93 95 97
x x x x
− − − −
+ + + + =
Bài 2
a. Giải các bất phương trình (x – 2)
2
< x
2
+ 5 và 4x + 1 < 0. Hãy biểu diễn tập nghiệm
của chúng trên trục số.
b. Hai bất phương trình trên có tương đương với nhau không? Tại sao?

Trang 16

Tài liệu liên quan

Chuyên đề Phương trình và Bất phương trình đại số 11 853 13

Tài liệu Chuyên đề hệ thức và bất đẳng thức lượng giác trong tam giác ppt 5 1 7

Tài liệu (Luyện thi cấp tốc Toán) Chuyên đề phương trình – bất phương trình_Bài tập và hướng dẫn giải docx 26 683 8

CHUYÊN ĐỀ PHƯƠNG TRÌNH VÀ BẤT PHƯƠNG TRÌNH SIÊU VIỆT 15 358 0

Chuyên đề phương trình và bất phương trình 20 346 0

Chuyên đề phương trình và bất phương trình vô tỷ 22 442 0

Chuyên đề Phương trình Bất phương trình và Hệ phương trình thi đại học 80 622 4

chuyên đề phương trình và bất phương trình qui về bậc hai 10 543 0

chuyên đề phương trình và bất phương trình 115 808 11

Xem thêm: Tìm Hiểu Bí Mật Trong Cách Tính Tiền Của Google Adsense Như Thế Nào

Chuyên đề Phương trình và bất phương trình Lý thuyết sử dụng ẩn phụ căn thức 131 566 0