Dạng Bài Tập Về Áp Dụng Công Thức Giải Bất Phương Trình Bậc Cao

I.Một số dạng phương trình dùng phương pháp đặt ẩn phụ đưa về phương trình bậc hai

Đang xem: Giải bất phương trình bậc cao

28 trang

ngochoa2017

7876

7hướng dẫn

Xem thêm: Cách Giải Phương Trình Chứa Tham Số Lớp 10 Phải Biết, Phương Trình Bậc Hai Chứa Tham Số

Bạn đang xem 20 trang mẫu của tài liệu “Chuyên đề: Phương trình- Bất phương trình bậc hai và bậc cao”, để tải tài liệu gốc về máy bạn click vào nút DOWNLOAD ở trên

Xem thêm: Đồ Án Kiến Trúc Là Gì ? Cách Viết Đồ Án Tốt Nghiệp Như Thế Nào?

Chuyên đề: Phương trình- Bất phương trình bậc hai và bậc caoPhần I: Phương trìnhA. Phương trình không chứa tham sốI.Một số dạng phương trình dùng phương pháp đặt ẩn phụ đưa về phương trình bậc haiDạng 1: Phương trình trùng phương (1) Phương trình (2) Cách giải: *PT (1) Đặt PT đã cho thành : *PT (2) được đưa về PT trùng phương bằng cách đặt Ví dụ1:Giải phương trình :Lời giảiĐặt PT đã cho thành: .Từ đó Ví dụ 2:Giải phương trình: Lời giảiViết lại PT đã cho thành (1) Đặt (*). Khi đó (1) trở thành : (do Đk (*). Vậy là nghiệm của Pt đã cho.Bài tập tương tự : Giải các phương trình và hệ phương trình sau: a) . Đáp số: b) Đáp số:Dạng 2: PT dạng (với : )Cách giải : Đặt (với )Ví dụ :Giải phương trình : (3) Lời giải Ta có Đặt Vậy PT(3) có ba nghiệm Bài tập tương tự: Giải các phương trình sau:Đáp số: Dạng 3: Phương trình ( với : )Cách giải: Chia hai vế PT cho rồi đặt Ví dụ1: Giải phương trình (4) Lời giảiCó Thấy không là nghiệm của (4) , chia hai vế (4) cho Đặt thành Giải tiếp hai PT ta được nghiệm của (4) là Ví dụ2: Giải PT (4″)Lời giải Thấy không phải là nghiệm của (4″), chia hai vế (4″) cho ta được:Đặt , Pt đã cho trở thành:Thay vào biểu thức và giải ta được kết quảVậy PT đã cho có 4 nghiệm là: Bài tập tương tự: Giải các phương trình sauHướng dẫn: a) Bạn đọc tự giải b) thấy không là nghiệm của pt đã cho, chia hai vế pt cho , đặt ,.Mở rộng : Tương tự như cách giải trên, đối với pt dạng đối xứng (với: )Cách giải: 1)Đối với pt đối xứng bậc chẵn : Vì không là nghiệm của pt đã cho, chia hai vế pt cho , đặt ,2) Đối với pt bậc lẻ : Dễ thấy pt luôn có một nghiệm là , do đó luôn phân tích được vế trái pt đã cho thành tích của với một đa thức đối xứng bậc chẵnVí dụ: Giải các pt sau:Hướng dẫn:1) Đáp số: 2) Dùng lược đồ Hoocne chia vế trái pt đã cho cho . Vậy PT đã cho thành:Giải(*) bằng cách chia hai vế cho , đặt ,Đáp số: Dạng 4: Phương trình dạng Cách giải: Đặt ta có hệ (I)Hệ (I) là hệ đối xứng loại 2, trừ vế với vế hai PT trong hệ ta được PT dạng tích Ví dụ: Giải phương trình (5) Lời giảiĐặt Vậy (5) thành Vậy ta có hệ * Với ta có *Với Vậy PT (5) có 4 nghiệm là: Bài tập tương tự: Giải PT sauBạn đọc tự giảiDạng 5: Phương trình dạng (*)Cách giải: Tách bậc đưa về dạng PT tích, dựa trên cơ sở sau:Với ta luôn có (*) (**)Gọi Ta tìm m sao cho trở thành bình phương đủ Khi đó và (*)Ví dụ: Giải phương trình (6) Lời giảiVới ta có (6″)Gọi Ta tìm m sao cho Vậy (6″)Giải hai Pt trên, ta được 2 nghiệm của PT (6) là:Bài tập tương tự : Giải phương trình sauĐáp số: Dạng 6: Phương trình dạng Cách giải: Đặt Ví dụ: Giải phương trình (7)Lời giảiĐặt . Kết hợp với Pt(7)Vậy pt đã cho trở thành là nghiệm của pt .Bài tập tương tự: Giải PT sauHướng dẫn:Đưa PT đã cho về dạng: Dạng7: Phương trình dạng Cách giải:Đặt VT(ptđã cho) trở thành: Pt đã cho đưa được về dạng bậc hai đối với ẩn tVídụ: Giải phương trình (7)Lời giải Đặt Vậy pt(7)*với ta có:*Với tương tự cách làm trên, pt vô nghiệm.Vậy pt(7) có hai nghiệm là Lưu ý: Chúng ta hoàn toàn có thể giải phương trình trên bằng cách đưa được về dạng 6Thật vậy: Đặt PT(7) thành:Đặt , Pt trên thành *Với *Với Vậy pt đã cho có hai nghiệm là II.Phương pháp đưa về phương trình tích.1.Đoán nghiệm hữu tỷ.Cơ sở lí thuyết:Giả sử là đa thức với hệ số nguyên.Nếu đa thức có nghiệm hữu tỷ thì p là một ước số (dương hay âm ) của và là một ước số của .Khi đó dùng lược đồ Hoocne ta tìm được nghiệm hữu tỷ của đa thức (nếu có) và phân tích luôn đượcVí dụ 1: Giải phương trình (8)Giải:Trước hết ta kiểm tra xem pt đã cho có nghiệm hữu tỷ hay không? Bằng phương pháp tìm nghiệm hữu tỷ ở trên. Thật vậy:Số hạng tự do là 3 có các ước số (kể cả âm) là Hệ số cao nhất là 3 có các ước số là Vậy nghiệm hữu tỷ nếu có phải là một trong các số sau đây: .Dùng lược đồ Hoocne ta tìm được nghiệm của pt là , hơn nữa pt đã cho viết được dưới dạng pt tích là : .Vậy pt đã cho có ba nghiệm là Bài tập tương tự : Giải các phương trình a) (9) b) c) Đáp số : a) b) c) Lưu ý: Không phải bất kỳ phương trình nào cũng có nghiệm hữu tỷ nên phương pháp trên sẽ không thể làm được khi gặp tình huống PT không có nghiệm hữu tỷ.2.Nhóm các số hạng một cách thích hợp , dùng công thức hằng đẳng thức để đưa pt đã cho về dạng pt tích Ví dụ2: Giải PT (10)Giải:Trước hết ta kiểm tra xem pt có nghiệm hữu tỷ hay không? Thật vậy nếu pt trên có nghiệm hữư tỷ thì theo lý thuyết trên nghiệm hữu tỷ chỉ có thể là . Dùng lược đồ Hoocne thấy pt không nhận các nghiệm trên.Vậy ta tìm cách tách, nhóm các số hạng, dùng hằng đẳng thức đưa (10) thành pt tích.Từ đó ta có nghiệm của pt đã cho là Bài tập tương tự: Giải PT(9)Hướng dẫn: .3.Phân tích đa thức thành nhân tử nhờ phương pháp hệ số bất định.Ví dụ3: Giải pt (9) bằng cách phân tích thành nhân tử theo phương pháp hệ số bất địnhGiải:Giả sử *( vì hệ số của là )Trong đó m, n, p, q là các hệ số nguyên ** ta cần tìm*Theo** chỉ có thể là Kiểm tra lại ta được Vậy:Bài tập tương tự: Giải pt(10) bằng phương pháp hệ số bất định.B.Phương trình chứa tham sốI. PT bậc cao chứa tham số ( vấn đề số nghiệm, giải và biện luận)Cách giải:1) Đưa về dạng PT tích.2) Dùng phương pháp tráo đổi vai trò giữa ẩn và tham số. Đưa bài toán về nghiên cứu Pt bậc hai quen thuộcVí dụ1:Cho PT (11)Xác định m để PT có đúng hai nghiệmGiải:Dễ thấy là một nghiệm của PT, chia vế phải của PT cho PT(11) có đúng hai nghiệm nếu một và chỉ một trường hợp sau xảy ra +Hoặc là PT(*) có nghiệm kép +Hoặc là PT(*) có hai nghiệm phân biệt trong đó có một nghiệm Trường hợp 1:Cần tìm m để:Trường hợp 2:Bài tập tương tự: Giải và biện luận PT theo tham số mHướng dẫn:Nhẩm được một nghiệm của PT là , chia vế trái pt cho pt đã cho trở thành:Ta giải và biện luận (*) rồi kết luận.Ví dụ 2: Giải và biện luận theo a số nghiệm của PTGiải:Viết lại Xem là pt đối với ẩn a. Ta cóCác nghiệm của (*) là :+Xét pt(**) có -Nếu vô nghiệm-Nếu có nghiệm kép -Nếu có hai nghiệm phân biệt +Xét pt (***) có .-Nếu có hai nghiệm phân biệt -Nếu có nghiệm kép -Nếu vô nghiệmKết luận:Nếu có hai nghiệm phân biệt .Nếu có một nghiệm kép Nếu vô nghiệmNếu có một nghiệm kép .Nếu có hai nghiệm phân biệt .Bài tập tương tự: Giải và biện luận pt sau theo tham số aHướng dẫn:Viết lại thành: Bạn đọc tự giải tiếp hai pt bậc hai trên và kết luận.II)Vấn đề tính chất nghiệm của phương trình.Ví dụ1: Chứng minh rằng nếu phương trình bậc hai với hệ số nguyên có nghiệm hữu tỷ thì ít nhất một trong các hệ số a,b,c là số chẵn.Giải:Theo mục A.II.1 nói ở trên ta có:Nếu PT (*) có nghiệm hữu tỷ Thật vậy không mất tính tổng quát , giả sử .Thay vào (*) ta có mà Đặt thành: Nếu thì Theo trên, pt bậc hai với các hệ số nguyên và hệ số của số hạng bậc hai bằng , có nghiệm hữu tỷ Ta lại có: Mặt khác:Trong ba số nguyên có ít nhất một số là số chẵn. Do đó chẵn đpcmBài tập tương tự: 1)Cho là hai số nguyên lẻ. Chứng minh rằng phương trình không có nghiệm hữu tỷ. 2)Cho là đa thức với hệ số nguyên và lẻ. Chứng tỏ vô nghiệm trên Z 3) Cho đa thức có các hệ số nguyên và lẻ, chẵn. CMR có ít nhất một nghiệm vô tỷHướng dẫn:) Giả sử pt có nghiệm , theo Nếu Nếu Vậy điều giả sử trên là không xảy ra.) Giả sử có nghiệm Do lẻ lẻ Mặt khác , cũng do lẻ lẻ Từ Điều giả sử trên là sai đpcm) Giả sử mọi nghiệm của pt đã cho đều là hữu tỷ , tương tự đặt (*)là nghiệm nguyên (do nguyên) của đa thức là ước của lẻ lẻ, mâu thuẫn g/tVí dụ 2: Chứng minh rằng là nghiệm của một đa thức với các hệ số nguyên. Tìm đa thức đó.Giải:Ta có: Vậy là nghiệm của đa thức Bài tập tương tự: Chứng minh rằng là nghiệm của các đa thức có các hệ số nguyên. Tìm đa thức đó.Đáp số: Ví dụ3: Cho phương trình Tìm tất cả các giá trị của tham số để pt trên có ba nghiệm thực phân biệt lập thành một cấp số cộngGiải:* Giả sử có ba nghiệm phân biệt theo thứ tự lập thành một cấp số cộng. Ta có , mặt khác theo Viét thì .Vì là một nghiệm của nên * Thử lại thấy đều thoả mãn yêu cầu bài toán.Bài tập tương tự: Tìm tất cả các giá trị của tham số m để phương trình sau có ba nghiệm phân biệt lập thành một cấp số cộng Đáp số: Ví dụ 4: Tìm tất cả các giá trị của tham số m để PT sau có bốn nghiệm lập thành một cấp số cộngGiải:Đặt thành có 4 nghiệm lập thành một cấp số cộng có hai nghiệm dương sao cho: theo thứ tự lập thành một cấp số cộng Cách1: Theo Viét , ta có là một nghiệm của Thử lại thấy thoả mãn bài toánCách2: Dễ thấy có một nghiệm là theo Viét nghiệm kia là . Vậy ta có:Bài tập tương tự: Cũng hỏi như trên đối với PTĐáp số: Ví dụ5: Biết phương trình: có nghiệm số thực, tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: Giải: *Gọi là một nghiệm của pt đã cho . Chia hai vế của pt cho ta được: .Đặt: .Vậy pt trở thành: .* Theo bất đẳng thức Bunhiakôpxki: (do ).*Đặt *Ta có Vậy S nhỏ nhất bằng , dấu bằng xảy ra khi hay II.Bất phương trìnhII. Giải bất phương trình không chứa tham sốMuốn giải một bất phương trình bậc cao, về cơ bản chúng ta vẫn phải tìm cách: a) Đưa vế trái của bất phương trình (vế phải của bất phương trình là 0) về dạng tích, thương của các nhị thức, tam thức bậc hai (cách làm tương tự như ở mụcI).b) Dựa vào cách đặt ẩn phụ ( các dạng tương tự như ở mục I) để đưa về bất phương trình bậc hai quen thuộc.Ví dụ 1: Giải các bất phương trình sauGiải: Xét Ta có bảng xét dấu :Xem bảng xét dấu ta có nghiệm của bpt là: Xét Mẫu Ta có bảng xét dấu:Xem bảng xét dấu ,vậy nghiệm bpt là Bài tập tương tự : Giải bất phương trình sauHướng dẫn:Phân tích vế trái đã cho về dạng tích của các nhị thức , tam thức bậc 2Cách 1: Tách nhóm các số hạng sao cho hợp lýTa có: Cách 2:Xét nghiệm của đa thức , nếu có nghiệm hữu tỷ là ước (kể cả âm ) của là ước của nghiệm hữư tỷ nếu có của chỉ có thể là . Dùng lược đồ Hoocne ta thấy , và khi đó chia cho ta được Cách 3: Dùng phương pháp hệ số bất định , ta cũng đưa được .Vậy Ta có bảng xét dấu:Vậy nghiệm của Ví dụ2: Giải bất phương trìnhGiải:Đặt trở thành: Từ Vậy nghiệm của bpt đã cho là Ví dụ 3: Giải bất phương trình sauGiải:Thấy không thoả mãn , chia hai vế cho , đặt trở thànhVậy ta cóKết luận nghiệm của BPT là Ví dụ 4: Giải bất phương trình sau Giải:Xét Chọn sao cho: chọn Khi đó trở thành: Vậy nghiệm của đã cho là: Bài tập tương tự: Giải BPT sau ( tham số )Hướng dẫn:* Nếu *Nếu , nhân hai vế của với Đặt trở thành: Xét , vậy có hai nghiệm đối với ẩn là: Thay , ta có trở thành: Mặt khác ta có Đáp số : II.Bất phương trình chứa tham số, vấn đề tập nghiệm của bất phương trình Cơ sở lý thuyết:* vô nghiệm * vô nghiệm *Cho bất phương trình: . Điều kiện cần và đủ để được thoả mãn với là: , với là tập nghiệm của ,( Tập cho trước có thể là: )Ví dụ1: Cho tam thức:Xác định sao cho:Bất phương trình vô nghiệm;Bất phương trình có nghiệm.Giải:Vậy không thoả mãn đều kiện bài toán. * vô nghiệm Để xác định sao cho bất phương trình có nghiệm , ta giải bài toán:””Xác định sao cho vô nghiệm””*Vậy không thích hợp.*Ta có:vônghiệmTóm lại, điều kiện để vô nghiệm là .Vậy, điều kiện để có nghiệm là Bài tập tương tự: Với những giá trị nào của thì :Hướng dẫn:Để ý thấy do Vậy Hệ có nghiệm với Đáp số: Ví dụ 2:Cho bất phương trình: Tìm để bất phương trình được thoả mãn với .Tìm để bất phương trình có nghiệm Giải: Cách giải1: Phương pháp tam thức bậc hai.Gọi X là tập nghiệm của .Ta tìm + không thích hợp.+, không thoả mãn +:Xét dấu và :thoả mãn .Tổng hợp các kết quả trên, ta được:.Cách giải 2: Phương pháp hàm số:Đối với học sinh đã được học kiến thức về khảo sát hàm số thì phương pháp giải này là khá hiệu quả ( Nếu như việc cô lập được tham số từ bất phương trình đã cho là đơn giản).Cơ sở lý thuyết:Giả sử hàm số có giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất trên , liên tục trên .* có nghiệm .*.* có nghiệm .*Trở lại bài toán ta có: (do)Yêu cầu bài toán Xét Ta có bảng biến thiên của hàm số như sau:Xem bảng biến thiên ta có , vậy được thoả mãn Cách giải1( phương pháp tam thức bâc hai – bạn đọc tự giải) Cách giải2: Phương pháp hàm sốTương tự câu Yêu cầu bài toán trở thành : Tương tự như câu ta có .Bài tập tương tự: Xác định để bất phương trình :, Đáp số: hoặc Ví dụ 3: Tìm Cách giải:Gọi . ta có không trái dấu với nhau.Chú ý: Trong quy ước mẫu thức bằng thì tử thức cũng bằng Bài tập áp dụng: Tìm để Giải:Ta có Bởi thế và là tương đương.Vậy Ví dụ 4: Cho Tìm a để Giải:Viết lại Gọi Ta thấy Đáp số: Bài tập tương tự: Tìm để Hướng dẫn:Viết lại Yêu cầu bài toán