Bài Tập Giải Bất Phương Trình Mũ Cùng Cơ Số, Bất Phương Trình Mũ

Nội dung bài học giới thiệu đến các em những phương pháp giải bấtphương trình mũ và bất phương trình lôgaritnhư đưa vềcùng cơ số, mũ hóa, lôgarit hóa, đặt ẩn phụ, vận dụng tính chất hàm số. Thông những ví dụ minh họa sẽ giúp các em bước đầu biết cách giải bất phương trình mũ và lôgarit.

Đang xem: Giải bất phương trình mũ cùng cơ số

1. Video bài giảng

2. Tóm tắt lý thuyết

2.1. Bất phương trình mũ

2.2. Bất phương trình lôgarit

3. Bài tập minh hoạ

4. Luyện tập Bài 6 Chương 2 Toán 12

4.1 Trắc nghiệm vềBất phương trình mũ và bất phương trình lôgarit

4.2 Bài tập SGK và Nâng Cao vềBất phương trình mũ và bất phương trình lôgarit

5. Hỏi đáp về Bài 6 Chương 1 Toán 12

a) Phương pháp đưa về cùng cơ sốNếu(a>1):(a^x>a^yLeftrightarrow x>y)​(a^{f(x)}>a^{g(x)}Leftrightarrow f(x)>g(x))Nếu(0

({a^{f(x)}} > {a^{g(x)}} Leftrightarrow f(x) > g(x))

b) Phương pháp lôgarit hóaNếu({a^{f(x)}} > b{
m{ }}(1))

((1) Leftrightarrow left< egin{array}{l}left{ egin{array}{l}a > 1\f(x) > {log _a}bend{array}
ight.\left{ egin{array}{l}0 f(x) end{array}
ight.end{array}
ight.)

Nếu({a^{f(x)}} > {b^{g(x)}}{
m{ }}(2))

((2) Leftrightarrow left< egin{array}{l}left{ egin{array}{l}a > 1\f(x) > g(x).{log _a}bend{array}
ight.\left{ egin{array}{l}0 f(x) end{array}
ight.end{array}
ight.)

c) Phương pháp đặt ẩn phụKiểu 1:Đặt 1 ẩn đưa về phương trình theo 1 ẩn mới(a.m^{2f(x)}+b.m^{f(x)}+c>0)​: Đặt(t=m^{f(x)}), ta có(at^2+bt+c>0)(a.m^{f(x)}+b.n^{f(x)}+c>0)trong đó (m.n=1): Đặt(t=m^{f(x)}), ta có(a.t+b.frac{1}{t}+c>0)(Leftrightarrow at^2+ct+b>0)(a.m^{2f(x)}+b.m^{f(x)}.n^{g(x)}+c.n^{g(x)}>0)

Chia cả 2 vế cho(n^{2g(x)}), ta có:

​(a.left < frac{m^{f(x)}}{n^{g(x)}} ight >^2+b.frac{m^{f(x)}}{n^{g(x)}} +c>0)

Đặt(t=frac{m^{f(x)}}{n^{g(x)}}), ta có(at^2+bt+c>0)

Kiểu 2:Đặt 1 ẩn nhưng không làm mất ẩn ban đầu. Khi đó, xử lý phương trình theo các cách sau:Đưa về bất phương trình tích.Xem ẩn ban đầu như là tham số.Kiểu 3:Đặt nhiều ẩn. Khi đó xử lý phương trình theo các cách sau:Đưa về bất phương trình tích.Xem 1 ẩn là tham số.d) Phương pháp hàm sốXét hàm số(y=a^x):Nếu(a>1):(y=a^x)đồng biến trên(mathbb{R}.)Nếu(0 Tổng của hai hàm số đồng biến (NB) trên D là hàm số đồng biến (NB) trên D.Tích của hai hàm số đồng biến và nhận giá trị dương trên D là hàm số đồng biến trên D.Cho hàm số(f(x))và(g(x)), nếu:(f(x))đồng biến trên D.(g(x))​nghịch biến trên D.

⇒(f(x)-g(x))đồng biến trên D.

2.2. Bất phương trình lôgarit

a) Phương pháp đưa về cùng cơ số

Với(a>1:)(log_a f(x) >log_a g(x))(Leftrightarrow left{egin{matrix} f(x)>g(x)\ g(x)>0 end{matrix}
ight.)Với(0 {log _a}g(x) Leftrightarrow left{ egin{array}{l}f(x) f(x) > 0end{array}
ight.)

b) Phương pháp mũ hóa

Xét bất phương trình:(log_a f(x)> b (1))với(0 ​(a>1, (1)Leftrightarrow f(x)>a^b)​(0 c) Phương pháp đặt ẩn phụ

Các kiểu đặt ẩn phụ:

Kiểu 1:Đặt 1 ẩn và đưa về phương trình theo một ẩn mới.Kiểu 2:Đặt 1 ẩn và không làm mất ẩn ban đầu.Xem ẩn ban đầu là tham sốBất phương trình tíchKiểu 3:Đặt nhiều ẩnd) Phương pháp hàm số

Các nội dung cần nhớ:

Xét hàm số(y = {log _a}x,(0 (a>1, y =log_a x)đồng biến trên((0;+infty )).​(0 Xét hai hàm số(f(x))và(g(x):)Nếu(f(x))và(g(x))là hai hàm số đồng biến (nghịch biến) trên tập D thì(f(x)+g(x))là hàm số đồng biến (nghịch biến) trên tập D.Nếu(f(x))và(g(x))là hai hàm số đồng biếntrên tập D và(f(x).g(x)>0)thì(f(x).g(x))là hàm số đồng biến trên tập D.Nếu(f(x))đồng biến trên D,(g(x))nghịch biến trên D:(f(x)-g(x))đồng biến trên D.(f(x)-g(x))nghịch biến trên D.

Xem thêm: Cách Giải Hệ Phương Trình Đặt Ẩn Phụ Lớp 9 Bằng Phương Pháp Đặt Ẩn Phụ

1. Bất phương trình mũ

Ví dụ 1:

Giải bất phương trình({left( {sqrt 5 + 2}
ight)^{x – 1}} ge {left( {sqrt 5 – 2}
ight)^{ – {x^2} + 3}}.)

Lời giải:

Ta có:(left( {sqrt 5 + 2}
ight)left( {sqrt 5 – 2}
ight) = 1 Leftrightarrow sqrt 5 – 2 = frac{1}{{sqrt 5 + 2}} = {left( {sqrt 5 + 2}
ight)^{ – 1}})

Vậy: ({left( {sqrt 5 + 2}
ight)^{x – 1}} ge {left( {sqrt 5 – 2}
ight)^{ – {x^2} + 3}})(Leftrightarrow {left( {sqrt 5 + 2}
ight)^{x – 1}} ge {left( {sqrt 5 + 2}
ight)^{{x^2} – 3}} Leftrightarrow x – 1 ge {x^2} – 3)

(Leftrightarrow {x^2} – x – 2 le 0 Leftrightarrow – 1 le x le 2)

Vậy BPT có tập nghiệm(S = left< { - 1;2} ight>)

Ví dụ 2:

Giải bất phương trình({2^{{x^2} – 4}} ge {5^{x – 2}}.)

Lời giải:

Lấy logarit cơ số 2 hai vế của bất phương trình đã cho ta có:

({log _2}left( {{2^{{x^2} – 4}}}
ight) ge {log _2}left( {{5^{x – 2}}}
ight) Leftrightarrow {x^2} – 4 ge left( {x – 2}
ight){log _2}5)

(Leftrightarrow left( {x – 2}
ight)left( {x + 2 – {{log }_2}5}
ight) ge 0 Leftrightarrow left< egin{array}{l} x ge 2\ x le {log _2}5 - 2 end{array} ight.)

Vậy BPT có tập nghiệm(S = left( { – infty ;{{log }_2}5 – 2}
ight> cup left< {2; + infty } ight).)

Ví dụ 3:

Giải bất phương trình({{
m{3}}^{{
m{2x + 1}}}} – {10.3^x} + 3 le 0).

Lời giải:

({{
m{3}}^{{
m{2x + 1}}}} – {10.3^x} + 3 le 0{
m{ }})(Leftrightarrow 3.{left( {{3^x}}
ight)^2} – {10.3^x} + 3 le 0)(1)

Đặt(t = {3^x} > 0).

Ta có: (1)(Leftrightarrow 3{t^2} – 10t + 3 le 0 Leftrightarrow frac{1}{3} le t le 3)(Leftrightarrow frac{1}{3} le {3^x} le 3 Leftrightarrow {3^{ – 1}} le {3^x} le {3^1} Leftrightarrow – 1 le x le 1)

Vậy bất phương trình có nghiệm:(S = left< { - 1;1} ight>.)

Ví dụ 4:

Giải bất phương trình({3^x} + {4^x} > {5^x}.)

Lời giải:

Chia 2 vế của phương trình cho ta được:

({3^x} + {4^x} > {5^x} Leftrightarrow {left( {frac{3}{5}}
ight)^x} + {left( {frac{4}{5}}
ight)^x} > 1.)

Xét hàm số:(f(x) = {left( {frac{3}{5}}
ight)^x} + {left( {frac{4}{5}}
ight)^x},)TXĐ:(D=mathbb{R})

(f”(x) = {left( {frac{3}{5}}
ight)^x}.ln left( {frac{3}{5}}
ight) + {left( {frac{4}{5}}
ight)^x}.ln left( {frac{4}{5}}
ight) 1 Leftrightarrow x Ví dụ 5:

Giải bất phương trình({log _{frac{1}{2}}}left( {{x^2} – x – frac{3}{4}}
ight) le 2 – {log _2}5.)

Lời giải:

({log _{frac{1}{2}}}left( {{x^2} – x – frac{3}{4}}
ight) le 2 – {log _2}5 Leftrightarrow {log _{frac{1}{2}}}left( {{x^2} – x – frac{3}{4}}
ight) le {log _{frac{1}{2}}}frac{1}{4} + {log _{frac{1}{2}}}5)

(Leftrightarrow {log _{frac{1}{2}}}left( {{x^2} – x – frac{3}{4}}
ight) le {log _{frac{1}{2}}}frac{5}{4})

(egin{array}{l} Leftrightarrow {x^2} – x – frac{3}{4} ge frac{5}{4} Leftrightarrow {x^2} – x – 2 ge 0\ Leftrightarrow left< egin{array}{l} x le - 1\ x ge 2 end{array} ight. end{array})

Vậy tập nghiệm bất phương trình là(S = left( { – infty ; – 1}
ight> cup left< {2; + infty } ight)). Xem thêm: Sơ Đồ Khối Giải Phương Trình Trùng Phương, Sơ Đồ Khối Giải Phương Trình Ax2 + Bx + C = 0,

Ví dụ 6:

Giải bất phương trình({log _2}left( {1 – {{log }_9}x}
ight) Lời giải:

Điều kiện:(left{ egin{array}{l} x > 0\ 1 – 2{log _9}x > 0 end{array}
ight. Leftrightarrow 3 > x > 0)

Khi đó:({log _2}(1 – 2{log _9}x) – frac{1}{2} Leftrightarrow x > frac{1}{3})

Kết hợp với điều kiện ta được(S = left( {frac{1}{3};3}
ight))là tập nghiệm của bất phương trình.

Ví dụ 7:

Giải bất phương trình(log _2^2x – 5{log _2}x – 6 le 0.)

Lời giải:

Đặt(t = {log _2}x,)khi đó phương trình trở thành:

(egin{array}{l} {t^2} – 5t – 6 le 0\ Leftrightarrow (t + 1)(t – 6) le 0\ Leftrightarrow – 1 le t le 6 end{array})

Do đó ta có:

(egin{array}{l} – 1 le {log _2}x le 6\ Rightarrow {log _2}frac{1}{2} le {log _2}x le {log _2}64\ Rightarrow frac{1}{2} le x le 64 end{array})

Vậy tập nghiệm bất phương trình là(S = left< {frac{1}{2};64} ight>.)

Ví dụ 8:

Giải bất phương trình(x + {log _3}left( {x + 1}
ight) > 3.)

Lời giải:

ĐK:(x>1)

Xét hàm số(f(x) = x + {log _3}(x + 1))trên(left( { – 1; + infty }
ight).)